平行线分线段成比例

3、如图梯形ABCD中点E、F分别在 AB、CD上EF∥AD假设EF作上下平 行移动
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例. 关键要能熟练地找出对应线段
小结
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
a
（平行线分线段成 比例定理）。
三 练习
！
证明：因为
（平行线分线段成 比例定理）。
因为
已知：如图， ， 求证： 。
E
B
A
D
C
F
（平行线分线段 成比例定理）。
设AB=X则BC=8—X
即：
（平行线分线段成 比例定理）。
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平行线分线段成比例定理
l1
l2
l3
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例 如图
已知l1∥l2∥l3 求证
或
或
定理的证明过A点作AN ∥ DF交l2于M交l3于N 点连接 BN 、CM如图1-2
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中有
.
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴
亦即
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例
“对应”是数学的基本概念 图1-1中 在l1∥l2∥l3的条件下可分别推出如下结论之一： 1简称“上比下”等于“上比下” 2简称“上比全”等于“上比全” 3 简称“下比下”等于“下比下” 把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论

相交的平行直线a、b、c.分别度量l1，l2被直线a、b、 A1 B1 AB 与 c截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度. B1C1 BC 相等吗？任意平移直线c，再度量AB，BC，A1B1，B1C1 AB AB 与 1 1 还相等吗？ 的长度， B1C1 BC
AB BC
=
A1 B1 B1C1
AD AE DB EC
如图，过点A作直线MN，使MN∥DE.
∵ DE∥BC ， ∴ MN∥DE∥BC. 因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC 所截， 则由平行线分线段成比例可知， AD AE AD AE AB AC DB EC DB EC DB EC ， . 同时还可以得到 AD AE AB AC
由于 AD DB
1 1 ， AB BE EF FC BC . 2 3
因此 AD DB BE EF FC .
由于a∥d∥b∥e∥f∥c， 因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1.
A1 B1 2 A1 D1 2 . 从而 B1C1 3 B1 E1 3B D NhomakorabeaA
4
E F
2
C
图1 12
8
解 因为 DE // BC, 所以 AD AE 4 2 1 . AB AC 6 3 AD CF 因为 DF // AC , 所以 . AB CB
2
2 CF 16 16 8 由12式得 , 即CF .所以 BF 8 . 3 8 3 3 3
观察 下图是一架梯子的示意图.由生活常识可以知
道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=BC， 则A1B1=B1C1.由此可以猜测：若两条直线被一组平 行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等， 那么在另一条直线上截得的线段也相等.这个猜测是 真的吗？

平行线分线段成比例一、知识要点1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或其延长线）所得对应线段的比相等.二、知识要点及典型例题精讲【知识要点1】——平行线分线段成比例定理若1l ∥2l ∥3l ，则;;AB DE AB DE BC EF BC EF AC DF AC DF===. 例1 如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别交于A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC=4，CE=6，BD=3,则BF 等于 .【知识要点2】——平行线分线段成比例定理推论如果BC ∥DE ，则AD AE AB AC =;AD AE BD CE =;BD CE AB AC=. 例2 如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC,若AD:AB=3：4 ，AE=6，则AC= .【随堂练习三】一、判断题1.三条平行线截两条直线，所得的线段成比例（ ）2.一条直线交△ABC 的边AB 于点D ，交AC 边于点E ，如果AB ＝9，BD ＝5，AC ＝3.5，AE ＝2，那么DE ∥BC ．（ ）3.如图1，321////l l l ，则BFAE DF CE BD AC ==（ ） 4.如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，则BCDE EC AE DB AD ==（ ） 二、选择题图1 图21.如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列不能成立的比例式一定是（ ）A ．EC AE DB AD = B ．AE AC AD AB = C ．DB EC AB AC = D ．BCDE DB AD = 2.如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点，CD CE 31=，AD ＝12，那么CF 的长为（ ） A ．4 B ．6 C ．3 D ．123.如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，则BF 的长为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．164.如图6，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC 的长度是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3图65.如图7，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ， 若AD=4，DB=2，则AE ︰EC 的值为（ ） A. 0.5 B. 2 C.32 D. 23 三、填空题 1.如图8， 则 ＝________， ＝________；2.如图9，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝3，CD ＝4.5，则ND ＝________，CN ＝________.3.如图10，D 、E 分别为AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，若BC ＝12，则DF ＝ . EG ＝________；4.如图11，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝2∶3，DB -AD ＝3，则AD ＝________； DB ＝________.21//l l DE AD AC AB 图7 E D C B A 图3 B AC F DE 图4 图5 图11 图10 图9 图8四、解答题1.如图， 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP 交AB 于N ， 若AB=6cm ，求AP 的值.2.如图：P 是四边形OACB 对角线的任意一点，且PM ∥CB ，PN ∥CA ，求证：OA ：AN=OB ：MB3.如图，△ABC 中，AF ∶FD ＝1∶5，BD ＝DC ，求：AE ∶EC ．4.如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ，求证：AF ·BD ＝ AD ·FD5.已知直线l 截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点，且AD=BE.求证：EF ：FD=CA ：CB.OP NMC B A。

D
（E ）
l1 l2
C
F
l3
BC BF (3) AC DF
基本图形：“A”字形
a A B C
b D E
AB AE (1) BC EF AB AE (2) AC AF BC EF (3) AC AF
l
1
l
2
F
l
3
A D E
B
C
平行于三角形一边的直线与其 他两边相交，截得的对应线段 成比例
推论2：
A B C B1 C1
推论2：
A A1 B C B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A
B
C
B1 C1
推论2： A B C B1 C1
推论2：
A
B C
B1
C1
推论2：（中位线） 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边. A
在△ACC1中， B AB=BC，
BB1∥CC1， ∴AB1=B1C.
数学符号语言
AD AE = AB AC
DE // BC
A
D E
B
C
思考：
平行于三角形一边的直线 截其他两边的延长线，所 得的对应线段成比例。成 立吗？ B 推论的数学符号语言：
∵ DE∥BC AD AE ∴ —— ＝ —— AB AC
E A
D
C
二、判断题 1、若AB∥CD∥EF， AC=CE， 则 BD=DF=AC=CE.
(
×
)
A
B
C
E
D
F
2、如图，若 AC=CE，BD=DF， 则AB∥CD∥EF， (
×
A
)

17 2
5
17
2 1
)
)
(3) S△AGE=( 2
4
课堂小结
作业 4
已知AD // ED // BC，AD=15，BC=21，2AE = EB，求EF的长
A D E
H
F
解法（一）
作AG // CD交EF于H AD // EF // BC AD=15, BC=21
B
G
C
AD = HF = GC =15 ，BG = 6 EH AE = BG AB 2AE = EB
A
3k 3m 2m
E
D
2k
G
4m 2a
F
a
B
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2． 求：FB∶FC的值．
A
3k 3m
E
6m
H
2m
D
2k
F
a
B
3a
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2． 求：FB∶FC的值．
A
y
D
x
x
E C
B
5
应用4 — 建立函数关系式
2. 已知：如图，BC = 4, AC = 2 3 ∠C=60°，P为BC上 一点，DP//AB，设BP = x，S△APD= y.
(1)求y关于x的函数关系式; (2)若S△APD =
2 S△APB，求：BP的长. 3
A
D
H
B

平行线分线段成比例结论
平行线分线段成比例的结论可以用以下两个定理来描述：
1. 三角形法则：如果在两条平行线上有两个相交线段，那么这两条线段被平行线切分的部分成比例。

具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，并且有两个交叉
线段EF和GH，那么EF/GH = AB/CD。

2. 价恩斯定理：两条平行线被一组相交线段切割所形成的任意两条线段之间的比值，等于这两条线段所在平行线之间的比值。

具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，其中EF和GH
是这两条平行线上的两个交叉线段，那么EF/GH = AB/CD。

这些定理指出，在平行线上切割的线段之间存在比例关系，这使得我们可以通过已知线段的比例来推导未知线段的长度。

L2 L3
L5
L4
L1
L2 L3
L5
L4
L1
L2 L3
L5
L4
L1
L2 L3
L5
E A B
L4 D
L1
L2
C
L3Biblioteka 二、讲授新知A D
E C
E A B D
3、平行于三角形一边的直线 截其他两边(或两边的延长 线），所得的对应线段成比例。
B
推论的数学符号语言：
∵ DE∥BC
AD AE ∴ —— ＝ —— （推论） AB AC
AD AE 4 2 AB AC 6 3
D
B F
E
C
∵DF//AC
AD CF AB CB
2 CF 16 , 即CF 3 8 3
16 8 BF 8 - 3 3
DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E， 4、已知： A AD AE DE 求证： = = . AB AC BC E AD DE D 分析： 只要证明 AB = BC ， 过D作AC的平行线 B F C 以转移AD：AB，
DF DE ？, AC EF AB DE ？, AC DF BC EF 2、平行线分线段成比例定理： ？ , AC DF 三条平行线截两条直线，所
得的对应线段的比相等。
m Bm m m Cm
A
n n E l 2 n n n F l3
D
l1
L4 L5
A B C
D E F
L1
L2 L3
L4 L5
C
例题解析
1、已知：DE∥BC，AB＝15，BD＝4，AC＝ 9， 求：AE的长？
A
B D

左 左 = 右 右
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2
E A
L1
L2
B C 数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC
L3
AD AE AB AC
AD AE AB AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等.
例1 如图: l1∥l2∥l3 ,
A1 A 要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上。 注意 B1 C
B
C1
当 ∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时， 则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
平行线分线段成比例定理：
(1)若AB=3 , DE=2, EF=4,求 BC. 解: l ∥l ∥l A
一般把所求线段 BC EF AB DE 写成比例第一项.
即:
BC EF BCDE 4 AB
1
2
3
B C
D E
F
l1 l2 l3
3
2
BC=6
(2)若AC=8,DE=2,EF=3,求AB.
AB DE DE AB 2 16 AB AC DF DE EF 8 2 3 5
过点E作EF∥AB，EF交BC于点F. ∵DE∥BC，EF∥AB，
AD AE BF AE , . AB AC BC AC DE . BC
E
C
∵四边形DEFB是平行四边形， DE AE AD AE , ∴DE=BF，
BC AC AB AC

1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
A
D
C
证明： 过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
DB
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高， 则：
CD2 ADgDB; AC2 ADgAB; BC2 BDgAB

1gABgADgsin BAD 2
SVDAC

1 gCDgh 2

1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几 节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个 结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中 有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介 绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其 中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度 的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和 “直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开， 难度不大.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例

一、平行线分线段成比例定理的主要知识点：
• 1 平行线分线段成比例定理： • •
B
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 比例. m n
A D E
l1 l2
F
C
AB = BC AB = AC BC = AC
上 上 DE l1∥l2 ∥ = l3. 下 下 EF 上 上 DE = 全 全 DF 下 下 EF = 全 全 DF
A D E
l1 l2 l3
B m
E A
D
l1 l2
D
A E
B m • 3 预备定理： n
C
C n
l3
B
C
•
•
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三 角形的三边与原三角形三边对应成比例. AD DE AE DE // BC, = = . 若 则
AB BC AC
四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：
A
D F B
E G C
平行线分线段成比例定理的例题和练习：
• 例2.已知：如图，若DE∥BC, D在AB上，E在AC 上， AD : DB=2 : 3, BC=20. • 求：DE的长.
D E A
B
C
•
例题6
已知：BE平分∠ABC，DE//BC.
AD=3, DE=2, AC=12, 求：AE的长度
l3
AB BC = DE EF
左 左 = 右 右
三、平行线分线段成比例定理的主要知识点：
• 1 平行线分线段成比例定理： • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）， 所得的对应线段成比例. AD AE
Q l1 // l 2 // l3 , \ BD = EC , LL

平行线分线段成比例【把握要点，领会概念】㈠平行线分线段成比例定理：⑴定理: 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段___________.说明：①对应线段是指两条平行线所截的线段.②对应线段的比相等是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比.⑵推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段________.⑶平行于三角形一边并且和其他两边相交的________，所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应线段成比例.⑷如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段_________,那么这条直线平行于三角形的第三边.注意：这四个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线。

首先要弄清三个基本图形：★这三个基本图形的用途是:①由平行线产生比例式基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或基本图形(2): 若DE//BC，则或或或基本图形(3): 若AC//BD，则或或或注意：在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置.②由比例式产生平行线段基本图形(2): 若, , , , , 之一成立，则DE//BC.基本图形(3): 若,,,,, 之一成立，则AC//DB. ③ 基本图形（1）有：两条直线被第三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条 __________ 截得的线段也 _________. ㈡ 本讲内容所需要的计算与证明方法计算方法: 1.利用引入参数求解相关命题的方法. 2.会利用比例式建立方程求线段的长.证明方法: 会证比例式及等积式,会添加必要的辅助线求解相关命题. 【典型例题剖析】▲题型一：平行线分线段成比例概念及性质的应用例1.如右图，已知L 1//L 2//L 3，下列比例式中成立的是：（ ）A ．BC CE DF AD = B.AF BCBE AD = C. BC AD DF CE = D.CEBEDF AF = ★方法归纳：应用平行线分线段成比例定理得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：例2.（河北省）已知：如图，l 1∥l 2∥l 3，AB=3，BC=5，DF=12.求DE 和EF 的长.例3．如图，DE ∥AC ，EF ∥AB ，AC=14，AD ：DB=3：4，则AF 的长是（ ）A 6B 10C 8D 9A B L 1C D L 2E F L 3例4．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 交于O ，过O 作底的平行线，分别与两腰交于E 、F ，则 （ ）A OE= OFB OE=OFC OE=2OF DOE+OF=BD例5.如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长.例6.（2011•牡丹江）在△ABC 中，AB=6，AC=9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD=2，过点D 作DE ∥BC 交边AC 所在直线于点E ，则CE 的长为__________ 例7．（2013•乌鲁木齐）如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB=2，CD=3，则GH 的长为 ___ ．例8．（2013•贵州）在平行四边形ABCD 中，E 在DC 上，若DE ：EC=1：2，则BF ：BE= _________ ．▲题型二：构造平行线证明成比例的线段 例1．在△ABC 中，AD 平分BAC ∠，求证：ACABDC BD =.ED CBA例2. 如图,在□ABCD 中，E 为AB 中点,，，EF 、AC 相交于G ，求 .例3 如图，D 是△ABC 的AB 边的中点，F 是BC 延长线上一点，连结DF 交AC 于E 点.求证: EA:EC=BF:CF例4 如图,菱形ABCD 内接于△AEF,AE=3,AF=5,求菱形ABCD 的边长.分析: 有平行线就能得到比例线段，求线段的长有时需要使用方程的思想方法来解决，本题给出了用比例式建立方程求线段长的一种常见方法，注意掌握解题的思路.例5. 如图，AB ∥GH ∥CD ，若AB=a ，CD=b ，GH=c ，求证：ba c 111+=.。

的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
把直线 n 向左或向右
任意平移，这些线段
A1
依然成比例.
A2
B1 a B2 b
A3
B3 c
m
n
A1 ( )
A2 A3
m
B1 a B2 b
B3 c n
A1(B1)
A2
B2
A3
B3
直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说 图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得
等比性质
如果 a b

c d

m n
(b d
n

0),
那么
a b

c m d n

a b
.
前项之和与后项之和的比等 于前后项之比。
导入新课
观察与猜想
下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道: AD,BE1,CF互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结 果呢？
A
Da
1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( D )
A.
AC BD B.
CE DF
AC BD AE BF
C. AC DF D. AE BD
AE BF
BF AC
课堂小结
成平 比行 例线
分
线 段
◑基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段成比例
◑推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边延长线），所得的对应线段成比例
A2 A1
AA3AA3 12AA23与BB12BBBB3312BB…23
的值，你发现什么？
(2) 将 b 向下平移到如图②的位置，直线 m，n 与直线

【变式】如图，已知点 F 在 AB 上，且 AF：BF＝1：2，点 D 是 BC 延长线上一点，BC：CD ＝2：1，连接 FD 与 AC 交于点 M，则 FN：ND＝ ．
解：过点 F 作 FE∥BD，交 AC 于点 E，
∴=，
∵AF：BF＝1：2，
∴ = 1，
3
∴ = 1，
3
即 FE= 13BC， ∵BC：CD＝2：1，
C l3
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如 AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段
上上 上上 下下
合成的线段称为全，则可以形象的表示为 下 下 ， 全 全 ， 全 全 ．
【题型1 “井”字型】
【例 1】如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3 所截，如果 AB＝2，BC＝3，EF ＝2，那么 DE 的长是（ ）
A．2
B
．4
3
C．1
D．34
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【解答】解：∵直线 l1∥l2∥l3， ∴=，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴2 = ，
32
∴DE=
4，
3
故选：B．
【变式】如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和 D，E，F．已知 AB＝3，BC＝2，DE＝6，则 DF 等于（ ）
∵ = = 1，
2
∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴ = 1，
4
故 D 错误，符合题意； 故选：D．
【变式】已知，在△ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 DE∥BC，DH∥AC 分别交 AC、 BC 于点 E、H，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 FD 交 AC 于点 G，则下列结论中错误的 是（ ）

平行线分段成比例的定理平行线分段成比例的定理概述平行线分段成比例的定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一条直线被平行线分割后所得到的两个线段之间的比例关系。

该定理在解决平面几何问题时经常被使用，特别是在求解三角形相似性问题时。

定义在平面几何中，如果一条直线被两条平行线分割，那么这条直线上任意两点所构成的线段与其中一条平行线所构成的对应线段之间的比值相等。

符号表示设有两条平行线l和m，它们分别与另一条直线n相交于A、B、C、D四点。

则有：AB/BC = AD/DC证明我们可以使用相似三角形来证明这个定理。

具体步骤如下：步骤1：连接AC和BD两条对角线，并延长BD至E点。

步骤2：由于l和m是平行的，所以∠ABC = ∠ACD（同旁内角）。

步骤3：同样地，由于n与l和m相交，所以∠ABC = ∠ADE（同旁内角）。

步骤4：因此，∆ABC与∆ADE是相似三角形。

步骤5：根据相似三角形的定义，我们可以得到：AB/AD = BC/DE步骤6：又因为BD = AD + DE，所以有：AD/BD = AD/(AD + DE) = AB/(AB + BC)步骤7：移项可得：AB/BC = AD/DC结论根据上述证明过程，我们可以得出结论：如果一条直线被两条平行线分割，那么这条直线上任意两点所构成的线段与其中一条平行线所构成的对应线段之间的比值相等。

应用平行线分段成比例的定理在解决平面几何问题时经常被使用。

以下是一些常见的应用场景：1. 求解三角形相似性问题：当两个三角形中有两个角分别相等时，我们可以使用该定理来判断它们是否相似。

2. 求解平面图形内部点的位置关系：当一个点在一个多边形内部时，我们可以使用该定理来判断它到多边形各边的距离关系。

3. 求解直线交点坐标问题：当两条直线之间存在比例关系时，我们可以使用该定理来求出它们的交点坐标。

总结平行线分段成比例的定理是几何学中一个重要且实用的定理，它描述了一条直线被平行线分割后所得到的两个线段之间的比例关系。

课堂小结，归纳提炼
3、定理的变式图形。
4、定理的初步应用。
小试牛刀
已知：BE平分∠ABC，DE//BC.
AD=3, DE=2, AC=12, 求：AE的长度
D
A
3
2 2
B
3k
E
2k
C
自己活着，就是为了使别人过得更美好。
AE FC 7 4 28 ∴AF= EB 5 5
∵AE=7,EB=5，FC=4
EB
FC
E
F
B C (2)∵EF//BC AE AF ∴ AB AF 10 5 25 AB AC AC ∴ AE 6 3 25 10 ∵AB=10,AE=6,AF=5 FC AC AF 5 ∴ 3 3
行线分线段成比例
成比例线段问题有哪些相关定理
1、比例性质 基本性质 合比性质
等比性质
a c 若 b = d ,则ad=bc.
a c 若 b = d ,则 a+b = c+d b d
a c e m …… 若 = n b = d = f = a+c+e+…+m = a (b+d+f+…+n≠0),则 b+d+f+…+n b
1
D B
E C
l2
l2
l3
l3
平行于三角形一边的直线与其 他两边相交，截得的对应线段 成比例
数学符号语言
AD AE = AB AC
DE // BC
A
D E
B
C
思考
l1
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚 落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的 比会相等吗？依据是什么？

A
A
D L1
B
E L2
F
C L3
DE
B
C
图1
完整版pt
图2
11
（二、提高题:）
C
1、如图：EF∥AB，BF：FC= 5 ：4， AC=3厘米，则CE=（4 c m ）
EF
２、已知在△ABC中，D3 E∥BC，EF∥DC， A 那么下列结论不成立的是( B )
A
B
A
AD AF
AB AD
B AD AC
AB AE
C AF AD
DF DB
D AF AE
AD AC
3、如图： △ABC中, DE ∥BC，
DF ∥AC，AE=4，EC=2，BC=8，
求线段BF,CF之长.
CF D E 16,BF 816 8.
3
3完整3版pt
F
D
E
B
C
A
D
E
BF
1C2
例2:三角形内角平分线分对边成两线段,
这两线段和相邻的两边成比例.
C
则DE=（ b ）
完整版pt
D L1 E L2
C L3
D L1 E L2
L3 F
10
3、如图1：已知L1∥L2∥L3 ， AB=3厘米，BC=2厘米，DF=4.5厘米. 则EF=（ 1.8 ），DE=（ 2.7 ）.
4、如图2：△ABC中，DE ∥BC，如果
AE ：EC=7 ：3，则DB ：AB=（3:10 ）
若AB3，那 么 ,DE ？3
BC4
EF 4
l
D
l1
E
l2
F
l3
你能否利用所学过的相关知识进行说明？

A
E C
成功用学： 3.如图点E为平行四边形 ABCD的边CD延长线
上的一点,连接BE,交AC于点O,交AD于点F.
求证: BO EO
FO BO
证明： AF // BC, BO CO
FO AO AB // CE, EO CO
BO AO BO CO
FO AO
例5、已题知2：BE平分∠ABC，DE//BC. AD=3,
E
C:—AA—DC ＝ —AA—EB (ᵡ ) D: —AA—DE ＝ —AA—BC(√ B)
2、填空题:
E
如图:DE∥BC,
2
已知:
AE 2 AC 5
则: —AADB— ＝ —5—
A B
C D
C
练习
1、如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，且 DE
∥BC，EF∥AB．若 AD=2BD，则 CF 的值为（ ）
火眼金睛：考考你
如图：DE//AF//BC，根据以上结论，试 找出图中的比例线段，比一比看谁找的 最快、最多。
D
E
A
F
B
C
例题
2、已知：DE//BC, AB=15,AC=9,
A
BD=4 . 求：AE=?
B
C
D
E
练习
A
1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A:•—AA—DB ＝ —AAEC—( √ )B: —ABDD—＝ —AC—EE (√ ) D
结论：
D
E
l2
= = AD
AE 上
DB
EC 下
上 下
B
= = AD
AE 上