材料力学第七章 应力和应变分析、强度理论

2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y

x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2

x
y

2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c

x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2

40

x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )

C
C

C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa

第七章应力和应变分析强度理论1.单元体最大剪应力作用面上必无正应力答案此说法错误（在最大、最小正应力作用面上剪应力一定为零；在最大剪应力作用面上正应力不一定为零。

拉伸变形时，最大正应力发生在横截面上，在横截面上剪应力为零；最大剪应力发生在45度角的斜截面上，在此斜截面上正应力为σ/2。

）2. 单向应力状态有一个主平面，二向应力状态有两个主平面答案此说法错误（无论几向应力状态均有三个主平面，单向应力状态中有一个主平面上的正应力不为零；二向应力状态中有两个主平面上的正应力不为零）3. 弯曲变形时梁中最大正应力所在的点处于单向应力状态答案此说法正确（最大正应力位于横截面的最上端和最下端，在此处剪应力为零。

）4. 在受力物体中一点的应力状态，最大正应力作用面上切应力一定是零答案此说法正确（最大正应力就是主应力，主应力所在的面剪应力一定是零）5.应力超过材料的比例极限后，广义虎克定律不再成立答案此说法正确（广义虎克定律的适用范围是各向同性的线弹性材料。

）6. 材料的破坏形式由材料的种类而定答案此说法错误（材料的破坏形式由危险点所处的应力状态和材料的种类综合决定的）7. 不同强度理论的破坏原因不同答案此说法正确（不同的强度理论的破坏原因分别为：最大拉应力、最大线应变、最大剪应力、形状比能。

）二、选择1.滚珠轴承中，滚珠与外圆接触点为应力状态。

A：二向； B：单向C：三向D：纯剪切答案正确选择C（接触点在铅垂方向受压，使单元体向周围膨胀，于是引起周围材料对接触点在前后、左右方向的约束应力。

）2.厚玻璃杯因沸水倒入而发生破裂，裂纹起始于。

A：内壁 B：外壁 C：内外壁同时 D：壁厚的中间答案正确选择：B （厚玻璃杯倒入沸水，使得内壁受热膨胀，外壁对内壁产生压应力的作用；内壁膨胀使得外壁受拉，固裂纹起始于外壁。

）3. 受内压作用的封闭薄壁圆筒，在通过其壁上任意一点的纵、横两个截面中。

A：纵、横两截面均不是主平面； B：横截面是主平面、纵截面不是主平面；C：纵、横二截面均是主平面； D：纵截面是主平面，横截面不是主平面；答案正确选择：C （在受内压作用的封闭薄壁圆筒的壁上任意取一点的应力状态为二向不等值拉伸，其σx =pD/4t、σy=pD/2t。

由此得到计算剪应力最大最小值所在平面的公式
y x y x cos 2 xy sin 2 2 2 y x sin 2 xy cos 2 2
(a) (b)
x y tan 21 2 xy 2 x y max 2 xy 此式确定两个平面： 1 和 1 。 2 2 min 3.这两个平面相互垂直，其中一个是 max 所在平面；另一个 是 min所在平面。
2 xy
此式确定两个平面： 0 和 0
x y

。
2 1.这两个平面相互垂直，其中一个是 max所在平面；另一个 是 min所在平面。
比较 (b) 和 (a)发现：在 0和 0

2.这两个平面是主平面，那么 max和 min就是主应力；也可 以说主应力就是最大最小正应力。
x y 2 2 x y 2 2 ( ) ( ) xy 2 2
应力状态/应力圆
x y 2 2 x y 2 2 ( ) ( ) xy 2 2

x y 2 2 ( ) xy 2
R C
对于铸铁材料，抗压强度远大 于抗剪强度。故沿45°面破坏， 是一种剪切破坏。
例7-5：用解析法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和切应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大切应力值。
解： y

x
80 MPa,

y
40 MPa
xy
60 MPa, = 30 °
0
y

yx
xy
x
OC CD cos 2 0 cos 2 CD sin 2 0 sin 2 cos 2 sin 2

无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0