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平行线分线段成比例定理【重点难点解析】 重点：平行线分比例线段定理与三角形一边的平行线的性质和判定 . 难点：平行线分线段成比例定理及推论的应用 .【命题趋势分析】 利用平行线分线段成比例定理及相关推论，进行证明和计算是考试热点，在中考中常以填空题、选择题、计算题、证明题和作 图题出现，解题时要结合比例性质 .核心知识 【基础知识精讲】 本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质和判定 .1. 平行线分线段成比例定理(1) 定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例 (2) 定理的基本图形若 l 1∥l 2 ∥l 3，则3. 三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角的两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边4. 相似三角形性质定理的预备定理 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边成比例 ( 如图 )) ，所得的对应线段成比例2. 平行线分线段成比例推论(1) 推论：平行于三角形一边的直线截( 或两边的延长线△ABC中，若DE∥BC，则＝＝上述基础知识①用来证明线段成比例；②证明直线平行；③证明两三角形相似；④已知三条线段，作第四比例项典型例题例 1 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE∶ED＝1∶3，BE的延长线交AC于 F.求AF∶FC.例 2 如图， D 为△ABC的AC边上一点， E 为CB延长线上一点，且＝，求证：AD＝EB.例 3 已知：如图，△ ABC 中，DE∥BC，AC＝6，AD＝6，CE＝2，则BD的长为多少？例 4 如图，已知AD为△ ABC中∠ BAC 的平分线，求证：【课本难题解答】例 1 在△ABC（AB> AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP∶CP＝BD∶CE.（如图 5.2-11）（P 255 A.18）例 2 如图 5.2-12 ，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和 E.求证：AE∶ED＝2AF∶FB例3 为了求出海岛上的山峰AB的高度、在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1 步等于6尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123 步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在同一直线上，从标杆FE退后127 步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上，求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少?（如图 5.2- 13）（P 256B.17）补充一些小问题1.怎样用三角形面积公式证明平行线分线段成比例定理？2.平行线分线段成比例定理有没有逆定理？3.如图，D为△ABC的AB 边上一点，过 D 点作DE∥BC，DF∥AC，4.如图，已知AC∥BD，BD⊥AB，AD、BC相交于E，EF⊥AB 于 F. 求证：- ＝5. 如图，D、F 分别是△ ABC的边AB、AC上的点，且AD∶DB＝CF∶FA＝2∶3连DF 交BC的延长线于E. 求EF∶FD.AF交DE于G，BE交DF于H，求证：GH∥AB.6.已知：如图，在□ ABCD 中， E 是AB 的中点，在 AD 上截取 AF ＝FD ，EF 交 AC 于 G.求证： ＝7. 如图，在△ ABC （AB > AC ）的边 AB 上取一点 D ，在边 AC 上取一点 E ，使 AD ＝AE ，线段 DE 和 BC 的延长线交于点 P. 求证： BP ∶CP ＝BD ∶CE8. 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 3，延长 AB 到点 E ，使 BE ＝2AB ，连结 EC 并延长交 AD 的延长线于点 F ，求 AF 的长.【典型例题】例 1 如图，在△ ABC 中， DE ∥BC ， EF ∥ CD.（ 1）求证： AF ：AD=AD ：AB （2）若 AF=4，FB=5，求 FD 的长 . （ 1）证明：∵ EF ∥DC ，∴ AF ： AD=AE ： AC∵ DE ∥ BC ，∴ AD ：AB=AE ：AC ∴AF ： AD=AD ： AB（2）AF=4，FB=5，∴AB=9，由 AD 2=AF ·AB ，∴ AD=6，FD=2.A例 2 如图， M 为 ABCD 一边 AD 的中点， BM 交 AC 于点 P ，若 AC=6cm ，求 PC 的值 .A MAD 2例 3 如图，若 DE ∥ AB ，FD ∥BC ， = ，AB=9cm ，BC=6cm ，求 BEDF 的周长 .AC 3例 4 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 的角平分线交 AC 于 D 。
初二数学【教学进度】几何第二册第五章 §5.2 [教学内容]平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析]一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EF BC = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DEAC AB= ， 可以说成“上比全等于上比全” DFEFAC BC= ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD例3分析 BC//FE 证明：∵则例4 分别连结E ，DB 首先观察证明：∵点评 （1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可例5 如图9，,,,C B A '''分别在△ABC 的三边BC 、AC 、AB 或其延长线上，且C C B B A A '''////求证：CC B B A A '='+'111 分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。
平行线分线段成比例结论
平行线分线段成比例的结论可以用以下两个定理来描述：
1. 三角形法则：如果在两条平行线上有两个相交线段，那么这两条线段被平行线切分的部分成比例。
具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，并且有两个交叉
线段EF和GH，那么EF/GH = AB/CD。
2. 价恩斯定理：两条平行线被一组相交线段切割所形成的任意两条线段之间的比值，等于这两条线段所在平行线之间的比值。
具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，其中EF和GH
是这两条平行线上的两个交叉线段，那么EF/GH = AB/CD。
这些定理指出，在平行线上切割的线段之间存在比例关系，这使得我们可以通过已知线段的比例来推导未知线段的长度。
： ，∵l 1∥l 2∥l 3∴AB初二数学【教学进度】几何第二册第五章 §5.2[教学内容]平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析]一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论） 平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） 所得的对应线段成比例。
3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4．三角形一边的平行线的性质定理 2（即课本例 6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。
定理的基本图形A DL1D A L1 A (D) L1 D A L1BEL2 E B L2 BEL2 B (E)L2CFL3CFL3CFL3C FL3图1-（1）图1-（2） 图1-（3） 图1-（4）DE =BC EFAB DE=AC DF BC EF=AC DF①对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对 应。
②为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：AB DE= ， 可以说成“上比下等于上比下” BC EF AB DE= ， 可以说成“上比全等于上比全” AC DF BC EF= ， 可以说成“下比全等于下比全”等 AC DF2．三角形一边平行线的性质定理 1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形AB DE l 3 DE=EF ，则 = = 1 ，但 L 、L 、L 不平行。
BC EF① DE ∥BC ⇒ AD AB BC ACDE段平移到关系明显的线段上去。
基础知识点三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线，截得的对应线段成比例。
如图(1)，若DE//BC ，则AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CEAB AC =如图(2)，若DE//BC ，则AB AC AE AD =或AB AC EB DC =或EA DAEB DC=EDE（2）（1）CBADC BA三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
如图(1)已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE//BC ，则AD DE AEAB BC AC==; 如图(2)已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE//BC ，则AB BC ACAE DE AD==. EDE（2）（1）CBADC BA同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比（2）（1）DCBADCBA如图(1)：ABD ADCS BDSDC =如图(2)：若AD//BC,则ADC ABCS ADSBC=三角形重心(三中线交点)：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。
1、三角形三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
2、三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的两倍。
例题解析如图，在ABC ∆中，DE //BC ，下列各式中错误的是( ). A.AD AB AE AC = B.BD EC AD AE = C.AD DE DB BC = D.AE DEAC BC =答案：C变式：如图，已知在ABC ∆中，DE //BC ，EF //CD ，那么下列线段的比中与AEAC相等的有( )个。
①AF AB②AF AD ③FD FB④ADABA.0B.1C.2D.3答案：C,①和④例题讲解:在△ABC 中，DE//BC ，DE 与AB 相交于D ，与AC 相交于E 。
精锐教育学科辅导讲义学员编号： 年 级：九年级 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 张俊授课类型 T 同步课堂C 专题 T 能力提升授课日期及时段 家庭作业教学内容同步课堂一、知识点梳理：1.三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.EDABCAEDCBAC AE AB AD BC DE == 2.三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 三角形重心要掌握三点：1.定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.2.作法：两条中线的交点.3.性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.3、三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.,,AD AE AD AE DB EC DB EC AB AC AB AC===ABCDE三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.AEDCB4、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.FED CB A用符号语言表示： ΘAD ∥BE ∥CF,,,AB DE BC EF AB DEBC EF AC DF AC DF∴===. 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.（一）、比例式 比例式：1、设2y －3x ＝0（y ≠0），则yyx +＝ ． 比例中项：1、已知线段a=2，b=8，若线段c 是线段a 与b 的比例中项，则c ＝ ． （二）、A 字型1、在△ABC 中，已知点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝1cm ，AB ＝3cm ，DE ＝4cm ，那么BC ＝ cm ．2、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝4cm ，AB ＝6cm ，DE ＝3cm ，那么BC ＝ cm ．3、如图，在△ABC 中，DE ∥B C ，DB AD ＝21， 则BCDE＝ ．AD CEB4、已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，DC AD ＝31， DE ＝6，则AB ＝ ．（三）、X 型 1、如图，AB//CD ，AD 与BC 交于点O ，若35 OD OC ，则BOAO= ．2、如图，E 是平行四边形ABCD 边AD 上一点，且AE ∶ED=1∶2，CE 与BD 交于点O ，则BO ：OD= ．（四）、中间比1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AB ，那么下列比例式中正确的是（ ）（A ）EB AE ＝FC BF ； （B ）EB AE ＝FB CF ；（C ）BC DE ＝DC AD； （D ）BC DE ＝AB DF ． （五）、重心1、如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为 ．2、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3.6，BC ＝4.8，点G 为△ABC 的重心，则点G 到AB 中点的距离为 ．3、如图，BE 、CD 是△ABC 的边AC 、AB 上的中线，且相交于点F ．则FCDF＝ ．4、如图，已知点O 是△ABC 的重心，过点O 作EF ∥BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若BC ＝6，则EF ＝ ．DACBOE DABC ODBCEFBCDE B CE AF OBAECFD专题一、填空题：1．若():1:2x y y -=，则:x y =___ _． 2．已知线段a ，b ，c 满足关系式a bb c=，且3b =，则ac =_ _． 3．已知345x y z==，且18x y z -+=，则2x y z ++= ． 4．如图1－1所示，在△ABC 中，D ，E 分别在AB ，AC 上，且DE ∥BC ，=3AD ，=5AB ，=1CE ，那么=AC ．ABCD E1－1A BCDE F1－2ABCDE1－31－4E D CBAF5．如图1－2所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，如果12AD DB =，那么EFBF= ． 6．如图1-3所示，在△ABC 中，BD 平分ABC ∠，交AC 于D ，DE ∥BC ，交AB 于点E ，若=6AB ，=4DE ，则=BC ．7．如图1－4所示，EF 平行BC ，FD 平行AB ，=18AE ，=12BE ，=14CD ，则=BD ．A BCDE1－5G1－6FEDCBA1－7F EDCBAABCDEF1－88．如图1－5所示，△ABC 中，DE ∥BC ，4AB =，8AC =，DB AE =，则AE = ．9．如图1－6所示，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，若::=2:5:9DE FG BC ，则::AD DF =FB ． 10．如图1－7所示，AB ⊥BC 于B ，EF ⊥BC 于F ， DC ⊥BC 于C ，=4AB ，=14DC ，且:=2:3BF FC ．则EF 的值为 ．11．如图1-8所示，ABCD Y 中，DE 平分ADC ∠，=2AB ，=3AD ，则=DF FE ： ． 12．如图1－9所示，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC DC ⊥，3=AD ，6=BC ，4=CD ，则=AO ． 1－9DCBAO13．如图1－10所示，△ABC 中，DE ∥AC ，FD ∥AB ，则ABDFAC DE +的值为 ． 1－10FE DCBAABC DEF1－11A BCDEF1－12O 1-13E DC BA14．在△ABC 中，如果5==AC AB 厘米，8=BC 厘米，那么这个三角形的重心G 到BC 的距离是 ． 15．如图1－11所示，E 为ABCD Y 的边AD 延长线上一点，且D 为AE 的黄金分割点，即AE AD 215-=，BE 交DC 于点F ，已知15+=AB ，则CF 的长是 ．16．如图1－12所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 相交于点O ，过O 点做AD 的平行线交AB 于点E ，交CD 于F ，若3=AD ，5=BC ，则=EF ． 17．如果线段a ，b 满足222350a ab b --=，则ab的值是 ．18．平行四边形ABCD 中，对角线BD 的四等分点为1O ，2O ，3O ，1AO 的延长线交BC 于E ，3EO 的延长线交AD 于F ，则:AF FD = ．19．如图1－13所示，在△ABC 中，C ∠90=o ，3AC =，D 为BC 上一点，过点D 作DE BC ⊥交AB 于点E ，若1ED =，2BD =．则DC 的长为 ．20．如图1－14所示，边长为8的正△ABC ，DE ∥BC ，面积比:1:4BCD ABC S S =△△，则EC = ．1-14E D CBAQF1-15EDCB AHF 1-16EDCBA21．若a b c k b c a c a b===+++，则k = ． 22．如图1－15所示，四边形ABCD ，EQ ∥CD ，EF ∥AB ，则EF EQAB CD+= ． 23．如图1－16所示，E 是△ABC 中BC 边的中点，F 是BC 边上任一点，过F 作FH ∥AE ，交BA 的延长线于点D ，交CA 于点H ，则FD FHAE AE+= ．24．已知::2:3:5a b c =，5a b c ++=，求a ，b ，c 的值 ． 25．已知31212358a a a b b b ===，则1212a ab b ++= ，1313a a b b ++= ． 26．已知23a c b d ==，则44a cb d--= ． 27．已知::2:3:4a b c =，则有23a b ca++= ．28．2，3，6的第四比例项是 ．二、解答题：1．如图1－31所示，B ，C 是△APM 边AP 上的两点，过B 作BN ∥AM 交PM 于N ，过N 作ND ∥MC 交AP 于D ． 求证：PA PCPB PD=． N1-31D C B MAP2．如图1－32所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于O ，过O 作AD 的平行线与两腰分别相交于E ，F ，比较OE 与OF 的大小关系，并说明理由．O1-32D CBEA F3．已知线段a ，b ，c 如图1－33所示，求作线段x ，使2bc x a=． c b a 1-334．如图1－34所示，在△ABC 中，12==AC AB ，4=BC ，BD 平分ABC ∠，DE ∥BC ． 求△ADE 的周长．1－34E DCBA5．如图1－35所示，已知在△ABC 中，EFCD 是菱形，且3AD =，5=BF ．求菱形EFCD 的边长．1－35F E DCBA6．如图1－36所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相较于点O ，E 是CD 的中点，AE 交BD 与点F ． 求FODF的值．DCBEAF1-36O7．如图1－37所示，在△ABC 中，EF ∥BC ,DF ∥EC ．求证：AE 是AB AD 与的比例中项．1-37F AE BCD ADEBCF1-388．如图1－38所示，在△ABC 中，AB AD 31=，延长BC 到点F ，使得BC CF 31=．连接DF ，交AC 于点E ， 求证：（1）EF DE =；（2）EC AE 2=．9．如图1－39所示，AD ∥EF ∥BC ，5AD =，7BC =，E 是AB 的黄金分割点，BE AE >． 求EF 的长．ADE BCF1-3910．如图1－40所示，已知E 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ． 求证：DC DE FB AD ::=．1-40CBED AF11．已知a ，b ，c ，d 四条线段能够成比例，2=a 厘米，3=b 厘米，5=c 厘米．求线段d 的长度．12．如图1－41所示，在ABCD Y 中，E 是AB 的中点，=AF 12DF ，EF 交AC 于点G ．求AC AG的值． ADE BCF1-41G13．如图1－42所示，D 为△ABC 中BC 上一点，EF ∥BC 交AD 于点H ．求证：EH BD HF CD=． HADEBCF1-4214．如图1－43所示，在△ABC 中，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，H 为AC 上一点，且AH AD =，过点H 作HF ∥BC 交AB 于点F ． 求证：FH BE =．HAD EBCF 1-43课后总结：能力提升一、填空题：1．如图1—61所示，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC =3，AB =5, E 是DA 的黄金分割点，且EF ∥AB 交BC 于点F ，则EF = ．1-61D CBE AF B 2A 2C 2A 1B 1C 11-62CBA 1-63DC BEA FE nE 3E 2E 1D nD 3D 21-64D 1CBA2．如图1—62所示，点1A ，2A ，1B ，2B ，1C ，2C 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的三等分点，若△ABC 的周长是m ，则六边形1A 2A 1B 2B 1C 2C 的周长是 ．3．如图1—63所示，AD ∥EF ∥BC ,AD =12，BC =17，AE :EB =2:3，则EF = ．4．△ABC 中，BC =a ，若1D ，1E 分别是BC ，AC 的中点，则1D 1E =12a ；若2D ，2E 分别是1D B ，1E C 的中点，则2D 2E =113()224a a a +=；若3D ，3E 分别是2D B ，2E C 的中点，则3D 3E =137()248a a a +=；…；若n D ，n E 分别是1n D B -，1n E C -的中点，则n n D E = ．5．如图1—64所示，△ABC 中，BC =a ． （1）若1AD =13AB ，1AE =13AC ，则11D E = ；（2）若12D D =113D B ，12E E =113E C ，则22D E = ；（3）若1n n D D -=113n D B -，1n n E E -=113n E C -，则n n D E = ．6．如图1—65所示，已知DE ∥BC ，且BF ：EF =3：2，则AC ：AE = ，AD ：DB = ．1-65DC BEAFM1-66DCBEAF 1-67DCBEAFO1-68DCBEAF7．如图1—66所示，四边形ABCD 中，==90A C ∠∠o，M 为BD 上一点，ME AB ⊥于点E ,MF CD ⊥于点F ，则MF MEBC AD+= ． 8．如图1—67所示，AF ∥BE ∥CD ，AF =12，BE = 19，CD =28．则FE ：ED 的值等于 ．9．如图1—68所示，ABCD Y的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，AE 交BD 于点F ．则DF ：FO = ．10．如图1－69所示，DC ∥MN ∥PQ ∥AB ，2=DC ，5.3=AB ，PA MP DM ==，则=MN ，=PQ ．1-69ABD C Q M P N FABCDE1-701-71MkN A CEFDBL 3L 2L 111．如图1－70所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD AB 3=，E 为对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则FD AF :的值等于 ．12．如图1－71所示，1L ∥2L ∥3L ， 4.2CN =，3AM =，5BM =，12EF =，则=DN ，=EK ． 13．如图1－72所示，已知EFDFBC AB =,则1l ∥2l ∥3l ，此命题是 （真、假）命题． 1-72A BCD EF321课后作业：1．如图1－83所示，已知D 是△ABC 中AC 边的中点，过点D 的任意直线交AB 于点E ，交BC 的延长线于点F ． 求证：BE CF BF EA ⋅=⋅．1-83EFC BDA2．如图1－84所示，在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 上一点，延长DE 交BC 的延长线于点F ．求证：FCBF EC AE =． 1-84F DAB EC3．如图1－85所示，D ，E 是△ABC 的AB ，BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，AC AB DE BD ::=．求证：△EFC 是等腰三角形．F D AB EC1-854．如图1－86所示，已知四边形ABCD 是正方形，FG ∥CD ．求证：GF BF =．G 1-86CE B A D F5．如图1－87所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，G 是对角线AC 上一点，且:1:5AG GC =，EG 的延长线交AD 与点F ．求:DF FA 的值．G 1-87CEB A D F6．如图1－88所示，D 为△ABC 中AC 边上的一点，E 为CB 延长线上的一点，EB AD =，DE 交AB 于点F ．求证：AC DF BC EF ⋅=⋅．1－88AB CDE F7．如图1－89（1）所示，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为点B ，D ，AD 和BC 相交于点E ，EF ⊥BD ，垂足为点F ，我们可以证明111+=AB CD EF成立（不要求证明）． 若将图1－89（1）中的垂线改为斜交，如图1－89（2），AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点E ．过点E 作EF ∥AB ，交BD 于点F ．则：（1）111+=AB CD EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出面积ABD S △，BED S △和BDC S △间的关系式，并给出证明．（2）（1）AD BC F E 1-89EF C BD A8．如图1－91所示，如果M 是△ABC 中BC 边的中点，P 是CM 上任一点，过点P 作PR ∥AM ，交BA 延长线于点Q ，交CA 于点R ．求证：BM BC AM PR AM PQ =+． 1－91MRQP C B A9．如图1－90（1）所示，D 是△ABC 的BC 边上的中点，过点D 的一条直线交AC 于点F ，交BA 的延长线于点E ，AG ∥BC 交EF 于点G ，我们可以证明EG DC ⋅=ED ⋅AG 成立（不要求证明）． （1）如图l －90（2）所示，若将图1－90（1）中的过点D 的一条直线交AC 于点F ，改为交CA 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，改为交BA 于点E ，其他条件不变，则AG ED DC EG ⋅=⋅还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）根据图1－90（2）所示，请你找出EG ，FD ，ED ，FG 四条线段之间的关系，并给出证明；（3）如图l －90（3）所示，若将图1－90（1）中的过点D 的一条直线交AC 于点F ，改为交CA 的反向延长线于点F ，其他条件不变，则（2）得到的结论是否成立？1－90（3）（2）（1）A FG E B D C A G B D C FE EFC DB G A10．如图1－92所示，已知△ABC 中=90ACB ∠o ，以BC 为边向外作正方形BCDE ，连接AE 交BC 于点F ，作FG ∥AC 交AB 于点G ．求证：FG FC =．1－92A B CDGFE11．如图1－93所示，△ABC 中，DE ∥BC ，CD ，BE 交于点O ，过点O 作MN ∥BC ，分别交AB ，AC 于点M ，N ．求证：MNBC DE 211=+． 1－93N ME O DC B A12．如图1－94所示，以AC ，BC 为底向AB 同侧作两个顶角相等的等腰△ADC ，△CEB ，若AE ，DC 交于点P ，BD ，CE 交于点Q ．求证：CQ CP =．AP C DQB E1－9413．如图1－95所示，BD ∥FG ，BE ∥FC ．求证：DC ∥EG ．1－95G FEDCB A14．如图1－96所示，在平行四边形ABCD 中，E 是边AB 的中点，点F 在边BC 上，且BF CF3=，EF 与BD相交于点G ．求证：BG DG 5=．1－96AB C D EF G15．如图1－97所示，在等腰△ABC 中，AC AB =，底边BC 外接正方形BCDE ，AD ，AE 分别交BC 于点F ，G ，过F 点作FH ∥CD 交AC 于H ．求证：HF GF =．1－97A B C DE F HG16．如图l －98所示，已知：梯形ABCD ，AB ∥CD ，且7=AB ，4=CD ，延长AD ，BC 交于点E ，过E 作平行于AB 的直线，分别交AC ，BD 的延长线于M ，N ．求：MN 的长．1－98A B C DE N M17．如图1－99所示，在平行四边形ABCD 中，EH 交BA ，BC 延长线于E ，H 点，且交AD ，DC 于F ，G ，交BD 于P 点．求证：EP PF PH PG ⋅=⋅．P 1-99EFC BDAG H18．如图1－100所示，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于F ，EG 过F 点且与AB 平行． 求证：2EG EG AB CD+=． 1-100G FEDC BA19．如图1－101所示，△ABC 中，AP 平分BAC ∠，BE AP ⊥，垂足为Q ，BE 交AC 的延长线于E ，M 为BC 的中点，延长AM 交BE 于N ，连结NP ．求证：NP ∥AB ．QAB CE MN P 1-101。
初二数学【教学进度】几何第二册第五章第二册第五章 §5.2 [教学内容]平行线分线段成平行线分线段成比例比例定理定理 [重点难点剖析] 一、主要知识点一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线直线，所得的对应线段成比例。
，所得的对应线段成比例。
2．三角形一边．三角形一边平行线的性质平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
，所得的对应线段成比例。
3．三角形一边的平行线的．三角形一边的平行线的判定定理判定定理：如果一条直线截三角形的两边如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）（或两边的延长线）（或两边的延长线）所得的对应所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
二、重点剖析二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，是研究相似的最重和最基本的理论，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。
例的最重要方法之一。
定理的基本图形定理的基本图形∵l 1∥l 2∥l 3 ∴DFEFAC BC DF DEAC AB EF DEBC AB === ①对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。
应。
②为了强调对应和②为了强调对应和记忆记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：EF DE BC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下”可以说成“上比下等于上比下” DF DEAC AB =， 可以说成“上比全等于上比全”可以说成“上比全等于上比全” DFEFAC BC =， 可以说成“下比全等于下比全”等可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论）（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形基本图形L L L 图1-（1）CFA B E D FC图1-（2）3E D 12B A F3L C 图1-（3）2L L 1BE A 图1-（4）FL 3CL 2L 1B D A 3L 2L L 1(D)(E)AB CD EFl 123l l 图3图4A D B C E 图5C B E F G A D∵DE ∥BC ∴ ACCE AB DB AC AE AB AD ECAEDB AD === ①图2—（1），图2—（3）称为“A ”型，图2—（2）称为“X ”型”型 ②推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线②推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线 3．三角形一边平行线的．三角形一边平行线的判定定理判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。
