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第八章(2) 连续系统状态方程的求解

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信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的求解解析

信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的求解解析

c1
e2 t
e
t
信号与系统 二、用时域法求解状态方程
所以得
eA t c0I c1A
2e t e2 t
1 0
0 1
e2t e t
1 0
1 2
e t e2t e t
0
e2 t
信号与系统 二、用时域法求解状态方程
e 例： 给定矩阵 A。求矩阵指数函数
At
A
1 1
1
3
解： 矩阵 A 的特征多项式为
s
1
12
4
3s 1
s
5
4 s 1 s
s s
3s2 s 4
s 12 4
s2 5s 1
s 12 4
4 5 s
1 5 s
19 s 3
5 s
12
5
4 s 23 55
s 12 4
4
4 5 s
1 5 s
x(t
)
y(t)
1 2
1
1(t) 2 (t )
1
x(t
)
系统输入为单位阶跃信号，初始状态
1 λ(0 ) 2
试求矩阵指数函数 eAt 、状态变量 λ(t)与输出 y(t) 。
信号与系统
解：系统的参量矩阵分别为
A
1 1
0 3
，
B
1 0
C
1 2
1
，
D 1
所以
(sI
A)
s
1 0
0 1
d
1
d
1
d m1
dm
1
e t
1
t m1e1 t
d m1
dm1
g

《信号与系统》第8章

《信号与系统》第8章

) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3

《信号与系统》第八章知识要点+典型例题

《信号与系统》第八章知识要点+典型例题
y(t) 8x1 2x2
再稍作变换，写出矩阵形式的动态方程为

x 1 x 2


0 2
1 3

x1 x2


0 1
f
y 8
2

x1 x2

（8.6） （8.7）
2
3、 连续系统状态方程的求解 求解状态方程有时域解法和变换域解法两种。变换域解法比较简单，其求解步骤如下： 一 n 阶连续系统状态方程与输出方程的一般形式分别为
（8.3）
1
若式（8.3）中仅包含状态变量与输入变量，符合状态方程的标准形式，状态方程的编
写到此完成。若式（8.3）中还含有不需要的中间变量，再应用 KCL、KVL 方程消除中间变
量，整理成状态方程的标准形式。
输出方程的编写，要根据电路的具体输出情况而定。有的，可以由状态变量与输入直接
就能简便写出；有的，需要再应用某些 KCL、KVL 及欧姆定律，消除不需要的中间变量而
相连节点的 KCL 方程、电感 L 所在回路的 KVL 方程，即
ìïïïïíïïïïîiucL((t
) = C duc (t ) dt
t ) = L diL(t ) dt
=+ =+
整理以上方程组，有
ìïïïïíïïïïî
duc (t ) dt
diL (t ) dt
= =
1 C 1 L
( + ) ( + )
【分析】本题主要考察状态方程的求解。
5
【解】 故
(s)

sI

A 1

s
1
1
s 4 2

线性定常连续系统状态方程的解ppt课件

线性定常连续系统状态方程的解ppt课件
所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用, 状态方程解对输入具有非齐次性。
❖ 研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用 下的强迫运动。
整理版课件
2
线性定常齐次状态方程的解
❖ 什么是微分方程的齐次方程? 齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程的 解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。 所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的方程
eA(t2 t0 )x(t0 )
t0
t1
t2
t
系统的状态转移
因此，性质(7)表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的 一步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状态 转移等效为一步状态转移,如图所示。
整理版课件
24
❖ 例 求如下系统的状态转移矩阵的逆矩阵。
x
0 2
1 3x
❖ 解： 对于该系统, 求得状态转移矩阵为
整理版课件
22
4) 对于nn阶的方阵A和B,下式仅当AB=BA时才成立 e(A+B)t=eAteBt
5)
de A t A e A t e A tA , (t) A (t) (t)A
d t
6)
[Φ(t)]n=Φ(nt)
7)
Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)=Φ(t2-t0)
8)
eAτt eAt τ
整理版课件
23
❖ 由状态转移矩阵的意义,有 x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1) =Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)] =[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0)
而 x(t2)=Φ(t2-t0)x(t0)
x(t0 )
x(t1) eA(t1t0)x(t0)
x(t2 ) eA(t2t1)x(t1)

连续系统的状态变量方程求解

连续系统的状态变量方程求解

连续系统的状态变量方程求解连续系统的状态变量方程求解通常采用数值方法，例如龙格-库塔法（Runge-Kutta）等。

在这个过程中，需要将连续系统的状态方程离散化，即将连续时间步长的微分方程转化为离散时间步长的离散方程。

求解离散方程可采用递推的方式，根据系统的初始条件和上一时刻的状态变量值，计算出当前时刻的状态变量值。

以下是一个求解连续系统状态变量方程的步骤：1. 确定连续系统的状态变量方程。

例如，给定线性定常系统dx/dt = Ax + Bu，其中x为状态变量，A和B为系统矩阵。

2. 离散化。

将状态变量方程转化为离散方程。

常见的离散化方法有前项差分变换、后项差分变换和Tustin变换。

具体变换方法取决于系统的特性以及所需的数值稳定性和精度。

例如，使用Tustin变换将连续系统离散化，得到离散状态方程x[k+1] = A*x[k] + B*u[k]。

3. 初始化。

给定初始条件，如x[0] 和u[0]，初始化状态变量值。

4. 数值求解。

使用数值方法（如龙格-库塔法）递推计算离散方程，得到一系列状态变量值x[1], x[2], ...，以及对应的输出值y[1], y[2], ...。

5. 分析结果。

根据求解得到的状态变量值和输出值，分析系统的性能，如稳定性、收敛速度等。

在MATLAB中，可以使用ode45等函数求解连续系统的状态变量方程。

以下是一个简单的示例：```MATLAB定义系统矩阵A、B和输入信号uA = [1 0; -1 1];B = [0 1];u = [1; 0.5];定义初始条件x0 = [1; 2];设置求解参数tspan = [0, 10];options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-6);求解状态变量方程[x, u] = ode45(@(t, x) A*x + B*u, tspan, x0, options);绘制状态变量曲线figure;plot(t, x(:, 1), 'b', 'LineWidth', 2);hold on;plot(t, x(:, 2), 'r', 'LineWidth', 2);xlabel('Time');ylabel('State Variables');legend('x1', 'x2');```这个示例中，我们使用ode45函数求解了一个线性定常系统在给定输入信号下的状态变量演化。

第八章 状态方程

第八章 状态方程
dt
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的

连续系统的状态方程的求解

因而x(t)的时域表示式为：
x(t) L1 Φ(s)x0 L1 Φ(s)BF(s)
零输入分量
零状态分量
连续系统状态方程的s域解法
y(t)的时域表示式为：
y t C L 1 Φ ( s ) x 0 L 1 C Φ ( s ) B D F ( s )
零输入响应
零状态响应
y t L 1 C Φ ( s ) x 0 L 1 C Φ ( s ) B D F ( s )
1
2
1
0
1 s 1
1
0
s
1s
1
1
0 1
1
0
1 1
0
0
s 1
s
s
1 s
s 1
1
s 1 0
连续系统状态方程的s域解法
（3）求响应y(t)
Y (s) C Φ (s)x 0 H (s)F (s)
1
0
1
1 s 1
1
0
2
s
s
1s
1
1
1 0
s
1 s
s 1
s 1
s
2
s
3
2
s
2
s
3
s 1
3
2
s
2
s
3
7 s
3
10 s2
7 5
s 3 s 2
7e3t (t) 10e2t (t)
x(t)
7e3t (t) 5e2t (t)
例2 已建立状态方程和输出方程为
d
d t
d
d t
x1
t
x2
t
1
0
2 1
x x

3连续系统状态方程的解

T T T
(1) (2)
状态矢量 输出矢量 输入矢量 为系统矩阵(LTI系统为常量矩阵）
y t y1 t y2 t ...yn t Amxn , Bnxp , Cqxn , Dqxp
f t f1 t f 2 t ... f n t
一、状态方程的解：
求解方法：时域法，变换法 LTI系统的状态方程为一组常系数一阶线性微分方程，即常系数 . 线性方程。 e At xt e At A xt e At B f t At 对1式两边乘 e 移项得 d At d At At d At
qxpqxnnxpmxn第一项只与初始状态有关为系统状态变量的零输入响应第二项只与输入矢量有关为系统状态矢量的零状态响应
§3、连续系统状态方程的解
连续系统
xt A xt B f t yt C xt D f t
xt x1 t x2 t ...xn t
0


h11 t ... h1 p t ... ... ... hq1 t ... hqp t
e xt e dt dt xt e dt

xt e

B f t
e At xt e At0 xt0 e A B f d
t t0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xt e
A t t 0
xt0 e At B f d

1 t t0 t0 t , 1 t t 可证明： 系统的零输入解： xt e At t xt0 t t0 xt0 t x0 一般解： xt t x0 t Bf t 系统输出： yt C t x0 C t B * f t D f t 其中零状态响应 y f t C t B * f t D f t C t B D t * f t ht * f t ht C t B D t 叫冲激响应矩阵

连续系统状态方程的求解

x ' 2 0 x 1 3 2
y 2 x1 4 x2
2.此系统为并联摸拟系统 2 4 2s 2 H ( s) 2 s 2 s 3 s 5s 6
x1 y [2,4] x2
y' '5 y'6 y 2(u'u)
T 1 1 1
其中（A jk )是以余因子A jk 为元素的矩阵 ， jk ) ( Akj )是它的转置矩阵。 (A
T
2.状态过渡矩阵
令F ( s) 0, 则X ( s) ( s) X (0) z.i.r : x(t ) (t ) x(0) 1 adj( sI A) 1 (t ) L { }, (t ) L [ ( s)] sI A At x(t ) (t ) x(0), (t ) e
1
第i个输出Ri (s)中第j个输入的响应 H ij (s) 其它输入 0 第j个输入E j (s)
3.例(p369,12-18)
解:设回路电流 i (t ) i1 (t ) A 3 i1,i2如图所示:并 1 设元件A两端的 ) 电压为状态变量 (t，电容两端的电压为
2
R1
1 1 2 ' (t ) 1 (t ) 3 (t )(由2， 3，得出） R2 R2 d i1 (t ) i 2 (t ) c 3 (t )(带入1得出） dt d d i1 (t ) c 3 (t ) 2 (t ) dt dt R12 ' (t ) R1C13 ' (t ) 3 (t ) e(t )...4
X (s) [ X (0) BF(s)] (S ) x(t ) L [ (s)]X (0) L [ (s) BF(s)] z.s.r z.i.r

第八章(3) 离散系统状态方程的求解


在用状态分析系统时, 在用状态分析系统时,求状态转移矩阵(k) 是关键步骤. 是关键步骤. 例 8.4-1 已知矩阵 求其矩阵函数A 求其矩阵函数 k.
0 1 A= 2 1
矩阵A的特征方程为 解 矩阵 的特征方程为
λ 1 = λ2 λ 2 = 0 q( λ ) = det( λI A) = det 2 1 λ 方程有两个相异的特征根
其全解 x(k) = xx (k) + x f (k)
(3)求系统的输出
y(k) = Cx(k) + Df (k) = C(k)x(0) + C(k 1)B* f (k) + Df (k)
代入, 将 (k)代入,得零输入响应
1 k 1k ( 2) 1 0 ( 2) yx (k) = C(k)x(0) = = 1 , k ≥ 0 1 1 1 ( )k + ( 1)k ( )k 4 4 2
零输入解的象函数 零状态解的象函数
1
1
x(k) = (k)x(0) +(k 1)B* f (k)
于是, 于是,得状态转移矩阵 (k) = Ak = Z1{[zI A]1 z} 为了方便, 为了方便,定义
将它们代入, 将它们代入,得状态转移矩阵
1 1 k 1 0 1 k 1 k 2 1 k k (k) = A = ( ) + 2( ) + 4( 2) 4( 4) 1 4 0 1 2 4 1k 0 ( 2) = 1k 1k 1 k ( ) ( ) ( ) 4 4 2 0 1 4
i =0
k1
x(k) = (k)x(0) +(k 1)B* f (k)
x(k) = (k)x(0) + ∑(k 1 i )Bf (i)
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将有关矩阵代入，得
e t e t 0 1 ( t ) * t 1 0 ( t ) e
e t e t e t t t e e
e t ( t ) * 0 ( t )
于是状态矢量解为
e t x(t ) xx (t ) x f (t ) 1 t 3t e 3 e 2
t t t 1 1 e 2e e 2 ( t ) t t 0 1 ( t ) e 1 e t t 0 2 e 0 2e 1 1 t , t 0 t t t e e e 1 e 1
x t e
A( t t 0 )
x( t 0 ) e
t0
t
A( t )
Bf ( )d
若t 0 0, 则状态方程的解
At
x( t ) e x(0) e
0
def
t
A( t )
Bf ( )d
矩阵 e A( t t0 ) 称为状态转移矩阵，用 ( t t 0 )表示，得
1 ( t ) ( t )
可以用类似于矩阵乘法的运算规则定义两个函 数矩阵的卷积积分。
f1 f 3 f5 f2 g1 f4 * g3 f6 f1 * g1 f 2 * g3 g2 f 3 * g1 f 4 * g3 g4 f 5 * g1 f 6 * g3 f 1 * g 2 f 2 * g4 f 3 * g 2 f 4 * g4 f 5 * g 2 f 6 * g4
e 0 I 1 A
At
（2）求状态方程的解 由 x ( t ) ( t ) x ( 0) ( t ) B * f ( t )
x1 ( t ) e t x ( t ) 2 0 e t e t 1 e t t e 1 0
零输入解
零状态解
其全解
x1 ( t ) 2e t 2e t 2 , t 0 x ( t ) t 2 1 2e
（3）求输出 将 x ( t ) 和 f ( t ) 代入到输出方程，得
y1 ( t ) 1 1 x1 ( t ) 1 0 ( t ) y ( t ) x ( t ) ( t ) 0 1 1 0 2 2
(t ) e At Ax( t ) e At Bf (t ) e At x
根据矩阵指数函数的性质，上式可写成为
At dx ( t ) de e At x( t ) e At Bf ( t ) dt dt d At [e x( t )] dt d At [e x( t )] e At Bf ( t ) 等号两端取t0到t的积分，得 dt
t


t e 0 1 1 3t t 3t e 2 e e 2



t0
零状态分量
e t x f (t ) (t ) B f (t ) 1 t e e 3t 2
x2 ( t ) f 2 (t ) y2 ( t )
x n ( t )]T 是状态矢量 f p ( t )]T 是输入矢量 yq ( t )]T 是输出矢量
Ann , Bn p , C qn , Dq p是系数矩阵
状态方程的求解方法

时域法 变换法
一、状态方程的时域解
将式 x ( t ) Ax( t ) Bf ( t ) 等号两端前乘以 e At并移项得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ零输入响应
零状态响应
例 8.3-2 给定系统的状态空间方程为
1 1 0 x1 1 x f x 2 1 3 x2 0 1 x1 y 1 1 f 2 x2
式中
h( t ) C ( t ) B D ( t ) 称为冲激响应矩阵。
q p 矩阵。
结论：
( t ) Ax( t ) Bf ( t ) x y( t ) Cx( t ) Df ( t )
xt (t ) x(0) (t )B * f (t )
已知系统初始状态
x1 (0 ) 1 x (0 ) x2 ( 0 ) 2
输入为单位阶跃函数。试求该系统的状态矢量x和输出y。
解
1 0 A 1 3
1 B 0
1 C 1 2
e
At
x( t ) e
At 0
x( t 0 ) e
t0
t
A
Bf ( )d
e
At
x( t ) e
At 0
x( t 0 ) e
t0
t
A
Bf ( )d
上式等号两端前乘以 e At 并移项，得
x( t ) e
A( t t 0 )
x( t 0 ) e
系统状态转移矩陈为:
D 1
t e At (t ) e 1 t 3t e e 2


0 3t e
（1）计算状态矢量解x(t)。
xx (t ) (t ) x(0 )

e 1 t e e 3t 2
2
将它们代入 e At e t E1 e t E2 式，得
( t ) e At
t 1 1 0 1 e t et e 0 0 0 1 0
et et t e
可用另外一种方法，求得相同结果。
y1 ( t ) 1 1 x1 ( t ) 1 0 f1 ( t ) y ( t ) x ( t ) f ( t ) 0 1 1 0 2 2 2
其初始状态和输入分别为
x1 (0) 1 f1 ( t ) ( t ) x ( 0 ) , f ( t ) 1 ( t ) 2 2
状态方程的解可写成简练的形式
x( t ) e x(0) e A( t ) Bf ( )d
At 0
t
e x(0) e B * f (t )
At At
xt (t ) x(0) (t )B * f (t )
将上式代入 y( t ) Cx( t ) Df ( t ) 中得
试求系统的状态和输出。
解 （1）求状态转移矩阵 ( t )
1 2 由给定方程得知系统矩阵 A 0 1
A的特征多项式
1 p( ) det( I A) det 0
特征矩阵
特征多项式
2 ( 1)( 1) 1
y( t ) Ce x(0) C e
At 0
t
A( t )
Bf ( )d Df ( t )
C ( t ) x(0) [C ( t ) B * f ( t ) Df ( t )]
零输入响应 零状态响应
若 y f ( t ) 表示输出矢量的零状态响应
y f ( t ) C ( t ) B * f ( ) Df ( t )
e t (e t e t ) * ( t ) e t * ( t ) t t e * (t ) e e t 2e t e t 2 t , t 0 t e 1 e
yt C (t ) x(0) [C (t )B * f (t ) Df (t )]
h( t ) C ( t ) B D ( t )
其中
(t ) e , t 0
At
例8.3-1 如某LTI系统的状态方程和输出方程分别为
1 ( t ) 1 2 x1 ( t ) 0 1 f1 ( t ) x x f ( t ) ( t ) x ( t ) 0 1 1 0 2 2 2
A的特征根为 1 1, 2 1 用成分矩阵法求
e
At
可得矩阵指数函数为
e At e 1t E1 e 2 t E2
其中
A 2 I 1 1 E1 1 2 0 0
1
A 1 I 0 1 E2 2 1 0 1
8.3 连续系统状态方程的解
连续系统状态方程的一般形式为
( t ) Ax( t ) Bf ( t ) x y( t ) Cx( t ) Df ( t )
式中
x( t ) [ x1 ( t ) f ( t ) [ f1 ( t ) y( t ) [ y1 ( t )
定义一个p×p对角方阵
0 ( t ) 0 (t ) (t ) 0 0
0 0 ( t )
于是
y f ( t ) C ( t ) B * f ( t ) D ( t ) * f ( t )
[C ( t ) B D ( t )] * f ( t ) h( t ) * f ( t )
( t t 0 ) e A( t t ) , t t 0
0
如t 0 0, 则写为
( t ) e , t 0
At
def
状态转移矩阵有以下重要性质：