《高等数学》第五章 不定积分的习题库(2015年11月)

《高等数学》不定积分课后习题详解(总58页)不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数 52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（） ★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x+⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

第五章不定积分1直接积分法、换元积分法一、单选题1.设)(x f 是可导函数,则⎰'))((dx x f 为A.)(x f C x f +)()(x f 'C x f +')(函数)(x f 的B 原函数,称为)(x f 的不定积分.A.任意一个B.所有C.唯一D.某一个3.⎰=+=)(,2cos )(x f C x e dx x f x则 A.)2sin 22(cos x x e x -Cx x e x +-)2sin 22(cos x e x 2cos x e x 2sin 函数x e x f =)(的不定积分是B.x e c e x +x ln c x +ln 函数x x f cos )(=的原函数是A.c x +sin x cos x sin -c x +-cos 函数211)(xx f -=的原函数是A.c x x ++1x x 1-32x c xx ++12设x 2是)(x f 的一个原函数,则[]='⎰dx x f )( B x 2.2 C 2x若ce dx e xx +=⎰,则⎰xd e x22=Ac e x +2c e x +c e x +-2c e x +-2函数x x f sin )(=的原函数是Dc x +sin x cos x sin -c x +-cos 若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=B)(x f .0 C )(x F )(x f '函数211)(xx f +=的原函数是A c x x +-1x x 1-32x c x x ++12函数211)(x x f -=的原函数是A c x x ++1x x 1-32x c x x ++12若函数)(x f 、)(x g 在区间),(b a 内可导,且)()(x g x f '=',则B )()(x g x f =.C x g x f +=)()()()(x g x f ≠.不能确定)(x f 与)(x g 之间的关系14.若)()(x f x F =',则下列等式成立的是B.C x f dx x F +='⎰)()(.⎰+=C x F dx x f )()(⎰+=C x f dx x F )()(.C x F dx x f +='⎰)()(15.经过点)1,0(-,且切线斜率为x 2的曲线方程是D.2x y =2x y -=12+=x y 12-=x y 二.填空题1.)25ln(2125x d xdx --=-.2.)1(212x d xdx --=.3.C aa dx a xx +=⎰ln .4.设)(x f 是连续函数,则dxx f dx x f d )()(=⎰.5.xx cos 2+的原函数是x x sin 2+.6.]4)3[(21)3(2---=-x d dx x .7.C x xdx +=⎰7sin 717cos .8.)1(ln 3133-=x x a d adx a .9.)3(cos 313sin x d xdx -=.10.C x dx xx +=⎰2ln 21ln .11.C x dx x +=⎰4341.12.)C 41(2222+-=--x x e ddx xe .13.C x xdx x +=⋅⎰2sin 21sin cos . 14.C x dx x +=+⎰3arctan 319112. 15.C x x dx x +-=⎰)sin (212sin 2. 16.⎰+='C x f dx x f )2(21)2(.17.设⎰+=.)()(C x F dx x f ,若积分曲线通过原点,则常数)0(F C -=.18.)3(arctan 31912x d xdx=+. 19.)(2122x x e d dx xe =.20.已知xx f C x dx x f 2sin )(,sin )(2=+=⎰则.21.设)()()(21x f x F x F 是、的两个不同的原函数,且=-≠)()(,0)(21x F x F x f 则有 C.22.C x x dx x x +-=+-⎰22211123.Ce dx e x xx +-=⎰1121.24.)1ln(21122-=-x d dx x x.25.若x x f sin )(的导函数是,则)(x f 的原函数为Cx +-sin .26.设)(3x f x 为的一个原函数,则dxx x df 23)(=.27.)2cos 41(812sin x d xdx -=28.x x sin 2+的一个原函数是x x cos 313-.29.)3(cos 33sin x d dx x -=.30.Cx xdx +-=⎰cos ln tan .31.()C x dx x +--=-⎰)21sin(2121cos .32.Cx xdx +=⎰tan sec 2. 33.C x xdx+-=⎰3cot 313sin 2.34.设x 2是)(x f 的一个原函数,则⎰='])([dx x f 2. 三.判断题 1.⎰+=cx xdx cos sin ×2.x x e dx e =⎰×3.⎰-=.cos sin x xdx ×4.⎰+-=cx xdx cos sin √5.)21sin()]21[sin(x dx x -=-⎰×6.⎰+-=cx xdx sin cos ×四.计算题1.求不定积分dx x x ⎰+21.解：原式=C x x d x ++=++⎰23222)1(31)1(1212.求不定积分dx x ⎰-31.解:原式=C x +--3ln 3.求不定积分⎰+dx e e x x 1.解：原式=C e e d exx x++=++⎰)1ln()1(11 4.求不定积分⎰+-dx xx x)3sin 21(.解:原式=C x x x +++ln 3cos 225.求不定积分⎰-dx xe x 2.解:原式=C e x +--2216.求不定积分dx x x⎰+12.解:原式=C x ++)1ln(2127.求不定积分dx x x ⎰+2)72(.解:原式=C x x x ++⋅+7ln 24914ln 1422ln 24 8.求不定积分⎰+dx x 10)12(.解:原式=C x ++11)12(2219.求不定积分⎰+-dx x x x )1)(1(.解:原式=C x x x x x +-+-221522210.求不定积分⎰xdx 2sin .解:原式=C x x +-2sin 412111.求不定积分⎰dx xx 22cos sin 1.解:原式=C x x +-cot tan 12.求不定积分dx x ⎰+321.解:原式=C x ++32ln 2113.求不定积分xdx xarctan 112⎰+.解:原式=C x +2)(arctan 2114.求不定积分⎰-dx x x 4313.解:原式=C x +--41ln 43 15.求不定积分⎰+dx x2411.解:原式=C x +2arctan 21 16.求不定积分⎰+dx x x)5(3.解:原式=C x x++5ln 5414 17.求不定积分⎰-dx e x 5.解:原式=C e x +--551五.应用题1.设一质点作直线运动,已知其加速度为t t a sin 3122-=,如果0=t 时3,500-==s v , 求1t v 与的函数关系；2t s 与的函数关系. 解：32sin 3)(2sin 3)2cos 34()(2cos 34)(cos 34)sin 312()(43,04335,032-++=−−−→−+++=++=++=−−→−++=-=-====⎰⎰t t t t s c t t t dt t t t s t t t v C t t dt t t t v s t v t2.求经过点0,0,且切线斜率为x 2的曲线方程.解：20,022x y C x xdx y y x =−−−→−+====⎰3.一物体由静止开始运动,t 秒末的速度是23t 米/秒,问1在3秒末物体与出发点之间的距离是多少2物体走完360米需多长时间解：设运动方程为：30,032)(3)(t t S C t dt t t S S s t =−−→−+=====⎰1当3=t 时,27)3(=S 米2当.360360)(33秒=⇒==t t t S4.一曲线过原点且在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率等于3x ,求这曲线的方程.解：40,0434141x y C x dx x y y x =−−−→−+====⎰ 5.已知物体由静止开始作直线运动,经过t 秒时的速度为180360-t 米/秒,求3秒末物体离开出发点的距离.解：t t t S C t t dt t S s t 180180)(180180180)-60t 3()(20,02-=−−→−+-====⎰.当3=t 时,1080)3(=S 米. 6.求经过点)1,(e ,且切线斜率为x1的曲线方程.解：x y C x dx xy y e x ln ln 11,=−−→−+====⎰.7.求经过点0,0,且切线斜率为211x +的曲线方程.解：x y C x dx xy y x arctan arctan 110,02=−−−→−+=+===⎰. 第五章不定积分2一.单选题1.下列分部积分法中,dv u ,选择正确的是A.⎰==xdx dv x u xdx x 2sin 2sin ，，.xdx dv u xdx ln ,1,ln ==⎰dxx dv e u dx e x x x 22,,==--⎰.xdx dv e u dx xe x x ==⎰,,2.⎰⎰-=)(2arctan d 2arctan Axd x x x x .x arctan2x arctan4x arctan2-xarctan4-=⎰2-4d x x C x +2arcsin C x +arcsin Cx+2arccos C x +arccos 二.判断题 1.分部积分法u v uv v u d d ⎰-=⎰的关键是恰当的选择u 和v d ,使u v d ⎰应比v u d ⎰容易积分.√2.若被积函数中含有22a x ±,则可利用三角函数代换法化原积分为三角函数的积分.√三.填空题 1.Cx dx x ++=+⎰1211.2.设)(x f 有一原函数⎰+-='Cx dx x f x xx cos )(,sin 则.3.C x x x xdx x +-=⎰2241ln 21ln .4.)3(arcsin 31912x d xdx =-.5.Cx x e dx e x x x ++-=⎰)22(22.6.⎰++-=C x x x xdx x 3sin 913cos 313sin .四.计算题1.求不定积分⎰-dx x x232.解：原式=Cx x d x +--=---⎰2223231)32(321612.求不定积分⎰dxx ex22.解：原式=C x x e x ++-)21(21223.求不定积分⎰++dxx x 11.解：C x x C t t dt t t t x +--+=+-=-=+⎰1)1(3232)22(132232原式4.求不定积分⎰+)1(x x dx.解：cx C t dt t t x +=+=+=⎰arctan 2arctan 21222原式5.求不定积分⎰xdxx 2sin .解：原式=C x x x ++-2sin 412cos 21 6.求不定积分⎰+dx e x x 5)2(.解：原式=C x e x ++)59(515 7.求不定积分dxxex⎰-4.解：原式C x e x ++-=-)16141(48.求不定积分⎰++dxx 111.解：原式[]C x x +++-+=)11ln(129.求不定积分⎰+-dxx 1211.解：原式[]C x x +-+++=112ln 12-10.求不定积分dxex⎰+11.解：原式=C e e xx +++-+1111ln11.求不定积分⎰xdxxln 2.解：原式C x x +-=)31(ln 313 12.求不定积分dx x x ⎰-1.解：原式C x x +---=)1arctan 1(213.求不定积分⎰---dxxx 22112.解：原式C x x +-=)(arcsin 214.求不定积分⎰dx a x x2)1,0(≠>a a .解：原式C aa x a x a x++-=)ln 2ln 2ln (322 15.求不定积分dxx⎰-2941.解：原式C x +=23arcsin 3116.求不定积分dxx ⎰sin .解：原式C x x x ++=sin 2cos -2 17.求不定积分⎰xdx x 3cos .解：原式C x x x ++=3cos 913sin 31 18.求不定积分dxx x ⎰+2.解：原式C x x ++-+=2123)2(4)2(32五.应用题增加题第六章定积分一.单选题 1.)(24Ddx x =-⎰⎰⎰-+-4220)2()2(dxx dx x .⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x ⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x .⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x2.=⎰aadx x f )( C A.大于0B.小于0 C.等于0D.不能确定 3.⎰⎰--=+1111)()(dx x f dx x f C A.大于0B.小于0 C.等于0D.不能确定 4.定积分⎰badxx f )(是DA.一个原函数B.()x f 的一个原函数C.一个函数族D.一个常数 5.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于C)(x f .区间[]b a , C.)(x f 和[]b a , D.都不正确6.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于C)(x f .区间[]b a , C.)(x f 和[]b a , Ｄ.无法确定7.⎰⎰=-3234)()(dx x f dx x f A ⎰42)(dxx f ⎰24)(dxx f ⎰43)(dxx f ⎰32)(dxx f 下列命题中正确的是C 其中)(),(x g x f 均为连续函数A.在[]b a ,上若)()(x g x f ≠则dxx g dx x f ba ba⎰⎰≠)()( B.⎰⎰≠babadtt f dx x f )()(C.若)()(x g x f ≠,则⎰⎰≠dxx g dx x f )()( D.⎰=badxx f dx x f d )()(9.=⎰dx x f dx db a)( B)(x f .0 C )(x f ')(x F 若1)(=x f ,则⎰=b adx x f )( Cb a -a b -定积分⎰badxx f )(是BA.任意的常数B.确定的常数C.)(x f 的一个原函数D.)(x f 的全体原函数 12.若⎰=+12)2(dx k x ,则=k B.1 C =-⎰dx x 542.12 C 二．判断题1.函数在某区间上连续是该函数在该区间上可定积分的必要条件.×2.a b dx ba -=⎰0.× 3.⎰='ba dx x f 0))((.×4.x xdx dx d ba sin sin ⎰=.×三.填空题1.设)(x f '在[]b a ,上连续,则)()()(a f b f dx x f ba-='⎰.2.C dx xx x +=⋅⎰6ln 6321 0. 3.4111022π-=+⎰dx x x .4.ee dx xe x-=⎰2121.5.设⎰⎰==52515)(,3)(dx x f dx x f ,则2)(21-=⎰dx x f .6..0113=⎰-dx x .7.若)(x f 在[]b a ,上连续,且⎰=ba dx x f 0)(,则[]ab dx x f ba-=+⎰1)(.8.由曲线22+=x y ,直线3,1=-=x x 及x 轴围成曲边梯形的面积352)2(312=+=⎰-dx x A . 9..0sin 102=⎰dx x dx d .10.11ln4141=+-⎰-dx xx.11.1)1sin(212=⎰dx xx ππ. 12.32112=⎰-dx x .13.0cos 11⎰-=xdx x .14.利用定积分的几何意义填写定积分的值π41112=-⎰dx x . 15.202sin sin x dt t dx dx⎰=.16..0sin 222=⎰-xdx x .17..0113=⎰-dx x .18. 的值为积分.21ln 1⎰edx x x 19.2)253(222024⎰⎰=++-dx dx x x .20.110-=⎰e dx e x . 21.431=⎰-dx .22.⎰1212ln xdxx 的值的符号为负.四．计算题 1.求定积分．⎰+411xdx 解：原式)32ln 1(2+=2.求定积分⎰-124x dx .解：原式6arcsin 10π==x3.求定积分⎰-+-01)32)(1(dxx x .解：原式21-=4.求定积分dxx⎰--2121211解：原式3arcsin 2121π==-x5.求定积分⎰-+12511x dx 解：原式=2ln 54)511ln(5112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x6.求定积分dx x ⎰+9411解：原式[])2ln 1(2)1ln(232+-=-+-=t t7.求定积分dxe x ⎰-10.解：原式ee x1101-=-=- 8.求定积分dxx ⎰212解：原式3712313==x 9.求定积分θθπd ⎰402tan 解：原式[]4104tan ππθθ-=-=10.求定积分．dx xx ⎰+42sin 12sin π解：原式232ln 04)sin 1ln(=+=πx 11.求定积分dxx x⎰-ππ23sin .解：原式=012.求定积分()dxxx ⎰--2121221arcsin .解：原式=324)(arcsin 31321213π=-x13.求定积分dxx x ⎰+911.解：原式2ln 213)1ln(2=+=x14.求定积分dxex x⎰12.解：原式201)22(2-=+-=e x x e x15.求定积分⎰+104)1(x dx 解：原式24701)1(31-3=+=-x 16.求定积分dxxe x ⎰2.解：原式102)1(2+=-=e x e x17.求定积分⎰-1dxxex.解：原式ex e x 2101)1(--=+=-18.求定积分dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ33sin .解：原式0)3cos(3=+-=πππx 19.已知⎩⎨⎧≤<-≤≤=31,210,)(2x x x x x f ,计算⎰20)(dx x f .解：原式⎰⎰-=-+=2110261)2(dx x dx x 20.求定积分()dxx x +⎰194.解：原式627149)2132(223=+=x x21.求定积分⎰1arctan xdxx .解：原式=214)arctan arctan (21102-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-πx x x x22.求定积分⎰10arcsin xdx .解：原式1201)1arcsin (2-=-+=πx x x23.求定积分⎰262cos ππudu.解:原式836)2sin 21(2162-=+=πππu u 24.求定积分()dx x x x ⎰+2sin π.解:原式18sin cos 21202+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππxx x x 25.求定积分dx x x ⎰-121221.解:原式[]41cot sin 24πππ-=--=t t t x26.求定积分dx x x 1sin 1212⎰ππ.解:原式11cos12==ππx27.求定积分dx x ⎰+11210.解:原式10ln 4950110ln 21012==+x 28.求定积分xdxx ⎰23cos sin π解:原式410cos 41-24==πx29.求定积分⎰1024dx xx .解:原式10ln 710ln 81=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 30.求定积分dx x x e⎰-1ln 1.解:原式21ln 21ln 12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ex x31.求定积分dxx x ⎰+31)1(1.解:原式[]6arctan 2312π==t t x32.求定积分xdxx cos sin 23⎰π.解:原式410sin 4124==πx33.求定积分⎰--1321dxx .解:原式[]5ln 2ln -13=-=-x34.求定积分dx x x x ⎰++21222)1(12解:原式4212arctan 1arctan 21π-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x x 35.求定积分⎰+21ln 1e x x dx.解:原式[])13(2ln 1221-=+=e x36.求定积分dxe x x ⎰202.解:原式)1(21214202-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=e e x37.求定积分dxx ⎰20sin π.解:原式10cos 2=-=πx38.求定积分⎰++10)32)(1(dx x x .解:原式2112521032=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x x x39.求定积分dttet ⎰-122.解:原式212112---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=e e t 40.求定积分dx x x ⎰+102212.解:原式[]22)arctan (210π-=-=x x41.求定积分⎰π0sin xdxx .解:原式[]ππ=+-=0sin cos x x x42.求定积分dx x xe⎰12ln .解:原式311ln 313==e x43.求定积分⎰2cos sin 3πxdxx .解:原式230sin 2322==πx44.求定积分()⎰ωπωω20sin 为常数tdt t 解:原式2022sin 1cos 12ωπωωωωωω-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t45.求定积分dxx ⎰230cos π.解:原式[][]3sin sin 23220=-=πππx x46.求定积分dxx ⎰--2221.解：原式43131231213113123=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---x x x x x x47.求定积分⎰+331211dx x .解：原式[]6arctan 331π==x48.求定积分⎰+161 4x x dx .解：原式23ln 2)1ln(2142124+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=t t t t x五.应用题1.已知生产某产品x 百台时,总收入R 的变化率x R -='8万元/百台,求产量从从1百台增加到3百台时,总收入的增加量.解：由已知x R -='8得总收入的增加量为：12218)8(R 3131312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='=⎰⎰x x dx x dx R2.试描画出定积分⎰ππ2cos xdx所表示的图形面积,并计算其面积.解：[]1sin cos 22=-=-=⎰ππππx xdx S .图形略 3.试描画出定积分⎰ππ2sin xdx 所表示的面积图形,并计算其面积.解：[]1cos sin 22=-==⎰ππππx xdx S .图形略 4.计算曲线3x y =,直线3,2=-=x x 及x 轴所围成的曲边梯形面积.解:4974141340243323=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=--⎰⎰x x dx x dx x S .图形略 5.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积.解:24x y -=与x 轴的交点为-2,0,2,06.已知生产某产品x 百台时,总成本C 的变化率为x C +='2万元/百台,求产量从1百台增加到3百台时总成本的增加量.解:.8212)2(31312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰x x dx x C7.计算函数x y sin 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值. 解:[]πππππ4cos 222sin 2202=-==⎰x xdxy8.计算函数x y cos 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值.解:[]πππππ4sin 222cos 2202===⎰x xdxy第七章定积分的应用一.单选题1.变力使)(x f 物体由],[b a 内的任一闭区间]d ,[x x x +的左端点x 到右端点x x d +所做功的近似值为C.)(x df -)(dx f dx x f )(dx x f )(-一物体受连续的变力)(x F 作用,沿力的方向作直线运动,则物体从a x =运动到b x =,变力所做的功为A.⎰b ax x F d )(⎰a b x x F d )(⎰-ab x x F d )(⎰-bax x F d )(将曲线2x y =与x 轴和直线2=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积可表示为=y V C.dx x ⎰204π⎰40ydy π()dy y ⎰-404π()dyy ⎰+44π二.判断题1.定积分⎰badxx f )(反映在几何意义上是一块a,b 上的面积.╳2.已知边际利润求总利润函数可用定积分方法.√ 三.填空题1.计算曲线x y sin =与曲线2π=x 及0=y 所围成的平面图形的面积可用定积分表示为⎰=20sin πdx A .2.抛物线3x y =与x 轴和直线2=x 围成的图形面积为⎰23dx x .3.由曲线2x y =与直线1=x 及x 轴所围成的平面图形,绕x 轴旋转所的旋转体的体积可用定积分表示为⎰=14dxx V x π.四.计算题1.求抛物线3x y =与x 轴和直线3=x 围成的图形面积.2.把抛物线ax y 42=及直线)0(>=b b x 所围成的图形绕x 轴旋转,计算所得旋转体的体积.3.一边长为a m 的正方形薄板垂直放入水中,使该薄板的上边距水面1m ,试求该薄板的一侧所受的水的压力水的密度为33kg/m 10,g 取2m/s 10.4.计算抛物线2x y =与直线轴和x x x 3,1=-=所围成的平面图形绕x 轴旋转所得到的旋转体体积.5.由22x y x y ==和所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.6.求由曲线x y 1=与直线x y =及2=x 所围成的图形的面积.7.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.8.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.9.用定积分求底圆半径为r ,高为h 的圆锥体的体积.10.计算曲线3x y =和x y =所围成的图形面积.11.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积.12.求曲线2x y =与x y =所围成的图形的面积;五.应用题1.已知某产品总产量的变化率是时间的函数,0,12)(≥+=t t t f ,求第一个五年和第二个五年的总产量分别是多少解：第一个五年的总产量：⎰=+5030)12(dt t ,第一个五年的总产量：⎰=+10580)12(dt t .2.计算抛物线2x y =与直线4,2=-=x x 和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所得到的旋转体体积.)(424⎰-=dx x V π3.计算曲线3x y =和xy =所围成的图形面积.dx x x S ⎰-=13)(4.求抛物线px y 22=及其在点),2(p p处的法线所围成的图形面积.解:p x y p p x p y k 23,212+-=⇒=='=）处的法线方程：过（切 法线与抛物线的交点为:),2(p p和)3,29(p p -则dy py p y S pp ]2)23[(23-+-=⎰- 5.把等边双曲线4=xy 及直线0,4,1===x y y 所围成的图形绕y 轴旋转所的旋转体的体积.dy yV ⎰=412)4(π.6.已知某产品生产x 个单位时,总收益R 的变化率边际收益为:)0(100200)(≥-='x x x R1求生产了50个单位时的总收益.2如果已经生产了100个单位,求再生产100个单位时的总收益.7.把抛物线ax y 42=及直线()000>=x x x 所围成的图形绕x 轴旋转所的旋转体的体积.8.求曲线2y x =与直线x y =所围成的图形的面积.9.计算曲线2x y =,直线32+=x y 所围成的图形面积.10.计算椭圆14922=+y x 绕x 轴旋转所形成的椭圆的体积.11.由抛物线2x y =及2y x =所围成的图形绕y 轴旋转所的旋转体的体积. 12.求曲线x x e y e y -==,与直线1=x 所围成的图形的面积.13.设平面图形D 由抛物线21x y -=和x 轴围成,试求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积.14.已知某弹簧用２Ｎ拉力能伸长2cm,求如果把该弹簧拉长10cm 需做多少功15.已知物体的运动速度与时间的函数关系)/(3)(2s m t t v =,求在时间段[])(3,1s 上物体的平均速度是多少16.求抛物线342-+-=x x y 与其在点)3,0(和)0,3(处交线所围成的平面图形的面积. 17.计算曲线3x y =,直线2,4=-=x x 所围成的曲边梯形面积. 18.计算曲线2x y =,直线32+=x y 所围成的图形面积.19.某产品的总成本C 万元的变化率边际成本1='C ,总收益R 万元的变化率边际收益为生产量x 百台的函数x x R -='5)(,1求生产量等于多少时,总利润C R L -=为最大2从利润最大的生产量又生产了100台,总利润减少了多少20.求抛物线x y 22=将圆822=+y x 分割成两部分的面积.第八章常微分方程一.单选题1.微分方程0=''y 的通解是CC y =Cxy =x C x C y 21+=21C x C y +=以下不是微分方程的是 C A.0cos =-x x dx dydy y x dx x )()12(+=-042=-xy y 02)(2='-'y x y x 以下属可分离变量微分方程的是D022=+-'y x y 33y x dx dy+=0)(=-+ydy dx y x D.0)2(2=++dy x xydx4.微分方程x y y y sin 2='+''是BA.一阶线性方程B.一阶非线性方程C.二阶线性方程D.二阶非线性方程 二．判断题1.sin yy y x '+=是一阶非齐次线性微分方程.╳2.(75)()0x y dx x y dy -++=是二阶微分方程.╳3.2520xy y x y ''''++=是三阶微分方程.√三．填空题1.设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线,则曲线所满足的微分方程为yx y -='.2.微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为２.3.微分方程2x yy e -'=,00x y ==满足已给初始条件的特解是)1(212+=xy e e .4.微分方程32y y '+=的通解是x Ce y 332-+=.5.y y x 4='的通解为4xCe y =.6.1+=y dx dy的满足初始条件()10=y 的特解为1-=x Ce y .7.设某微分方程的的解为()xe x c c y 221+=,且00==x y ,10='=x y 则1=c ,12=c . 8.微分方程满足条件的特解为xx e y cot csc +=.9.微分方程8-=x e dx dy的通解为Cx e y x +-=8.10.微分方程1622+=x dx yd 的通解为212321C x C x x y +++=.11.微分方程x dx yd 622=的通解为213C x C x y ++=.12.微分方程23550x x y '+-=的通解是C x x y ++=232151.13.微分方程n my y =+'其中n m ,为常数,且0≠m ,则满足条件()00=y 的特解为)1(mx e mny --=.14.微分方程xe dx dy=的通解为C e y x +=.四.计算题 1.求微分方程22(2)2yy x x '-=--的通解.)2()2(3-+-=x C x y2.求微分方程ey y y x y x =='=2,ln sin π的特解.xx ey cot csc +=3.求微分方程的通解.C e e y x =+-4.求微分方程0sin =+'x y y 的通解.x Ce y cos =5.求微分方程byax e dx dy+=的通解.C ae be by ax =+-6.求微分方程0ln =-'y y y x 的通解.Cx e y =7.求微分方程0ln ln =+ydy x xdx y 的通解.C y x =+22ln ln 8.求微分方程0cos =+'x y y 的通解.x Ce y sin -=9.求微分方程2211y y x -='-的通解.C x y =+arcsin arcsin10.求微分方程02=+'xy y 的通解.2x Ce y -=11.求微分方程y x dx dy 212-=,01==x y 的特解.x x y -=2212.求微分方程1222+='y y y x 的通解.112-=xCe y13.求微分方程x xe y y e ='+)1(的通解.14.求微分方程0,0)12(12==+-+=x y dx x xy dy x 当时的特解. 15.求微分方程yx ey -='2,00==x y 的特解.16.求微分方程y x dx dy 212--,01==x y 的特解.17.求微分方程223x y y =+'的通解.五.应用题1.验证函数22xx y -=是微分方程x y y x =-''22的解.2.汽车刹车前速度为20m/s,刹车获得的加速度大小为2m/s 2,用微分方程求解汽车刹车开始到停止的时间与距离.3.已知曲线），上点（2-0)(x f y =处的切线方程为632=-y x ,函数y 满足x y 6='',求函数y 的解析表达式.4.列车在直线轨道上匀速行驶,当制动时列车获得加速度2/8.0s m -,求开始制动后列车的运动规律即制动后发生的位移与时间的关系式.5.列车在直线轨道上以s m /20的速度行驶,当制动时列车获得加速度2/4.0s m -,问开始制动后列车的运动规律制动后发生的位移与时间的关系.6.验证函数xe c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解,并求满足初始条件1,100='-===x x y y的特解.。

高等数学课后习题及参考答案（第五章）习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为ni x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则n x i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n i i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nn n n n n n .3. 利用定积分的几何意义说明下列等式:(1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解 建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim8.9lim 8.98.9lim H L n n n H L n Hi n H L x L x P n n i n n i i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑. 将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21a r c t a n )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2, 41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(22012-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明: (1)若在[a , b ]上f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0;(2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ; (3)若在[a ,b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=ba ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy .2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xy ttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解 方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y , 于是ye x dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x x dtt dxd cos sin 2)cos(π.解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx xx ;解852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解942394194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx 3022;解aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx .(8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 01301221224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e xdx ; 解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .(10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |; 解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. (12)⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 2111)(2x x x x x f . 解38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdx0cos 1cos 1=+-=ππk kk k .(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)22222200022)(2lim)(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim2limx xt x x x xt x xedte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式,并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(l i m )(l i m 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解 当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=.由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内)]()([1)(≤--='ξf x f a x x F .习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.(4)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解22262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-02022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令 2)2sin 21(2ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228;解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 122212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(1111121010021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 2322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--23cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-23cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 2023023202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解 因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明 因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明 令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明 令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dxx dx. 证明 令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11111211)1(111xxdt t dt t tx dx , 而⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111, 所以 ⎰⎰+=+1112211x xdx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.证明 令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.证明 ⎰⎰⎰+=ππππ020sin sin sin xdx xdx xdx nn n,而⎰⎰⎰⎰==---=2020202sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明 已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 证明 设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰32sin ππdx xx;解343432sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππxxdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx x x; 解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx x x x xd dx xx )12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d x x x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x. (7)⎰02cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==022020202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x xx 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t t x dx x te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt e t .因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1ee e e e -=---++-=.(12)⎰-102)1(dx xm (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(1022π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解 因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sin tdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m 令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===20200sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m mmm (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解 因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解 因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解 因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解 因为1]1111[21][21ch 2)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt e pt pt ωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散. (9)⎰-211x xdx ;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 3831=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解 这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解 当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点,同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解 因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解 函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解 对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解 绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解 函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim 101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n n n p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim )(lim )(lim a af x xf dt t f a x dt t f x dt t f a x x xaa x xa a x x a a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim 22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解 计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解 计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解 不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明 因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba ba ba ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222。

利用定积分定义计算由抛物线y=x 2 , 两直线x =a,x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积. 题型：计算题答案：第一步: 在区间[a,b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a, b]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[xi -1, xi] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i n a b a x i i -+==ξ, 作和 n ab i n a b a x f S n i i i n i n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i n a b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-=]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=nn n a b n n a b a a a b . 第三步: 令l =max {∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==n i i i b a x f dx x f S 10)(lim )(ξl]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b na b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：7利用定积分定义计算下列积分: (1)xdx ba ⎰(a <b);题型：计算题 答案：取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n n i i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ)(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. 分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：6利用定积分定义计算下列积分: dx e x ⎰10. 题型：计算题答案：取分点为ni x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点ni x i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：6利用定积分的几何意义 说明下列等式 1210=⎰xdx ;题型：证明题答案：⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1. 分数：12所属所属知识点：定积分的计算 难度：5利用定积分的几何意义 说明下列等式41102π=-⎰dx x ;题型：证明题答案：⎰-1021dx x )表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x2+y2=1的面积的41: 414112102ππ=⋅⋅=-⎰dx x .分数：12所属所属知识点：定积分的计算 难度：5利用定积分的几何意义说明下列等式 ⎰-=ππ0sin xdx ;.题型：证明题答案：由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即 ⎰-=ππ0sin xdx . 分数：12难度：5利用定积分的几何意义 说明下列等式 ⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .题型：证明题答案： ⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积.因为cos x 为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即 ⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .分数：12所属所属知识点：定积分的计算 难度：5水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9×8h (kN/m2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P. 题型：计算题答案：建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆Pi =9.8x il ×∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛). 分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：7证明定积分性质 (1)⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1. 题型：证明题 答案：(1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i n i i i ba dxx f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξl l (2)a b a b x x dx n i i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010l l l 分数：8难度：5估计下列各积分的值: ⎰+412)1(dx x 1); 题型：计算题答案：因为当1£x £4时, 2£x2+1£17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅£+£-⋅⎰dx x ,即51)1(6412£+£⎰dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6估计下列各积分的值 ⎰+ππ4542)sin 1(dx x题型：计算题 答案：因为当ππ454££x 时, 1£1+sin2x £2, 所以)445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅£+£-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542£+£⎰dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6估计下列各积分的值 ⎰331arctan xdx x ;题型：计算题答案：先求函数f(x)=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m.21arctan )(xx x x f ++='. 因为当331££x 时, f '(x)>0, 所以函数f(x)=x arctan x在区间]3 ,31[上单调增加. 于是 3631arctan31)31(π===f m ,33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-££-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ££⎰xdx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6估计下列各积分的值 ⎰-022dx e xx .题型：计算题答案：先求函数xxe xf -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m.)12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x . 比较f(0)=1, f(2)=e 2, 41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅££-⎰--e dx e e x x ,即 41022222---££-⎰e dx dx e e xx .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6设f(x)及g(x)在[a, b]上连续, 证明: (1)若在[a, b]上f(x)³0, 且0)(=⎰ba dx x f ,则在[a, b]上f(x)º0; (2)若在[a, b]上, f(x)³0, 且f(x)≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ; (3)若在[a, b]上, f(x)£g(x), 且⎰⎰=ba ba dx x g dx x f )()(, 则在[a b]上f(x)ºg(x). 题型：证明题答案：(1)假如f(x)≢0, 则必有f(x)>0. 根据f(x)在[a , b]上的连续性, 在[a , b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a , b]上的最大值. 再由连续性,存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当x Î[c, d]时,2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-³³++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a .这与条件0)(=⎰badx x f 相矛盾. 因此在[a, b]上f(x)º0. (2)证法一 因为f(x)在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值. 再由连续性, 存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当x Î[c, d]时,2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-³³badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二 因为f(x)³0, 所以0)(³⎰b a dx x f .假如)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰badx x f ,根据结论(1), f(x)º0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F(x)=g(x)-f(x), 则在[a, b]上F(x)³0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba ba ba ba dx x f dx x g dx x f x g dx x F , 由结论(1), 在[a, b]上F(x)º0, 即f(x)ºg(x).分数：12所属所属知识点：定积分的计算 难度：7根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？ (2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？(4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？(5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？ 题型：计算题答案：(1)因为当0£x £1时, x2³x3, 所以⎰⎰³103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x2>x3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1£x £2时, x2£x3, 所以⎰⎰£213212dx x dx x . 又因为当1<x £2时, x2<x3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x . (3)因为当1£x £2时, 0£ln x <1, ln x ³(ln x)2, 所以⎰⎰³21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x £2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x)2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0£x £1时, x ³ln(1+x), 所以⎰⎰+³1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x £1时, x >ln(1+x), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx . (5)设f(x)=ex -1-x , 则当0£x £1时f '(x) =ex -1>0, f(x)=ex -1-x 是单调增加的. 因此当0£x £1时, f(x)³f(0)=0, 即ex ³1+x , 所以⎰⎰+³1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x £1时, ex >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：6 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.题型：计算题答案：x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy . 分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数.题型：计算题答案：x '(t)=sin t , y '(t)=cos t , t t x t y dx dy cot )()(=''=. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5 求由⎰⎰=+xyttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 题型：计算题答案：方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y, 于是y ex dx dy cos -=. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？题型：计算题答案：2)(x xe x I -=', 令I '(x)=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x)<0; 当x >0时, I '(x)>0, 所以x =0是函数I(x)的极小值点. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5计算下列各导数: (1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt t dx d ; (3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π.题型：计算题 答案：(1)dxdudt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令421221x x x u +=⋅+=. (2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d)()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ分数：15所属所属知识点：微积分的计算 难度：6⎰+-adx x x 02)13(;题型：计算题 答案：a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+2142)1(dx x x ; 题型：计算题 答案：852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+94)1(dx x x ;题型：计算题答案：94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+= 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+33121x dx ; 题型：计算题答案：66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx .分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：4⎰--212121x dx ; 题型：计算题 答案：3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：4⎰+ax a dx 3022; 题型：计算题 答案：aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰-124x dx ; 题型：计算题 答案：60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5dx x x x ⎰-+++012241133; 题型：计算题 答案：13012201224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=分数：5所属所属知识点：微积分的计算 . 难度：5⎰---+211e xdx ; 题型：计算题 答案：1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：4⎰42tan πθθd ;题型：计算题 答案：4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5dx x ⎰π20|sin |;题型：计算题 答案：⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x πππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>£+=1 2111)(2x x x x x f . 题型：计算题 答案：38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：6设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin .题型：证明题 答案：(1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k k k k x k k kxdxcos 1cos 1=+-=ππk kk k . (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx .(4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx 分数：20所属所属知识点：微积分的计算设k 及l 为正整数, 且k ¹l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ; (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .题型：证明题 答案：(1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰⎰---++=ππππdxx l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdxx l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k 分数：15所属知识点：微积分的计算 难度：6求下列极限: (1)xdtt xx ⎰→02cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.题型：计算题 答案：(1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)222222022)(2lim)(limx xt x t x xt x t x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→22222202lim2limxxt x x x xt x xe dte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x .所属知识点：变上限积分函数 难度：6设⎩⎨⎧ÎÎ=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论(x)在(0, 2)内的连续性.题型：计算题 答案：当0£x £1时,302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ; 当1<x £2时,6121212131)()(221102-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ. 因此⎪⎩⎪⎨⎧£<-££=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以(x)在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续. 分数：10所属所属知识点：微积分的计算 难度：7设⎪⎩⎪⎨⎧><££=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.题型：计算题答案：当x <0时, 00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ; 当0£x £π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(00+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ; 当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x xx -=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧³££-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.分数：12所属所属知识点：微积分的计算 难度：7设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且f '(x)£0, ⎰-=x adt t f a x x F )(1)(. 证明在(a, b)内有F '(x)£0. 题型：证明题答案：根据积分中值定理, 存在ξÎ[a, x], 使))(()(a x f dt t f xa-=⎰ξ. 于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f a x --=. 由f '(x)£0可知f(x)在[a, b]上是单调减少的, 而a £ξ£x , 所以f(x)-f(ξ)£0. 又在(a, b)内, x -a >0, 所以在(a, b)内 0)]()([1)(£--='ξf x f ax x F . 分数：10所属所属知识点：微积分的计算 难度：8试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.题型：计算题 答案：x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：4求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数. 题型：计算题答案：x '(t)=sin t , y '(t)=cos t , t t x t y dx dy cot )()(=''=. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：4求由⎰⎰=+xyt tdt dt e 000cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 题型：计算题答案：方程两对x 求导得 e y y ' +cos x =0, 于是 y exdx dy cos -=. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？ 题型：计算题答案：2)(x xe x I -=', 令I '(x)=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x)<0; 当x >0时, I '(x)>0, 所以x =0是函数I(x)的极小值点.分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5计算下列各导数: (1)⎰+2021x dt t dxd ;题型：计算题答案：(1)42022021221112x x x u dxdu dt t du d u x dt t dx d u x +=⋅+=⋅+=+⎰⎰令. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5计算下列各导数: ⎰+32411x x dt tdx d ;题型：计算题 答案：⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx xx +++-=.分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5计算下列各导数:⎰xx dt t dxd cos sin 2)cos(π题型：计算题 答案：⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dxd dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ =-cos(πsin 2x)(sin x)'+ cos(πcos 2x)( cos x)' =-cos x ×cos(πsin 2x)-sin x ×cos(πcos 2x) =-cos x ×cos(πsin2x)- sin x ×cos(π-πsin2x) =-cos x ×cos(πsin2x)+ sin x ×cos(πsin2x) =(sin x -cos x)cos(πsin2x) 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+-adx x x02)13(;题型：计算题答案： a a a x x x dx x x aa+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+2142)1(dx x x ;题型：计算题 答案： 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx xx 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+94)1(dx x x ;题型：计算题 答案： 6145)421432()921932(|)2132()()1(22322394223942194=+-+=+=+=+⎰⎰x x dx x x dx x x 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+33121x dx ; 题型：计算题 答案： 66331arctan3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰xxdx分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰--212121xdx ;题型：计算题 答案：3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰xx dx分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+axa dx 3022;题型：计算题 答案：aa a a x a x a dxa a30arctan 13arctan 1arctan1303022π=-==+⎰. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰-124xdx ;题型：计算题 答案：60arcsin 21arcsin 2arcsin41012π=-==-⎰x x dx . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5dx x x x ⎰-+++012241133;题型：计算题答案：41)1arctan()1(|)arctan ()113(11333013012201224π+=----=+=++=+++---⎰⎰x x dx x x dx x x x . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰---+211e x dx ;题型：计算题 答案：1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰402tanπθθd ;题型：计算题 答案：4144tan )(tan )1(sec tan 40402402πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5dx x ⎰π20|sin |;题型：计算题答案：⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x =-cos x|π0+cos x|ππ2=-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰20)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>£+=1 211 1)(2x x x x x f .题型：计算题答案：38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5设k 为正整数. 试证下列各题:(1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ; (3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin .题型：证明题答案：(1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2). (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 分数：20所属所属知识点：微积分的计算 难度：6设k 及l 为正整数, 且k ¹l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ; (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .题型：证明题 答案：(1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 分数：15所属所属知识点：微积分的计算 难度：6求下列极限: (1)xdt t x x ⎰→02cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.题型：计算题 答案：(1)11cos lim cos lim 2002==→→⎰x xdtt x xx .(2)2222222222002002000022002lim2lim)(2lim)(limx xt x x xxt x x xt xt x xt xt x xedt e xee dt e xedt e dt e dttedt e ⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→=⋅='⋅=⎰--=+-=-+-=-=ππππππππ0cos 1cos 1)(cos 1cos 1|cos 1sin k k k k k k k k kx k kxdx2212lim22lim2020222=+=+=→→x ex ee x x x x x .分数：10所属所属知识点：微积分的计算 难度：7设⎩⎨⎧ÎÎ=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论(x)在(0, 2)内的连续性. 题型：计算题答案：当0£x £1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ; 当1<x £2时,6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x x x ϕ. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧£<-££=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim)(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.分数：10所属所属知识点：微积分的计算 难度：8设⎪⎩⎪⎨⎧><££=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式. 题型：计算题答案：当x <0时, 00)()(00===⎰⎰xx dt dt t f x ϕ; 当0£x £π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xx xϕ; 当x >π时,10cos 21cos 21|cos 210sin 21)()(000=+-=-=+==⎰⎰⎰πϕπππt dt tdt dt t f x xx . 因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧³££-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.分数：12所属所属知识点：微积分的计算 难度：8设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且f '(x)£0, ⎰-=xa dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a, b)内有F '(x)£0. 题型：证明题答案：根据积分中值定理, 存在ξÎ[a, x], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ. 于是有))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F xa----=-+--='⎰ξ)]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x)£0可知f(x)在[a, b]上是单调减少的, 而a £ξ£x , 所以f(x)-f(ξ)£0. 又在(a, b)内, x -a >0, 所以在(a, b)内0)]()([1)(£--='ξf x f ax x F . 分数：8所属所属知识点：微积分的计算 难度：8⎰+πππ2)3sin(dx x ;题型：计算题答案：0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰-+123)511(x dx;题型：计算题 答案：51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰203cossin πϕϕϕd ;题型：计算题 答案：⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰-πθθ03)sin1(d ;题型：计算题答案：⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰262cosππudu ;题型：计算题 答案：2626262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5dx x ⎰-222;题型：计算题 答案：dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5dy y ⎰--22228;题型：计算题 答案：⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dyy dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰-121221dx x x ;题型：计算题 答案：41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 12424224212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx xx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰+31221xxdx ;题型：计算题 答案：⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰--1145xxdx ;题型：计算题 答案：61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x xxdx 令. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰+411xdx ;题型：计算题 答案：)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x xdx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰--14311x dx ;题型：计算题 答案：2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰-axa xdx 20223;题型：计算题 答案：)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6dt tet ⎰-1022;题型：计算题 答案：2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e e t d edt tet t t .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰+21ln 1e xx dx ;题型：计算题 答案：)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰-++02222x x dx;题型：计算题 答案：2)1arctan(1arctan )1arctan()1(1122022222π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰-222cos cos ππxdx x ;题型：计算题答案：32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰--223cos cos ππdx x x ;题型：计算题 答案：⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 2023223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰+π2cos 1dx x .题型：计算题答案：22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππx xdx dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;(2)⎰-224cos 4ππθθd ;(3)⎰--2121221)(arcsin dx x x ;(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 题型：计算题答案：(1) 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(2πθπ=++=x x .(3) ⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .分数：20所属所属知识点：定积分的计算 难度：6证明: ⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中(u)为连续函数.题型：证明题答案：因为被积函数(x2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a, a]关于原点对称, 所以有 ⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ. 分数：6所属所属知识点：定积分的计算 难度：5设f(x)在[-b, b]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.题型：证明题答案：令x =-t, 则dx =-dt, 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb b b dt t f dt t f dx x f )()1)(()(, 而⎰⎰---=-bb b b dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=b b bb dx x f dx x f )()(.分数：8所属所属知识点：定积分的计算 难度：6设f(x)在[a, b]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.题型：证明题答案：令x =a +b -t , 则dx =dt , 当x =a 时t =b, 当x =b 时t =a , 于是⎰⎰⎰-+=--+=b a b a abdt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba b a dx x b a f dt t b a f )()(, 所以 ⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 分数：8所属所属知识点：定积分的计算 难度：7 证明: ⎰⎰>+=+11122)0(11xx x x dx x dx .题型：证明题答案：令tx 1=, 则dt t dx 21-=, 当x =x 时xt 1=, 当x =1时t =1, 于是 ⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111x x xdt t dt t tx dx , 而 ⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111, 所以⎰⎰+=+1112211x x x dx x dx.分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：7证明: ⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 题型：证明题答案：令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.分数：8所属所属知识点：定积分的计算 难度：6证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sin xdx xdx n n . 题型：证明题 答案：⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sinxdxxdx xdx n n n, 而 ⎰⎰⎰⎰==---=202022sin sin ))((sin sinπππππππxdxtdt dt t tx xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sin xdx xdx nn .分数：8所属所属知识点：定积分的计算 难度：8设f(x)是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关. 题型：证明题 答案：已知f(x +l)=f(x).⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala llla lla a adxx f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令, 所以 ⎰⎰=+l a adx x f dx x f 01)()(. 因此⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关. 分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：8若f(t)是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f(t)是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 题型：证明题答案：设⎰=xdt t f x F 0)()(. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而 )()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f ut dtt f x F xx xx===---==-⎰⎰⎰⎰-令, 即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数. 若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而 )()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f ut dtt f x F xx xx-=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令, 即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.分数：12所属所属知识点：定积分的计算。

《高等数学》不定积分课后习题详解各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢篇一：高等数学第四章不定积分习题第四章不定积分4 – 1不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上F?(x)?f(x)，则F(x)叫做f(x)在该区间上的一个f(x)的所有原函数叫做f(x)在该区间上的__________。

2．F(x)是f(x)的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为d(arcsinx)?1?x2dx,所以arcsinx是______的一个原函数。

4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与x成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________ 。

二．是非判断题1．若f?x?的某个原函数为常数，则f?x??0. [ ] 2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．3??f?x?dx???f??x?dx. [ ]?4．若f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内f?x?必无原函数. [ ] ?ln?ax?与y?lnx是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题1．c为任意常数，且F’(x)=f(x),下式成立的有。

（A）?F’(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c;（C）?F(x)dx?F’(x)+c;(D) ?f’(x)dx=F(x) +c.2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有。

（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c; (D) F(x)?G(x)=c. 3．下列各式中是f(x)?sin|x|的原函数。

(A) y??cos|x| ; (B) y=-|cosx|;(c)y=??cosx,x?0,cosx?2,x?0;(D) y=??cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0.c1、c2任意常数。