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第四章 稳定性与李雅普诺夫方法汇总

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现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析

现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3

第四章(稳定性与李雅普诺夫方法)

第四章(稳定性与李雅普诺夫方法)

1、构造Liaponov 函数没有确定的方法，要求一定的技巧，一般 用于非线性系统或时变系统； 2、必须是稳定性判据的标量函数，且有一阶连续偏导； 3、非唯一但不影响结论的正确性； 4、最简单的形式为二次型。
§4.4 Liaponov 方法在系统中的应用
一、线性定常连续系统渐近稳定判据 1、判据 的平衡状态xe =0 大范围渐进稳定充要条件是： 对于任意给定的正定实对称矩阵Q,存在正定的实对称矩阵P，满足 Liaponov方程： T
1、 Liyaponov意义下的稳定
0, ( , t 0 ) 0, s.t. if || x 0 x e || ( , t 0 ) || (t , x 0 , t 0 ) x e || then其解 (t 0 t )
称平衡状态xe为 Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。
V (x) x T Px [ x1
x2
如果 pij =
p ji ，则称P
为实对称阵。例如
1 1 0 P 1 1 0 0 0 1
P为实对称阵，存在正交阵T，使当
V ( x) x Px x T PTx x T
T T T T 1
X T X
___
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2
2
1
2
［例４-３］
判别下列各函数的符号性质．
（１）设 x x1
x2
x3
T
标量函数为
2 V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为有Ｖ（0）＝０，而且对非零x，例如 x 所以Ｖ（x）为半正定（或非负定）的． （２）设
a a 0
设Ｖ（x）为由n维矢量x所定义的标量函数，x∈Ω，且x＝０处，恒有 Ｖ（x）＝０。对所有在域Ω中的任何非零矢量x，如果成立 ①Ｖ（x）＞０，则称Ｖ（x）为正定的．例如，V (x) x 2x V ( x) ( x x ) ②Ｖ（x）≥０，则称Ｖ（x）为半正定（或非负定）的．例如， ③Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为负定的．例如，V (x) (x 2x ) ④Ｖ（x）≤０，则称Ｖ（x）为半负定的．例如，V ( x) ( x x ) ⑤Ｖ（x）＞０或Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为不定的．例如， V ( x) x x

第4章+稳定性与李雅普诺夫方法

第4章+稳定性与李雅普诺夫方法

若 xe 的稳定性（渐近稳定）不依赖于t0 ，则称其为 一致稳定（渐近稳定）。
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
4.2 李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法又称间接法。他的基本思路是通过系统状态方程的解来 判断系统的稳定性。
一、线性系统的稳定性判据
其传递函数的极点为： s1 1，s2 1
有极点在s平面的左半平面，所以系统的状态不是渐进稳定的。
（2）由输出传递函数
Wuy (s) C(sI A)1 B 1
0
s
0
1
0 1 1
(s 1)
1
s 1 1 (s 1)(s 1) (s 1)
f1 f1

x1
x2
f x

f2

x1
f2 x2
f1
xn

f2
xn




f x
称为雅克比矩阵。

fn
fn
x1 x2
fn

xn nn
若令 x x xe ，忽略高阶项，可得系统的线性化方程：
的。 （3） V (x) 0 ，则称 V (x) 为负定的。例如： （4） V (x) 0 ，则称 V (x) 为半负定（或非正定）
的。 （5）V (x) 0 或 V (x) 0 ，则称 V (x) 为不定的。
例

1） V (x) x12 x22 正定的

2） V (x) (x1 x2 )2 半正定的
1 0 1
x


0

第四章稳定性与李雅普诺夫方法

第四章稳定性与李雅普诺夫方法
平衡状态的定义：若对所有t，状态x满足
x0 ，
则称该状态x为平衡状态，记为：x e ，满足下式：
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x f ( xe , t ) ，平衡状态的各分量相对时间不再发生
变化。由平衡状态在状态空间确定的点，称为平 衡点。 平衡状态的求法： 线性定常系统 x Ax 的平衡状态 a.线性系统
x e 应满足 Ax 0 。
x Ax
xR
n
0 xe 0 A奇异：Axe 0 有无穷多个 xe
A非奇异：Axe
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
b.非线性系统
x f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe
eg.
x1 x1
3 x2 x1 x2 x2
yi (t ) mi , i 1,2,, n,0 mi , t 0
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
对于多输入—多输出系统来说，输入量u(t)和输 出量y(t)的有界涵义，可以等效地按其每个分量 值的模的有界性来表征，即若：
u(t ) u1 (t ), u2 (t ),, un (t )
y(t ) y1 (t ), y2 (t ),, yn (t )
则有界的涵义为
T
T
ui (t ) mi , i 1,2,, n,0 mi , t 0
yi (t ) m j , j 1,2,, n,0 m j , t 0
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
，若任意给定实数
0, ,都存在
( , t ) 0 ，使得： x0 xe ，从初始状态 x 0 出发的解
x(t , x0 , t0 )

第4章 稳定性与李雅普诺夫方法

第4章 稳定性与李雅普诺夫方法

lim x xe
t
则称系统的平衡状态xe渐近稳定的。
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
第二种：渐近稳定 x2 S( )
经典 理论 中的 稳定 就是 这里 所说 的渐 近稳 定

S( )

x0 xe x1
x
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
第三种：大范围渐近稳定
定义: 如果系统 x f ( x, t ) 对对整个状态空间中的任意初 始状态x0的每一个解，当t→，都收敛到xe，称系统的平 衡状态xe大范围渐近稳定。
RCx1 x1 0
电容器储存的电场能为
x1 (t ) x1 (0)e
2t

t RC
1 1 2 1 2 2 v( x ) CU c Cx1 Cx1 (0)e RC 0 2 2 2
v( x )
2 v( x ) 0 RC
4.3 李雅普诺夫第二法
3 几个稳定判据
4.2 李雅普诺夫第一法
4.2 李雅普诺夫第一法
绪论
本章结构 • 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
4.3 李雅普诺夫第二法
f ( xe , t ) 0
由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
（1）平衡状态
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
（1）平衡状态
对于非线性系统，方程f ( xe,t) = 0的解可能有多个，即 可能有多个平衡状态。如

04第四章 李雅普诺夫稳定性理论汇总

04第四章 李雅普诺夫稳定性理论汇总

系统不一定都存在平衡点； 但系统也可能有多个平衡点； 平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当 的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）；
(4)
稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对 多平衡点问题需针对各状态讨论。
二、李雅普诺夫意义下的稳定性 f ( x, t )平衡状态xe的H邻域为 定义4-2：系统x x xe H , H 0, 为2范数(欧几里德范数 )





1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性 定理采用了状态向量来描述，适用于单变量， 线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。
应用：自适应，最优控制，非线性控制等。

主要内容：

李氏第一法（间接法）：根据线性系统特征值 或极点来判别稳定性。若是非线性系统，需先 线性化。 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构 造Lyapunov标量函数。
A非奇异： Axe 0 xe 0
解唯一,平衡 点只有一个
xe A奇异： Axe 0 有无穷多个
b. 非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有一个或多个 xe x
例：
1 x1 x 2 x1 x2 x x
3 2
令

1 0 x
Xe
说明：
(1) 若系统渐近稳定，则对于x’=Ax而言，A特征值 应均有负实部。
x(t ) e x0 e A B( )u( )d
At 0 t
(2) 若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个 状态空间中只有一个平衡点。
(3) 除非S ( )对应于整个状态平面 , 否则这些定义只能应用 于平衡状态的邻域。
即 x xe

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

26
李雅普诺夫第一法又称间接法。 它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。 对于线性定常系统，解出特征方程的根即可作出稳定性判断。
对于非线性不很严重的系统，可通过线性化处理，取其一次近 似得到线性化方程，然后根据其特征根来判断系统的稳定性。
16.06.2020
27
一、线性系统的稳定判据(特征值判据)
当A为非奇异矩阵时，满足Axe0的解xe=0是系统唯一存在的一 个平衡状态。
而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。
16.06.2020
16
对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。
x 1 x1 x2 x1 x2 x23
0
0
0
xe1 0 ,xe2 1 ,xe1 1
稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
16.06.2020
1
一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于 工程实施的。
系统的稳定性，表示系统在遭受外界绕扰动偏离原来的平衡状态， 而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种 “顽性”。
可按两种方式来定义系统运动的稳定性：
通过输入―输出关系来表征的外部稳定性 通过零输入状态下的状态运动的响应来表征的内部稳定性
对于线性系统来说，由于满足叠加原理，如果平衡状态是渐近 稳定的，则必然是大范围渐近稳定的。
对于非线性系统，使xe为渐近稳定平衡状态的球域s()一般是不 大的，常称这种平衡状态为小范围渐近稳定。
16个实数>0和任一实数>0，不管这个实数多么小， 由s()内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过s()，则称这种 平衡状态xe不稳定。
结论2：线性定常系统是BIBO稳定的，不能保证系统必是渐近稳 定的。

第4章稳定性与李雅普诺夫方法

第4章稳定性与李雅普诺夫方法
21
4.3 李雅普诺夫第二法
3、希尔维斯特判据
设实对称阵
p11 p12
P
p21
p22
pn1
p1n
,
pij
p ji
pnn
i 为其各阶顺序主子式，即
1 p11 ,
2
p11 p21
p12 , p22
,n P
矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：
22
4.3 李雅普诺夫第二法
(1)若 i 0 (i 1, 2, , n)， 则 P 正定；
要条件是整个状态空间只有一个平衡点。
线性系统：渐近稳定 大范围渐近稳定 非线性系统：一般小范围渐近稳定
6
4. 不稳定
4.1.2 稳定性的几个定义
对于某个实数 和任意
，在超球域
内始终存在状态 ，使得从该状态开始的运动轨迹要 突破超球域 。
7
4.1.2 稳定性的几个定义
此三个图分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定 和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
28
4.3 李雅普诺夫第二法
说明： （1）V (x) 0 ，则此时 V (x) C，系统轨迹将在某个曲面上，
而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。 （2）V (x)不恒等于0，说明轨迹在某个时刻与曲面 V (x) 相C 交，
但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。
x0
x0
（3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！
于是知系统在原点处不稳定。
33
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.3 对李雅谱诺夫函数的讨论 （1） V(x)是正定的标量函数，V(x)具有一阶连续偏导数； （2）并不是对所有的系统都能找到V(x)来证明该系统稳定 或者不稳定； （3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但关于稳定性的 结论是一致的；

稳定性与李雅普诺夫

稳定性与李雅普诺夫
1）V(x) ＞ 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) ≥ 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：

现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法

现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法

【解】（1） 平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) (2x12 6x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
大范围渐近稳定。
（2） 平衡状态为： xe 0 0 T
主要知识点: 1、 BIBO (有界输入有界输出)稳定的定义、定理。
§4-3 李雅普诺夫稳定性的概念
主要知识点:
1、系统状态的运动和平衡状态
2、李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、全局渐近稳 定和不稳定的定义
§4-4 李雅普诺夫间接法（第一法）/线性化局部稳定 主要知识点: 1、线性系统的稳定性判别定理 2、内部稳定和外部稳定的关系 3、非线性系统线性化方法和稳定性判别定理（李雅普诺夫间 接法/第一法）
1 2

x1 x2


x14

x12

2
x22

2
x1
x2

0
V(x) 4x13x1 2x1 x1 4x2 x2 2x1 x2 2x1 x2 2(x14 x22) 0
因此系统在坐标原点是渐近稳定的，并且 x ,V (x) ,
1 0 0
19/ 78 10/ 39 1/ 2
由方程 GT PG P I 解出 P 10 / 39 49 / 78
19
/13 26
不定号，因此系统不渐近稳定。
实际上，该系统的特征值为0.1173+2.6974i, 0.1173-2.6974i, -1.2346都在单位圆外，系统是不稳定的。
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】 系统平衡状态为： xe 0 0 T

现代控制理论_稳定性与李雅普诺夫方法汇总

现代控制理论_稳定性与李雅普诺夫方法汇总
状态稳定性
两个推论：
线性定常系统如果是状态稳定的，则系统一定 是输出稳定的 。
线性定常系统如果是输出稳定的，则系统未 必是状态稳定的。
参见例4.1
4.3 李雅普诺夫第二法 无需求解微分方程，直接判断系统稳定性。
系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的运动过 程中，若能量随时间衰减以致最终消失，则系统迟早 会达到平衡状态，即系统渐近稳定。 反之，系统则不稳定。若能量在运动过程中不增不减， 则称为李雅普诺夫意义下的稳定。
mx kx
选
x
x1
x2
x
x
0 xe 0
状态方程
x1
x2
x2
k m
x1
系统能量 正定
能量不变 恒等于0
V
(x)
1 2
kx12
1 2
mx22
V (x) kx1x1 mx2x2 0
李雅普诺夫意义下的稳定
定理4
时变系统 x f (x,定t)常, t 系 t统0 ：
x f (x), t 0
+
S
R
C
uc
E
解：选择电容电压uc为状态变量x1
RCx1 x1 0
t
x1(t) x1(0)e RC
V (x)
1 2
CU
2 c
1 2
Cx12
1 2
Cx12
(0)e
2t RC
0
V(x) 2 V (x) 0 RC
渐近稳定！
4.3.1 预备知识 1、标量函数的符号性质
在零平衡状态 xe 0的邻域内
仅有数学方程，没有物理意义的系统
虚构一个与时间有关的能量函数（李雅普诺夫
函数）V (x,t) ——标量函数。 求出能量随时间变化率 V(x,t)。

第4章 李雅普诺夫稳定性分析

第4章 李雅普诺夫稳定性分析

t e
i
i t j i t
ˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
t
则称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从S(δ)出发的轨迹不仅不会超出 S(ε)，且当t→∞时收敛于xe，显见经典控制理论中的稳定性定义与渐近稳定 性对应。
若δ 与t0无关，且上式的极限过程与t0无关，则称平衡状态是一致渐近 稳定的。 4 大范围（全局）渐近稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称 此平衡状态是大范围渐近稳定的。此时，δ→∞，S(δ) →∞。当t→∞时，由状 态空间中任一点出发的轨迹都收敛于xe 。 对于严格线性的系统，如果它是渐近稳定的，必定是大范围渐近稳定， 这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说， 其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐近稳定不一定是大范围渐近 稳定。

S ( ) x0

xe

xe

xe
x1
x1
x1
(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性
(b) 渐近稳定性
(c) 不稳定性
4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。

第4章 稳定性和李雅普诺夫方法PPT学习课件

第4章 稳定性和李雅普诺夫方法PPT学习课件
–定常系统 –时变系统 –非线性系统
，由V(x) 的符号判断
本章完
42
作业：P186 4-7 4-8 4-11
43
17
离散控制系统稳定的充分必要条件
s平面与z平面的映射关系
S平面
z平面
18
4.4.3 线性定常离散时间系统渐近稳定判据
定理：设线性定常离散时间系统的状态方程为：
（8）
则平衡状态
渐近稳定的充要条件为：G 的特征
根均在单位开圆盘内。
命题2：G Rnn 的所有特征根均在单位开圆盘内（模小于
1），等价于存在实对称矩阵P，使得 GT PG P 0 。
V(x) f T (x)[ J T (x) J (x)] f (x)
推论： 对于线性定常系统 x Ax ，若矩阵A非奇
异，且矩阵 AT A 0 为负定，则系统的平衡状态
xe 0 是大范围渐近稳定的，因为
V (x) f T (x) f (x) xT AT Ax Ax 2
0 0.5 p11
0.5
1


p12
p12 0
p22

0.5
0.5 1


p11 p12
p12 p22


1

0
0 1
由此解出
21
P


p11 p12
52
p12 p22



27 40
称矩阵P，使得 AT P PA 0 。
结论：任意给定实对称Q>0，若存在实对称P>0， 满足李雅
普诺夫方程 AT P PA Q， 则可取
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2019/1/3
8
对于该式所描述的线性定常系统，其为渐近稳定的充分必要条 件是矩阵A的所有特征值均具有负实部，即：
Re{i ( A)} 0, i 1,2, n
其中n为系统的维数。 当矩阵A给定后，则一旦导出其特征多项式：
( s) det( sI A) s n an 1s n 1 a1s a0
2019/1/3
7
二、部稳定性
Ax Bu x y Cx Du x(0) x 0
如果外输入u(t)0，初始状态x0为任意，且由x0引起的零输入响 应(t;0, x0,0)满足关系式：
t
lim (t ;0, x 0 ,0) 0
则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。
2019/1/3 3
本章重点讨论李雅普诺夫第二法。
它的特点是不求解系统方程，而是通过一个叫李雅普诺夫函数的 标量函数来直接判定系统的稳定性。
因此，它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。 李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于 对系统瞬态响应的质量进行评价以及求解参数最优化问题。 此外，在现代控制理论的许多方面，例如最优系统设计、最优 估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论 都有广泛的应用。
设所研究的齐次状态方程为：
f ( x, t ) x
f为与x同维的向量函数，是x的各元素x1,x2,,xn和时间t的函数。
2019/1/3
14
运动、状态轨线
设方程式在给定初始条件(t0,x0)下，有唯一解：
x (t ; x 0 , t 0 ) x 0 (t 0 ; x 0 , t 0 ) 表示x在初始时刻t0的状态。
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4.1
外部稳定性和内部 稳定性
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一、外部稳定性
考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入u(t)，即满足 条件：
u(t ) k1 , t t 0 ,
的输入u(t)，所产生的输出y(t)也是有界的，即成立：
y(t ) k 2 , t t 0 ,
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线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，而与系统的初 始条件及外界扰动的大小无关。 非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。 因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。 李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义
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一、系统状态的运动及平衡状态
这是因为具有正实部的特征 值2=+1被系统的零点s=+1对 消了，所以在系统的输入输 出特性中没被表现出来。
det( I A) ( 1)( 1) 0
故系统不是内部稳定的。
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可得特征值1=－1，2=+1。
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4.2 李雅普诺夫关于稳 定性的定义
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第四章
稳定性与李雅普诺夫方法
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一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于 工程实施的。
系统的稳定性，表示系统在遭受外界绕扰动偏离原来的平衡状态， 而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种 “顽性”。
可按两种方式来定义系统运动的稳定性： 通过输入―输出关系来表征的外部稳定性 通过零输入状态下的状态运动的响应来表征的内部稳定性 只是在满足一定的条件时，系统的内部稳定性和外部稳定性之 间才存在等价关系。
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发的一条状 态运动的轨线，称系统的运动或状态轨线
那么就可利用劳斯－赫尔维茨判据，直接由特征多项式的系数 来判断系统的渐近稳定性。
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三、内部稳定性和外部稳定性间的关系
结论1：线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定的。
结论2：线性定常系统是BIBO稳定的，不能保证系统必是渐近稳 定的。 证：由系统结构的规范分解定理可知，通过引入线性非奇异变换， 可将系统分解为能控能观、能控不能观、不能控能观和不能控不 能观四个部分，而输入－输出特性只能反映系统的能控能观部分。 因此，系统的 BIBO稳定只是意味着其能控能观部分为渐近稳定， 它既不表明也不要求系统的其它部分是渐近稳定的。 结论3：如果线性定常系统为能控和能观的，则其内部稳定性与 外部稳定性必是等价的。
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举例
1 0 x x 1 0 y 1 0x 1 1u
分析系统的外部稳定性与内部稳定性
传递函数的极点s=－1位于s的 左半平面，故系统外部稳定。
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W ( s ) c ( sI A) 1 b 0 1 s 1 1 0 1 0 s 1 s 1 1 ( s 1)( s 1) s 1
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在经典控制理论中，对于单输入单输出线性定常系统，应用劳 斯(Routh)判据和赫尔维茨(Hurwitz)判据等代数方法判定系统的 稳定性，非常方便有效。 至于频域中的奈奎斯特 (Nyquist) 判据则是更为通用的方法，它 不仅用于判定系统是否稳定，而且还指明改善系统稳定性的方 向。 上述方法都是以分析系统特征方程在根平面上根的分布为基础 的。但对于非线性和时变系统，这些判据不适用了。 早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将判定系统稳定性 的问题归纳为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二 法。 前者是通过求解系统微分方程，然后根据解的性质来判定系统 的稳定性。它的基本思想和分析方法与经典理论是一致的。
则称此因果系统是外部稳定的，也即是有界输入－有界输出稳 定的，并简称为BIBO稳定。
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在讨论外部稳定性时，必须假定系统的初始条件为零；
在这种假定下，系统的输入－输出描述才是唯一的和有意义的。
对于零初始条件的线性定常系统，G(s)为其传递函数阵，则系统 为BIBO稳定的充要条件是： 当G(s)为真的有理分式函数矩阵时，G(s)的每一个元传递函数的 所有极点均具有负实部。