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高一数学集合知识点总结_高三数学知识点总结一、集合的概念集合是指具有某种特定性质的对象的总体。
一般记为大写英文字母A,B,C…集合中的对象称为元素，记作小写字母a,b,c…。
二、集合的表示方法1. 列举法：将集合中的元素按一定次序一一列举出来。
例如：A={1,2,3,4,5}2. 描述法：给出集合中元素的某种性质的数学表达式。
例如：B={x|x为自然数，且0<x<6}三、集合的基本运算1. 并集定义：设A和B是两个集合，由所有属于集合A或者属于集合B的元素所构成的集合，称为A和B的并集，记作A∪B。
例如：若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}五、集合的基本定理1. 有限集的基本定理对于有限集A，|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B||A|表示集合A的元素个数。
2. 集合的基本性质（1）空集的性质空集是任意集合的子集。
（2）全集的性质全集是任意集合的父集。
六、集合的应用集合的相关知识在数学中有着广泛的应用，例如在概率统计中，集合的运算可以很好地描述事件、样本空间等概念；在数学分析中，集合可以用来表示数轴上的区间、开闭集等概念；在数理逻辑中，集合运算可以用来表示充分条件、必要条件等概念。
在高一数学中，集合的知识虽然只是数学的基础知识之一，但是却是十分重要的内容，能够帮助学生建立起数学基本思维，培养学生的逻辑思维能力，为将来数学的学习打下基础。
高三数学作为学生们数学学习的最后阶段，涉及到的知识点繁多，其中包括了微积分、立体几何、概率统计等内容。
下面就对高三数学的一些重要知识点进行总结。
一、微积分微积分是高三数学中一个重要的知识点，主要包括了导数、微分、积分等内容。
1. 导数导数是函数在某一点处的变化率，通常用函数f(x)关于自变量x的一阶微分dx的商来表示。
例如：若y=f(x)，则y’=f’(x)=lim（Δx→0）（f（x+Δx）-f(x)）/Δx2. 微分微分是导数的一种形式，通常用于刻画变化量小的两点之间的差别。
数学集合高考知识点汇总Introduction数学集合是高中数学中的一个非常重要的知识点，也是高考中经常涉及的内容之一。
在这篇文章中，我们将对数学集合的相关知识进行汇总和总结，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
一、集合的基本概念集合是数学中的一个基本概念，它是由一些特定的元素组成，元素之间无顺序关系。
集合可以用大括号{}表示，元素用逗号分隔。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示由元素1、2、3、4组成的集合A。
二、集合的运算1. 并集：并集指的是两个或多个集合中所有的元素组成的集合。
符号为"∪"。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集：交集指的是两个或多个集合中共有的元素组成的集合。
符号为"∩"。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
3. 补集：补集指的是一个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合。
符号为"'"。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A'={4, 5}。
三、集合的性质1. 子集：若集合A中的所有元素都属于集合B，则称A为B的子集，记作A⊆B。
例如，A={1, 2}，B={1, 2, 3}，则A⊆B。
2. 相等集合：若两个集合A和B的元素完全相同，则称A和B为相等集合，记作A=B。
例如，A={1, 2}，B={2, 1}，则A=B。
3. 空集：空集是不包含任何元素的集合，用符号"∅"表示。
四、集合的应用1. Venn图：Venn图是用来图形化表示集合及其运算的工具。
通过画圆来表示集合，并用重叠的部分表示集合的交集。
Venn图能够直观地展示集合之间的关系，方便进行集合运算的分析。
2. 集合的应用问题：数学集合在高考中常出现在与概率、函数、数列等相关的题目中。
要善于将集合的知识与其他数学知识相结合，应用到具体的问题中。
数学集合高考知识点在高考数学中，集合是一个重要的概念，涉及到许多基础的数学知识点。
本文将详细介绍数学集合的相关知识点，包括集合的定义、运算、常见性质等。
一、集合的定义集合是指具有某种特定性质的对象的总体。
常用大写字母表示集合，集合中的元素用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示由元素1、2、3和4组成的集合。
二、集合的表示方法1. 列举法：直接将集合中的元素列举出来。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}。
2. 描述法：通过描述集合中元素的特点来表示集合。
例如，集合A={x|x是正整数且x < 5}表示由小于5的正整数组成的集合。
三、集合的基本运算1. 并集：表示两个或多个集合中所有元素的总和，用符号∪表示。
例如，A∪B表示集合A和集合B的并集。
2. 交集：表示两个或多个集合中共有的元素，用符号∩表示。
例如，A∩B表示集合A和集合B的交集。
3. 差集：表示从一个集合中减去另一个集合中的元素，用符号-表示。
例如，A-B表示从集合A中减去集合B中的元素。
4. 互斥：表示两个集合没有公共元素，用符号⊥表示。
例如，A⊥B表示集合A和集合B互斥。
5. 补集：表示在全集中存在但不在某个集合中的元素构成的集合，用符号A'表示。
例如，A'表示集合A的补集。
四、集合的常见性质1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
3. 分配律：对于任意三个集合A、B和C，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
4. 对于全集U来说，U∪A=U，U∩A=A，U-A=∅。
5. 幂集：对于集合A，由A的所有子集构成的集合称为A的幂集，用符号P(A)表示。
通过对集合的学习，可以帮助我们更好地理解和运用数学知识。
在高考中，集合相关的题目常常出现，掌握了集合的基本概念和运算规则，能够更好地解答相关题目，提高数学成绩。
集合的基本概念与运算方法在数学中，集合是由一组独立的元素组成的。
理解集合的基本概念和运算方法对于解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍集合的基本概念以及常用的运算方法。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合通常用大写字母表示，集合内的元素用逗号分隔，并放在大括号中。
例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4}。
2. 元素：一个集合由若干个元素组成，元素是集合的基本单位。
例如，集合A中的元素1、2、3、4便是集合A的元素。
3. 子集：若一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，则称集合A为集合B的子集。
用符号表示为A ⊆ B。
例如，集合A = {1, 2}是集合B = {1, 2, 3}的子集。
4. 相等集合：若两个集合A和B拥有相同的元素，则称集合A和集合B相等。
用符号表示为A = B。
二、集合的运算方法1. 并集：若A和B为两个集合，他们的并集就是包含两个集合中所有元素的集合。
用符号表示为A ∪ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的并集为A ∪ B = {1, 2, 3}。
2. 交集：若A和B为两个集合，他们的交集就是属于A且属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A ∩ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的交集为A ∩ B = {2}。
3. 补集：设U为全集，若A为一个集合，则相对于全集U，A的补集为U中不属于A的所有元素组成的集合。
用符号表示为A'。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}相对于全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}的补集为A' = {5, 6}。
4. 差集：若A和B为两个集合，他们的差集就是属于A但不属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A - B。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {2, 3}的差集为A - B = {1, 4}。
5. 互斥集：若两个集合A和B的交集为空集，则称它们为互斥集。
高中数学集合知识点总结_高中数学备课工作总结一、集合的定义和基本概念1. 集合的概念：集合就是由一些确定的对象组成的整体2. 元素：构成集合的对象3. 集合的表示方法：列举法、描述法、符号法4. 空集、全集、子集、真子集5. 交集、并集、差集、补集6. 集合的运算：交、并、差、补二、集合的性质1. 互补律：A∪A'=U, A∩A'=Φ2. 结合律、交换律、分配律3. De Morgan定律：(A∪B)'=A'∩B', (A∩B)'=A'∪B'4. 绝对补分配律：A-B=A∩B', A∩B=A-B'三、集合的应用1. 集合的应用范围：概率统计、逻辑推理、数理逻辑等2. 集合表示法在实际问题中的应用3. 利用集合运算解决实际问题：排列组合、概率计算等4. 集合在数学证明中的应用一、备课的基本要求1. 充分了解教材：深入研读教材，了解每个知识点的主要内容和重点难点2. 理清教学内容：明确每节课的教学目标、重点和难点3. 教学内容组织：合理安排教学内容的结构，确保教学过程的连贯性和完整性4. 教学方法选择：根据教学内容和学生特点选择合适的教学方法和手段5. 教学资源准备：准备好所需的教学资源，如教学课件、实验材料等6. 教学案例准备：准备生动、形象的教学案例，以便更好地让学生理解和掌握知识点7. 评价方式确定：确定合适的评价方式，帮助学生检验学习效果和巩固所学知识二、备课过程中的注意事项1. 教材内容整合：将教材内容与学生实际生活和知识体系结合，形成完整的教学内容2. 合理控制教学进度：根据学生情况和课程安排，合理控制教学进度，确保教学质量3. 巧用多媒体技术：充分利用多媒体教学技术，丰富课堂教学手段4. 教学案例准备：准备充分的教学案例，以体现知识点的应用和解决问题的能力5. 知识点辅导：关注学生对知识点的理解和反应，针对性进行知识点的辅导和讲解6. 课堂练习安排：合理设计课堂练习和作业，巩固学生所学知识7. 学生反馈及调整：及时了解学生对教学内容的反应，根据反馈信息对教学内容和方式进行调整和改进三、备课效果的评价1. 教学目标达成情况：通过考试成绩和学生实际表现等途径，评价教学目标的达成情况2. 学生学习情况评价：了解学生对知识点理解和掌握情况，评价备课效果3. 教学方法评价：根据学生和教师的反馈，评价所选教学方法的效果4. 教学资源评价：评价备课中准备的教学资源和教学案例的使用效果5. 教学调整：针对评价结果，对备课和教学内容进行调整和改进，提高备课效果和教学质量高中数学的集合知识点是非常重要的基础知识，在备课工作中需要充分理解和掌握这些知识点，合理组织教学内容，选择合适的教学方法和手段，确保备课效果和教学质量。
集合的概念与运算知识点总结一、集合的概念集合是数学中最基础的概念之一，它是由一些对象组成的整体。
集合内的每个对象称为集合的元素。
通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。
集合的描述方式有两种常见方法：列举法和描述法。
列举法是指通过将集合中的元素一一列举出来来描述集合的方法，例如集合A={1, 2, 3}；描述法是指通过某些条件来描述集合的方法，例如集合B={x|x是正整数}。
二、集合的关系1. 子集关系：如果一个集合A的所有元素都是另一个集合B的元素，则称集合A 是集合B的子集，记作A⊆B。
若集合A既是集合B的子集，又有至少一个元素不是集合B的元素，则称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。
2. 相等关系：如果一个集合A是另一个集合B的子集并且B是A的子集，则称集合A和集合B相等，记作A=B。
3. 并集关系：集合A和集合B的并集，表示由所有属于A或属于B的元素组成的新集合，记作A∪B。
4. 交集关系：集合A和集合B的交集，表示由同时属于A和属于B的元素组成的新集合，记作A∩B。
5. 差集关系：集合A和集合B的差集，表示由属于A但不属于B的元素组成的新集合，记作A-B。
三、集合的运算规则1. 交换律：集合的并集和交集满足交换律，即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
2. 结合律：集合的并集和交集满足结合律，即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
3. 吸收律：集合的并集和交集满足吸收律，即A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A。
4. 分配律：集合的交集对并集满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
5. 补集运算：集合A与它的全集U的差集被称为集合A的补集，记作A'。
补集运算满足以下规则：A∪A'=U，A∩A'=∅。
四、集合的应用场景1. 数学中的集合论可以用于解决排列组合、概率论等问题。
高三有关集合的知识点总结在高三学习集合的过程中，我们需要掌握并理解一些重要的知识点。
本文将对高三有关集合的知识点进行总结，帮助同学们更好地复习和应对考试。
一、集合的概念与表示方法1. 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体。
对象称为集合的元素，元素之间没有顺序关系。
2. 集合的表示方法：描述法和列举法。
描述法通过描述元素的特征来表示集合，列举法通过列举出所有的元素来表示集合。
二、集合的基本运算1. 并集：将两个或多个集合中的所有元素放在一起，去除重复元素得到的新集合。
2. 交集：找出两个或多个集合中共有的元素构成的新集合。
3. 差集：从一个集合中去掉与另一个集合相同的元素得到的新集合。
4. 互斥集：两个集合没有共同元素，即交集为空集。
三、集合的运算性质1. 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A2. 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)3. 分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)4. 幂等律：A∪A = A，A∩A = A5. 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A6. 对偶律：(A∪B)' = A'∩B'，(A∩B)' = A'∪B'四、特殊集合的性质1. 空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
2. 全集：包含所有元素的集合，通常用符号U表示。
3. 子集：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A为集合B的子集，记作A⊆B。
4. 并集的性质：A⊆B，则A∪B = B；A∪∅ = A。
5. 交集的性质：A⊆B，则A∩B = A；A∩∅ = ∅。
五、常用的集合表示方法1. 自然数集：N = {0, 1, 2, 3, ...}2. 整数集：Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}3. 有理数集：Q = {p/q | p, q∈Z，q≠0}4. 实数集：R5. 负整数集：Z- = {..., -3, -2, -1}6. 正整数集：Z+ = {1, 2, 3, ...}六、集合的应用1. 判断命题的真值：通过判断命题中的元素是否属于某个集合，来确定命题的真值。
新高考集合知识点归纳新高考制度下，集合作为数学中的一个基本概念，其知识点归纳主要包括以下几个方面：1. 集合的基本概念：集合是由一些确定的、互不相同的元素所组成的整体。
在数学中，我们用大写字母表示集合，如A、B等。
2. 元素与集合的关系：如果一个元素a属于集合A，我们用a∈A表示；如果a不属于集合A，我们用a∉A表示。
3. 集合的表示法：集合可以用列举法和描述法来表示。
列举法是直接列出集合中的所有元素，如A={1, 2, 3}；描述法是用一个性质来描述集合中的元素，如A={x | x是偶数}。
4. 特殊集合：空集是不含任何元素的集合，记作∅。
全集是包含所有元素的集合，记作U。
5. 子集与真子集：如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。
如果A是B的子集，并且A不等于B，则称A是B 的真子集，记作A⊊B。
6. 集合的运算：包括并集、交集、差集和补集。
并集是两个集合所有元素的集合，记作A∪B；交集是两个集合共有元素的集合，记作A∩B；差集是A有而B没有的元素的集合，记作A-B；补集是全集中不属于A的元素的集合，记作∁_UA。
7. 幂集：一个集合的所有子集的集合称为该集合的幂集。
8. 集合的包含关系：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么A是B的子集。
如果A是B的子集，并且A不等于B，则A是B的真子集。
9. 集合的相等：如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合是相等的。
10. 集合的笛卡尔积：两个集合A和B的笛卡尔积是所有可能的有序对(a, b)的集合，其中a属于A，b属于B，记作A×B。
11. 集合的等价关系：如果集合中的元素可以按照某种标准分成若干个互不相交的子集，那么这种关系称为等价关系。
12. 集合的划分：将一个集合分成若干个互不相交的非空子集，这些子集的并集等于原集合，称为集合的划分。
结束语：集合作为数学中的基础概念，其知识点广泛且重要。
掌握这些知识点对于理解更高层次的数学概念和解决实际问题具有重要意义。
高三数学集合知识点总结归纳图在高三数学学习中，集合是一个非常重要的知识点。
它涉及到众多概念和运算符号，不仅在高考中占有一席之地，而且在以后的数学学习和应用中也会经常遇到。
本文将对高三数学集合知识点进行总结和归纳，并通过图表的形式进行展示，以便更好地理解。
一、集合概念集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的元素所构成的整体。
通常用大写字母表示集合，元素则用小写字母表示。
集合可以用描述性的方式表示，也可以用刻画性的方式表示。
二、集合的运算集合的运算包括并、交、差、补四种基本运算。
1. 并集：将两个集合中的所有元素合并在一起，不重复地列出。
并集用符号∪表示。
2. 交集：取两个集合中的共同部分元素，列出重复的元素。
交集用符号∩表示。
3. 差集：取一个集合中除去另一个集合中的共同部分元素，列出剩余的元素。
差集用符号-表示。
4. 补集：对于给定的一个全集，减去某个集合中的全部元素，得到剩余的元素构成的集合，即为该集合的补集。
三、集合的表示方法集合可以通过不同的表示方法进行表示，常见的有三种方法：列表法、定语从句法和解析法。
1. 列表法：用大括号括起来，集合中的元素按照逗号分隔列出。
2. 定语从句法：通过定语从句的方式给出集合的元素。
3. 解析法：使用一个变量，通过对变量的取值范围加以限定，来表示集合。
四、集合的关系与性质集合之间的关系有包含关系、相等关系、互斥关系等。
1. 包含关系：若一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
若集合A既包含于集合B，又不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。
2. 相等关系：若两个集合既包含对方的所有元素，则称这两个集合相等，记作A=B。
3. 互斥关系：两个集合没有共同的元素，称为互斥关系。
集合还具有并集交换律、并集结合律、交集交换律、交集结合律、分配律等运算性质。
五、常见集合的表示与性质1. 自然数集N：表示所有的正整数，包括0。
集合与函数概念
一、集合的基本概念与运算
(一)元素与集合
1.集合的定义
一般地，我们把研究对象统称为元素。
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。
通常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示集合，用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示元素。
2.集合中元素的特征
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
例如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州……不在这个集合中。
“身材较高的人”不能构成集合；因为组成它的元素是不确定的。
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的(或说是互异的)，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。
相同元素、重复元素，不论多少，只能算作该集合的一个元素。
(3)无序性：在一个集合中，不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同，就认为是同一个集合。
3、集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
4、元素与集合的关系
如果a 是集合A 的元素，就是说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A 。
5、常见的数集及记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ；
所有正整数组成的集合称为正整数集（在自然数集中排除0的集合），记作N *或N +；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ；
全体实数组成的集合称为实数集，记作R 。
解析 ⎩⎨⎧==,1,2xy x y 由① 2,1,y xy x =⎧⎨=⎩
或 ②
解①得x=y=1这与集合中元素的互异性相矛盾。
解②得x= -1或1(舍去)
这时y=0
∴x= -1，y=0
6、集合的表示方法
(1)列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。
适用条件：有限集或有规律的无限集
形式：{}n a a a a ，⋯,,,321
(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围；再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
适用条件：一般适合于无限集，有时也可以是有限集。
形式：{})(x p D x ∈，其中x 为元素，p(x)表示特征。
(3)韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内。
例 用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集： (1)由所有非负奇数组成的集合；
(2)由所有小于10既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；
(4)方程x 2+x+1=0的实数根组成的集合。
解析 (1)由所有非负奇数组成的集合可表示为：
{}N n n x x A ∈+==,12，A 是无限集。
(2)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为：{}7,5,3=B ，集合 B 是有限集。
(3)所求集合可表示为：{}00),(<<=y x y x C 且，集合C 是无限集。
(4)因为方程x 2+x+1=0的判别式的Δ<0，故无实数，所以方程x 2
+x+1=0的实根组成的集合是空集φ。
(二)集合的基本关系
1、子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个无素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作)(A B B A ⊇⊆或，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)。
数学表述法可简述为：若B x A x ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集。
(如图)
2、集合相等：如果集合A 是集合B 的子集)(B A ⊆，且集合B 是集合A 的子集)(A B ⊆，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A=B 。
数学表述法可描述为：对于集合A 、B ，若B A ⊆，且B A ⊆，则集合A 、B 相等。
3、真子集：若集合B A ⊆，且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集。
4、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为φ，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（三）集合间的基本运算
1
、并集
一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A B (读作“A 并B ”)，即{}B x A x x B A ∈∈=⋃或,
可用Venn 图表示为
2、交集
一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作B A ⋂(读作“A 交B ”)，即{}B x A x x B A ∈∈=⋂且,。
可用Venn 图表示为
3、全集与补集
(1)全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U 。
(2)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合(1) A A A ⊆⊆,φ。
(2) φ B(其中B 为非空集合)。
(3)对于集合A ，B ，C ，若C A C B B A ⊆⊆⊆则,,。
(4)对于集合A ，B ，若B A A B B A =⊆⊆则且,。
(6)含n 元素的
集合的全部子集个数为2n 个，真子集有2n -1个，非空子集有2n -1个，非空真子集有
2n -2个。
(7){}A a A a ∈⊆与是不同的，前者为包含关系，后者为属于关系。
拓展与提示：对于任意集合A 、B ，有(1);,A A A A A =⋃=⋃φ(2)A B B A ⋃=⋃;
(3))(),(B A B B A A ⋃⊆⋃⊆;(4)B A A B A ⊇⇔=⋃。
拓展与提示：对于任意集合A 、B ，有(1);,φφ=⋂=⋂A A A A (2)A B B A ⋂=⋂； (3)B B A A B A ⊆⋂⊆⋂)(,)(；(4)B A A B A ⊆⇔=⋂；(5))()(B A B A ⋃⊆⋂。
A
的补集，记作{},uA x x U x A =∈∉且。
例 设集合{}{}9,1,5,4,12,2x x B x x A --=--=，若A ∩B={}9，求A ∪B 。
解析 由A ∩B={}9得，9∈A 。
∴x 2=9或2x-1=9
①由x 2=9得，x=±3。
当x=3时，{}{}9,2,2,4,5,9--=-=B A ，与元素的互异性矛盾。
当x=-3时，{}{}9,4,8,4,7,9-=--=B A ，此时，{}.9,4,4,7,8---=⋃B A
②由2x-1=9得x=5.
当x=5时，{}{}9,4,0,4,9,25-=-=B A ，此时，{}9,4-=⋃B A ，与题设矛盾。
综上所述，{}.9,4,4,7,8---=⋃B A
4、集合中元素的个数：（不做要求）
在研究集合时，经常遇到有关集合元素的个数问题，我们把含有限个元素的集合A 叫做有限集，用card 来表示有限集合A 中元素的个数。
例如：{}3)(,,,==A card c b a A 则.
一般地，对任意两个有限集A ，B ，有card(A ∪B)=card(A)+card(B)-card(A ∩B).
当时仅当A ∩B=φ时，card(A ∪B)=card(A)+card(B).
解与集合中元素个数有关的问题时，常用venn 图。
例 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？
解析 设{
}田径运动会参赛的学生=A ，{}球类运动会参赛的学生=B ，那么 {}{}所有参赛的学生，两次运动会都参赛学生=⋃=B A B A ，
Card(A ∪B)=card(A)+card(B)-card(A ∩B)
=8+12-3=17
拓展与提示：(1)A ∩()uA =φ，A ∪()uA ，=U ；（2）()u uA =A ，uU =φ，u φ=U ； (3) ()u A B =()()uA uB ，()u A B =()()uA uB 。
(4)
下图中的①~④分别表示为
①A ∩()uB ， ②()uA ∩B ， ③A ∩B ， ④()()uA uB
答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛。
