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第7章 应力应变分析 强度理论 (材料力学)

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材料力学第7章应力状态

材料力学第7章应力状态

y
2

2 xy

m m
ax in




m
ax
2

m
in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0

2 xy x
y
tan
21


x 2 xy
y
tan
20


1
tan 21
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21


x 2 xy
y
二、最大、最小切应力

m m
ax
in




x
2



x
y
2
sin 2
xy cos 2
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.2 主应力 主方向 一、主应力
正应力是求极值
d d
x
y
2
(2sin 2 ) xy(2cos2 ) 0
得极值条件为

x

2
y
sin
2
xy
cos
2

0
(1) 极值正应力所在的斜面，恰好是切应力等于零的
平面，即主平面。
(2) 极值正应力就是主应力。
§7.2 平面应力状态分析的解析法

材料力学第七章应力状态和强度理论

材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y

x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2

x
y

2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c

x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2

40

x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )

C
C

C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa

材料力学带答疑

材料力学带答疑

第七章应力和应变分析强度理论1.单元体最大剪应力作用面上必无正应力答案此说法错误（在最大、最小正应力作用面上剪应力一定为零；在最大剪应力作用面上正应力不一定为零。

拉伸变形时，最大正应力发生在横截面上，在横截面上剪应力为零；最大剪应力发生在45度角的斜截面上，在此斜截面上正应力为σ/2。

）2. 单向应力状态有一个主平面，二向应力状态有两个主平面答案此说法错误（无论几向应力状态均有三个主平面，单向应力状态中有一个主平面上的正应力不为零；二向应力状态中有两个主平面上的正应力不为零）3. 弯曲变形时梁中最大正应力所在的点处于单向应力状态答案此说法正确（最大正应力位于横截面的最上端和最下端，在此处剪应力为零。

）4. 在受力物体中一点的应力状态，最大正应力作用面上切应力一定是零答案此说法正确（最大正应力就是主应力，主应力所在的面剪应力一定是零）5.应力超过材料的比例极限后，广义虎克定律不再成立答案此说法正确（广义虎克定律的适用范围是各向同性的线弹性材料。

）6. 材料的破坏形式由材料的种类而定答案此说法错误（材料的破坏形式由危险点所处的应力状态和材料的种类综合决定的）7. 不同强度理论的破坏原因不同答案此说法正确（不同的强度理论的破坏原因分别为：最大拉应力、最大线应变、最大剪应力、形状比能。

）二、选择1.滚珠轴承中，滚珠与外圆接触点为应力状态。

A：二向； B：单向C：三向D：纯剪切答案正确选择C（接触点在铅垂方向受压，使单元体向周围膨胀，于是引起周围材料对接触点在前后、左右方向的约束应力。

）2.厚玻璃杯因沸水倒入而发生破裂，裂纹起始于。

A：内壁 B：外壁 C：内外壁同时 D：壁厚的中间答案正确选择：B （厚玻璃杯倒入沸水，使得内壁受热膨胀，外壁对内壁产生压应力的作用；内壁膨胀使得外壁受拉，固裂纹起始于外壁。

）3. 受内压作用的封闭薄壁圆筒，在通过其壁上任意一点的纵、横两个截面中。

A：纵、横两截面均不是主平面； B：横截面是主平面、纵截面不是主平面；C：纵、横二截面均是主平面； D：纵截面是主平面，横截面不是主平面；答案正确选择：C （在受内压作用的封闭薄壁圆筒的壁上任意取一点的应力状态为二向不等值拉伸，其σx =pD/4t、σy=pD/2t。

材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论

材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力

工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论

工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论

无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0

材料力学应力和应变分析强度理论

材料力学应力和应变分析强度理论

§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP

材料力学第七章 应力状态


主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y

《材料力学》第7章-应力状态和强度理论-习题解

解：左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。
支座反力: (↑)
=
（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘
超过 的5。3％，在工程上是允许的。
（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处
(3)在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度
超过 的3.53%，在工程上是允许的。
解：坐标面应力:X（—0。05，0);Y（-0.2,0）
。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 代表 。
按比例尺量得斜面的应力为：
按习题7—5得到的公式计算如下：
作图法(应力圆法)与解析法（公式法）的结果一致。
［习题7-7]试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为 的截面上，在顶面以下 的一点处的最大及最小主应力,并求最大主应力与 轴之间的夹角。
解：
…………(1)
…………（2)
（1)、(2)联立,可解得 和 。
至此,三个面的应力均为已知：X（ ，0），Y（ ，0）（ , 均为负值）;
( ）。由X，Y面的应力就可以作出应力圆。
[习题7-12]一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示,梁的自重略去不计。试示 上 三点处的主应力。
解:（1）求 点的主应力
解：坐标面应力：X（15,15）,Y(0，-15）
第一强度理论：
因为 ， ，即 ，
所以 符合第一强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全.
第二强度理论：
因为 ,
，即 ，
所以 符合第二强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全。
[习题7—25]一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为 , .试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。注:通常在计算a点处的应力时，近似地按 点的位置计算。

第七章 应力状态、应变分析和强度理论


§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135

y =60 MPa xy = -50MPa =-30°

材料力学 第七章 应力状态和强度理论


y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。
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二、最大切应力及方位 (Maximum shearing stress and it’s direction) x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
1.最大切应力的方位（The direction of maximum shearing stress ）
1.最大正应力的方位（The direction of maximum normal stress ）
x y d 令 2[ sin 2 xy cos 2 ] 0 d 2 2 xy 0 90 tan2 0 0 x y
所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.
30
2 2 40 60 40 60 cos( 60 ) ( 50) sin( 60 ) 2 2 58.3MPa x y 40 60 sin 2 xy cos 2 sin( 60 ) 2 2 ( 50) cos( 60 ) 18.3MPa
y
1 xy x
作者：王吉民
2010年8月
§7-1 应力状态概述
§7-2 平面应力状态分析——解析法
§7-3 平面应力状态分析——图解法
§7-4 空间应力状态分析简介
§7-5 材料的物理性关系 §7-6 平面应变状态分析 §7-7 强度理论概述 §7-8 四种常用强度理论 §7-9 莫尔强度理论
§7-1 应力状态概述 (Introduction of stress-state)
薄壁圆筒的横截面面积
πD 2 F p 4
πD 2 F p 4 pD A πD 4
′
p
A πD
n
D
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
"
p
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
代数值大小的顺序来排列, 即
1 2 3
三、应力状态的分类 （The classification of stresses-state）
1.空间应力状态（Triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ） 三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零 2.平面应力状态（Biaxial stress-state or plane stress-state） 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零 3.单向应力状态（Uniaxial stress-state or simple stress-state） 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
x y d 2[ cos 2 xy sin 2 ] 0 令 d 2 x y 1 tan 21 90 2 xy 1
1 和 1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力
所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.
2.最大切应力（Maximum shearing stress ） 将1和 1+90°代入公式
低碳钢和铸铁的拉伸
低碳钢 （low- carbon steel）
铸铁 （cast-iron）
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
低碳钢和铸铁的扭转
低碳钢 （low- carbon steel）
铸铁 （cast-iron）
为什么脆性材料扭转时沿45°螺旋面断开？
3.重要结论（Important conclusions）

2 xy 2 50 tan 2 0 1.429 x y ( 70) 0
1 3
A
0
27.5

0 1
x
62.5
3
因为 x < y ，所以 0= 27.5°与min对应
x y 2 2 26MPa max x y ( ) xy 2 2 96MPa min
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
2.最大正应力（Maximum normal stress） 将 0和 0+90°代入公式

x y
2

x y
2
cos 2 xy sin 2
得到max和min (主应力）
x y 2 2 max x y ( ) xy 2 2 min
（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正
（2）正应力仍规定拉应力为正
（3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正
e
x
xy
α
α
n α
e dAcos α a dA
α
f
a
yx
y
t
dAsin
f
3.任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane) 设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为 dAsin 对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
2
3
2
1 1
1 3 2
1
1
2
1
例题 1
画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5 S平面
4
3
l/2 l/2
2 1
5
S平面
5 4
4
3 2 1
3 2
1
2 x1
1
3
x1
x2
2
x2
2
3
3
例题2 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
m n

z
y
p
D
m
l
n n
（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
α
n α
90 x y
应力转轴公式的适用范围？
α
f
a
yx
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
y
t
上述关系式是建立在静力学基础上，与材料性质无关。 换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于
二、最大正应力及方位 （Maximum normal stress and it’s direction） x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角
若约定 | 0 | < 45°即0 取值在±45°范围内 则确定主应力方向的具体规则如下 （1）当x> y 时,0 是x与max之间的夹角 （2）当x<y 时,0 是x与min之间的夹角 （3）当x=y 时,0 =45°,主应力的方向可由单元体上切应 力情况直观判断出来
§7-2 平面应力状态分析-解析法 （Analysis of plane stress-state）
y
y yx
y
xy
yx x
x
x
xy
z
平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx
一、斜截面上的应力（Stresses on an oblique section）
π
例题 3
P y B C z
画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
A
P
x
A
x
yx
P
x
zx
M
x
B
xz
x
C
xy
从杆件的扭转和弯曲等问题可以看出，最大应力往往发生 在杆件的表层。而构件表面一般为自由表面，即有一主应力为 零，因而从构件表层取的单元体必定是二向应力状态，这是最 有实用意义的情形。

x y
2
sin 2 xy cos 2
得到max和min
x y 2 2 max ( ) xy 2 min
2 xy x y 和 tan 2 1 比较 tan 2 0 x y 2 xy
1 可见 tan 2 0 tan 21

x y
cos 2 xy sin 2
n
（2） 求主应力和主单元体的方位
因为x < y,所以0= -22.5°与min对应
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 3 x y 40 60 22.5 45 0 2 0 67.5 135
1 26MPa, 2 0, 3 96MPa
例题5 图示单元体,已知 x =-40MPa,y
y
e
=60MPa,xy=-50MPa.试求e-f截面上的应力情
况及主应力和主单元体的方位. 解:（1）求 e-f 截面上的应力
f
xy
x
30°
30
x y
π π 21 2 0 , 1 0 2 4
例题4 简支梁如图所示.已知 m-m 截面上A点的弯曲正应力和 切应力分别为 =-70MPa, =50MPa.确定A点的主应力及主平面 的方位.
m A

m
a
l
解： 把从A点处截取的单元体放大如图

A
x 70, y 0, xy 50
过一点不同方向面上应力的情况，称之为这一点的应力状态 （state of stresses of a given point）,亦指该点的应力全貌.
二、应力状态的研究方法 （The method for investigating the state of stress）
1. 单元体（Element body） 2. 单元体特征 （Element characteristic） （1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布 （2）任意一对平行平面上的应力相等 3.主单元体（Principal body）