2006年高考第一轮复习数学11集合的概念与运算

2006年高考第一轮复习数学：1.1-集合的概念与运算第一章集合与简易逻辑●网络体系总览1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质.●复习方略指南本章内容在高考中以考查空集与全集的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，集合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考查内容.逻辑联结词与充要条件这部分，以充要条件为重点考查内容.本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：1.复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面是对集合知识的应用.2.主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚.3.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，二者相互对照可加深对双方的认识和理解.4.复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题达到理解、掌握逻辑知识的目的.5.集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通.A.{x |x ＜－2}B.{x |x ＞3}C.{x |－1＜x ＜2}D.{x |2＜x ＜3}解析：M ={x |x 2＜4}={x |－2＜x ＜2}，N ={x |x 2－2x －3＜0}={x |－1＜x ＜3}，结合数轴， 0-1-2231x∴M ∩N ={x |－1＜x ＜2}.答案：C2.（2005年北京西城区抽样测试题）已知集合A ={x ∈R|x ＜5－2}，B ={1，2，3，4}，则（R A ）∩B 等于A.{1，2，3，4}B.{2，3，4}C.{3，4}D.{4}解析：R A ={x ∈R|x ≥5－2}，而5－2∈（3，4），∴（R A ）∩B ={4}.答案：D3.（2004年天津，1）设集合P ={1，2，3，4，5，6}，Q ={x ∈R|2≤x ≤6}，那么下列结论正确的是A.P ∩Q =PB.P ∩Q QC.P ∪Q =QD.P ∩Q P解析：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩Q P.答案：D4.设U是全集，非空集合P、Q满足P Q U，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集∅，则这个运算表达式可以是_______________.解析：构造满足条件的集合，实例论证.U=｛1，2，3｝，P=｛1｝，Q=｛1，2｝，则（U Q）=｛3｝，（U P）={2，3}，易见（U Q）∩P=∅.答案：（U Q）∩P5.已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x ∈Ｎ*｝，C＝｛x｜x⊆A｝，则A、B、C之间的关系是___________________.解析：用列举法表示出B＝｛1｝，C＝｛∅，｛1｝，｛0｝，A｝，易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系.答案：B A，A∈C，B∈C●典例剖析【例1】（2004年北京，8）函数f（x）=⎩⎨⎧∈-∈,,M x x P x x 其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f （P ）={y |y =f （x ），x ∈P }，f （M ）={y |y =f （x ），x ∈M }.给出下列四个判断，其中正确判断有①若P ∩M =∅，则f （P ）∩f （M ）=∅ ②若P ∩M ≠∅，则f （P ）∩f （M ）≠∅ ③若P ∪M =R ，则f （P ）∪f （M ）=R ④若P ∪M ≠R ，则f （P ）∪f （M ）≠RA.1个B.2个C.3个D.4个剖析：由题意知函数f （P ）、f （M ）的图象如下图所示.设P =［x 2，+∞），M =（－∞，x 1］，∵|x 2|＜|x 1|，f （P ）=［f （x 2），+∞），f （M ）=［f （x 1），+∞），则P ∩M =∅.而f （P ）∩f （M ）=［f （x 1），+∞）≠∅，故①错误.同理可知②正确.设P=［x1，+∞），M=（－∞，x2］，∵|x2|＜|x1|，则P∪M=R.f（P）=［f（x1），+∞），f（M）=［f（x2），+∞），f（P）∪f（M）=［f（x1），+∞）≠R，故③错误.同理可知④正确.答案：B【例2】已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B ＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值.解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，且－1≤x1≤0，①由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1.②由①②知x1＝－1，x2＝2，∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2.评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.深化拓展（2004年上海，19）记函数f （x ）=132++-x x 的定义域为A ，g （x ）=lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B .（1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.提示：（1）由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0， ∴x ＜－1或x ≥1，即A =（－∞，－1）∪［1，+∞）.（2）由（x －a －1）（2a －x ）＞0，得（x －a －1）（x －2a ）＜0.∵a ＜1，∴a +1＞2a .∴B =（2a ，a +1）. ∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2.而a ＜1，∴21≤a ＜1或a ≤－2. 故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是（－∞，－2］∪［21，1）. 【例3】 （2004年湖北，10）设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R|mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是A.P QB.Q PC.P =QD.P ∩Q =Q剖析：Q ={m ∈R|mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，对m 分类：①m =0时，－4＜0恒成立； ②m ＜0时，需Δ=（4m ）2－4×m ×（－4）＜0，解得m ＜0.综合①②知m ≤0，∴Q ={m ∈R|m ≤0}. 答案：A评述：本题容易忽略对m =0的讨论，应引起大家足够的重视.【例4】 已知集合A ={（x ，y ）|x 2+mx －y +2=0}，B ={（x ，y ）|x －y +1=0，0≤x ≤2}，如果A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围.剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x 2+mx －y +2=0与线段x －y +1=0（0≤x ≤2）有公共点，求实数m 的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.解：由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+),20(01,022x y x y mx x 得x2+（m－1）x+1=0.①∵A∩B≠ ，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.首先，由Δ=（m－1）2－4≥0，得m≥3或m≤－1.当m≥3时，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；当m≤－1时，由x1+x2=－（m－1）＞0及x1x2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.综上所述，所求m的取值范围是（－∞，－1］.评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.深化拓展设m∈R，A={（x，y）|y=－3x+m}，B={（x，y）|x=cosθ，y=sinθ，0＜θ＜2π}，且A∩B ={（cos θ1，sin θ1），（cos θ2，sin θ2）}（θ1≠θ2），求m 的取值范围.提示：根据题意，直线y =－3x +m 与圆x 2+y 2=1（x ≠1）交于两点，∴22)3(1||-+m ＜1且0≠－3×1+m .∴－2＜m ＜2且m ≠3.答案：－2＜m ＜2且m ≠3.●闯关训练夯实基础1.集合A ={（x ，y ）|x +y =0}，B ={（x ，y ）|x －y =2}，则A ∩B 是A.（1，－1）B.⎩⎨⎧-==11y x C.{（1，－1）} D.{1，－1}解析：⎩⎨⎧=-=+20y x y x ⇒⎩⎨⎧-==.1,1y x 答案：C2.（2004年上海，3）设集合A ={5，log 2（a +3）}，集合B ={a ，b }.若A ∩B ={2}，则A ∪B =______________.解析：∵A ∩B ={2}，∴log 2（a +3）=2.∴a =1.∴b =2.∴A={5，2}，B={1，2}.∴A∪B={1，2，5}.答案：{1，2，5}3.设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＞a}，若A B，则a的取值范围是___________________.解析：A B说明A是B的真子集，利用数轴（如下图）可知a≤1.a12答案：a≤14.已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，则a的值为__________________.解析：若a=0，则x=－1.2若a≠0，Δ=4－4a=0，得a=1.答案：a=0或a=15.（2004年全国Ⅰ，理6）设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误．．的是A.（I A）∪B=IB.（I A）∪（I B）=IC.A∩（I B）=∅D.（I A）∩（I B）=I B解析一：∵A、B、I满足A⊆B⊆I，先画出文氏图，根据文氏图可判断出A、C、D都是正确的.IBA解析二：设非空集合A、B、I分别为A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}且满足A⊆B⊆I.根据设出的三个特殊的集合A、B、I可判断出A、C、D 都是正确的.答案：B6.（2005年春季北京，15）记函数f（x）=log2（2x－3）的定义域为集合M，函数g（x）= )1-x(-x3)(的定义域为集合N.求：（1）集合M、N；（2）集合M∩N、M∪N.解：（1）M={x|2x－3＞0}={x|x＞3}；2N={x|（x－3）（x－1）≥0}={x|x≥3或x≤1}.（2）M∩N={x|x≥3}；M∪N={x|x≤1或x＞3}.2培养能力7.已知A={x∈R|x2+2x+p=0}且A∩{x∈R|x ＞0}=∅，求实数p的取值范围.解：∵A∩{x∈R|x＞0}=∅，∴（1）若A =∅，则Δ=4－4p ＜0，得p ＞1；（2）若A ≠∅，则A ={x |x ≤0}，即方程x 2+2x +p =0的根都小于或等于0. 设两根为x 1、x 2，则⎪⎩⎪⎨⎧≥=≤-=+≥-=.0,02,0442121p x x x x p Δ ∴0≤p ≤1.综上所述，p ≥0.8.已知P ={（x ，y ）|（x +2）2+（y －3）2≤4}，Q ={（x ，y ）|（x +1）2+（y －m ）2＜41}，且P ∩Q =Q ，求m 的取值范围.解：点集P 表示平面上以O 1（－2，3）为圆心，2为半径的圆所围成的区域（包括圆周）；点集Q 表示平面上以O 2（－1，m ）为圆心，21为半径的圆的内部.要使P ∩Q ＝Q ，应使⊙O 2内含或内切于⊙O 1.故有｜O 1O 2｜2≤（R 1－R 2）2，即（－1＋2）2＋（m －3）2≤（2－21）2.解得3－25≤m ≤3＋25.评述：本题选题目的是：熟悉用集合语言表述几何问题，利用数形结合方法解题.探究创新9.若B ={x |x 2－3x +2＜0}，是否存在实数a ，使A ={x |x 2－（a +a 2）x +a 3＜0}且A ∩B =A ？请说明你的理由.解：∵B ={x |1＜x ＜2}，若存在实数a ，使A ∩B =A ，则A ={x |（x －a ）（x －a 2）＜0}.（1）若a =a 2，即a =0或a =1时，此时A ={x |（x －a ）2＜0}=∅，满足A ∩B =A ，∴a =0或a =1.（2）若a 2＞a ，即a ＞1或a ＜0时，A ={x |0＜x ＜a 2}，要使A ∩B =A ，则⎩⎨⎧≤≥212a a ⇒1≤ a ≤2，∴1＜a ≤2.（3）若a 2＜a ，即0＜a ＜1时，A ={x |a ＜x ＜a 2}，要使A ∩B =A ，则⎩⎨⎧≥≤122a a ⇒1≤a ≤2，∴a ∈∅.综上所述，当1≤a ≤2或a =0时满足A ∩B =A ，即存在实数a ，使A ={x |x 2－（a +a 2）x + a 3＜0}且A ∩B =A 成立.●思悟小结1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.●教师下载中心教学点睛1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.3.强化数形结合、分类讨论的数学思想.拓展题例【例1】设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M－N={x|x∈M且x∉N}，则M －（M－N）等于A.NB.M∩NC.M∪ND.M解析：M－N={x|x∈M且x∉N}是指图（1）中的阴影部分.(1)(2)同样M－（M－N）是指图（2）中的阴影部分.答案：B【例2】 设集合P ={1，a ，b }，Q ={1，a 2，b 2}，已知P =Q ，求1+a 2+b 2的值.解：∵P =Q ，∴⎪⎩⎪⎨⎧==22,b b a a①或⎪⎩⎪⎨⎧==.,22a b b a②解①得a =0或a =1，b =0或b =1.（舍去） 由②得a =b 2=a 4，∴a =1或a 3=1.a =1不合题意，∴a 3=1（a ≠1）.∴a =ω，b =ω2，其中ω=－21+23i. 故1+a 2+b 2=1+ω2+ω4=1+ω+ω2=0.。

数学高考总复习：集合的概念和运算【考纲要求】1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

【知识网络】【考点梳理】1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x 2}，表示非负实数集，点集{(x ，y)|y=x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； （3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。

3、集合运算（1）交，并，补，定义：A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}，A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}，C U A=｛x|x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集；（2）运算律，如A ∩（B ∪C ）=（A ∩B ）∪（A ∩C ），C U （A ∩B ）=（C U A ）∪（C U B ）， C U （A ∪B ）=（C U A ）∩（C U B ）等。

【典型例题】集 合集 合 表 示 法 集 合 的 关 系集 合 的 运 算描 述 法图 示 法列 举 法相 等包 含 交 集并 集 补 集子集、真子集类型一：集合的概念、性质与运算例1.（2015 陕西高考）设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 答案：A 【解析】 ,所以故选A.举一反三：【变式】（2015福建高考）若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．φ 答案：C 【解析】因为, 所以故选C.类型二：集合的两种关系例2、已知集合2{|230,}A x x x x R =--≤∈，22{|240,}B x x mx m x R =-+-≤∈ （1）若[1,3]A B ⋂=，求实数m 的值； （2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围。

高三数学一轮复习集合的概念与运算一、复习要求 理解集合的概念及交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法． 二、复习重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 三、学习指导： （一）主要知识： 1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （2）集合的分类：① 按元素个数分：有限集，无限集；② 按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x 2}，表示非负实数集，点集{(x ，y)|y=x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； （3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。

3、集合运算 （1）有关概念 ①交集：}{B x A x x B A ∈∈=且IA BA BA B②并集：}{B x A x x B A ∈∈=或IABABA B③全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U 表示。

④补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且AU C U A（2）常用运算性质及一些重要结论 B A B B A B A A B A ⊆⇔=⊆⇔=Y I（二）主要方法：1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． （三）高考回顾：考题1：（07全国Ⅰ）设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-C.考题2：设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}21,2≤≤--==x x y y B ，则()R C A B I ＝ A ．R B ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ （ ） 考题3：（2020辽宁文）设集合{}12A =，，则满足{}123A B =U ，，的集合B 的个数是（ ） Ａ．1Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．8考题4：（2020全国卷I 理）已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝ Ａ． ∅ Ｂ．｛x |0＜x ＜3｝ Ｃ．｛x |1＜x ＜3｝ Ｄ．｛x |2＜x ＜3｝ 考题5：（07江西）若集合M ＝{0，l ，2}，N ＝{(x ，y)|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M}，则N 中元素的个数为 （ ） A ．9 B ．6 C ．4 D ．2C.考题6：（07湖北）设P 和Q 是两个集合，定义集合Q P -={}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 2<=x x P ，{}12<-=x x Q 那么Q P -等于 （ ）A ．{x|0<x<1} B.{x|0<x ≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3}B.考题7：（07北京）已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A I ，则实数a 的取值范围是 .()3,2（四）典型例题：例1、已知集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M ∩N 。