第六届大学生力学竞赛试题-理论力学

全国周培源大学生力学竞赛考试范围（参考）Ⅰ.理论力学(一)静力学(1)掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。

能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。

(2)掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。

能熟练地计算力偶矩及其投影。

(3)掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。

掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果。

能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。

掌握重心的概念及其位置计算的方法。

(4)掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。

能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图。

(5)掌握各种力系的平衡条件和平衡方程。

能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题。

(6)掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念。

会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题。

(二)运动学(1)掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度。

(2)掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法。

能熟练求解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。

(3)掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。

(4)掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念。

能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。

(三)动力学(1)掌握建立质点的运动微分方程的方法。

了解两类动力学基本问题的求解方法。

(2)掌握刚体转动惯量的计算。

了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。

(3)能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。

(4)掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。

(5)掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。

了解其两类动力学基本问题的求解方法。

(6)掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗贝尔惯性力系的简化。

理论力学竞赛练习题答案理论力学竞赛练习题答案理论力学是物理学中的重要分支，它研究物体在力的作用下的运动规律。

竞赛练习题是理论力学学习的重要组成部分，通过解答这些题目，可以提高对理论力学知识的理解和应用能力。

本文将以理论力学竞赛练习题答案为标题，探讨理论力学的一些基本概念和解题方法。

首先，我们来看一道典型的竞赛练习题：题目：一个质点质量为m，在水平的光滑桌面上，用一根长为l的轻绳与一个固定点相连，使质点在桌面上做圆周运动。

求质点的圆周运动周期T。

解答：根据力学的基本原理，质点做圆周运动时，受到向心力的作用。

向心力的大小等于质点的质量乘以向心加速度，即F = m * a_c。

而向心加速度a_c等于速度v的平方除以半径r，即a_c = v^2 / r。

质点做圆周运动时，速度的大小与半径的乘积等于一个常数，即v * r = l。

根据这个关系，我们可以将速度表达为v = l / r。

将上面两个式子代入向心力的表达式中，可以得到F = m * v^2 / r = m * (l /r)^2 / r = m * l^2 / r^3。

根据牛顿第二定律F = m * a，可以得到m * l^2 / r^3 = m * a，即l^2 / r^3 = a。

质点做圆周运动的加速度a等于速度v的变化率，即a = Δv / Δt。

而质点做圆周运动的速度大小是一个常数，所以加速度等于零，即a = 0。

将上面的结果代入上式，可以得到l^2 / r^3 = 0，即l^2 = 0，解得l = 0。

根据速度与半径的关系v * r = l，当l = 0时，速度v也等于零。

所以质点的圆周运动周期T为无穷大。

通过以上的解答过程，我们可以看到解题的关键在于理解和应用力学的基本原理。

在解答题目时，我们首先根据题目给出的条件，得到一些关系式。

然后利用这些关系式，应用基本原理进行推导和计算，最终得到题目所要求的答案。

理论力学竞赛练习题的解答过程不仅考察了对理论力学知识的掌握程度，还要求解题者具备一定的逻辑思维和推导能力。

参考答案及评分标准第Ⅰ部分（共7题，每题4分）1． 1 0.5 【每 2分】 2． 0Fa 【每 2分】 3． 7.125o 【4分】 4．2Fl EAF EA Fl EA FEA 【每 1分】5． b e f g 【每 1分】 6．零杆见图示1N F F =（拉）【零杆共10根，答对41N 大小1分，表明拉的1分】 7．【剪力图2分，荷载图2分】4kN4kN或第Ⅱ部分（共6题，每题7分）1．由整体0A M ∑=，得/2250kN B F F == 再由杆BD 0C M ∑=，得/2433kN DE F == 故选用能承受500kN 张力的绳①。

【计算5分，结论2分】 2．设重心距AB 线右端D 之距离为C x ，则0.3m i Ci C ix A =∑设板重为W ，由平衡条件可求得：A 处吊杆受力0.9A F W =，B 处吊杆受力0.1B F W =设AB 杆长均为l ，材料弹性模量均为E ，A 杆面积为A A ，B 杆面积为A B ，则0.9A A A AF l Wl l EA EA ∆==，0.1B B B B F l Wll EA EA ∆== AB 边保持水平，则A B l l ∆∆=，计算得9A B A A =，A 、B 杆均为圆截面，故3A Bdd = 【求板重心位置2分，求二杆作用力1分，二杆变形1分，保持AB 水平条件1分，二杆直径比计算2分】3．在C 节点沿CA（图a ），或在节点沿x 、y 方向各作用一个拉力x y F F F ==（图b ）以上两种情况均满足题意要求，且各杆内力均为0AD AB CD CB F F F F ====，AC F由各杆所受内力知，AD 、AB 、CD 、CB 均不变形，只有AC 杆沿AC 方向伸长2AC Fll CC EA EA∆''===（图c ） 由小变形，作垂线代替圆弧得C 节点位移至C′，则AC CC l EA'==D 节点有x方向的刚性位移DD CC ''==【主动力3分，其中：作用点位置、主动力方向及大小各1分；各杆内力2分，各节点位移2分】F =A C ′图a图b图c4．图a 33(a)0.098232d W d π==， 图b33(b)(/0.05896d W d ==图c o o 23(c)(cos 60)(sin 60)0.06256d d W d ==图a 22(a)0.7854d A d π==， 图b22(b)0.50A d == 图c o o 2(c)(cos60)(sin60)0.433A d d d ==由[]M W σ=计算梁所能承受的最大弯矩3max max (a)[][]0.0982[]M W W d σσσ===，为圆截面梁由max min MW σ=计算梁所能承受的最大工作应力max 33(b)170.0589M M M W d d σ===，为方截面梁由min min G A γ=计算梁的最轻自重2min (c)0.433G A d γγ==，为矩形截面梁 【max M 2分， max σ2分； 自重最轻3分】5．设材料单位体积重为γ，则实心圆梁自重集度24q D πγ=空心圆管梁 22(1)4q D παγ'=-，0.5dDα== 实心梁 2m a x 34M q l W D σπ== 空心圆管梁 2m a x 344(1)M q l W D σπα'''=='- 由于210.75q q α'=-=，故max 42max 10.8(1)1q q σσαα''===-+ 实心梁 44max45320384384ql ql w EI ED π== 空心圆管梁 44max445320384384(1)q l q l w EI ED πα'''=='- 故max 4max 0.8(1)w q w q α''==- 【/q q '比值1分，二梁max σ各1分，比值1分；二梁max w 各1分，比值1分】6．顺风：θθαθcos )cos(cos -==F F F N y)]sin ()cos(cos )1()sin([θθαθθαθ-⋅-+⋅-⋅--=F d dF y]sin )cos(cos )[sin(θθαθθα⋅--⋅-=F 0=)tan(tan θαθ-=，2αθ=逆风：如右图，帆画在角α′内即可。

其中一种可能是：箱子中有一个转子，圆球离开时接通开关使圆轮加速转动。
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第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
设飞轮转动惯量为 J ，可在箱内电机驱动下以角加速度 ε 顺时针转动。为说明问题，暂
时设 B 处是铰链。
用动静法，飞轮上作用有力矩
系统对 A 点取矩，有
M s = Joε
(M1
+
M
2
)g
⋅
1 2
（e）如果要两盏灯亮，则是不稳定平衡。在第一象限内，两盏灯亮对应的区域是 EG 和 GF 边表示亮两盏灯的区域（不含 G 点）。
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第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
（f）一盏灯亮对应的区域是 G 点。 最后根据 x 轴和 y 轴的对称性，即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。 （本题改写自：陈嘉，《力学与实践》小问题第 29 题，1982，No.3；秦寿珪，《力学与 实践》小问题第 100 题，1985，No.4）
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第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
y
4
5
6
o
x
1
2
3
（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的 边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、 3、2、1）。
y
4 H
C5 六
o
E 四
6 三G
五D 四
B Fx
A(x,y)
1
2I
时，如果要求
P
点的速度和加速度，你如何考虑？取 a
= 1m
，l
=
4m ，β
=
1 6
π
，ω
= 1rad/s ，
速度和加速度是多少？