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平行线分线段成比例的推论在平面几何中，平行线分线段成比例是一个非常重要的定理。
它是由欧几里得在《几何原本》中提出的。
这个定理可以用来计算两个平行线之间的距离，也可以用来求解平面三角形的各种问题。
在这篇文章中，我们将详细介绍平行线分线段成比例的推论。
首先，让我们回顾一下平行线分线段成比例的基本定理。
如果有两条平行线L1和L2，它们分别与一条第三条线L相交，那么这三条线上的线段所构成的比例相等，即：$%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}$其中，AB、BC分别是线段AC上的两个部分，DE、EF分别是线段DF上的两个部分。
那么，平行线分线段成比例的推论是什么呢？其实，它就是基本定理的一个推广。
具体来说，如果有两条平行线L1和L2，它们分别与一条第三条线L相交，并且在L上分别有三个点A、B、C和D、E、F，使得：$%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}$那么，我们就可以得到以下推论：1. 如果在L上任取一点P，则AP、BP、CP和DP、EP、FP 所构成的比例相等。
证明：由于L1和L2是平行线，所以它们与L上任意一条直线所交的角度相等。
因此，我们可以得到以下等式：$%frac{AP}{PD}=%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}=%frac{D F}{FC}=%frac{DP}{PC}$因此，AP、BP、CP和DP、EP、FP所构成的比例相等。
2. 如果在L上任取一点P，则以P为顶点的三角形ABC和以P为顶点的三角形DEF的面积之比等于AB与DE之比。
证明：设S1和S2分别为三角形ABC和三角形DEF的面积，则有：$%frac{S1}{S2}=%frac{%frac{1}{2}ABÍotAC}{%frac{1}{2}DEÍot DF}=%frac{ABÍot AC}{DEÍot DF}$因为AB/BC=DE/EF，所以我们可以得到：$AB=%frac{BCÍot DE}{EF+DE}$将其代入上式中得：$%frac{S1}{S2}=%frac{%frac{1}{2}Íot%frac{BCÍotDE}{EF+DE}Íot AC}{%frac{1}{2}Íot DEÍot DF}=%frac{BCÍot AC}{EFÍot DF}=%frac{AB}{DE}$因此，以P为顶点的三角形ABC和以P为顶点的三角形DEF 的面积之比等于AB与DE之比。
平行线成比例定理及推论
平行线成比例定理是几何学中的一个基本定理,它指出如果两条平行线分别交于一个点,并且这两条平行线的长边长度成比例,那么这两个点就是同位角。
具体地,设两条平行线分别为 $AB$ 和 $CD$,它们的长边长度分别为 $a$ 和 $b$,同位角 $AC$ 和 $BD$,则有:
$$AC cdot BD = AC cdot ann(CD) = ad cdot bn,$$ 其中 $ann(CD)$ 表示以平行线 $CD$ 为直径的扇形,其面积为$ad cdot bn$。
这个定理可以推出以下推论:
1. 同位角相等:如果 $AB$ 和 $CD$ 是两条平行线,且它们的同位角相等,则它们的对边长度成比例。
2. 对边相等:如果两条平行线分别交于一个点,并且这两条平行线的对边长度成比例,则这两个点就是同位角。
3. 平行线共线:如果两条平行线分别交于一个点,并且它们的对边长度成比例,则这两条平行线共线。
4. 同位角互补:如果两条平行线分别交于一个点,并且它们的同位角互补,则这两条平行线不共线,但可以延长到对方。
需要注意的是,当平行线 $AB$ 和 $CD$ 分别交于 $P$ 和
$Q$ 时,同位角 $AC$ 和 $BD$ 对应的扇形以平行线 $AB$ 和
$CD$ 的交点 $P$ 为圆心、$Q$ 为半径。
因此,当同位角 $AC$ 和$BD$ 相等时,对应的扇形面积也相等,即 $ad cdot bn$。
25.2 平行线分线段成比例┃教学整体设计┃ 【教学目标】1.掌握平行线段成比例的基本事实及推论.2.通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图表分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力. 【重点难点】重点：平行线段成比例的基本事实及其理解. 难点：平行线段成比例的基本事实及其应用. ┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新课 1.比例线段的内容是什么？2.如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，AB BC ＝__________，DE ＝EF ，DE EF ＝________， AB BC 与DEEF有什么关系？ 通过特殊图形(点B 、E 分别是AC 、DF 的中点)，对平行线分线段成比例有点认识.二、师生互动，探究新知 如图，l 1∥l 2∥l 3.在网格中利用勾股定理计算下列问题：通过熟悉的勾股定理计算线段的长度，再用具体的数据进行比较，这样比较直观，学生容易理解，提出猜想.1.AB ＝________，BC ＝________，ABBC ＝________.2.DE ＝________，EF ＝________，DEEF ＝________.3.AB BC ＝DEEF吗？ 师生活动：分组讨论，通过勾股定理计算数据，提供探索问题的方法.使学生在类比中产生直觉思维，建立猜想.基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例. 观察下图变形后填空：在图甲和图乙中，都有ABBC＝( )，….师生活动：利用多媒体展示图形动态变化过程，学生仔细观察思考图甲、图乙是什么样的基本图形. 推论：______于三角形一边的直线截其他两过(或______)，所得的______线段成比例.三、运用新知，解决问题1.如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AE AB ＝13，BC ＝9，则AFFC 和EF 分别是( )A.13，3B.13，6 C.12，9 D.无法确定第1题图第2题图2.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AC ∶CE ＝2∶3，DF ＝9，那么BD ＝______. 解决这类问题最重要的是找准“对应关系”，一是使学生理解什么是对应线段，二是引导学生找出哪些线段是对应的线段.四、课堂小结，提炼观点1.今天学到了什么？2.还存在什么疑惑？ 以问题的形式总结知识，解决疑惑.五、布置作业，巩固提升 必做：教材第67页A 组第1，2题. 选做：教材第68页B 组第1题. 分层次布置作业，使学生根据个人情况选择，从而有所收获.┃教学小结┃ 【板书设计】 平行线分线段成比例 1.基本事实2.推论【教学反思】本节课主要采用了讨论探究法，平行线分线段成比例是学习相似三角形的基础，教学中通过具体图形，计算数据来探究平行线分线段成比例，培养了学生的自学探究能力，而且这样比较直观，学生容易理解.通过例题讲解及练习，增加了学生的知识，及应用能力.不足之处，学生对于对应关系找不准确，还需要加强这方面的练习.。
平行线分线段成比例的基本事实及其推论1. 引言大家好，今天咱们聊聊一个数学小秘密，那就是“平行线分线段成比例”。
听起来是不是有点深奥？别担心，咱们用轻松的方式来揭开它的神秘面纱。
想象一下，你在一条宽阔的马路上，左右两边的建筑物像平行线一样整齐划一，阳光洒在它们身上，就像给它们穿上了金色的外衣。
这种整齐可不只是好看，背后还有个数学原理在默默支撑着呢！2. 平行线与线段2.1 基本概念首先，让我们简单定义一下什么是平行线。
平行线就像老友记，不管怎么走，始终不分开。
它们永远不会相交，就像你和你最好的朋友，无论怎么忙，都会抽时间见面。
好啦，扯远了。
接下来，我们看看线段。
线段就是连接两个点的直线部分，就像一根绳子，两头各有一个小球，咱们叫它A和B。
现在，假如在这根绳子上，咱们再加两条平行线，把线段AB切成了几段，怎么切呢？这就来了！2.2 成比例假如有两条平行线把线段AB分成了AC和CB，那么这两段的长度就有一种神奇的关系。
这就叫“成比例”。
具体来说，AC与AB的比例等于CB与AB的比例。
这是不是有点绕？别着急，咱们用个简单的例子来说明。
如果AC是2米，CB是3米，那么AB 就是5米。
这时候，咱们可以说，AC:CB=2:3。
这种关系就像是买东西打折，折扣多的就便宜，买的东西多了，心里也会更爽呀！3. 推论与应用3.1 生活中的应用这个原理可不是只在书本上晃悠，它在我们的生活中处处可见。
想想看，当你走在公园的小道上，旁边的花坛和树木整整齐齐，都是靠这个原理来设计的。
设计师通过平行线来确保每个花坛的大小和形状都能让人赏心悦目。
这就像一位厨师在厨房里调配菜肴，所有的材料比例一旦掌握，才能做出美味的佳肴！3.2 学习中的帮助对于学生们来说，理解这个原理可是如虎添翼。
当你学到这个知识点时，你会发现，几何题目不再那么难了。
你就像一个拥有“透视眼”的超人，能轻松看穿各种线段和角度之间的关系。
记得有一次，我的小侄子在做几何题时，刚开始还哭哭啼啼，后来我跟他讲了平行线的事儿，没想到他一脸惊讶，立马就理解了，顿时成了小小几何大师，哈哈，真是太搞笑了！4. 总结说了这么多，平行线分线段成比例的原理就像是数学中的一把钥匙，开启了许多谜题的锁。
平行线分线段成比例定理证明方法平行线分线段成比例定理，也被称为延长线分线段成比例定理，是初中数学中的一个重要定理。
它是指当一条直线与两条平行线相交时，所相交的线段在平行线上的投影之间成等比例。
本文将介绍该定理的证明方法。
我们来看一下平行线分线段成比例定理的表述：设有两条平行线l 和m，直线AB与这两条平行线相交于点C和D，点E是直线AB上的一个任意点。
那么，有线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比，即CE/DE=AC/BD。
接下来，我们开始证明平行线分线段成比例定理。
我们假设线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比，即CE/DE=AC/BD。
我们要证明的是，当直线AB与平行线l和m相交时，线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比。
根据平行线分线段成比例定理，我们可以得到以下等式：CE/DE=AC/BD接下来，我们需要利用一些几何性质来证明这个等式。
我们可以利用相似三角形的性质。
根据平行线的性质，我们可以得到∠ACB=∠CDE和∠BDC=∠CED。
因此，三角形ACB与三角形CDE相似，三角形BDC与三角形CED相似。
根据相似三角形的性质，我们可以得到以下等式：AC/CE=AB/DE （1）BD/DE=AB/CE （2）接下来，我们将等式（1）和等式（2）相除，得到：(AC/CE)/(BD/DE)=(AB/DE)/(AB/CE)AC/BD=CE/DE因此，我们得到了CE/DE=AC/BD的等式，即平行线分线段成比例定理成立。
通过上述推导，我们可以看出，平行线分线段成比例定理的证明方法主要依赖于相似三角形的性质。
通过利用相似三角形的性质，我们可以得到线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比。
平行线分线段成比例定理在数学中有着广泛的应用。
例如，在解决平面几何问题时，我们经常会利用该定理来求解未知线段的长度。
同时，在解决实际问题时，该定理也能为我们提供有效的解题思路。
平行线分线段成比例定理是初中数学中的一个重要定理。
九年级数学平行线分线段成比例知识点精讲平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。
推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。
1简介编辑平行线分线段成比例亦称平行截割定理，平面几何术语，指三条平行线截两条直线，所得的四条线段对应成比例，如图1，，则平行截割定理是研究相似形最常用的一个性质，它的重要特例：在一直线上截得相等线段的一组平行线，也把其他直线截成相等的线段，称其为平行线等分线段。
[1]图12定理证明编辑设三条平行线与直线m 交于A、B、C 三点，与直线n 交于D、E、F 三点。
连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF，∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF。
由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF。
3定理推论编辑过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
01平行线分线段成比例的基本事实1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.符号表示：如图02平行线分线段成比例的基本事实的推论1.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
