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平行线分线段成比例的推论在平面几何中，平行线分线段成比例是一个非常重要的定理。
它是由欧几里得在《几何原本》中提出的。
这个定理可以用来计算两个平行线之间的距离，也可以用来求解平面三角形的各种问题。
在这篇文章中，我们将详细介绍平行线分线段成比例的推论。
首先，让我们回顾一下平行线分线段成比例的基本定理。
如果有两条平行线L1和L2，它们分别与一条第三条线L相交，那么这三条线上的线段所构成的比例相等，即：$%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}$其中，AB、BC分别是线段AC上的两个部分，DE、EF分别是线段DF上的两个部分。
那么，平行线分线段成比例的推论是什么呢？其实，它就是基本定理的一个推广。
具体来说，如果有两条平行线L1和L2，它们分别与一条第三条线L相交，并且在L上分别有三个点A、B、C和D、E、F，使得：$%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}$那么，我们就可以得到以下推论：1. 如果在L上任取一点P，则AP、BP、CP和DP、EP、FP 所构成的比例相等。
证明：由于L1和L2是平行线，所以它们与L上任意一条直线所交的角度相等。
因此，我们可以得到以下等式：$%frac{AP}{PD}=%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}=%frac{D F}{FC}=%frac{DP}{PC}$因此，AP、BP、CP和DP、EP、FP所构成的比例相等。
2. 如果在L上任取一点P，则以P为顶点的三角形ABC和以P为顶点的三角形DEF的面积之比等于AB与DE之比。
证明：设S1和S2分别为三角形ABC和三角形DEF的面积，则有：$%frac{S1}{S2}=%frac{%frac{1}{2}ABÍotAC}{%frac{1}{2}DEÍot DF}=%frac{ABÍot AC}{DEÍot DF}$因为AB/BC=DE/EF，所以我们可以得到：$AB=%frac{BCÍot DE}{EF+DE}$将其代入上式中得：$%frac{S1}{S2}=%frac{%frac{1}{2}Íot%frac{BCÍotDE}{EF+DE}Íot AC}{%frac{1}{2}Íot DEÍot DF}=%frac{BCÍot AC}{EFÍot DF}=%frac{AB}{DE}$因此，以P为顶点的三角形ABC和以P为顶点的三角形DEF 的面积之比等于AB与DE之比。
平行线成比例定理及推论
平行线成比例定理是几何学中的一个基本定理,它指出如果两条平行线分别交于一个点,并且这两条平行线的长边长度成比例,那么这两个点就是同位角。
具体地,设两条平行线分别为 $AB$ 和 $CD$,它们的长边长度分别为 $a$ 和 $b$,同位角 $AC$ 和 $BD$,则有:
$$AC cdot BD = AC cdot ann(CD) = ad cdot bn,$$ 其中 $ann(CD)$ 表示以平行线 $CD$ 为直径的扇形,其面积为$ad cdot bn$。
这个定理可以推出以下推论:
1. 同位角相等:如果 $AB$ 和 $CD$ 是两条平行线,且它们的同位角相等,则它们的对边长度成比例。
2. 对边相等:如果两条平行线分别交于一个点,并且这两条平行线的对边长度成比例,则这两个点就是同位角。
3. 平行线共线:如果两条平行线分别交于一个点,并且它们的对边长度成比例,则这两条平行线共线。
4. 同位角互补:如果两条平行线分别交于一个点,并且它们的同位角互补,则这两条平行线不共线,但可以延长到对方。
需要注意的是,当平行线 $AB$ 和 $CD$ 分别交于 $P$ 和
$Q$ 时,同位角 $AC$ 和 $BD$ 对应的扇形以平行线 $AB$ 和
$CD$ 的交点 $P$ 为圆心、$Q$ 为半径。
因此,当同位角 $AC$ 和$BD$ 相等时,对应的扇形面积也相等,即 $ad cdot bn$。
25.2 平行线分线段成比例┃教学整体设计┃ 【教学目标】1.掌握平行线段成比例的基本事实及推论.2.通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图表分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力. 【重点难点】重点：平行线段成比例的基本事实及其理解. 难点：平行线段成比例的基本事实及其应用. ┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新课 1.比例线段的内容是什么？2.如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，AB BC ＝__________，DE ＝EF ，DE EF ＝________， AB BC 与DEEF有什么关系？ 通过特殊图形(点B 、E 分别是AC 、DF 的中点)，对平行线分线段成比例有点认识.二、师生互动，探究新知 如图，l 1∥l 2∥l 3.在网格中利用勾股定理计算下列问题：通过熟悉的勾股定理计算线段的长度，再用具体的数据进行比较，这样比较直观，学生容易理解，提出猜想.1.AB ＝________，BC ＝________，ABBC ＝________.2.DE ＝________，EF ＝________，DEEF ＝________.3.AB BC ＝DEEF吗？ 师生活动：分组讨论，通过勾股定理计算数据，提供探索问题的方法.使学生在类比中产生直觉思维，建立猜想.基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例. 观察下图变形后填空：在图甲和图乙中，都有ABBC＝( )，….师生活动：利用多媒体展示图形动态变化过程，学生仔细观察思考图甲、图乙是什么样的基本图形. 推论：______于三角形一边的直线截其他两过(或______)，所得的______线段成比例.三、运用新知，解决问题1.如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AE AB ＝13，BC ＝9，则AFFC 和EF 分别是( )A.13，3B.13，6 C.12，9 D.无法确定第1题图第2题图2.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AC ∶CE ＝2∶3，DF ＝9，那么BD ＝______. 解决这类问题最重要的是找准“对应关系”，一是使学生理解什么是对应线段，二是引导学生找出哪些线段是对应的线段.四、课堂小结，提炼观点1.今天学到了什么？2.还存在什么疑惑？ 以问题的形式总结知识，解决疑惑.五、布置作业，巩固提升 必做：教材第67页A 组第1，2题. 选做：教材第68页B 组第1题. 分层次布置作业，使学生根据个人情况选择，从而有所收获.┃教学小结┃ 【板书设计】 平行线分线段成比例 1.基本事实2.推论【教学反思】本节课主要采用了讨论探究法，平行线分线段成比例是学习相似三角形的基础，教学中通过具体图形，计算数据来探究平行线分线段成比例，培养了学生的自学探究能力，而且这样比较直观，学生容易理解.通过例题讲解及练习，增加了学生的知识，及应用能力.不足之处，学生对于对应关系找不准确，还需要加强这方面的练习.。
平行线分线段成比例的基本事实及其推论1. 引言大家好，今天咱们聊聊一个数学小秘密，那就是“平行线分线段成比例”。
听起来是不是有点深奥？别担心，咱们用轻松的方式来揭开它的神秘面纱。
想象一下，你在一条宽阔的马路上，左右两边的建筑物像平行线一样整齐划一，阳光洒在它们身上，就像给它们穿上了金色的外衣。
这种整齐可不只是好看，背后还有个数学原理在默默支撑着呢！2. 平行线与线段2.1 基本概念首先，让我们简单定义一下什么是平行线。
平行线就像老友记，不管怎么走，始终不分开。
它们永远不会相交，就像你和你最好的朋友，无论怎么忙，都会抽时间见面。
好啦，扯远了。
接下来，我们看看线段。
线段就是连接两个点的直线部分，就像一根绳子，两头各有一个小球，咱们叫它A和B。
现在，假如在这根绳子上，咱们再加两条平行线，把线段AB切成了几段，怎么切呢？这就来了！2.2 成比例假如有两条平行线把线段AB分成了AC和CB，那么这两段的长度就有一种神奇的关系。
这就叫“成比例”。
具体来说，AC与AB的比例等于CB与AB的比例。
这是不是有点绕？别着急，咱们用个简单的例子来说明。
如果AC是2米，CB是3米，那么AB 就是5米。
这时候，咱们可以说，AC:CB=2:3。
这种关系就像是买东西打折，折扣多的就便宜，买的东西多了，心里也会更爽呀！3. 推论与应用3.1 生活中的应用这个原理可不是只在书本上晃悠，它在我们的生活中处处可见。
想想看，当你走在公园的小道上，旁边的花坛和树木整整齐齐，都是靠这个原理来设计的。
设计师通过平行线来确保每个花坛的大小和形状都能让人赏心悦目。
这就像一位厨师在厨房里调配菜肴，所有的材料比例一旦掌握，才能做出美味的佳肴！3.2 学习中的帮助对于学生们来说，理解这个原理可是如虎添翼。
当你学到这个知识点时，你会发现，几何题目不再那么难了。
你就像一个拥有“透视眼”的超人，能轻松看穿各种线段和角度之间的关系。
记得有一次，我的小侄子在做几何题时，刚开始还哭哭啼啼，后来我跟他讲了平行线的事儿，没想到他一脸惊讶，立马就理解了，顿时成了小小几何大师，哈哈，真是太搞笑了！4. 总结说了这么多，平行线分线段成比例的原理就像是数学中的一把钥匙，开启了许多谜题的锁。
