《由平行线截得的比例线段》练习2(有答案)

庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线分线段成比例定理1.定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2.用符号语言表示:如图1-2—1所示，a∥b∥c,则EF DE BC AB =.图1—2—13。

定理的证明:若BCAB 是有理数,则将AB 、BC 分成相等的线段，把问题转化为平行线等分线段，达到证明的目的，再推广到整个实数范围,其完整的推广过程等学到高等数学时才会实现。

4。

定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行，构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交,即被平行线a 、b 、c 所截。

平行线的条数还可以更多.知识拓展对于3条平行线截两条直线的图形,要注意以下变化(如图121）:如果已知是a∥b∥c，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如FDFE CA CB DF DE AC AB ==,等. 记忆要诀 对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为右左右左全上全上下上下上===1，，等，便于记忆. 二、平行线分线段成比例定理的推论1.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.2.符号语言表示：如图1-2-2所示,a∥b∥c,则BC DE AC AE AB AD ==（1） （2）图1—2—23.推论的证明:直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好。

误区警示实际应用时，通常图形中不会出现三条平行线,此时要注意正确识别图形，如图123.图1—2—3问题·探究问题1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？思路:从两个定理的条件和结论两方面进行对比，可以找到它们的共同点和区别点。

探究:我们学习的平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等（如图1-2-4，若l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，则DE=EF ）.图1-2-4 图1-2—5平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

1 / 14平行线分线段成比例知识梳理1. 1. 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCD E EDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。

专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111cab=+.FEDCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111ABCDEF+=.FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论F EDCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】 （2007年北师大附中期末试卷）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EFAFFC FD + 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDCBA(2)F ED CBA【例5】 （2001年河北省中考试卷）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； E AO（2）当11A 34AE C=、时，求AO AD 的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AO AD 的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；（2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

浙教新版九年级上册《4.2由平行线截得比例线段》2024年同步练习卷（4）一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，在中，点D，E分别在AB，AC边上，若AD：：1，则AE：EC等于()A.3：1B.3：4C.3：5D.2：32.如图，已知直线，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若，则()A.B.C.D.13.如图，已知，那么下列结论正确的是()A. B. C. D.4.如图，已知在中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，，，且AD：：5，那么CF：()A.5：8B.3：8C.3：5D.5：35.平行四边形ABCD中，E是AB上的点，DE交对角线AC于F，过点F作交DC于G，若DF：：1，则DG：GC：()A.2：3：5B.2：3：4C.1：2：3D.2：4：5二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

6.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段______7.如图，已知，AD与BC相交于点E，，，，则AE的长等于______.8.如图，中，，AD：DF：：2：3，若，则______.9.如图，点E是AC中点，且BC：：2，交AB于点G，则AF：______，BG：______，BF：______.三、解答题：本题共5小题，共40分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

10.本小题8分已知线段AB，在AB上求作一点C，使AC：：保留作图痕迹，不要求写作法11.本小题8分如图，已知在中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，且，，AD：：3，，求BF的长.12.本小题8分如图，，，若，，求AE的长.13.本小题8分已知：如图，在中，的平分线CD交AB于D，过B作交AC的延长线于点求证：；求证：14.本小题8分已知：如图，在中，，，点D、E分别是边AB、AC的中点，交DE的延长线于点求证：四边形ADCF是菱形；联结BE，如果，求证：答案和解析1.【答案】A【解析】解：，：故选：根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：，故选：直接根据平行线分线段成比例定理求解．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查平行线段成比例定理，确定出对应线段是解题的关键．根据平行线分线段成比例确定出对应线段，进行判断即可．【解答】解：由平行线分线段成比例可知是被平行线所截的线段才有可能是对应线段，、EF不是对应线段，故C、D不正确；和AD对应，CE和DF对应，，故A正确；故选：4.【答案】D【解析】解：：：5，：：8，，：：：8，，：：：：：3，故选：先由AD：：5，求得BD：AB的比，再由，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：：AB，然后由，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：：AC，则可求得答案．此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．5.【答案】C【解析】解：平行四边形ABCD中，，∽，，，即E为AB的中点，，，，，，，：GC：：GC：：2：故选：先由平行四边形ABCD得∽，从而，，再由得，从而，，即可得DG：GC：：GC：：2：本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理的和性质定理是解题的关键，6.【答案】9【解析】解：练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，，，故答案为：根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算解答即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．7.【答案】3【解析】解：，∽，，即；又，由于，可证得∽，根据相似三角形所得比例线段，即可求得AE的长．此题主要考查了相似三角形的判定和性质，难度不大．8.【答案】12【解析】【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．【解答】解：，：EG：：DF：：2：3，又，，，，，，故答案为9.【答案】1：13：25：2【解析】解：，，点E是AC的中点，，：：1，，：：：2，：：故答案为：1：1，3：2，5：根据平行线分线段成比例定理得以及BG：：CD，进行解答即可．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解决此题的关键是清楚三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例．10.【答案】解：如图所示：点C即为所求．【解析】先作出射线AZ，在射线AZ上依次截取线段，连结BH，作交AB于C，点C即为所求．此题主要考查了复杂作图，以及比例线段，关键是正确画出图形．11.【答案】解：，，四边形BFED为平行四边形，，∽，，，【解析】由、可得出四边形BFED为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出，根据可得出∽，根据相似三角形的性质结合AD：：3、可求出DE的长度，再由可得出BF的长．本题考查了平行四边形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求出DE的长度是解题的关键．12.【答案】解：，，，，，，【解析】根据平行线分线段成比例定理得到，再利用等线段代换即可得到，然后根据比例性质计算即可．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．13.【答案】证明：平分，又，，，，，又，【解析】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质和角平分线定理、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行线的性质．根据CD平分，可知；由，可求出是等腰三角形，故；根据平行线的性质，及可得出结论．14.【答案】证明：点D、E分别是边AB、AC的中点，是的中位线，，，，，，，，四边形DBCF为平行四边形，，，，，四边形ADCF是平行四边形，，四边形ADCF是菱形；如图，设，，则，，，，，，∽，，即，，由勾股定理得：，，，，【解析】先根据三角形的中位线定理可得：，，证明四边形DBCF为平行四边形，可得，再证明，根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形可得结论；如图，设，，则，证明∽，得，并结合勾股定理可得结论．本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质和判定，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质，第有难度，证明∽是解题的关键．第11页，共11页。

2023年长春市初中学业水平考试网上阅卷模拟练习数学本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页。

全卷满分120分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时，考生务必按照考试要求在答題卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答題无效。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．班级组织了一次跳远比赛，若成绩以250cm 为标准，小明跳出了253cm ，记做，则小亮跳出了246cm 应记作（）A ．B ．C ．D ．2．我国《“十四五”就业促进规划》中明确提出，到2025年，要实现城镇新增就业5500万人以上，将数据5500万用科学记数法表示为（ ）A ．B ．C ．D ．3．由，得，则x 的值可能是（ ）A ．1B ．0.5C ．0D ．4．图①是由五个相同的小正方形纸片拼接而成的平面图形．现将图①沿虚线折成一个如图②所示的无盖正方体纸盒，则与线段MN 重合的线段是（）图① 图②A ．AB B ．BC C ．CDD ．DE 5．如图，某游乐场有一个长180cm 的跷跷板AB ，AB 的支撑柱OH 垂直地面于点H ，O 为AB 的中点．当AB 的一端A 着地时，，则支撑柱OH 的长可表示为（）A．B ．C ．D ．6．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O 为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为，则至少为（ ）3cm +4cm +4cm-6cm +6cm -75.510⨯35.510⨯65510⨯25510⨯35<35x x >1-28BAH ∠=︒90cm cos 28︒90cm sin 28︒90sin 28cm ⋅︒90tan 28cm⋅︒αα图①图②A ．B ．C ．D ．7．如图，在中，，．根据尺规作图痕迹，可得的大小为（）A ．B ．C ．D ．8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．若反比例函数的图象绕着原点O 逆时针旋转后与的边有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．分解因式：________．10．若关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则m 的值为________．11．如图，建筑工人砌墙时经常先在两端立桩、拉线，然后沿着线砌墙，其依据的基本事实是________．12．如图，在一块长为10米，宽为5米的矩形土地中间铺一条弯曲的石子路，石子路的左边线向右平移x 米就是它的右边线，其余部分种草，则草地面积为________平方米．（用含x 的式子表示）36︒72︒90︒108︒ABC △60A ∠=︒50B ∠=︒ACD ∠100︒70︒20︒10︒ABC △()2,1A -()1,3B -()2,3C -k y x=90︒ABC △23k ≤≤26k ≤≤36k ≤≤2568k ≤≤22a b ab +=230x x m -+=13．两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的和，点B 、C 、D 依次在同一条直线上，连结CE ．若，，则点A 到直线BC 的距离为________．图① 图②14．如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分，且石块在离发射点水平距离50米处达到最大高度25米．现将该投石机放置在水平地面上的点O 处，如图②，石块从投石机竖直方向上的点A 处被投出，投向远处的防御墙BC ，BC 垂直于水平地面且与OA 之间的距离超过50米．已知OA 高5米，BC 高20米，若石块正好能打中防御墙BC ，设投石机离防御墙的水平距离OB 为x 米，则x 的取值范围是________．图① 图②三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：，其中．16．（6分）甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人把球传给另外两个人的机会是均等的．假如开始时球在甲手中，用画树状图的方法，求经过3次传球后球回到甲手中的概率．17．（6分）如图，在四边形ABCD 中，，．过点D 分别作于点E ，于点F ，且．求证：四边形ABCD 是菱形．18．（7分）小爱和小春两位同学参加学校举行的电脑汉字输入比赛．第一轮比赛时间为10分钟，小爱比小春多输入200字；第二轮两人均输入2000字，小爱完成输入所花时间是小春所花时间的（假设两人在比ABC △ADE △1CD =3CE =()()()211x x x x -++-32x =AB CD ∥AD BC ∥DE AB ⊥DF BC ⊥DE DF =67赛中各自输入汉字的平均速度不变）．如果平均每分钟输入汉字超过120字，则有资格参加市里举办的比赛，请通过计算说明小爱是否有资格参加市里的比赛．19．（7分）为了解本校学生的视力情况，数学兴趣小组对该校60名学生进行了抽样调查，并对相关数据收集整理如下：【收集数据】（1）数学兴趣小组设计了以下三种调查方案：方案①：随机抽取60名戴眼镜的学生进行调查．方案②：分别从七、八、九年级各随机抽取20名学生进行调查．方案③：从九年级随机抽取60名学生进行调查．其中抽取的样本最具有代表性的是方案________（填序号）：【整理数据】（2）数学兴趣小组的同学采取（1）中选用的方案进行了调查，并绘制了如下统计图．这60名学生视力值的中位数为________；【分析数据】（3）若视力值大于4.8属于“视力良好”，请估计该校900名学生达到“视力良好”的人数．20．（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中，画出的对称轴：（2）在图②中，点P 是线段DE 上的一点，画出点P 关于直线l 的对称点Q ；（3）在图③中，点M 是线段OG 上一点，在线段OH 上确定一点N ，使得．图① 图② 图③21．（8分）一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，5分钟后船员发现船内已有10吨积水，并立即开始一边排水一边修船，1分钟后，船内不再进水，此时船内仍有8吨积水，2分钟后积水排空，船22⨯ABC △OM ON =的进水速度和排水速度始终不变．轮船内积水量y（吨）与触礁后的时间x（分钟）的函数图象如图所示．（1）求船内不再进水后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果船员提前2分钟发现船身进水并立即排水与修船，假定修船花费的时间不变，排水速度也不变，请在图中画出新的表示y与x函数关系的图象，并由图象可得轮船将会提前________分钟排空积水。

1．2平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段________．用符号语言表述为：如图所示，若a∥b∥c，则________．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段____________．用符号语言表述为：如图所示，若a∥b∥c，则__________________．预习导学1．成比例ABBC＝DEEF2．成比例ADAB＝AEAC►一层练习1．如图，l1∥l2∥l3，已知AB＝6 cm，BC＝3 cm，A1B1＝4 cm，则B1C1的长为()A．6 cm B．4 cmC．3 cm D．2 cm1．D2．如图所示，AD是△ABC的中线，点E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为()A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶12.D3．如图所示，△ACE的中，点B、D分别在AC、AE上，下列推理不正确的是()A．BD∥CE⇒ABAC＝BDCEB．BD∥CE⇒ADAE＝BDCEC．BD∥CE⇒ABBC＝ADDED．BD∥CE⇒ABBC＝BDCE3.D4．如图所示，DE∥AB，DF∥BC，下列结论不正确的是()A.ADDC＝AF DEB.CE CB ＝BF ABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DF BC 4.D5．如图，E 是▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且DC BE ＝32，则ADBF＝________．5.52 ►二层练习6．如图所示，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，E 是DC 延长线上一点，AE 交BD 于点G ，交BC 于点F ，下列结论：①EC CD ＝EF AF ；②FG AG ＝BG GD ；③AE AG ＝BD DG ；④AF CD ＝AEDE.其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6.C7．如图所示，已知有▱ABCD ，点N 是AB 延长线上一点，DN 交BC 于点M ，则BC BM －ABBN 为( )A.12 B ．1 C.32 D.23 7.B8．(2015·汕头市高三质量监测，文)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝2，EC ＝1，BC ＝4，则BF ＝____．8.439．如下图(左)所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，且AB ＝2，AD ＝2，则AF ＝________．9.110．如上图(右)，E ，F 是梯形ABCD 的腰AD ，BC 上的点，其中CD ＝2AB ，EF ∥AB ，若EF AB ＝CD EF ，则AEED＝________． 10．解析：过A 作AH ∥BC ，交EF 、CD 于G 、H .设AB ＝a ，CD ＝2a ，则EF AB ＝CDEF .有EF ＝2a .由EF ∥AB ∥CD 得AE AD ＝EG DH ＝EF －ABCD －AB ＝2a －a 2a －a ＝2－1.又AD ＝AE ＋ED ， 故AE AE ＋ED＝2－1，得AE ED ＝22.答案：2211．如图所示，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值．11．解析：过D 作DG ∥CA 交BF 于G ，则BG GF ＝BD DC ＝53.∵E 为AD 的中点，DG ∥AF ， ∴△DGE ≌△AFE ，EG ＝EF . ∴BG EF ＝BG 12GF ＝2BG GF ＝2×53＝103.故BE EF ＝BG ＋EF EF ＝BG EF ＋1＝103＋1＝133. ►三层练习12．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．12.7513．在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足BE ＝13BD ，延长AE交BC 于点F ，则BFFC的值为________．13．解析：如图，过D 作DG ∥AF ，交BC 于G . 在△BDG 中，DG ∥AF 且BE ＝13BD ，则BF ＝12FG ，同理，CG ＝12FC .即CG ＝FG .∴BF ＝14FC .即BF FC ＝14.答案：1414．已知：如图所示，四边形ABCD 是正方形，延长BC 到点E ，连接AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交DE 于点G .求证：FC ＝FG .14．证明：在正方形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴CF AB ＝EF AE .∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝EF AE .∴CFAB ＝FGAD.∵AB ＝AD ，∴CF ＝FG . 15．如图所示，在▱ABCD 中，点E 是AB 延长线上一点，DE 交AC 于点G ，交BC 于点F .(1)求证：DG 2＝GE ·GF ； (2)求证：CF CB ＝AB AE.15．证明：(1)∵CD ∥AE ，∴DG GE ＝CG AG .又∵AD ∥CF ，∴GF DG ＝CG AG ，∴DG GE ＝GFDG，即DG 2＝GE ·GF .(2)∵BF ∥AD ，∴AB AE ＝DF DE .又∵CD ∥BE ，∴CF CB ＝DF DE ，∴CF CB ＝ABAE.点评：利用定理或其推论解决问题时，要注意寻找图形中的基本图形“A ”型或“X ”型． 16．如图所示，AC ∥BD ，AD 、BC 相交于点E ，EF ∥BD ，求证：1AC ＋1BD ＝1EF.16．证明：∵AC ∥EF ∥BD ，∴EF AC ＝BF AB ，EF BD ＝AF AB. 两式相加得：EF AC ＋EF BD ＝BF ＋AF AB ＝AB AB ＝1， 即1AC ＋1BD ＝1EF.1．定理应用注意事项．(1)定理的条件：与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行，构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交，即被平行线a 、b 、c 所截，平行线的条数还可以更多．(2)定理比例的变式：对于3条平行线截两条直线的图形，需要注意以下变化：如果已知a ∥b ∥c ，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，可以归纳为上下＝上下，上全＝上全，左右＝左右等，便于记忆． 2．解题思路．(1)利用平行线分线段成比例定理及其推论，要注意线段的对应关系，有时要用到比例的一些性质才能解决相关问题，过定点作某一线段的平行线是常用的作辅助线的方法．(2)“平行线”在解决比例问题时有很重要的作用，如题目中有平行线，要充分利用这一条件，若没有平行关系，需构造一组平行线，利用平行关系，找出对应的比例关系．【习题1.2】 1． 解析：如图所示，由题意知△OCD ∽△OAB ，∴△OCD 与△OAB 的三边对应成比例．∴AB CD ＝OB OD .∵CD ＝6，AB ＝8，BD ＝15，∴86＝OB 15－OB ，解得OB ＝607，∴OD ＝15－607＝457. 2． 证明：(1)如图所示，由题意知DE ∥BC ，∴DF BG ＝AF AG ，FE GC ＝AF AG，∴DF BG ＝FE GC ，∴BG GC ＝DF FE. (2)由题意知DE ∥BC ，∴FE BG ＝DF OG ，DF GC ＝OF OG ，∴FE BG ＝DF GC ，即BG GC ＝FE DF .又由(1)知BG GC ＝DF FE ，∴BG GC ＝GCBG，即BG 2＝GC 2，∴BG ＝GC . 3．解析：方案1：如图(1)所示，在AB 的一侧选择一点C ，连接AC ，BC (保证AC 的长度能够测量)，测量出AC 的长．在AC 上选一点D ，过点D 作DE ∥AB (即∠1＝∠2)交CB 于点E (保证DE 的长度能够测量)，再测量出CD ，DE 的长．此时，△CDE 与△CAB 的三边对应成比例，所以CD AC ＝DEAB，由此可以计算出AB 的长度．方案2：如图(2)所示，在AB 的一侧选择一点C ，使AC ⊥AB 于A (保证BC 的长度能够测量)，测出AC ，BC 的长度，由勾股定理即可算出AB 的长．说明：此题是一个开放性问题，测量AB 的长度的方案还有许多(如取∠ACB 为特殊角等)，因此，可以去积极探索不同方案．4．(1)证明：如图所示，连接AC ，与EF 交于G ，∵EF ∥AD ∥BC ，∴EG BC ＝AE AB， 即EG ＝AE AB ·BC ，GF AD ＝CFCD ，即GF ＝CFCD·AD . ∵AE EB ＝12，∴AE AB ＝13， 而AE AB ＝DF CD ，∴DF CD ＝13，∴CF CD ＝23， ∴EF ＝EG ＋GF ＝AE AB ·BC ＋CF CD ·AD ＝13BC ＋23AD ，∴3EF ＝BC ＋2AD .(2)证明：如果AE EB ＝23，那么AE AB ＝25.同理可推得CF CD ＝35.由(1)知EF ＝EG ＋GF ＝AE AB ·BC ＋CF CD ·AD ＝25BC ＋35AD ，∴5EF ＝2BC ＋3AD .(3)解析：如果AE BE ＝m n ，那么AE AB ＝mm ＋n.同理可推得CF CP ＝n m ＋n .由(1)知EF ＝EG ＋GF ＝m m ＋n BC ＋nm ＋n AD ，∴(m ＋n )EF ＝mBC ＋nAD .。

平行线分线段成比例定理一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）:平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EFBC=, 可以说成“上比下等于上比下"DEAB=, 可以说成“上比全等于上比全"又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG极 EG=3X , DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD10例3求证分析 BC//FE 证明:∵则例4 分别连结E ，DB 分析:首先观察证明：∵点评 （1（3 例5 求证分析 例6 分析在△②—①得-AB AD BF BC 例7 如图11,AD BF ⊥AD 的延长线于交BC 的延长线于M 求证：AE=EM分析 要证AE=EM,可延长BF 交AC 证明：延长BF 交AC ∴△ABF ≌△ANF8． 图,GB AF l l 52,//21=,BC=4CD ， 91011AE 1213① 求证ME=NF② 当EF 向上平移 图（2)各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。

［练习与测试参考解答或提示]1．215;2．18cm ； 3．52,35； 4．9:4; 5．9； 6．10,18； 7．9：1； 8．2； 9．6 10．提示,过D 作DH//AC 交BG 于H 点，则DH AEGD AG =，DHEC BD BC =，又AE=EC ，BD=AB,即可得结论。

典型例题一例01．已知：如图，321////l l l ，3=AB ，5=BC ，12=DF ，求DE 和EF 的长解答 321////l l l ，∴BC AB ABAC AB DF DE +== 即 53312+=DE ∴29=DE∴ 2152912=-=-=DE DF EF说明 本题考查平行线分线段成比例线段定理的应用，易错点是弄错对应线段，解题关键是运用平行线分线段成比例定理列出比例式求解典型例题二例02．如图，已知：BC DE //，AC DF //，cm 3=AD ，cm 6=BD ，cm 4=DE 求：线段BF 的长分析 由BC DE //，AC DF //，可找到有关BD 、BF 、DA 、FC 之间的比例关系，则由这些关系式不难求出BF 的长解答 BC DE //，AC DF //， ∴四边形DFCE 是平行四边形 ∴4==DE FC AC DF //，∴DABDFC BF =（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例） ∴cm 8346=⨯=⋅=DA FC BD BF 说明 由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，不要写倒了，注意把对应的线段写在对应的位置上典型例题三例03．如图，已知，在MAP ∆中，点N 在PM 上，B 、C 在AP 上，且BN AM //，NC MB //求证：PB 是PA 和PC 的比例中项 分析 要证PB 是PA 和PC 的比例中项，就是要证PCPBPB PA = 证明BN AM // ∴PNPMPB PA =（平行线分线段成比例定理） 同理，PN PMPC PB = ∴PCPBPB PA = ∴PB 是PA 和PC 的比例中项说明 结合题中的条件和图形的特征，把求证比例式通过恒等变形，变换成与其等价的形式，再找寻“中间比”作为过渡的桥梁，这是证明比例线段常用的方法，而如何寻找恰当的“中间比”，则是此类问题证明的难点和关键.典型例题四例04．如图，已知：BC DE //，AB AF AD ⋅=2求证：DC EF //分析由已知条件AB AF AD ⋅=2得ABADAD AF =，由此联想到要证DC EF //，只需证AC AE AD AF =.那么，要证AC AE AD AF =需证ACAEAB AD =，由已知条件BC DE //，这个比例式可证 证明BC DE //， ∴ACAEAB AD =（平行线分线段成比例定理） 又 AB AF AD ⋅=2，∴AD AFAB AD = ∴ACAEAD AF = ∴CD EF //（如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边）说明 在证明过程中，要分清性质定理和判定定理，由平行得出比例式用的性质定理，由比例式得出平行用的是判定定理，另外，本题的证明过程中，也使用了“中间比” ABAD 作为过渡典型例题五例05．已知：如图，AD 是ABC ∆的内角平分线 求证：CDBDAC AB =分析 AB 、AC 不在同一直线上，而BD 和CD 在同一直线上. 在同一直线上的两条线段的比往往和平行线有关，所以我们考虑不妨作一条平行线.证明 过点C 作AD CE //，交BA 的延长线于点E EC AD //，∴CDBDAE AB = 又 BAD E ∠=∠，ACE CAD ∠=∠ 而CAD BAD ∠=∠，∴ACE E ∠=∠ ∴AE AC =∴CDBDAC AB = 说明此题是三角形的内角平分线定理，即三角形的内角平分线分对边成两条线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．段与．．夹这个角的两边对应成比例．．．．．．．．．．．．典型例题六例06．如图，梯形ABCD 中，CD AB //，M 为AB 的中点，分别连结AC ，BD ，MD ，MC ，且AC 与MD 交于E ，DB 与MC 交于F ，求证：CD EF //证明： CD AB //，∴EM DE AM CD =，FM CFMB CD = BM AM =，∴FM CFEM DE = ∴CD EF //说明 本题主要考查三角形一边平行线的判定，易错点是企图利用角的关系证明平行，解题关键是用中间比代换证出FMCFEM DE =典型例题七例07．如图，BC EF AD ////，cm 12=AD ，cm 18=BC ，3:2:=EB AE ，则EF =_________解法1 如图，延长BA ，CD 相交于O 点，BC EF AD ////， ∴32812===BC AD OB OA∴12=AB OA 设k AE 2=，k BE 3=， ∴k OA 10=又OE OAEF AD =， ∴65121012==k k EF ∴4.14572==EF 解法2 如图，过D 作AB DN //交EF 于M ，交BC 于NBC EF AD ////，∴NC MFDN DM AB AE == ∴6121852MFMF =-=∴512=MF∴4.1457251212==+=EF 解法3 如图，过E 作CD EM //交BC 于N ，交DA 的延长线于MBC EF AD ////，∴32==EB AE BN MA 设k MA 2=，k BN 3= BC MD //，CD MN //，∴EF NC MD ==，即BN BC AD MA -=+ ∴k k 318122-=+，∴56=k∴4.1412512122=+=+=k MD ，即4.14=EF说明 本题考查平行线分线段成比例定理及推论的应用，解题关键是作出恰当的辅助线，将梯形的问题转化三角形问题.典型例题八例08．如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 于P . 若DE AD 2=，求证：AB AP 3=分析：本题有多种证明方法，现提供几种辅助线的作法供选用①过B 作PC BK //，交AE 于K ；②过D 作PC DG //交BP 于G ；③过CP 的中点M ，连结DM ；④延长DE 至F ，使DE EF =，连结CF .证法1 过B 作PC BK //，交AE 于K ， ∴AB AP AK AE ::= 由已知DC BD =，∴DE DK =又 DE AD 2=， ∴3:=AK AE ∴3:=AB AP ，即AB AP 3=证法2 过D 作PC DG //交AP 于G 在BPC ∆中， DC BD =， ∴GP BG = 在APE ∆中， DE AD 2=，∴GP AG 2= ∴BG AG 2=， ∴GP BG AB == ∴AB AP 3=证法3 作CP 的中点M ，连结DM D 是BC 的中点，∴AP DM //且DM PB 2= 在AEP ∆中， AP DM //，∴DEAEDM AP = 又 DE AD 2=， ∴3=DEAE， 即DM AP 3=DM PB AP AB =-=， ∴AB AP 3=证法4 延长DE 至F ，使DE EF =，连结CF ，则AD DE DF ==2 又CD BD =，EDC ADB ∠=∠， FDC ADB ∆≅∆∴∴FC AB =，F BAD ∠=∠， 从而FC AP //，∴AEP ∆∽FEC ∆ ∴3==EFAEFC AP ∴FC AP 3= ∴AB AP 3=典型例题九例09．AD 是ABC ∆的高，E 是BC 的中点，BC EF ⊥交AC 于F ，若15=BD ，27=DC ，45=AC ，求AF错解 如图422715=+=+=DC BD BC ，∴ 21==EC BE ∴ 61521=-=-=BD BE DEBC FE ⊥，BC AD ⊥，∴AD FE //∴ EC DE FC AF = 即21645=-AF AF ∴10=AF 正解 ①︒<∠90B 的解法同上 ②︒>∠90B 时，如图121527=-=-=BD DC BC ，∴621===BC EC BE∴21615=+=+=BE DB DE BC AD ⊥，BC FE ⊥， ∴FE AD // ∴EC DEFC AF = 即62145=-AF AF ∴35=AF说明 错解中因为题目没有指明ABC ∆的形状，所以错误解答习惯地把ABC ∆画成了锐角三角形，事实上，若ABC ∆是︒>∠90B 的钝角三角形，高AD 在三角形外，也符合题意典型例题十例10．如图，ABCD 的对角线交于O 点，E 是AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若a AB =，b BC =，c BE =，求BF 的长解答：过O 作CB 的平行线交AB 于GO 是ABCD 对角线的交点， ∴OC OA =，GB AG =∴a AB BG 2121==，b BC OG 2121==，c b EG +=21GO BF //， ∴EG BEOG BF = ∴c a cb BF +=2121∴ca bcBF 2+=说明 本题考查平行线分线段成比例定理推论的应用，解题关键是过平行四边形对角线的交点作边的平行线典型例题十一例11．如图，已知梯形ABCD 中，BC AD //，3==DC AB ，P 是BC 上一点，AB PE //交AC 于E ，CD PF //交BD 于F . 设PE ，PF 的长分别为m ，n ，n m x +=，那么当P 点在BC 上移动时，x 值是否变化？若变化，求出x 值的取值范围；若不变，求出x 值，并说明理由解答：x 的值不变 AB PE //，∴BC PCAB PE = CD PF //， ∴BCBPCD PF = CD AB =，1==+=+BCBCBC BP PC AB PF PE∴AB PF PE =+ ∴3=+=n m x说明 本题考查平行线分线段成比例定理推论的应用，是一道开放性试题，解题关键是先探索出题目的结论典型例题十二例12．已知，如左图，BD AB ⊥，BD CD ⊥，垂足分别为B ，D ，AD 和BD 相交于点E ，BD EF ⊥，垂足为F ，我们可以证明EFCD AB 111=+成立（不要求证明）若将图左中的垂直改为斜交，如右图，CD AB //，AD 、BC 相交于点E ，过E 作AB EF //，交BD 于点F ，则：（1）EFCD AB 111=+还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 （2）请找出ABD S ∆，BED S ∆和BDC S ∆间的关系式，并给出证明 解 成立 证明 （1） EF AB //，∴DB DFAB EF = EF CD //， ∴DBBFCD EF = ∴1==+=+DB DBDB BF DB DF CD EF AB EF ∴EFCD AB 111=+ （2）关系式为：BEDBCDABDS S S ∆∆∆=+111分别过A 作BD AM ⊥于M ，过E 作BD EN ⊥于N ，过C 作BD CK ⊥交BD 的延长线于K由题设可得：EN CK AM 111=+ ∴EN BD CK BD AM BD ⋅=⋅+⋅222 ABD S AM BD ∆=⋅21， BCD S CK BD ∆=⋅21， BED S EN BD ∆=⋅21BEDBCDABDS S S ∆∆∆=+∴111说明 本题有两点值得回味：一是通过阅读可发现，题中蕴含着类比猜想的思想方法，因而易猜想关系式仍成立；二是有一处伏笔“不要求考生证明”，具有一定的迷惑性，因为论证猜想是否成立，还须“同样的方法”，不证而证矣选择题1．如图，已知CF BE AD ////，下列比例式成立的是（）A ．BE AD DE AB = B ．BC DE EF AB = C ．BC DF EF AC = D ．DFEFAC BC = 2．如图，H 为ABCD 中AD 边上一点，且DH AH 21=，AC 和BH 交于点K ，则=KC AK :（ ）A ．2:1B ．1:1C ．3:1D ．3:2 3．（曲靖市，2001）已知：如图，在ABC ∆中，DC ED AE ==，BC MD FE ////，FD 的延长线交BC 的延长线于N ，则BNEF的值是（ ）A ．21 B ．31 C ．41 D ．51 4．（宁夏，2002）在AB C ∆中，BC DE //，DE 交AB 于D ，交AC 于E . 如果3=AE ，6=EC ，4=DE ，那么BC 等于（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 5．（上海市，2002）如图，CD AB //，AD 与BC 相交于O ，那么在下列比例式中，正确的是（ ）A ．AD OA CD AB = B ．BC OBOD OA = C ．OC OB CD AB = D ．ODOBAD BC = 6．（邵阳市，2002）下列命题错误的是（ ）A ．矩形是平行四边形B ．相似三角形一定是全等三角形C ．等腰梯形的对角线相等D ．两直线平行，同位角相等 7．（北京市西城区，2002）如图，ABC ∆中，BC DE //，如果1=AD ，2=DB ，那么BCDE的值为（ ）A ．32 B ．41 C ．31 D ．21参考答案：1．D 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C填空题1．（天津市，2001）如图，BC DE //，且AE DB =，若10,5==AC AB ，则AE 的长为_______.2．如图，梯形ABCD ，BC AD //，延长两腰交于点E ，若4,6,2===AB BC AD ，则=ECED _______，=DC DE_________.3．如图，梯形ABCD 中，5.3,2,//==AB DC AB DE ，且AB PQ MN ////，PA MP DM ==，则=MN _______，=PQ ________.4．（重庆市，2002）雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面m 2远一块小积水处，他看到了旗杆顶端的倒影. 如果旗杆底端到积水处的距离为m 40，该生的眼部高度是m 5.1，那么旗杆的高度是_______m.5．（盐城市，2002）如图，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选择M 点作为观测点，从M 点测得山顶P 的仰角为︒30. 在比例尺为50000:1的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为cm 3，则山顶P 的海拔高度为_____cm . （取732.13=）6．（黑龙江省，2002）在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50米，同时高为5.1米的测竿的影长为5.2米，那么古塔的高为_____米.7．（南京市，2002）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC 上，AB 的长为10毫米，AC 被分为60等份. 如果小管口DE 正好对着量具上30份处（AB DE //），那么小管口径DE 的长是_____毫米.8．（北京市东城区，2002）在坡度为2:1的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是______米.9．（上海市，2002）在A B C ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，BC DE //. 如果8=AD ，6=DB ，0=EC ，那么=AE _______.参考答案：1．310 2．31，213．5.2，3 4．m 305．1116 6．307．5 8．53 9．12解答题1．如图，已知菱形BEDF 内接于ABC ∆，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上，若15=AB ，12=BC ，求菱形边长.2．如图，已知ABC ∆中，AE BD AC AD BC DE ===,6,8,//，求BD 的长.3．如图，ABC ∆中，AD 是角平分线，AC DE //交AB 于E ，已知12=AB ，8=AC ， 求DE .4．如图，D ，E 分别是ABC ∆两边AB ，AC 上的点，哪些线段成比例推出BC DE //.5．如图，G 是四边形ABCD 的对角线BD 上任一点，AD EG //，DC FG //. 求证：AC EF //.6．如图，FD EB FC EF //,//. 求证：CD AB //7．如图，ABC ∆中，BC DE //，AD 是AF ，AB 的比例中项， 求证：DC FE //.8．如图，P 是ABCD 的对角线AC 上的任一点，EF ，MN 是过点P 的两直线与ABCD的边分别交于E ，F ，M ，N .求证：FN ME //.9．如图，直线FD 和ABC ∆的边BC 交于D ，交AC 于E ，与BA 的延长线交于F ，且DC BD =，求证：FA EC FB AE ⋅=⋅.10．如图，D 在BC 上，且1:2:=DC BD ，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ， 求EF BF :.参考答案：1．320 2．4=BD3．524=DE4．EC AE DB AD =或AC AE AB AD =或AC ECAB DB = 5．证OC OAOD OB = 6．证OC OAOD OB = 7．证AC AFAD AF = 8．证PFPEPN PM = 9．解法1：作BC AG //交DF 于G ；解法2：作FD AG //交BC 于G 10．1:6:=EF BE解答题1．（广西，2001）如图，DH CG BF AE //////，CD BC AB ==21，12=AE ，16=DH ，AH 交BF 于M .求BM 与CG .2．如图，M 是ABC ∆中BC 边的中点，P 是BC 边上任一点，过P 作AM PR //交BA 的延长线于Q ，交CA 于R .求证：BMBCAM PR AM PQ =+.3．如图，AD 是ABC ∆中BC 边上中线，从C 引射线交AD 于E ，AB 于F . 求证：DE AF FB AE ⋅=⋅2.4．过ABCD 的顶点A 作任一直线与BD ，BC 及DC 延长线于E ，F ，G ，求证：EG EF AE ⋅=2.5．如图，梯形ABCD 中，BC AD //，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，a AD =，b BC =（a b >） ，求GH 的值.6．如图，CD BC MB ==，FG EF ME ==. 求NFDN的值.7．如图，在ABCD 中，cm AB 5=，cm AE 3=，cm AD 8=，F 为AB 中点，EF 交AC 于G . 交CB 的延长线于K .求FK GF EG ::的值.8．（盐城市，2001）如图，已知：BC ED //，DF AB //.（1）求证：OF OE OB ⋅=2；（2）连结OD ，若ODC OBC ∠=∠，求证：四边形ABCD 为菱形. 9．（南京市，2001）以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PD PF =. 以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上. 如图所示.（1）求AM 、DM 的长. （2）求证：DM AD AM ⋅=2参考答案：1．15,4==CG BM2．∵AM PQ //， ∴CM PC AM PR =，BMPBAM PQ =. ∵BM CM =， ∴BMBCBM PC PB AM PQ AM PR =+=+ 3．过D 作CF DP //交AB 于P . ∴ED AE FP AF =. 又DB CD =，∴FB PB FP 21==.∴ED AEFB AF =21. ∴ED AF FB AE ⋅=⋅2 4．AB DC //得ED BE EG AE =，BC AD //得AE EF ED BE =. ∴AEEFEG AE = ∴EG EF AE ⋅=25．ba abGH += 6．31 7．7:4:38．（1）略；（2）证BD AC ⊥9．（1）15-=AM ，53-=MD ；（2）526-=⋅DM AD解答题1．如图，ABC ∆中，AF 平分BAC ∠，AF CE ⊥于E ，AF BD ⊥交其延长线于D ，BE 的延长线交DC 的延长线于G.求证：AG EC //.2．（温州市，2001）如图，在正方形ABCD 中，8=AD ，点E 是边CD 上（不包括端点）的动点，AE 的中垂线FG 分别交AD 、AE 、BC 于点F 、H 、K ，交AB 的延长线于点G .（1）设m DE =，m DE =，用含m 的代数式表示t ； （2）当31=t 时，求BG 的长. 3．（山西省，2001）（1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，BC OE ⊥于E ，连结DE 交OC 于点F ，作BC FG ⊥于G .求证：点G 是线段BC 的一个三等分点. 证明：在矩形ABCD 中，BC DC BC OE ⊥⊥,，∴DC OE // ∵21=DC OE ， ∴21==DC OE ED EF ∴31=ED EF . （2）请你仿照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点. （要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）.4．在ABC ∆中，D 为BC 上的一点，E 为AD 上的一点，BE 的延长线交AC 于F .（1）如4:1:,2:1:==AD AE BC BD ，求AC AF :的值；（2）如n AD AE m BC BD :1:,:1:==（n m ,为不小于2的自然数）. 求AC AF :的值；（3）对于满足1-≠n m 且均大于2的自然数n m ,，是否总存在自然数q p ,（其中m p ≠，n q ≠）使当p BC BD :1:=，q AD AE :1:=时，AC AF :的值与当m BC BD :1:=，n AD AE :1:=时，AC AF :的值相同？如果存在，写出这时q p ,与nm ,之间应满足的关系.5．如图一个矩形ABCD （BC AB <）中，618.0215≈-=BC AB ，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感，备受人们欢迎，在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE （如图）. 请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？证明你的结论.6．（河北省，2001）在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上任意一点，BE 交AD 于点O ，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当11121+==AC AE 时，有12232+==AD AO （如图）（2）当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO （如图）（3）当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO （如图）在下图中，当n AC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示ADAO的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）.7．（黄冈市，1999）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的一点，且k HDAH GC DG FC BF EB AE ====（0>k ）. 阅读下段材料，然后回答后面问题.如图，连接BD .∵HD AHEB AE =， ∴BD EH // ∵GC DGFC BF =，∴BD FG //， ∴EH FG //.（1）连结AC ，则EF 与GH 是否一定平行，答：_______. （2）当k 值为______时，四边形EFGH 为平行四边形.（3）在（2）的情形下，对角线AC 与BD 只须满足_______条件时，EFGH 为矩形. （4）在（2）的情形下，对角线AC 与BD 只须满足_______条件时，EFGH 为菱形. 8．如图，在四边形ABCD 中，DC AB =，E 、F 各为BC 、AD 的中点，延长BA 、EF 、CD 相交成α∠、β∠，求证：βα∠=∠.证明：连结DE ，延长DE 到G ，使EG DE =，连结BG 、AG . ∵CED BEG EG DE CE BE ∠=∠==,,， ∴AB CD CD BG BGE CDE ==∆≅∆,,， ∴BG AB =.∴BGA BAG ∠=∠.∵EF 是ADG ∆的边AD 、DG 的中位线， ∴AG EF //， 即KE AG //∴BAG ∠=∠α，FED AGE ∠=∠.又∵FED CDE AGE AGE BGA BGE ∠+∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠βα， ∴βα∠=∠从上述命题证明过程中可以知道，通过构造一对全等三角形，将一条线段从一个三角形中移至另一个三角形中，从而使总是获得巧妙解决.（1）这是一种通过将一个三角形绕旋转中心旋转︒180，构成______图形的方法. 请用此方法完成下列命题的证明：（2）如图，已知ABD ∆中，F 为中线AC 上一点，DF 的延长线交AB 于点E . 求证：AE FD AB EF ⋅=⋅.9．一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一陌生站A ，距离公路30千米的地方有一居民点B ，A 、B 的直线距离是90千米（如图）. 有一天，某司机驾车从陌生站送一批急救药品到居民点B ，汽车在公路上的最快速度是60千米/时，而在草地上的最快速度是30千米/时. 问该司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短？最短时间是多少？参考答案1．延长AC ，BD 交于H . 可证AHD ABD ∆≅∆，得HD BD =. DH CE //，∴DH CE AD AE =，BD CE GD GC =. ∴GDGCAD AE =. ∴AG EC // 2．（1）过H 作CD MN //，mmt -=16；（2）过H 作AB HT ⊥于T ，268=-=-=TB TG BG3．（1）补充证明方法一：∵BC FG ⊥，BC DC ⊥，∴DC FG //. ∴31==ED EF DC FG . ∵DC AB =，∴31=AB FG . 又∵AB FG //，∴31==AB FG BC OG 方法二：∵BC DC BC FG ⊥⊥,，∴DC FG //.∴31==ED EF EC EG ，∴32=EC GC . ∵E 是BC 中点，∴31622===EC GC BC GC ∴点G 是BC 的一个三等分点. （2）如图4．（1）7:1:=AC AF （2）)1(:1:+-=m mn AC AF ；（3）存在. )1()1(-=-n m q p 5．ABFE 也是黄金矩形. 证略 6．)2(:2:n AD AO +=，证略.7．（1）不一定；（2）1；（3）BD AC ⊥；（4）BD AC = 8．（1）全等；（2）延长AC 到G ，使AC CG =，连结DG . 先证GDC ABC ∆≅∆，再证DG AB //可得9．过A 作︒=∠30CAE ，过B 作射线AE 的垂线段BE 交AC 于D ，D 点就是应离开公路的地点. 因此，所行路线为DB AD +.。

2024年浙教版数学九年级上册4.2《由平行线截得的比例线段》教学设计一. 教材分析《由平行线截得的比例线段》是浙教版数学九年级上册4.2节的内容，主要讲述了通过平行线截得的线段之间的比例关系，进一步引导学生探索和发现平行线之间的性质。

本节内容是学生学习了平行线的基本性质后的进一步拓展，对于学生来说，具有一定的挑战性。

教材通过具体的实例，引导学生发现平行线截得的比例线段之间的关系，从而培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的基本性质，对于图形的观察和分析有一定的基础。

但是，对于通过平行线截得的比例线段的性质，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析、归纳，从而发现平行线截得的比例线段的性质。

三. 教学目标1.理解平行线截得的比例线段的性质。

2.能够运用比例线段的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

四. 教学重难点1.重点：平行线截得的比例线段的性质。

2.难点：如何引导学生发现平行线截得的比例线段的性质。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳，发现平行线截得的比例线段的性质。

同时，运用小组合作的学习方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、黑板、粉笔等。

2.准备一些实际的例子，用于引导学生发现平行线截得的比例线段的性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引发学生对平行线截得的比例线段的性质的思考。

例如，给出一个矩形，让学生找出其中两条平行线截得的比例线段。

2.呈现（10分钟）通过PPT或者黑板，展示一些平行线截得的线段，引导学生观察和分析这些线段之间的比例关系。

同时，提出问题，引导学生思考平行线截得的比例线段的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，自己找出一些平行线截得的线段，并计算它们之间的比例。

通过实际操作，让学生更深入地理解平行线截得的比例线段的性质。

平行线分线段成比例（典型题汇总）一. 填空题：1. 如图，梯形ABCD ，AD //BC ，延长两腰交于点E ，若AD BC AB ===264，，，则EDECDEDC==，E DCBAGF EDCB AQ P N MD CBA2. 如图，∆ABC 中，EF //BC ，AD 交EF 于G ，已知EG GF BD ===235，，，则DC =3. 如图，梯形ABCD 中，DC AB DC AB //.，，==235，且MN //PQ //AB ，DM MP PA ==，则MN ＝________，PQ ＝________4. 如图，菱形ADEF ，AB AC BC ===756，，，则BE ＝________FEDCB ANOMF EDC B AN MDCBA5. 如图，EA FC EB FD ////，，则AB 与CD 的位置关系是________6. 如图，D 是BC 的中点，M 是AD 的中点，BM 的延长线交AC 于N ，则AN :NC ＝________。

二. 选择题1. 如图，H 为平行四边形ABCD 中AD 边上一点，且AH DH =12，AC 和BH 交于点K ，则AK :KC 等于（ ）A . 1:2B . 1:1C . 1:3D . 2:32. 如图，∆ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 上，下列条件中，能判定DE //BC 的是（ ） A . AD AC AE AB ⋅=⋅ B . AD AE EC DB ⋅=⋅ C . AD AB AE AC ⋅=⋅ D . BD AC AE AB ⋅=⋅A H DKB CAB C D EANOB M CD E3. 如图，∆ABC 中，DE //BC ，BE 与CD 交于点O ，AO 与DE 、BC 交于N 、M ，则下列式子中错误的是（ ） A .DN BM ADAB=B .AD AB DE BC = C . DO OC DEBC=D .AE EC AOOM=4. 如图， l l l l 1234////，与l 5交于点P ，PA a AB b BC c ===，，，PD d =，DE e =，EF f =，则bf =（ ）A . abB . bdC . aeD . cel 5l 4l 3l 2l 1FF ED CB A AD E OB C5. 如图，∆ABC 中，AD DB AE EC ==12，则OE OB :=（ ） A .12B . 13C . 14D . 15三. 计算题：1. 如图，已知菱形BEDF 内接于∆ABC ，点E 、D 、F 分别在AB 、AC 和BC 上，若AB BC ==1512，，求菱形边长。

浙教版数学九年级上册《4.2 由平行线截得的比例线段》教案2一. 教材分析《由平行线截得的比例线段》这一节主要让学生理解并掌握在两条平行线之间截得的线段成比例的性质。

通过这一节的学习，学生能运用这个性质解决一些实际问题，为以后学习相似三角形和相似多边形打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平行线的性质，对平行线之间的夹角和平行线之间的距离有一定的了解。

但是，他们对于如何运用这些性质解决实际问题可能还不是很清楚。

因此，在教学过程中，我需要引导学生将已知的性质运用到实际问题中，从而更好地理解这一节的内容。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解并掌握在两条平行线之间截得的线段成比例的性质，能运用这个性质解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：理解并掌握在两条平行线之间截得的线段成比例的性质。

2.难点：如何引导学生发现并证明这个性质。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生发现问题、解决问题。

2.运用观察、操作、思考、交流等方法，让学生主动参与学习过程。

3.通过实例讲解，让学生理解并掌握性质的应用。

六. 教学准备1.准备相关的实例，用于讲解和练习。

2.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节课的主题：在两条平行线之间截得的线段是否成比例？让学生思考并讨论。

2.呈现（10分钟）展示几个实例，让学生观察并分析这些实例中线段的比例关系。

引导学生发现：在两条平行线之间，如果两条截线段长度相等，那么它们与平行线的夹角也相等，且这两条截线段之间的距离也相等。

3.操练（15分钟）让学生分组进行实践活动，每组选择一个实例，用尺子测量并记录相关线段的长度，然后计算它们之间的比例。

最后，各组汇报并交流结果。

4.巩固（10分钟）针对学生操作过程中遇到的问题，进行讲解和辅导，确保学生理解并掌握线段成比例的性质。

专题05图形的相似重难点题型专训（6大题型）【题型目录】题型一比例的性质题型二线段的比题型三成比例线段题型四由平行判断成比例的线段题型五由平行截线求相关线段的长或比值题型六黄金分割【知识梳理】知识点一、线段的比与成比例线段线段的比两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．成比例线段四条线段a、b、c、d中，如果dcba，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段．知识点二、比例的性质知识点三、黄金分割黄金分割若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果ACBCABAC，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为618.0215．知识点四、相似图形相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．知识点五、平行线分线段成比例定理【经典例题一比例的性质】约分即可求解．【经典例题二线段的比】第二次裁剪所得矩形的长为第三次裁剪所得矩形的长为第四次裁剪所得矩形的长为第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形，AC【答案】34/0.75为线段我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图且12EF OE ，连接OF ；以F 为圆心，EF 交OE 于点P ．根据材料回答下列问题：(1)根据作图，写出图中相等的线段：________(2)求OP 的长；(3)求证：点P 是线段OE 的黄金分割点．【答案】(1)EF FH ，OH OP (2)51OP (3)见解析【分析】（1）由题意知，EF FH ，OH （2）由勾股定理得225OF OE EF （3）由51OP ，可得2251OP235625OE PE ，则2OP OE 【详解】（1）解：由题意知，EF FH ，OH 故答案为：EF FH ，OH OP ；（2）解：∵EF OE ，∴90OEF ∵2OE ，【经典例题三成比例线段】是线段【经典例题四由平行判断成比例的线段】九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）如图，直线A．103B．152【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出【详解】解：∵a b c∥∥，∴AB DEAC DF，A．BH AGBC ADB．EG AGCD AD【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理、中点定义及相似三角形对应边成比例逐项判断即可得到答案．【答案】54【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可．【详解】解：∵直线123l l l ∥∥45AD BC DF CE ，5CE【答案】6【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得后根据平行线分线段成比例定理，可得【详解】解：∵AD平分，∴EAD CAD(1)求证：AG CG ；(2)求证：2CGE BDN (3)若4BD DG ，GP 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3AG a【分析】（1）证明ABG （2）先证明DAF GPD NDC DCP BDN BDC NDC （3）证明PM PC ，得出【经典例题五由平行截线求相关线段的长或比值】A．14B【答案】A【分析】根据a b∥可得BGA．3 20【答案】A【分析】过点F作FG∥由FG BN∥,得BF NG【答案】5:3:2【分析】首先过点M作MK点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得【详解】解：过点M作MK∵M是AC的中点，∴MN NK AN AMEC EF AE AC∵E、F为BC的三等分点，，∴BE EF FC【答案】16【分析】过点D 作DG ::BD CD EG CG 的值．∵:1:3AF FD ，BD ∴::AF FD AE EG ∴3EG AE ，EG ∴3EC EG CG(1)如果4AB ，8BC ，(2)如果:2:3DE EF ，AB 【答案】(1)6(2)15【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到（2）由平行线分线段成比例定理得到392BC AB ，即可得到【详解】（1）解：如图，∵123l l l ∥∥，∴AB DE BC EF，∵4AB ，8BC ，EF【经典例题六黄金分割】【点睛】本题考查了黄金分割点的意义，正确理解黄金分割的定义是解题的关键．上找一点51 51【答案】8516【分析】设AC m ，BD n ，根据【答案】1555【分析】根据黄金分割的定义，得2PA BP AB ，构建方程计算求解．【详解】解：根据题意，2PA BP AB ；∴2(10)10BP BP【点睛】本题考查黄金分割的定义，一元二次方程的求解；掌握黄金分割的定义是解题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以(1)【操作判断】根据以上操作，直接写出图3中AGGB的值：______；(2)【问题解决】请判断图3中四边形BG MG的形状，并说明理由．(3)【拓展应用】我们知道：将一条线段AB分割成长、短两条线段AP 割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片ABCD的宽AB为【重难点训练】A ．5B 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：∵a b ∥∥A． 454【答案】A【分析】本题考查黄金分割比求线段长，熟记黄金分割比答案，熟记黄金分割比是解决问题的关键．【详解】解：由黄金分割比，根据题意可得AB∵，8cm5AP AB故选：A．3．（2022上·山西运城形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以用这样的方法画出黄金矩形；作正方形接EF，以FD为半径画弧，A．1个B．2个BG A ．259B ．27【答案】A【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正方形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．作FH BC ∥交CD 于H ，则DH HC 根据勾股定理得25AE ，所以【详解】解：如图，作FH ∥则45DH DF HC FG ，E ∵为CD 边中点，19HE ED ，FH AD ∵∥，19FE HE AE DE ，224225AE ∵，259FE ．故选：A ．5．（2023上·浙江·九年级周测）如图，点D ，与BC 的垂线CE 相交于点A ．3:2B ．5:3【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，4FC BC BF ，再根据DF ∥【详解】∵BE 平分ABC ，∴ABD FBD ，∵DF BC ，90A ，∴90DFB A ，【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、坐标与图形性质等知识点，根据三角形的重心的概念8．（2023上·浙江金华，，上，连结AB BC CACF三角形的中位线的判定及性质的综合应用，∵点B 和点F 关于直线DE ∴BD DF BF DE ，，∵AD DF ，∴AD BD DF ，∴,DBF DFB DAF 又DBF DFB DAF ∴ 2180DFB DFA ∴90,DFB DFA 即∴DE AC ∥，∴BD BE AD CE，∵AD BD ，∴BE CE ，∴132BE BC ，在Rt ABF 与Rt CBF △，由勾股定理可得：2222BF AB AF FB CB ，∴2222AB AF CB CF ∵56AB AC BC ，，【答案】3【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，设行四边形的性质可得AD ∥【详解】解：设FD x ，由2AF FD ，则2AF x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∥，AB CD ∥，2233AE AF x EC BC x ，23BE AE EG EC ，∵2BE ，223EG ，3EG ，故答案为：3．10．（2023上·安徽合肥·九年级校考期中）如图，矩形形ABNM 和矩形CDMN ．（1）若矩形CDMN 与矩形的长是，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个设正方形ABCD 的边长为在Rt BCF 中，BF 则2QF BF BQ 设AP PQ x ，则PD 在Rt QPF 和Rt DGF 有222FQ PQ DF 解得512x ，即点P 是AD 的黄金分割点（2）方法如图所示:第一步：对折矩形纸片第二步：再一次折叠纸片，使点14．（2023上·四川内江·九年级统考期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是黄金矩形ABCD 的宽1AB (1)黄金矩形ABCD 的长BC ；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE ，求点D 到线段AE 的距离．【答案】(1)512(2)矩形DCEF 为黄金矩形，理由见解析(3)点D 到线段AE 的距离为1024【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．（1）根据512AB BC ，AB ，即可求解；（2）先求出512FD EC AD ，再求出DF EF 的值，即可得出结论；（3）连接AE ，DE ，过D DG AE 于点G ，根据1AB EF ，512AD，得出再根据12AED G S AD EF AE D ，即可求解．∵1AB EF ，AD∴22112AE ，在AED △中，12AED S 即AD EF AE DG ，则51122DG ，解得1024DG ，∴点D 到线段AE 的距离为15．（2022上·山西运城·九年级统考期中）阅读与思考请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．下面是小宇同学运用面积的思想对进行了证明．证明：如图，分别连接EB DC ，．设点E 到AB 的距离为1h ，点D 到AC 的距离为2h ，ADE BDE S S 111212AD h BD h AD BD ，ADE DEC S S …任务：(1)请补全以上证明过程．(2)应用以上结论解答问题：如图，在ABC 中，DG EC ∥，【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理的证明与应用：（1）根据两条平行线之间的距离处处相等，可得（2）直接利用平行线分线段成比例定理即可证明．【详解】（1）证明：如图，分别连接设点E 到AB 的距离为1h 则111212ADE BDE AD h S AD S DB BD h 221212ADE DEC AE h S AE S EC EC h ，设点B 到直线DE 的距离为∵DE BC ∥，点C 到直线DE 的距离与点∴12BDE DEC S S DE m ∴ADE BDE S S ADE DECS S ，∴ADDB AE EC．（2）证明：∵DG EC ∥∴AD AG DE GC，。

32第31讲 由平行线截得的比例线段一、平行线截线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例已知如图，直线l 1、l 2、l 3是一组等距离的平行线，l 4、l 5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，则比例式,,,,A B D E A B D E B C E F B C E FB C E F A C D F A B D E A C D F==== 成立.要点：上图的变式图形：分A 型和X 型；A 型 X 型则常用的比例式：依然成立.二、把已知线段AB 五等分.已知线段AB ，请利用尺规作图把线段AB 五等分.作法1.以A 为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=A 4A 5.2.连结A 5B ，并过点A 1，A 2，A 3，A 4分别作A 5B 的平行线，依次交AB 于点B 1，B 2，B 3，B 4.则点B 1，B 2，B 3，B 4就是所求作的把线段AB 五等分的点.依据：实际上，过点A 作l ∥A 5B ，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式,,AD AE AD AE DB ECDB EC AB AC AB AC===11223344112233445.A B B B B B B B B BA A AA A A A A A A ====∵ AA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=A 4A 5，∴ AB 1=B 1B 2=B 2B 3=B 3B 4=B 4B,∴点B 1，B 2，B 3，B 4把线段AB 五等分.要点：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.例1．如图，已知//,2,3,6AB CD AO BO CO ===，那么DO =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6例2．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若23AD DB =，则AE EC等于( )A ．13B ．25C ．23D ．35例3．已知线段a 、b 、c ，求作线段ab x c=，下列作法中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．例4．如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE BC ∥的条件是（ ）．A ．::AD AB DE BC=B ．::AD DB DE BC=C ．::AD DB AE EC =D ．::AE AC AE DB=例5．如图，若l 1∥l 2∥l 3，则下列各式错误的是（ ）A ．BC EFAC DF=B ．AB DEAC DF=C ．AB ACDE DF=D ．AB DEAC EF=例6．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ：BD=5：3，CF=6，则DE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12例7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC 分别交l1，l2，l3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l1，l2，l3于点D 、E 、F ，AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则DEEF=（ ）A ．35B ．2C ．25D ．12例8．如图，点G 、F 分别是BCD △的边BC 、CD 上的点，BD 的延长线与GF 的延长线相交于点A ，//DE BC 交GA 于点E ，则下列结论错误的是（ ）A ．AD AEBD EG =B ．DE DF CG CF=C ．AE DEAG BC=D ．AD DEAB BG=例9．如图，DE 、NM 分别是V ABC 、V ADE 的中位线，NM 的延长线交BC 于点F ，则DMN S V ：S 四边形MFCE等于（ ）A ．1：5B ．1：4C ．2：5D ．2：7例10．如图，四条平行直线1l 、2l 、3l 、4l 被直线5l 、6l 所截，::1:2:3AB BC CD =，若3FG =，则线段EF 和线段GH 的长度之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8例11．如图，直线123////l l l ，直线AC 分别交1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分别交1l 、2l 、3l 于点D 、E 、F ，AC 与DF 相交于点H ，如果5,1,2AB BH CH ===，那么EFDE的值等于（ ）A ．15B ．13C ．25D ．35例12．如图，AB ∥CD ∥EF ，AC 与BD 相交于点E ，若CE =5，CF =4，AE =BC ，则CD AB的值是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14例13．如图，////AB GH CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，2AB =，3CD =，则GH 的长为 ．例14．如图，AD 是△ABC 的中线，AE ＝EF ＝FC ，BE 交AD 于点G ，则AG AD＝_________．例15．如图，在ABC V 中，D 为AC 上一点，且12CD AD =，过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，连接CE ，过点D 作//DF CE 交AB 于点F ．若15AB =，则EF =______．例16．如图ABC V 中，E 、F 为BC 的三等份点，M 为AC 的中点，BM 与AE 、AF 分别交于G 、H ，则::BG GH HM =________．一、单选题1．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 的反向延长线上，且DE ∥BC ．若AE =2，AC =4，AD =3，则AB 为（ ）A ．9B ．6C ．3D ．322．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE BC ∥．若:3:1AD DB =，则:AE EC 等于（ ）A ．3:1B ．3:4C ．3:5D ．2:33．如图，1l ∥2l ∥3l ．若23=AB BC ，DE =4，则EF 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．如图，点A ，E ，F ，C 在同一条直线上，AD BC ∥，BE 的延长线交AD 于点G ，且BG DF ∥，则下列结论中错误的是（ ）A ．AG AD ＝AE AFB ．AG GD＝AEEF C ．AE AC＝AGAD D ．AFFC ＝DF FH5．如图，l 1∥l 2∥l 3，且ADDF ＝32，则错误的是（ ）A ．35AD AF =B ．32BC CE =C ．23AB EF =D ．35BC BE =6．如图，在ABC V 中，AC ，AB 两边上的中线BE ，CD 相交于点O ，则DOEEOCS S =△△（ ）A ．23B ．14C ．13D ．127．如图是一架梯子的示意图，其中1111∥∥∥AA BB CC DD ，且AB BC CD ==．为使其更稳固，将A ，1D 间加一条安全绳（线段1AD ），1AD 分别交1BB ，1CC 于点E ，F ，量得0.4m =AE ．则1AD 的长为（ ）A ．0.8mB ．1mC ．1.2mD ．1.4m8．如图，在ABC V 中，AD DE EF FB ===，AG GH HI IC ===，已知2BC =，则DG EH FI ++的长是( )A ．52B ．3C ．32D ．49．如图，在ABC D 中，点D ,点E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC AF ，与DG 交于点H ，则下列比例式正确的是（）A ．AD HGDE AC=B ．BF FGBE FH=C ．DH BFEF BG=D ．AH EFHF DG=10．如图，正方形ABCD 的边AB ，CD 上各有一个点I ，E ，连结EI ，且//EI BC ，点F ，G ，H 分别在AD ，AB ，BC 边上，连结GF ，FE ，EH ，H G ，其中EI 与GF 相交于点J ，IJ AI =，为求出平行四边形EFGH 的面积，只需知道下列哪条边的长度（ ）A ．IGB ．AFC ．BGD ．AG二、填空题11．如图，已知AE BC ∥，AC 、BE 交于点D ，若23AD DC =，则DEBE=______．12．如图，////,::2:3:4DE FG BC AD DF FB =，如果4EG =，那么AC =________．13．如图，AB ∥CD ∥EF ，若12=AC CE ，则BD DF_____．14．如图，已知//DE BC ，:3:2BF EF =，则:AC AE =______，:AD DB =______.15．如图，已知//a b ，35AF BF =，3BC CD=，则:AE EC =______.16．如图，在ABC V 中，AD 是中线，G 是重心，过点G 作//EF BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若18AC =，则AF =____________．17．如图，在ABC V 中，90,8,6,ACB AC BC AD Ð=°==为边BC 上的中线，BE 是ABC V 的角平分线，,AD BE 交于点F ．则EF 的长为______．18．如图，在ABC V 中，点D 是边BC 的中点，直线DF 交边AC 于点F ，交AB 的延长线于点E ，如果::CF CA a b =，那么:BE AE 的值为____．（用含a 、b 的式子表示）三、解答题19．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，若AE：EC=2：3，DB-AD=3，求AD 和DB的长．20．如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长．21．如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求DEDF的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．22．如图，B、C、D、N分别是⊿AMO边AO、MO上的点，MC∥ND，OB ODAB CD=，求证：NB∥MA23．如图，在△ABC中，点D、F是在边AB 上，点E在边AC上，且FE∥CD，线段AD是线段AF与AB 的比例中项．求证：DE∥BC24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：2CF GF EF=×．25．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG=AF•AB．26．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G和点H，BD=12，EF=8．求：（1）DFAB的值；（2）线段GH的长.27．如图，MN 经过D ABC 的顶点A ，MN ∥BC ，AM=AN ，MC 交AB 于D ，NB 交AC 于E ．（1）求证：DE ∥BC ；（2）联结DE ，如果DE=1，BC=3，求MN 的长．28．如图，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，BA BC =，点D 为BC 边上的中点，连接AD ，过点B 作BE AD ^于点E ，延长BE 交AC 于点F ，求AF FC的值．29．如图，已知在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M 在线段OD 上，联结AM 并延长交边DC 于点E ，点N 在线段OC 上，且ON ＝OM ，联结DN 与线段AE 交于点H ，联结EN 、MN ．（1）如果EN ∥BD ，求证：四边形DMNE 是菱形；（2）如果EN ⊥DC ，求证：AN 2＝NC •AC ．。

自学资料一、比例线段【知识探索】1．对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（或），我们就说这四条线段成比例．【注意】（1）因为线段的长度都是正量，所以、、、都不为0．（2）表述比例线段时，要注意顺序；（3）比例线段的单位要统一．【错题精练】例1．已知3a=10b，那么a:b=（）A. 10:3；B. 3:10；C. 2:15；D. 15:2．第1页共23页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【答案】A例2．已知线段a＝2，b＝8，则a，b 的比例中项线段为（）A. 16；B. ±4；C. 4；D. −4．【答案】C例3．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB=4，则线段AC的长是（）A. 2√5−2；B. 6−2√5；C. √5−1；D. 3−√5．【答案】A例4．已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），则下列结论中正确的是（）A. AB2=AC2+BC2；B. BC2=AC⋅BA~~；C. AC2=AB⋅BC；D. AC=2BC．【答案】C例5．下列各组中的四条线段成比例的是（）A. a=√2，b=3，c=2，d=√3；B. a=4，b=6，c=5，d=10；C. a=2，b=√5，c=2√3，d=√15；D. a=2，b=3，c=4，d=1．【答案】C例6．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（）S2第2页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训A. ＞；B. ＝；C. ＜；D. 无法确定．【答案】B例7．若−a+b+ca =a−b+ca=a+b−ca=k，则k的值为．【答案】1或－2．例8．已知A、B两地的实际距离为100千米，地图上的比例尺为1：2000000，则A、B两地在地图上的距离是cm．【答案】5．例9．从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.80cm，下身长约93.00cm，她要穿约__________ 的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到0.01cm）．【解答】【答案】7.00例10．已知（），那么函数的图象一定不经过第__________ 象限.第3页共23页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【答案】四【举一反三】1．已知ba =13，则a−ba的值为（）A. 2；B. 12；C. 32； D. 23．【答案】D2．已知线段a=4，线段b=9，则a，b的比例中项是．【答案】6．3．若互不相等的四条线段的长a、b、c、d满足，m是任意实数，则下列各式中，一定成立的是（）A.B.C.D.第4页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】【答案】D4．若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是cm．【答案】5√5−5．5．下列各组数中，一定成比例的是（）A. 5，6，7，8；B. －1，2－2，4；C. －6，4，6，0；D. 2a，5b，2c，5d．【答案】B6．若，且，则__________ .【答案】87．已知非零实数a，b，c满足a5=b12=c13，且a+b=34，求c的值．【解答】解：设a5=b12=c13=k（k≠0），则a=5k，b=12k，c=13k，∵a+b=34，∴5k+12k=34，第5页共23页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第6页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第7页 共23页 自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好 非学科培训E ，F 已知AB AC =13，则（ ）A. AB BC =13；B. AD FC =13；C. DEEF=12； D. BE FC =12．【答案】C例2．如图， 已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与直线a 、b 、c 分别交于点A 、B 、C 、D 、E 、F ，若DE =7，EF =10，则BCAC 的值为（ ）A. 710；B. 107；C. 717；D. 1017．【答案】D例3．如图，E 是平行四边形ABCD 的BA 边的延长线上的一点，CE 交AD 于点F ． 下列各式中，错误的是（ ）A. AEAB =AFBC；B. AEAB =AFDF；C. AEAB =EFCF；D. CDBE =CFEC．【答案】A例4．如图，直线l1、l2、…、l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．【答案】5．例5．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（）A. 5B. 6第8页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训C. 7D. 8【解答】根据平行线分线段成比例定理解答即可．本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．解：∵l1∥l2∥l3，AB=5，AC=8，DF=12，∴，即，可得；DE=6，故选：B．【答案】B例6．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED=EC，ED与AC 交于点F，则的值为（）A.B.C.D.第9页共23页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【解答】【答案】B例7．如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．第10页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】【举一反三】1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c的值应该（）于点D、E、F，若AB＝2，AD＝BC＝4，则BFCFA. 等于13； B. 大于13；C. 小于13； D. 不能确定．【答案】B2．如图，已知AB∥CD，AC，BD交于点O，若AB:CD=1:2，AO=3，则OC=．【答案】6．3．如图所示，E为四边形ABCD的边AD上的一点，且AE:ED=3:2，CE交BD于F，则BF：FD（）A. 3∶5； B. 5∶3 ； C. 2∶5； D. 5∶2．【答案】C．4．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：BF=1：2：3，BC=10cm．（1）求AE：EG：GC的值；（2）求DE与FH的比．【解答】【答案】【答案】（1）AE：EG：GC=1：2：3；（2）=．5．如图，在△ABC中，E为AB边的中点，P为BE上一点，过点P作PQ∥BC交AC于Q，交CE于M，若PM=2，MQ=3，则BC=__________ ．【解答】【答案】86．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（）A. 2B. 3C.D. +1【解答】【答案】A7．D、E分别为△ABC中BC、AC边上的点，且BD：DC=1：3，AE：EC=2：1，则AF：FD=（）A. 3:1B. 5:1C. 8:1D. 9:1【解答】【答案】C8．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为__________ ．【解答】【答案】1．已知3x=5y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A. x5=y3；B. x3=y5；C. xy =35；D. x5=3y．【答案】A2．若xy =114，则x−2yy=．【答案】3．43．已知，求的值【解答】【答案】4．△ABC中，AB=1，AC=2，D是BC中点，AE平分∠BAC交BC于E，且DF∥AE．求CF的长．【答案】5．已知线段AB=a，用直尺和圆规求作这条线段的黄金分割点C．【答案】6．如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM：MN：ND等于__________ ．【答案】解：如图，作PD∥BF，QE∥BC，∵D为BC的中点，∴PD：BF=1：2，∵E，F为AB边三等分点，∴PD：AF=1：4，∴DN：NA=PD：AF=1：4，7．如图，已知点O是△ABC中BC边上的中点，且，则=__________ ．第21页共23页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【解答】【答案】8．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB=3：1，则AO：OH=__________ ．第22页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】【答案】2：1第23页共23页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训。

章节相似三角形第三课时三角形一边平行线判定教学内容教学目标：1.经历三角形一边的平行线性质定理推论的推导；2.掌握三角形一边的平行线性质定理推论的应用；3.理解该定理的不同图形情况，并能灵活运用；4.了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；5.掌握三角形一边的平行线的判定定理；6.并能运用该定理证明有关两直线平行的问题.教学重点：1.三角形一边的平行线性质定理推论的理解和应用；2.三角形一边的平行线性质定理推论和性质定理的联系和区别；3.三角形的重心的性质；4.三角形一边的平行线的判定定理；5.三角形一边的平行线的判定定理的应用.教学难点：1.三角形一边的平行线性质定理推论的理解和应用；2.三角形一边的平行线性质定理推论和性质定理的联系和区别；3.三角形的重心的性质；4.三角形一边的平行线的判定定理；5.三角形一边的平行线的判定定理的应用.第一部分知识要点1.三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

2.三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

3.平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。

4.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。

格式：如果直线L 1∥L 2∥L 3， AB ＝ BC ， 那么：A 1B 1＝B 1C 1，如图l说明：由此定理可知推论1和推论2推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。

格式：如果梯形ABCD ，AD ∥BC ，AE ＝EB ，EF ∥AD ，那么DF=FC ，如图2 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

格式：如果△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ，那么AE ＝EC ，如图3 说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况。