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函数的微分在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量x 有微小变化时，求函数)(x f y =的微小改变量)()(x f x x f y -∆+=∆这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数)(x f ，差值)()(x f x x f -∆+却是一个更复杂的表达式，不易求出其值。
一个想法是：我们设法将y∆表示成x ∆的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题。
微分就是实现这种线性化的一种数学模型。
一、 微分的定义定义 设函数)(x f y =在点x 的某邻域内有定义，若相对于自变量x 的微小增量x ∆，相应的函数增量)()(x f x x f y -∆+=∆可表示为)(x o x A y ∆+∆⋅=∆ （1）其中A 是与x ∆无关的量，则称函数)(x f y =（在点x 处）可微，并且称x A ∆⋅为函数)(x f y =（在点x 处）的微分, 记作dy , 即x A dy ∆⋅= （2）【例1】求函数3x y =在x ∀点处的微分。
解：若自变量x 在点x 处有增量x ∆，则对应的函数增量为2233)()3(3)(x x x x x x x x y ∆⋅∆++∆=-∆+=∆其中23x 显然与x ∆无关，而当0→∆x 时，)()()3(2x o x x x ∆=∆⋅∆+，由微分定义得x x dy ∆=23二、函数可微的条件在微分定义中，虽然知道A 是与x ∆无关的量，但A 到底是怎样的量？我们尚不知晓，并且若每次求微分都用其定义，显然较麻烦，因此需要寻找微分定义中的A 是什么。
从【例1】结果不难猜测“)(x f A '=”，事实上，关于微分有如下定理。
定理 函数)(x f 可微的充分必要条件是)(x f 可导，且函数的微分等于函数的导数与自变量的增量的乘积，即x x f dy ∆'=)( （3）证明：先证必要性。
设)(x f 可微，由微分定义，有)(x o x A y ∆+∆⋅=∆其中A 与x ∆无关。
《函数的微分》教学设计本节课是《高等数学》中比较难理解的一节概念课。
本节主要介绍微分的概念。
这节课前承一元函数导数，后接微分的应用，在教材中起着承前启后的作用，又可以用微分来计算函数的增量，这部分内容不仅有着非常广泛的实际应用，同时它还是培养学生数学能力的良好题材。
所以说函数的微分是《高等数学》的重要内容之一。
如何调动学生学习这节课的积极性呢？怎样更好地把本节课讲透能让学生更好地理解呢？本文在这节课的教学设计上给出了新的尝试。
1教学目标1.1知识目标（1）要求学生正确理解微分的概念；（2）能够用微分的定义式去求微分；（3）会解决简单的微分应用题。
1.2能力目标培养学生观察分析、独立思考、猜想归纳以及解决实际问题的能力。
1.3情感目标培养学生主动探索、实事求是、科学严谨的学习和工作作风。
2教学重、难点2.1教学重点微分的概念、微分的求法。
2.2教学难点微分的实际应用。
3教学方法运用引导式、启发式、对比式等多种教学法。
4教学设计4.1课题引入函数的微分是一个抽象的概念，为了使其更加形象化，便于学生理解接受，可先从一个简单的物理问题入手。
例如可以让一个小球从某一点处开始做自由落体运动，其路程函数为，点对应的是小球在时刻的位置，当时间经过后，小球到达点，求这段时间内的路程的改变量。
通过对问题的求解分析，得到函数微分的初步模型。
但是这只是从这个具体的物理问题得出的分析结果，它是否具有一般性呢？接下来就可以进行一般性分析了，从而得出微分的定义。
从这个实际物理问题入手，而不是先从微分定义讲起，更容易激起学生对本节课的学习兴趣。
从问题的提出、解决到最后微分概念的提炼，让学生体会到数学源于实践，并且实际问题的牵引容易激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。
4.2概念分析微分的定义给出后，教师先让学生回忆什么是线性主部，然后帮助学生自己总结出微分的实质。
教师不但从代数角度给出微分定义，为了更好地让学生理解微分这个抽象定义，可以再从几何角度来研究一下微分的几何意义。
f -1 f f f n nn n高等数学微积分知识整理第一章 极限与连续一、函数1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件）2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性 *单调性的定义（以递增为例）：∀x 1 , x 2 ∈ D f ，若x 1＜x 2时f (x 1 ) ≤ f (x )在D f 上严格单调递增。
f (x 2 )，则f (x )在D f 上单调递增；将≤ 改为＜，则*有界的定义： ∃M ＞0，对于∀x ∈ A ⊆ D f ，都有| f (x ) |≤ M ，则f (x )在A 上有界。
（f (x )≥m ∈R ，则 f (x )下有界；反之则上有界。
只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。
）3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数*题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。
*反函数存在的可能情况：①y 与 x 一一对应；②f (x )是某区间上的严格单调函数 （反函数的单调性与原来的函数相同）* D = R ；当x ∈ D 时，f -1 ( f (x )) = x ；当x ∈ R 时，f ( f -1 (x )) = x 。
4、初等函数：包括 6 大基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。
二、数列的极限1、数列的定义及表示方法2、数列的性质：单调性、有界性3、数列极限的定义：ε-N 语言（存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对 N 的限制，从而找到 N ；绝对值不等式与不等式放缩也很重要）4、极限的四则运算5、无穷小量的性质（1） 若lim a = A ，则{a - A }是无穷小量。
（一种证明极限的方法） n →∞（2）有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。
（3）无穷小量乘以有界量还是无穷小量。
6、收敛数列的性质 （1） 收敛数列必然有界 （2） 收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。
