第四章 生存年金

2. 定期生存年金 年初付 当期支付技巧
& & ax:n
1 n−1 k = ∑k Ex = ∑vk ⋅ k px = ∑v ⋅ lx+k lx k=0 k =0 k =0
& & , aK+1 , K = 0,1 L, n −1 Y = & & ,K ≥n an
n−1
n−1
综合支付技巧
∑
k Ex =
n+m−1 k =m
vk ⋅ k px ∑
, 0 , K = 0,1 L, n −1 & & & & Y = aK+1 − am , m ≤ K ≤ m + n −1 & & & & am+n − am , K ≥ m+ n.
| mn
& & ax = E[Y] =
第二节 与生存相关联的一次性支付
现龄x岁的人在投保 年后仍然存活 可以在第n年末获 现龄 岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第 年末获 岁的人在投保 年后仍然存活， 得生存赔付的保险。 得生存赔付的保险。 单位元数的n年期生存保险的趸缴净保费为 单位元数的 年期生存保险的趸缴净保费为
Ex = Ax:1 = vn ⋅ n px n n
xn :
例.已知 A = 0.3, Ax+10 = 0.4, A 1 = 0.28, i = 2.5%. 已知 x
x: 10
计算ax:10 .
生存年金的递推公式
&& && ax =1+ v ⋅ px ⋅ ax+1
等价公式
&& && && ax =1+ v ⋅ ax+1 − v ⋅ ax+1 ⋅ qx
n t
lx
之积. 之积
Ex = t Ex ⋅ n−t Ex+t 1 n−t Ex+t
lx+n
Ex (2) = n Ex
经济解释：（ ）（ 经济解释：（1）（ ）岁的 年折现系数可以分为先折现 ：（ ）（x）岁的n年折现系数可以分为先折现 岁再折现到x岁两步完成 到x+t岁再折现到 岁两步完成。 岁再折现到 岁两步完成。 （2）在利率和生者利下，先从x+t岁折现到 x岁再累计 ）在利率和生者利下，先从 岁折现到 岁再累计 岁直接累计到x+n岁。 到x+n岁，等于从 岁直接累计到 岁 等于从x+t岁直接累计到 岁
& & & & & & ax:n = E[Y] = ∑ak+1 ⋅ k qx + an ⋅ n px
k =0
n−1
年末付 当期支付技巧
ax:n = ∑ k Ex
k =1
n
综合支付技巧
, aK , K = 0,1 L, n −1 Y = ,K ≥n an ax:n = E[Y] = ∑ak ⋅ k qx + an ⋅ n px
n|
ax = E[Y] = ∑(ak − an ) ⋅k| qx
k =n
∞
平价关系： 平价关系：
n|
ax = ax − ax:n ;
n|
ax =n Ex ⋅ ax+n
n|
&& ax =n−1| ax
4. 延期定期生存年金 年初付 当期支付技巧
&& | mn ax =
综合支付技巧
n+m−1 k =m
生存年金与寿险关系 1.终身生存年金和寿险 终身生存年金和寿险
&& 1 = d ⋅ ax + Ax
x岁投保时的 单位元等于在 岁存活期每年初的 单位元的 岁投保时的1单位元等于在 岁存活期每年初的1单位元的 岁投保时的 单位元等于在x岁存活期每年初的 预付利息d和在死亡年末的 单位元给付之和。 和在死亡年末的1单位元给付之和 预付利息 和在死亡年末的 单位元给付之和。
&& q40 = 0.02, q41 = 0.03, i = 0.025, a41 = 8.12
减少了0.02，求生存概率改变前后精算现值的差量。 若 p41减少了 ，求生存概率改变前后精算现值的差量。
变额生存年金 1.递增的终身生存年金 递增的终身生存年金 w−x−1 年初付
w−x−1 k =0
平价关系： 平价关系：
mn |
ax = ax:m+n − ax:m ;
mn |
&& ax =m−1|n ax .
某人现年23岁 约定于36年内每年初缴付 年内每年初缴付2000元给保险 例.某人现年 岁，约定于 年内每年初缴付 某人现年 元给保险 公司（共付37次），如中途死亡 即行停止， 如中途死亡， 公司（共付 次），如中途死亡，即行停止，付款额不退 当此人到达60岁时 保险公司开始给付第一次年金， 岁时， 还，当此人到达 岁时，保险公司开始给付第一次年金， 直至死亡，求此人每次获得的年金额。(精算表达式 直至死亡，求此人每次获得的年金额。 精算表达式) 精算表达式
k
∞
∞
综合支付技巧
&& && & & && ax = E[aK+1 ] = ∑ak +1 ⋅ Pr(K = k) = ∑ak+1 ⋅ k qx
k =0 k =0
∞
∞
年末付 当期支付技巧
∞
Nx+1 ax = ∑k Ex = Dx k =1
综合支付技巧
ax = E[aK ] = ∑ak ⋅ Pr(K = k) = ∑ak ⋅ k qx
n
Ex 是在利率和生者利下 年的折现系数 是在利率和生者利下n年的折现系数
是在利率和生者利下 年的累积系数 Ex n 1 1 n lx S= = n = (1+ i) v ⋅ n px lx+n n Ex
n
1
是在利率和生者利下n年的累积系数 是在利率和生者利下 年) 与生存累积因子 平价关系： (1) 平价关系：
k =0 n−1
平价关系： 平价关系：
&& ax:n = ax:n +1−n Ex =1+ ax:n−1
例.已知 已知
k 1 2 3 4
&& ak
1.00 1.93 2.80 3.62
k −1|
qx
0.33 0.24 0.16 0.11
&& 根据条件计算 a
x:4
3. 延期终身生存年金 年初付 当期支付技巧
&& (Ia)x =
∑ (t +1) ⋅ v ⋅
t t =0
t
px =
&& ∑ (Ia)
k +1 k|
⋅ qx
年末付
&& && (Ia)x = (Ia)x − ax
2.递增的 年定期生存年金 递增的n年定期生存年金 递增的 年初付 年末付
n−1 n−1
&& && && (Ia)x:n = ∑(t +1) ⋅ vt ⋅t px = ∑(Ia)k+1 ⋅k| qx + (Ia)n ⋅n px
经济解释： 岁的终身生存年金趸缴净保费等于在 岁的终身生存年金趸缴净保费等于在x岁 经济解释：(x)岁的终身生存年金趸缴净保费等于在 岁 上规定的1单位元给付加上 单位元给付加上x+1岁的趸缴净保费的值， 岁的趸缴净保费的值， 上规定的 单位元给付加上 岁的趸缴净保费的值 再减去x到 再减去 到x+1岁因死亡不能得到将来的 ax+1 部分。 岁因死亡不能得到将来的 && 部分。 岁的人购买期初付终身年金， 例.(40)岁的人购买期初付终身年金，每年年初付 ，已知 岁的人购买期初付终身年金 每年年初付10，
&& ax = ∑ k Ex = ∑vk ⋅ k px n|
k =n k =n
∞
∞
综合支付技巧
, 0 , K = 0,1 L, n −1 Y = & & & & aK+1 − an , K ≥ n
n|
& & & & & & ax = E[Y] = ∑(ak+1 − an ) ⋅k| qx
k =0 k =0
∞
∞
平价关系： 平价关系：
& & ax = ax +1
已知 i = 0.05
x
lx
dx
90 100 28
91 72 33
92 39 39
93 0 －
假定91岁存活年初给付 ， 岁存活年初给付 岁存活年初给付10， 假定 岁存活年初给付5，92岁存活年初给付 ，求其 岁存活年初给付 趸缴净保费。 趸缴净保费。 5 72 10 39 2 P = 5vp90 +10v 2 p90 = + = 6.97 2 1.05100 1.05 100
m+n−1 k =m
& & ∑ (a
mn |
k +1
& & & & & & − am ) ⋅k| qx + (am+n − am ) ⋅m+n px
平价关系： 平价关系：
&& && && ax = ax:m+n − ax:m ;