第2章 控制系统的状态方程求解要点：① 线性定常状态方程的解 ② 状态转移矩阵的求法 ③ 离散系统状态方程的解 难点：① 状态转移矩阵的求法 ② 非齐次状态方程的解一 线性定常系统状态方程的解1 齐次状态方程的解考虑n 阶线性定常齐次方程⎩⎨⎧==0)0()()(x x t Ax t x& （2-1） 的解。
先复习标量微分方程的解。
设标量微分方程为⎩⎨⎧==0)0(x x ax x& （2-2）对式（2-2）取拉氏变换得)()(0s aX X s sX =-移项 0)()(x s X a s =- 则 as x s X -=)(取拉氏反变换，得 000!)()(x k at x e t x k kat∑∞=== 标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理：定理2-1 n 阶线性定常齐次状态方程（2-1）的解为000!)()(x k At x e t x k kAt∑∞=== （2-3） 式中，∑∞==0!)(k kAtk At e推论2-1 n 阶线性定常齐次状态方程⎩⎨⎧==00)()()(x t x t Ax t x& （2-4）的解为 0)(0)(x e t x t t A -= （2-5）齐次状态方程解的物理意义是)(0t t A e -将系统从初始时刻0t 的初始状态0x 转移到t 时刻的状态)(t x 。
故)(0t t A e -又称为定常系统的状态转移矩阵。
(状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton ）法)从上面得到两个等式 ∑∞==0!)(k kAtk At e])[(11---=A sI L e At其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为At e 的频域求法或拉氏反变换法2 非齐次状态方程的解设n 阶非齐次方程⎩⎨⎧=+=0)()()()(x t x t Bu t Ax t x& (2-6)将状态方程左乘At e -，有)()()(t Bu e t Ax e t xe At At At ---+=& 移项 积分，再移项左乘At e ，得 ⎰--+=tt t A t t A d Bu e x et x 00)()()(0)(τττ定理2-2 n 阶线性定常非齐次方程（2-6）的解为⎰--+=tt t A t t A d Bu e x e t x 0)()()(0)(τττ从非齐次状态方程解的表达式可以看出其解是由齐次方程的解与控制u （t ）的作用两部分结合而成。
二 矩阵指数At e 的性质1. ])[(11---=A sI L e At2. I e =03. )(ττ+=t A A At e e e4. At At e e --=1)(5. 若矩阵A ，B 满足交换律，即AB=BA ，则有t B A Bt At e e e )(+=⋅6. kAt k At e e =)(7. 设P 是与A 同阶的非奇异矩阵，则有 P e P e At APtP11-=-8.A e Ae e dtd At At At== 9. 传递性。
对任意012,,t t t ，且012t t t >>，有)()1()(0212t t A t t A t t A e e e ---=三 At e 的计算方法1. 定义法∑∞==0!)(k kAtk At e（2-6）2. 拉氏变换法])[(11---=A sI L e At （2-7） 3. 特征值法这种方法分两种情况计算。
首先，考虑A 的特征值不重时（互异），设A 的特征值为i λ),2,1(n i Λ=则可经过非奇异变换把A 化成对角标准形。
即：AP P A1ˆ-= 根据t A e ˆ的性质7写出⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t ttt An e e e eλλλ0021ˆO（2-8） 根据定义，得ΛΛ++++=++++=---312113322ˆ)(!31)(!21ˆ!31ˆ!21ˆAPt P APt P AP P I t A t A t AI e t AP A P AP P AP P AP P AP P mmm11111)(-----=⋅=44443444421ΛΘΛ++++=∴----33122111ˆ!31!21Pt A P Pt A P APt P P P e t A P t A At I P e t A )!21(221ˆΛ+++=- P e P At 1-= 从而可得：10021-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P e e e P et ttAtn λλλO（2-9） （2-9）式即为A 的特征值不重时，计算At e 的公式。
其中P 阵为把A 化为对角标准形的交换阵。
P 阵的特征向量的求法：（],,[1n P ξξΛ= ，0)(=-i i A I ξλ） （2-9） 若矩阵A 的具有重根时，用上述的方法也可以推导出：重根所对应的约当块A J 的矩阵指数Ajt e 的分式为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-jtjtjtjtjt n jt jtAjte te e e e t n te e e λλλλλλλ0)!1(11M O Λ （2-10）求矩阵指数At e 的分式为：1110)!1(1---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==P e te e e e t n te e P P Pe e jt jtjtjtjt n jt jtAjt At λλλλλλλM O Λ （2-11）式中P 是把A j 化为约当标准形的变换阵。
当A 既有j 重根又有互异的根时：1ˆ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P e e P et A tA Atj （2-12）P 阵的特征向量的求法：],,,,,,,,[121n j j p p p P ξξΛΛ+= (2-13)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=--=-=-++-0)(0)()()(0)(111112111n n j j j j A I A I pp A I pp A I p A I ξλξλλλλM M(2-14) (注：在（2-13）式中将重根对应的特征向量j p p p ,,,21Λ可放在P 阵的前部，也可以放后，无严格规定。
)4. 莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton ）方法 考虑A 的特征多项式n n n n a a a A I ++++=Φ=---λλλλλ111)(Λ显然对A 的n 个特征值n i i ,,2,1,Λ=λ，有0)(=Φi λ。
根据Cayley-Hamilton 定理有0)(111=++++=Φ--I a A a A a A A n n n n Λ 这里可以看出矩阵A 与i λ具有同等地位。
移项 A a A a A a A a A n n n n n -----=--21121Λ 上式表明，I A A A A n n n ,,,,21Λ--是的线性组合。
因此，可设∑-=--+++==11110)()()()(n k n n k k AtA t A t I t A t eββββΛ （2-15）式中，)(t i β是待定系数，1,,1,0-=n i Λ。
下面分两种情况确定待定系数：（1）A 有n 个不同特征值n λλλΛ,,21,A 的特征值i λ与A 具有同等地位，则有 n i t e n k ki k ti ,,2,1)(1Λ==∑-=λβλ （2-16）这里共有n 个方程，可以唯一确定n 个待定系数)(t i β。
（2） 当A 的特征值有重时，设A 有p 个互异特征值，r 个不同的重特征值，且各重数为j m ，r j ,,2,1Λ=。
若j λ是j m 重特征值，则将j λ满足的方程kjn k k tt ej ∑-==1)(βλ对i λ求1-j m 次导，这样共有j m 个独立方程。
一般地，设A 的特征值为p λλλ,,21Λ为单特征值 1+p λ 是1m 重特征值 …………r p +λ 为r m 重特征值。
有 n m p rj j =+∑=1则 )(t i β由下面n 个独立方程确定：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧====⎩⎨⎧==∑∑∑∑-=+---=+++-=+-=+++++1011101010)(()(,2,1))(()()(,2,1)(n k k j p k m m tm m n k k jp k j p t j p n k k j p k t j n k k ik t t d d e d d rj t d d e d d t e m pi t e p n j j p j jp j j p j j p j p i λβλλλβλλλβλβλλλλΛΛΛΛΛΛ个方程个方程个方程（2-17）例4阶系统（n=4），有一个根重了3次，即j=3，用莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton ）方法求状态转移矩阵，即用（2-17）式推得：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-t t t t e e t te e t t t t t t t t 14111213424412113121132101620032101)()()()()(λλλλλλλλλλλλλβββββ （2-18） 然后按（2-15）式计算∑-=--+++==101110)()()()(n k n n k k AtA t A t I t A t e ββββΛ四 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统离散化1 离散系统的状态空间模型在古典控制理论中，离散系统用差分方程描述，差分方程和描述连续系统的微分方程有着对应的关系。
事实上，对微分方程以差商来近似微分时，微分方程就可由差分方程来近似。
与连续系统相似，对n 阶离散系统的差分方程[][][][][][][][]k u b k u b m k u b m k u b k y a k y a n k y a n k y m n n n ++++-+++=++++-+++--111111011ΛΛ （2-19）若选择适当的状态变量就可将其转换成一足一阶差分方程或一阶向量差分方程，从而得到与其对应的状态空间模型。
即 [][][][][][]⎩⎨⎧+=+=+kT Du kT Cx kT y kT Gu kT Fx T k x )1( （2-20）此外对连续系统的状态空间模型离散化也可得到离散的状态空间表达式。
例 已知某离散系统的差分方程为 [][][][][]k u k y k y k y k y =++++++21233 试求其状态空间表达式。
