北航矩阵论课件1.2

三、线性变换的矩阵和线性空间 的同构
设 dim V=n, T L(V,V),取定V上的一组基e1 , , en , 令 Te j a1 j e1 anj en ,1 j n, 采用矩阵记法: T(e1 , , en )=(Te1 , , Ten )=(e1 , , en )A, a11 a21 这里，A= an1 a12 a1n a22 a2 n (aij ) nn F nn . an 2 ann
注1: 特征值与特征向量是否存在依赖于V所在的数域F，
1 0 1 2 如矩阵 的特征多项式为 f ( ) 1. 1 1 0
注2 : 当 dim V=n很大时，上述求法太繁琐，可借助于计算机. 注3 : E (i ) { X F n | (i I-A) X 0} N (i I-A)(解空间).由 亏加秩定理有r (i I-A) dim N (i I-A) n, 所以E (i )的维数为 dim E (i ) n r (i I-A) 称为i的几何重数.
易验证N(T)为V的子空间，R(T)为W的子空间，称N(T) 及R(T)为T的核空间和像空间.并称dimN(T)为T的零度 (或亏)，dimR(T)为T的秩，一般有以下定理：
定理1(亏加秩定理)设T L(V,W), V为有限维， 则N(T)及R(T)均为有限维，且 dimN(T)+dimR(T)= dim V 即T的亏加秩等于其定义域的维数.
0 x
D : C [a,b] C[a,b],
(1)
D( f ( x)) f '( x), f ( x) C [a,b].
(1)
二、核、像空间，亏加秩定理

分析： 设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 ,
x0n
则 ( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
x01
而0
的坐标是
0
x0n
21 11
k 1 k
k k 1
.
例. 在线性空间 P3 中，线性变换 定义如下：
(1 ) (2 )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
2、特征值与特征向量的求法
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
1 9
0 2
1 1
1 0
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且

6、基与维数的几何解释——直观解释
R
2
中，常用基
i
(1,0),
j
(0,1)
维数为2
R3 中，常用基 i (1,0，0), j (0,1，0)，k (0,0,1)
维数为3
固有特性：维数相当于向量所在直角系坐标轴的个数
注：含非零向量的任意线性空间必有基。
只含非零向量的零值空间所含的元素是n元向量，但维数为0.
基与维数： 基——极大无关组
维数——秩 3、特殊向量空间 平凡子空间
V自身 零子空间
非平凡子空间——真子空间（部分向量组成）
4、向量在基下的坐标
标准正交基/规范正交基：特殊极大无关组（正交单位向量组）
设 1，2，r 为向量空间的一组基，设 V， 则 k11 k22 krr，称 （k1，k2，kr）为β在 基 1，2，r下的坐标。
①（，）（，）②（ ，）（，）（，）
五、子空间及其判定
例：设 A Pnn (Rnn或C nn ), Pn 的子集W {x | Ax 0, x Pn} 就构成 Pn 的一个子空间，称为A的零空间（或核），也叫
方程 Ax 0 的解空间，记为N(A)，其维数记为null(A)
注：x是n元列向量，N(A)表示A的零空间。
例：设 A Pnn ，对满足 Ax x 的所有 P, x Pn , 称x所构
2、 a b ab
k a ak
构成线性空间
a,b R
注：①线性空间必含有零向量（零元素），且唯一
②线性空间中任意元素的负元素唯一
③ 0 0 零向量 ；k·0=0;(-1)α =-α
数0
二、线性空间的维数和基
例：全体n阶方阵构成线性空间，且维数为n 2

列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij

a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中


矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;