《三角形的证明》优质复习课件

∴∠ABP＝∠ACP＝90°
∵PB＝PC，AP＝AP
∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL)
∴∠APB＝∠APC
PB＝PC，
在△PBD和△PCD中，
∠DPB＝∠DPC， DP＝DP，
∴△PBD≌△PCD(SAS)
∴∠BDP＝∠CDP
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？
实践探究，交流新知
猜想： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
1．分析命题： 条件：两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等； 结论：这两个直角三角形全等．
2．数学语言： 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′； 求证：△ABC≌△A′B′C′.
开放训练，体现应用
例2 如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E
，CF⊥AD于点F.求证：AF＝BE.
证明：∵∠BAC＝90°
∴∠BAE＋∠FAC＝90°
∵BE⊥AD，CF⊥AD
∴∠BEA＝∠AFC＝90°
∴∠BAE＋∠EBA＝90°
∴∠EBA＝∠FAC.
∴∠BFD＝∠CED＝90°
DF＝DE，
在△BDF和△CDE中 ∠BFD＝∠CED，
BF＝CE，
∴△BDF≌△CDE(SAS)
∴∠B＝∠C
开放训练，体现应用
变式训练2 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，
BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，CF＝AE，BC＝DA.
求证：Rt△ABE≌Rt△CDF.
开放训练，体现应用
例1 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方 向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABCБайду номын сангаас∠EFD的大小有什么关系？

(1)解： △ADE∽△BEF 证明如下：∵∠A＝∠B E为AB中点，∴AE＝BE＝2
∴ AE 2 ，AD 4 2 BF 1 BE 2 1
∴△ADE∽△BEF AE AD 2 BF BE
三、定理运用
3.如图，正方形ABCD的边长为4，BF＝1，E为AB点． (1)证明图中一对相似三角形； (2)求证： DE⊥EF.
CD CP
∴AB·CD＝CP·BP ∵AB＝AC ∴AC·CD＝CP·BP
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，P，D分别是边BC， AC上的点，且∠APD＝∠B. (2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
(2)解： ∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP ∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C ∵∠B＝∠B ∴△BAP∽△BCA ∴ BA BP
又∵CD是Rt△ABC.的高， ∴∠ADC＝∠CDB＝90° ∴△ACD∽△CBD.
(2)由(1)知△ACD∽△CBD， ∴ AD CD ∴AD·BD＝CD2.
CD BD
三、定理运用
3.如图，正方形ABCD的边长为4，BF＝1，E为AB点． (1)证明图中一对相似三角形； (2)求证： DE⊥EF.
∵△ABM∽△EFA
∴
BM AF
AM AE
，即
5 13 6.5 AE
∴AE＝16.9
∴DE＝AE－AD＝4.9
四、课堂练习
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，P，D分别是边BC， AC上的点，且∠APD＝∠B. (1)求证：AC·CD＝CP·BP； (2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
四、课堂练习 1.如图，下列不能判定△AED与△ABC相似的是( D )
A．∠1＝∠C

4、如图，已知△ABC中，∠A沿着EF翻折到∠A’,
解：因为∠ADC是△ABD的外角. 说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
（1）位置关系：相邻和不相邻.
外角大于不相邻的任何一个内角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80ห้องสมุดไป่ตู้.
探究1：三角形外角的性质 解：因为∠ADC是△ABD的外角. 如图，求证：∠BDC= ∠B+ ∠C+ ∠BAC
＿＿36＿0°＿.
B
A
C
1
P
N3
2M
F
D
E
2 .如图，D 是△ABC 的BC边上一点,∠B =∠BAD, ∠ADC =80°， ∠BAC =70°，求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
所以B 80 1 40, 在△ABC中： 2
.
80 ° ∠ACD = ∠A +∠B.
∠C=180º-40º-70º=70°. 1、如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F =＿＿＿＿.
6、如图所示，已知△ABC ，∠CBD和∠BCE的角平分
60 ° 1 请用三种不同的方法证明该结论！
如图，求证：∠BDC= ∠B+ ∠C+ ∠BAC ∠1+ ∠2+ ∠3=？
∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°.
A
70°
40°
80°
B
D
C
课堂 小结

∴∠1＞∠2, ∠2 ＞∠3 D
E
∴ ∠1＞∠2＞∠3
C
B
例1.已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1是
它的一个外角, E为边AC上一点,延长
BC到D,连接DE.
D
求Байду номын сангаас: ∠1>∠2.
2 C
证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), E 5 3
∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大
于任何一个和 它不相邻的内角).
例题是运用了 定理“内错角
∵ AD平分∠EAC(已知)
相等,两直线
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义) 平行”得到了
∴∠DAC=∠C(等量代换)
证明.
∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行).还有其它方法吗？
已知:如图在△ABC中,AD平分外角 E
· ∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC. A
1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和；
3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相 邻的内角。
例1 已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的
三个外角
求证：∠1+∠2+∠3=360°
A
2
结论：三角形的外角和等于360°
5
6
B
3
1 4
C
通常把一个三角形每 一个顶点处的一个外 角的和叫做三角形的 外角和。
（1）用牛皮筋拉成如下形状，你能
够求出∠A+ ∠B+ ∠D+ ∠E的值吗？ A
如果可以求出值，如果不可以，
B
请你说明理由。
C
E D
(1)若∠C=30°,求∠A+ ∠B+ ∠D+ ∠E的值