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附录 矢量与张量运算1标量﹑矢量与张量1.1大体概念在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。
咱们超级熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就能够够表示其状态。
例如质量、压强、密度、温度等都是标量。
矢量那么是在空间有必然取向的物理量，它既有大小、又有方向。
在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。
考虑直角坐标右手系，三个坐标轴别离以1、2和3表示，、2和3别离表示1、2和3方向的单位矢量。
若是矢量a 的三个分量别离为a 1、、a 2、a 3，那么能够表示为也能够用以下符号表示 a =(a 1,a 2,a 3) 矢量a 的大小以a 表示a =(a 12+a 22+a 32)1/2咱们还会碰到张量的概念，可将标量看做零阶张量，矢量看做一阶张量，在此将要紧讨论二阶张量的概念。
二阶张量w 有9个分量，用w ij 表示。
张量w 可用矩阵的形式来表示：w其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。
假设w ij =w ji ，那么称为对称张量。
若是将行和列互彼此换就组成张量w 的转置张量，记作w T ,则w T =显然，假设w 是对称张量，那么有w =w T 。
另外，若是w T =-w ，w 被称为反对称张量，同时有w ij =-w ji 。
任何一个二阶张量都能够写成两部份之和，一部份为对称张量，另一部份为反对称张量。
w =(w +w T )+ (w -w T )单位张量是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的张量是最简单的对称张量。
张量对角分量之和称为张量的迹t r w =张量的迹是标量，若是张量的迹为零，称此张量为无迹张量。
1.2大体运算1.2.1矢量加法与乘法运算在几何上，矢量的加法知足平行四边形法那么和三角形法那么。
如图附-1所示，减法为加法的逆运算。
1e e e a 332211e e e a a a a ++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211w w w w w w w w w ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313322212312111w w w w w w w w w 2121δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001δδ∑iiiw图附-1 矢量加减法在解析上，矢量加法（减法）为对应分量之和（差）。
第1章 矢量分析 在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A)(t（1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。
在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成 A {})(),(),()(t A t A t A t z y x =（1.1.2）其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。
这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
愿点O 也称为矢端曲线的极。
由于终点为),,(z y x M 的矢量OM 对于原点O 的矢径为zk yj xi r ++==当把A )(t 的起点取在坐标原点时，A )(t 实际上就成为其终点),,(z y x M 的矢径，因此)(t A 的三个坐标)(),(),(t A t A t A z y x 就对应地等于其终点M 的三个坐标z y x ,,，即)(),(),(t A z t A y t A x z y x ===（1.1.3）此式就是曲线l 的参数方程。
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A )(t （1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。
在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。
这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
矢量微分公式推导一、矢量微分的概念在矢量微积分中，微分是变化率的近似表示。
矢量微分则是对矢量函数进行微分的过程。
对于一个多元函数，其微分可以看作是函数在某一点附近的线性逼近。
二、矢量微分公式的推导假设有一个矢量函数f(x)，其中x是自变量，f(x)是一个矢量。
我们希望推导出矢量微分的公式。
我们将f(x)在x0处进行泰勒展开，展开到一阶项，可以得到以下表达式：f(x) ≈ f(x0) + (x - x0)·∇f(x0)其中，∇f(x0)是函数f(x)在点x0处的梯度，它是一个向量。
假设∇f(x0)的分量为(∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)，则∇f(x0)·(x - x0)就是向量的点积。
接下来，我们将(x - x0)·∇f(x0)进行展开，得到：(x - x0)·∇f(x0) = (x1 - x01)∂f/∂x1 + (x2 - x02)∂f/∂x2 + ... + (xn - x0n)∂f/∂xn这个展开的结果就是矢量微分的公式，可以表示为：df = ∇f(x0)·dx其中，dx是自变量x的微小增量，它也是一个向量。
df是函数f(x)的微分，也是一个向量。
三、矢量微分公式的应用矢量微分公式在物理学中有广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以用矢量微分来描述物体受力的变化情况。
在电磁学中，矢量微分可以用来描述电磁场的变化和传播。
在工程学中，矢量微分也有重要的应用。
例如，在流体力学中，我们可以用矢量微分来描述流体的速度场和压力场的变化。
在控制系统中，矢量微分可以用来描述系统的动态特性和稳定性。
四、总结矢量微分公式是微积分中的重要内容，它可以用来描述矢量函数的微分。
本文通过推导矢量微分公式，并对其进行详细的解释和阐述，希望能够让读者对矢量微分有更深入的理解。
矢量微分公式在物理、工程学和数学等领域中有广泛的应用，它为我们研究和解决实际问题提供了重要的数学工具。
