高中数学 1.1.2《函数的概念和性质》学案 湘教版必修1

2.1.2 指数函数的图象和性质一、学习目标1.了解指数函数的概念2.会画指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质.二、重、难点分析1.指数函数的概念2.指数函数的图象和性质三、学习过程(一)自主预习指数函数的概念一般地，函数y=a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.注意：在指数函数的定义域表达式y=a x中，a是常量，a x前的系数必须是1，自变量x 在指数的位置上，否则，就不是指数函数.比如：y=2a x，y=a x+1， y=a x+1等，都不是指数函数.(二)合作探究1.指数函数的图象和性质当0＜a＜1时，y=a x的定义域为R，值域为(0，+∞)，图象如下：性质：①图象过定点(0，1)；②当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1.③函数在定义域R上为减函数.当a＞1时，y=a x的定义域为R，值域为(0，+∞)，图象如下：性质：①图象过定点(0，1)；②当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1.③函数在定义域R上为增函数.2.函数y=a x与y=1xa⎛⎫⎪⎝⎭(a＞0，且a≠1)图象间的关系.一般地，函数y=a x与y=1xa⎛⎫⎪⎝⎭(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称.在函数y=a x的图象上任取一点P(x，y)，点P(x，y)关于y轴的对称点为P’(-x，y)，显然，点P’在函数y=1xa⎛⎫⎪⎝⎭=a-x的图象上，由于点P是任意取的，所以y=a x上任意一点关于y轴的对称点都在y=1xa⎛⎫⎪⎝⎭的图象上，反之也成立.例如，2x y =与12xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭=两个函数的图象如下：四、同步练习1.已知函数f(x)=a x (a ＞0且a ≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大23a ，求实数a 的值.解析：分别就当a ＞1和当0＜a ＜1时指数函数的单调性，可得关于a 的方程，解方程可得.答案：当a ＞1时，函数f(x)=a x 在区间[1，2]上是增函数，∴f(x)min=f(1)=a ，f(x)max=f(2)=a 2，由题意知a 2-a=23a ，解得a=53，或a=0(舍去)； 当0＜a ＜1时，函数f(x)=a x在区间[1，2]上是减函数， ∴f(x)min=f(1)=a 2，f(x)max=f(2)=a ，由题意知a-a 2=23a ，解得a=13，或a=0(舍去)； 综上可知，a 的值为53或13.2.已知指数函数y=f(x)的图象过点(2，4)，求：(1)指数函数y=f(x)的解析式；(2)f(3)的值.解析：(1)设函数f(x)=a x，a ＞0 且a ≠1，把点(2，4)，求得a 的值，可得函数的解析式.(2)根据函数的解析式求得f(3)的值.答案：(1)设函数f(x)=a x，a＞0 且a≠1，把点(2，4)，代入可得 a2=4，求得a=2，∴f(x)=2x.(2)由以上可得f(3)=23=8.五、自我测评1.已知函数f(x)=a x(a＞0且a≠1)在[1，2]上的最大值为M，最小值为N(1)若M+N=6，求实数a的值；(2)若M=2N，求实数a的值.解析：按a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论：借助f(x)的单调性及最大值先求出a值，再求出其最小值即可.答案：①当a＞1时，f(x)在[1，2]上单调递增，则f(x)的最大值为M=f(2)=a2，最小值N=f(1)=a；②当0＜a＜1时，f(x)在[1，2]上单调递减，则f(x)的最大值为M=f(1)=a，此时最小值N=f(2)=a2，(1)∵M+N=6，∴a2+a=6，解得a=2，或a=-3(舍去).(2)∵M=2N，当a＞1时，a2=2a，解得a=2，或a=0(舍去)，当0＜a＜1时，2a2=a，解得a=12，或a=0(舍去)，综上所述a=2或a=12.2.已知指数函数f(x)=a x图象过点(2，16)，求f(0)，f(-1)，f(-3).解析：根据指数函数f(x)=a x图象过点(2，16)，可得a2=16，由此求得a的值，从而求得f(0)，f(-1)，f(-3)的值.答案：∵指数函数f(x)=a x图象过点(2，16)，可得a2=16，∴a=4，∴f(0)=40=1，f(-1)=4-1=14，f(-3)=4-3=164.六、小结1.指数函数的概念2.指数函数的图象和性质。

【数学】１．２《函数的 概念和性质》精品课件 （湘教版必修1）
函数的概念与性质
1、函数的连续性 2、函数的间断点 3、 闭区间上连续函数的性质
一、函数的连续性
1.概念 设函 f(x数 )在 U(x0,)内有. 定义
y
曲线不断
0
yf(x)
y
y
yf(x)
y
曲线断开
x
x
x 0 x0 x x 0 x 0 x0 x x
函数f(x)随x的改变而逐渐改变
有突变现象
x U (x0,) ,xxx0,称为自 x0的 变增 .量
y f ( x ) f ( x 0 )称 , f ( 为 x ) 相 函 x 的 应 . 数 增 于
2.连续的定义 P50
定义 1
设函数
f
(
x
)
在U
(
x 0
)
内有定义,如
果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
注：1) 函数 f(x) 在 x0 连续的等价写法(满足定义1的条件):
lx i0 m f(x
x x0
即 :0,0, 使x当 x0时 , 恒f有 (x)f(x0).
2) 若 y = f (x) 在 x0 处不连续，则称 y = f(x)在 x0 处间断。
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例如, 基本初等函数在其定义域上连续,初等函数在其 定义区间上连续.
例3 证 函 明 y s 数 x i在 n ( 区 , ) 内 间 .连
证 任x 取 (, ) ,
y six n x )( sx i n 2si nxcoxs(x)
2
2
cosx(x)1, 则y2sinx.
3.第二类间断点 如果 f(x)在点 x0处的左、

湘教版高一数学必修一学案摘要：一、引言二、湘教版高一数学必修一的课程目标三、湘教版高一数学必修一的主要内容1.函数的基本概念2.函数的性质3.函数的图像和解析式4.函数的应用四、学习建议和策略五、总结正文：【引言】湘教版高一数学必修一学案是高中数学学习的基础课程，为学生进入更高层次的数学学习打下坚实的基础。

本篇文章将对湘教版高一数学必修一的课程目标、主要内容和学习建议进行详细的阐述。

【湘教版高一数学必修一的课程目标】湘教版高一数学必修一的课程目标是使学生掌握函数的基本概念、性质、图像和解析式，学会运用函数解决实际问题，培养学生抽象思维、逻辑推理和空间想象能力，提高学生的数学素养。

【湘教版高一数学必修一的主要内容】湘教版高一数学必修一主要包括以下内容：1.函数的基本概念：函数的定义、函数的表示法、函数的值域、函数的定义域和对应关系等。

2.函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性等。

3.函数的图像和解析式：函数图像的绘制、函数解析式的求解等。

4.函数的应用：通过函数解决实际问题，如最值问题、方程求解、不等式求解等。

【学习建议和策略】针对湘教版高一数学必修一的学习，建议学生：1.养成良好的学习习惯，及时复习巩固所学知识。

2.注重基础知识的学习，打牢基本功。

3.加强练习，通过大量的例题和习题巩固所学知识，提高解题能力。

4.学会总结和归纳，形成自己的解题方法和技巧。

5.培养自己的抽象思维和空间想象能力，提高自己的数学素养。

【总结】总之，湘教版高一数学必修一学案是高中数学学习的基础课程，对于学生的后续学习和长远发展具有重要意义。

函数的单调性与最值新课程标准解读核心素养1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性数学抽象2.理解单调性的作用和实际意义逻辑推理、数学运算3.借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大值、最数学抽象、数学运算小值,理解它们的作用和意义第一课时函数的单调性德国著名的心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试,得到了有趣的数据．数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：[问题] (1)当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？(2)“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学的观点进行解释？知识点函数的单调性1．增函数、减函数前提设函数f(x)的定义域为D,I是D的一个非空的子集条件如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1<x2时条件都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2) 图示结论f (x )是区间I 上的增函数,也称f (x )在区间I 上单调递增f (x )是区间I 上的减函数,也称f (x )在区间I 上单调递减2．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数或减函数,那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间I 叫作y ＝f (x )的单调区间．1．对区间I 的要求函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分．2．x 1,x 2的三个特征 (1)同区间性,即x 1,x 2∈I ；(2)任意性,即不可用区间I 上的两个特殊值代替x 1,x 2； (3)有序性,即需要区分大小,通常规定x 1<x 2.1．判断正误．(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)所有函数在定义域上都具有单调性．( )(2)因为f (－1)<f (2),所以函数f (x )在[－1,2]上单调递增．( )(3)定义在(a ,b )上的函数f (x ),如果∃x 1,x 2∈(a ,b ),当x 1<x 2时,有f (x 1)<f (x 2),那么f (x )在(a ,b )上单调递增．( )(4)如果函数f (x )在区间I 1上单调递减,在区间I 2上也单调递减,那么f (x )在区间I 1和I 2上就一定是减函数．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．下列函数f (x )中,满足对任意x 1,x 2∈(0,＋∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)＞f (x 2)的是________(填序号)．①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x；③f (x )＝|x |；④f (x )＝2x ＋1. 答案：②3．函数y ＝f (x )的图象如图所示,其增区间是________．答案：[－3,1]4．函数f (x )＝－x 2－2x 的单调递增区间是________． 答案：(－∞,－1]函数单调性的判定与证明[例1] (链接教科书第80页例1)已知函数f (x )＝1x 2－1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )在(1,＋∞)上单调性,并用定义加以证明． [解] (1)由x 2－1≠0,得x ≠±1, 所以函数f (x )＝1x 2－1的定义域为{x |x ∈R ,且x ≠±1}． (2)函数f (x )＝1x 2－1在(1,＋∞)上单调递减． 证明：设x 1和x 2是区间(1,＋∞)上任意两个实数,且x 1<x 2, 则f (x 2)－f (x 1)＝1x 22－1－1x 21－1＝（x 1－x 2）（x 1＋x 2）（x 21－1）（x 22－1）. 由x 1,x 2∈(1,＋∞),得x 1>1,x 2>1, 所以x 21－1>0,x 22－1>0,x 1＋x 2>0. 又x 1<x 2,所以x 1－x 2<0,于是（x 1－x 2）（x 1＋x 2）（x 21－1）（x 22－1）<0,即f (x 1)>f (x 2), 所以,函数f (x )＝1x 2－1在(1,＋∞)上单调递减．利用定义证明函数单调性的4步骤[跟踪训练]1．(多选)下列函数在(－∞,0)上为增函数的是( ) A ．y ＝|x |＋1B ．y ＝|x |xC ．y ＝－x 2|x |D ．y ＝x ＋x|x |解析：选CD y ＝|x |＋1＝－x ＋1(x <0)在(－∞,0)上为减函数；y ＝|x |x＝－1(x <0)在(－∞,0)上既不是增函数也不是减函数；y ＝－x 2|x |＝x (x <0)在(－∞,0)上是增函数；y ＝x＋x|x |＝x －1(x <0)在(－∞,0)上也是增函数,故选C 、D. 2．证明函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上单调递减．证明：设x 1,x 2是区间(0,1)上任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1x2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝（x 1－x 2）（－1＋x 1x 2）x 1x 2. ∵0<x 1<x 2<1,∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1,则－1＋x 1x 2<0, ∴（x 1－x 2）（－1＋x 1x 2）x 1x 2>0,即f (x 1)>f (x 2),∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上单调递减.求函数的单调区间[例2] 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象,并指出函数的单调区间．[解] y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4，x ≥0，－（x ＋1）2＋4，x <0.函数图象如图所示．函数在(－∞,－1],[0,1]上单调递增,函数在[－1,0],[1,＋∞)上单调递减．所以函数的单调增区间是(－∞,－1]和[0,1],单调减区间是(－1,0)和(1,＋∞)．[母题探究](变条件)将本例中“y ＝－x 2＋2|x |＋3”变为“y ＝|－x 2＋2x ＋3|”,如何求解？ 解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋3|的图象如图所示．由图象可知其单调递增区间为[－1,1],[3,＋∞)；单调递减区间为(－∞,－1),(1,3)．求函数单调区间的2种方法法一：定义法：即先求出定义域,再利用定义法进行判断求解； 法二：图象法：即先画出图象,根据图象求单调区间．[注意] (1)如果函数f (x )在其定义域内的两个区间A ,B 上单调性相同,则两个区间用“,”或“和”连接,不能用“∪”连接；(2)书写单调区间时,若函数在区间的端点处有定义,则写成闭区间、开区间均可,但若函数在区间的端点处无定义,则必须写成开区间．[跟踪训练]1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象,则下列关于函数f (x )的说法正确的是( )A ．函数在区间[－5,－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性解析：选ABD 若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间,不能用“∪”连接．故选A 、B 、D.2．求函数f (x )＝1x －1的单调减区间． 解：函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞,1)∪(1,＋∞), 设x 1和x 2是区间(－∞,1)上任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1（x 1－1）（x 2－1）.因为x 1<x 2<1,所以x 2－x 1>0,x 1－1<0,x 2－1<0, 所以f (x 1)－f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞,1)上单调递减,同理函数f (x )在(1,＋∞)上单调递减． 综上,函数f (x )的单调递减区间是(－∞,1),(1,＋∞).函数单调性的应用[例3] ((－∞,3]上单调递增,则实数a 的取值范围是________；(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞,＋∞)上的增函数,且f (2x －3)>f (5x －6),则实数x 的取值范围为________．[解析] (1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下,要使f (x )在(－∞,3]上单调递增,只需－(a ＋1)≥3,即a ≤－4.∴实数a 的取值范围为(－∞,－4]．(2)∵f (x )在(－∞,＋∞)上是增函数,且f (2x －3)>f (5x －6), ∴2x －3>5x －6,即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞,1)． [答案] (1)(－∞,－4] (2)(－∞,1)[母题探究]1．(变条件)若本例(1)的函数f (x )在(1,2)上是单调函数,求a 的取值范围． 解：由题意可知－(a ＋1)≤1或－(a ＋1)≥2,即a ≤－3或a ≥－2. 所以a 的取值范围为(－∞,－3]∪[－2,＋∞)．2．(变条件)若本例(2)的函数f (x )是定义在(0,＋∞)上的减函数,求x 的范围． 解：由题意可知,⎩⎪⎨⎪⎧2x －3>0，5x －6>0，2x －3<5x －6，解得x >32.∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.1．利用单调性比较大小或解不等式的方法(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；(2)在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”脱掉,使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法(1)将参数看成已知数,求函数的单调区间,再与已知的单调区间比较,求出参数的取值范围；(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组),解不等式(组)求出参数的取值范围．[跟踪训练]1．若函数f (x )在(－∞,－1]上是增函数,则下列关系式中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)<f (－2)B ．f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－2)C ．f (－2)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f (－2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1) 解析：选D ∵f (x )在(－∞,－1]上是增函数,且－2<－32<－1,∴f (－2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)．故选D. 2．若f (x )是定义在[0,＋∞)上的减函数,则不等式f (x )<f (－2x ＋8)的解集是________．解析：依题意,得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－2x ＋8≥0，x >－2x ＋8，解得83<x ≤4.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤83，4复合函数y ＝f (g (x ))的单调性[典例] 已知函数f (x )＝2x －1,x ∈[2,6]． (1)判断此函数在x ∈[2,6]上的单调性； (2)根据(1)的判断过程,归纳出解题步骤． 提示：(1)函数f (x )＝2x －1可分解为函数y ＝2u和函数u ＝x －1. 因为x ∈[2,6],所以u ∈[1,5],显然函数u ＝x －1在x ∈[2,6]上单调递增,函数y ＝2u在u ∈[1,5]上单调递减,由复合函数的单调性,知f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上单调递减． (2)解题步骤为：先求函数的定义域,接着分解复合函数,再判断每一层函数的单调性,最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性．[结论] 复合函数的单调性：一般地,对于复合函数y ＝f (g (x )),单调性如表所示,简记为“同增异减”.g (x )f (x )f (g (x ))增 增 增 增 减 减 减 增 减 减减增判断函数f (x )＝x ＋2x －1,x ∈[3,8]上的单调性．解：∵函数f (x )＝（x －1）＋3x －1＝1＋3x －1,可分解为函数f (x )＝1＋3u 和函数u ＝x －1.因为x ∈[3,8],所以u ∈[2,7],显然函数u ＝x －1在x ∈[3,8]上单调递增,函数f (u )＝1＋3u 在u ∈[2,7]上单调递减,由复合函数的单调性,知f (x )＝x ＋2x －1在x ∈[3,8]上单调递减．1.如图是函数y ＝f (x )的图象,则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由题图,可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B. 2．函数f (x )在R 上是减函数,则有( ) A ．f (3)<f (5) B ．f (3)≤f (5) C ．f (3)>f (5)D ．f (3)≥f (5)解析：选C 因为函数f (x )在R 上是减函数,3<5,所以f (3)>f (5)． 3．(多选)下列四个函数中在(－∞,0]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x B ．f (x )＝－x 2C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝1x －1解析：选AD 通过观察各函数的图象(图略),易知f (x )＝－x 2,f (x )＝x ＋1在(－∞,0]上单调递增,f (x )＝x 2－2x ,f (x )＝1x －1在(－∞,0]上单调递减． 4．已知函数f (x )＝xx －1.(1)求f (f (3))的值；(2)判断函数f (x )在(1,＋∞)上的单调性,并用定义法证明． 解：(1)因为f (3)＝33－1＝32, 所以f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝3232－1＝3. (2)函数f (x )在(1,＋∞)上单调递减．证明：设x 1和x 2是区间(1,＋∞)上任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－1－x 2x 2－1＝x1（x2－1）－x2（x1－1）（x1－1）（x2－1）＝x2－x1（x1－1）（x2－1）,由x1,x2∈(1,＋∞),得(x1－1)(x2－1)>0, 由x1<x2,得x2－x1>0,所以f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)．由单调性的定义可知,f(x)＝xx－1在(1,＋∞)上单调递减．。