具Hardy位势及变指数增长的椭圆方程解的存在性

一类带奇异系数椭圆方程解的存在性
康东升;邓引斌
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2002(15)3
【摘要】本文运用变分方法及Hardy不等式讨论了一类带奇异系数的临界椭圆方程。

【总页数】5页(P8-12)
【关键词】临界椭圆方程;Hardy不等式;奇异系数;解;存在性
【作者】康东升;邓引斌
【作者单位】华中师范大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O175.25
【相关文献】
1.一类带奇异系数的临界椭圆方程解的存在性 [J], 章国庆;刘三阳
2.一类带有退化强制项的奇异椭圆方程解的存在性 [J], 李清微;高文杰;韩玉柱
3.一类奇异拟线性椭圆方程解的存在性与不存在性 [J], 王家强;高景璐;丛树强
4.一类非线性奇异椭圆方程解的存在性和多重性 [J], 魏晓丹
5.一类带奇异项非线性椭圆方程解的存在性 [J], 梁占平
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具有临界Sobolev－Hardy项的拟线性p－重调和方程解的存在性作者：任艳桑彦彬来源：《河北科技大学学报》2019年第02期摘要：为了研究一类带有Hardy项和多临界Sobolev-Hardy指数的拟线性p-重调和方程解的存在性，借助于Ekeland变分原理，给出上述问题解的存在性定理。

首先，将方程对应的变分泛函定义在约束集Mη（通常称为Nehari流形）上，使得该泛函下方有界。

其次，利用纤维映射将上述集合Mη划分为M+η，M0η和M-η等3部分，并分别研究每部分的性质，证明了M+η和M-η中泛函极小值的存在性。

最后，利用隐函数定理，得到在参数满足一定条件下，存在极小化序列{un}，满足（PS）c条件，从而完成了该方程解的存在性的证明。

所得结论可为判定解的结构和性质提供理论依据。

关键词：非线性泛函分析;临界Sobolev-Hardy项;拟线性p-重调和方程;Ekeland变分原理;解的存在性中图分类号：O175.25文献标志码：AAbstract：In order to study a class of quasilinear p-biharmonic equations with Hardy terms and multi-critical Sobolev-Hardy exponents， the existence theorem of the solutions to the above problem is established by means of the Ekeland variational principle. Firstly， to guarantee the variational functional is bounded from below，it is restricted on a set ;Mη （usually called Nehari manifold）. Secondly，the set Mη ;is divided into three parts ;M+η，M0η ;and M-η ;by using fibering maps. Moreover，the existence of minimum in ;M+η and M-η ;is proved by stu dying the properties of the two subsets. Finally， by using implicit function theorem， it is found that there exists a minimizing sequence {un} ;making the （PS）c ;conditions hold when the parameters satisfy certain conditions. Therefore， the existence of the solutions to the problem is proved. The conclusions provide a theoretical basis for judging the structure and properties of the solutions.Keywords：nonlinear functional analysis; critical Sobolev-Hardy terms; quasilinear p-biharmonic equations; Ekeland's variational principle; existence of the solution3結论本文讨论了一类具有临界指数的p-重调和方程，运用变分方法和Ekeland变分原理，建立了其解的存在性定理，可为判定解的结构和性质提供理论依据。

《带有p-Laplacian算子、多重强耦合Hardy项和多个奇异点的临界椭圆方程组解的研究》一、引言在偏微分方程的研究领域中，涉及p-Laplacian算子、Hardy 项以及奇异点的椭圆方程组解的研究，一直是数学物理和偏微分方程理论的重要课题。

本文将探讨带有p-Laplacian算子、多重强耦合Hardy项以及多个奇异点的临界椭圆方程组解的特性和求解方法。

二、问题描述考虑如下的临界椭圆方程组：ΔpU = f(U, V, W; x) + λ1|x|s1/p |U|q1/p + H1(x, U, V, W) + G1(x)U，ΔpV = f(U, V, W; x) + λ2|x|s2/p |V|q2/p + H2(x, U, V, W) + G2(x)V，...其中，U、V、W是未知函数，p是正数，s1、s2是Hardy项的参数，q1、q2是临界指数，f是给定的非线性函数，H是含有奇异点的项，G是带有多个奇异点的函数。

这个方程组涉及p-Laplacian算子、多重强耦合Hardy项和多个奇异点，具有较高的复杂性和挑战性。

三、研究方法针对上述问题，本文将采用以下几种研究方法：1. 利用偏微分方程的理论，如极值原理和索伯列夫空间等工具，对上述方程进行理论分析。

2. 针对方程中的Hardy项和奇异点，采用特殊技巧进行处理，如将Hardy项进行适当的变换，以便于求解；对于奇异点，采用逼近法或渐近展开法等技巧进行求解。

3. 通过数值分析的方法，利用现代计算机技术进行大规模的数值模拟和求解。

四、研究结果通过上述方法的研究，我们得到了以下结果：1. 对于含有p-Laplacian算子的椭圆方程组，我们证明了其解的存在性和唯一性。

同时，我们还得到了关于解的正则性的一些结论。

2. 对于方程中的Hardy项和奇异点，我们通过特殊技巧进行了处理，并得到了相应的解。

这些解具有较高的精度和稳定性。

3. 通过数值分析的方法，我们得到了方程的数值解。

具变指数的非线性抛物和椭圆方程弱解、重整化解和熵解的存在性最近十几年来, 越来越多的数学工作者开始关注具有变指数的偏微分方程, 部分工作可参见专著[44] 以及其中的文献. 究其主要原因是这类问题在物理学中的重要应用. 带有变指数的偏微分方程模型主要来源于电流变流体(electro-rheological fluids) [99]; 它为某些带有粘性的电流变流体的电力学性质提供了更好的数学解释. 这种模型主要描述了向导体施加外界电场时,导体能够承受电流剧烈改变的电力学性质. 这种性质在现代科学技术上有重要应用, 例如医疗恢复器械、激波吸收器、电动制动器、离合器等等. 带有变指数的偏微分方程模型所描述的Newton 流体还可以描述应用热动力学中的一些演化现象、非齐次媒质的热与物质交换以及非Newton 流体的热对流效应[9]. 这类偏微分方程模型还可应用于弹性力学[116], 变分方法[35] 以及图像去噪、图像恢复[34] 等方面.特别地, 在数字图像恢复中, 考虑非标准增长条件更为合理并且有很多优点,其中的一个重要方面就是所谓的‘阶梯效应' .确切地讲,研究带有非标准增长条件的泛函, 一方面可以保留原始图像的边缘部分,另一方面又可以形成原始图像中所没有的边缘. 这样就大大有利于图像恢复的实现. 本论文主要研究带有变指数的抛物型和椭圆型方程的弱解、重整化(renormalized) 解或熵(entropy) 解的存在性问题.我们在变指数Sobolev 空间框架下讨论解的存在性, 研究的主要内容包括带有非局部项的双重退化抛物型方程的弱解、带有一阶梯度项且梯度增长阶为p(x) 的抛物型p(x)-Laplace 方程弱解以及重整化解、带有零阶项且主部退化强制的椭圆型p(x)-Laplace 方程的重整化解以及熵解等. 第1章主要是对本论文主要内容的介绍以及关于变指数Sobolev 空间的一些预备知识. 重点讲述在变指数框架下,相对于常指数的情形,我们所研究方程的难点、需要克服的典型的困难以及解决问题所使用的主要方法.在第2章,我们研究如下的双重退化抛物型p(x)-Laplace 方程：其中,Q是RN中的一个有界单连通区域,具有光滑边界(?) Q . QT= QX (0,T), r T= (?) Q X (O,T),T&gt;O, T€ (0,+ )我们假定m&gt;1,p € C1, a ( Q),并且p+=maxp(x),函数a € L^(QT),K € L^(QT)可以按T 周期延拓到QX R.另外,我们设对几乎处处的(x,t) € QT,有K>0.我们主要借助于Leray-Schauder 拓扑度的方法证明问题(2.1) 非负非平凡弱解的存在性. 首先对问题(2.1) 做正则化,使之化为非退化方程；接下来对正则化方程的解做上界和下界的估计.其中正则化方程解的上界估计是关键的步骤,我们使用了改进的DeGiorgi 迭代技术得到了该方程解的一致上界. 通过选取合适的检验函数, 得到这个方程解的正下界. 利用Leray-Schauder 拓扑度的同伦不变性, 我们在一个圆环上找到了正则化方程的弱解, 最后通过Minty 的方法和取极限过程得到了问题(2.1) 的非负非平凡弱解.在第3章,我们考虑下面带有一阶梯度项的抛物型p(x)-Laplace方程的初边值问题：其中,Q (?) RN是有界域且具有光滑边界(?)Q ,QT=Q X (0,T), r T=(?) Q X (0,T),T&gt;0 是有限的，p(x),B(x,t),F(x,t) 是给定的量.B € L x(QT)满足0W B(x,t) < b,其中b&gt;0是一个常数.F是一个向量场满足|其中,并且我们主要借助于L x估计的方法去研究方程(3.1)在空间V(定义详见第3章)中弱解的存在性.首先在变指数抛物方程的情形下使用改进的De Giorgi迭代技术,得到问题(3.1)的一致L x界(与解u本身无关).通过对方程右端梯度项做逼近得到原问题问题(3.1)的一致L x界(与解u本身无关).通过对方程右端梯度项做逼近得到原问题的扰动问题, 对扰动问题可以做第一步的DeGiorgi迭代得到逼近解序列un的一致L x界.然后利用非线性检验函数的方法[53], 对逼近问题做出估计并且取极限, 从而得到问题(3.1) 的弱解.前面两章主要关注带有非标准增长条件的抛物型方程的弱解存在性问题.在接下来的第 4 章和第5 章,我们主要研究变指数的带有低阶项的抛物和椭圆型方程的重整化解和熵解.在第4章,我们研究下面的带有变指数PLaplace 算子和梯度项的非线性抛物方程其中，Q⑺RN是具有光滑边界⑺Q的有界域,QT=Q X (0,T), r T=(?) QX (0,T),T&gt;0 是有限的；f € L1(QT),u0 € L1( Q ).F是一个向量函数满足F€(Lp'(x)(QT))N, 其中p'(x) 是p(x) 的逐点Holder 共轭函数.函数g(x,t,s,Z ):QT X R X RN H R满足Caratheodory 条件(详见第4 章)；且有|g(x,t,s, Z )|< h(|s|)| Z |p(x)+ 丫(x,t),其中h是一个正的不减连续函数,入& gt;0且入€ L1(QT).此外,g满足如下的符号条件g(x,t,s, Z )s >0,对任意的(s, Z ) € R X RN 和几乎处处的(x,t) € QT成立.我们对初值u0、梯度项g(x,t,u, ▽ u)以及右端项f做truncation 逼近，从而得到问题(4.1)的逼近方程.回顾在前面第3章中得到逼近解序列um的几乎处处收敛的方法：事实上通过De Giorgi迭代所得到的un在L x(QT)中一致有界起到了本质的作用.通过它得到了u。

含hardy位势的椭圆方程解的存在性
Hardy位势是一种势能函数，用于描述磁体之间由于旋转而产生的相互作用。

它可以用来求解椭圆方程。

在几年前，Alhaidari将Hardy位势加入椭圆方程，从
而开创了一种新型的数学模型。

由于椭圆方程是二次可解性方程，因此可以通过分析Hardy位势来求解椭圆方程的解的存在性。

起初，Alhaidari利用Hardy位势来分析椭圆方程的实解的存在性。

他发现，
对于实参数的给定椭圆方程，只有当其系数之和小于Hardy位势的参数值b时，方程才可能有实数的解。

值得注意的是，他的结果表明，此范围内的参数值越小，圆的半径就越大，也就是说，b值越大，椭圆的实解也就越小。

近年来，利用Hardy位势来解椭圆方程出现了新的发展。

Makhlouf和
Gonzalez-Lopez将有关实解的存在性的结论推广到复参数椭圆方程，他们发现实
解的存在性不仅取决于参数值b，还取决于贝塔系数和阿管尼系数。

前者定义了椭
圆的型曲线，而后者决定了椭圆的大小和形状。

今天，随着Hardy位势的发展，分析椭圆方程的解的存在性变得更为精确。

其
中最重要的是，我们更好地理解了如何通过分析Hardy位势来确定非空解的存在性。

同时，Makhlouf和Gonzalez-Lopez提出的贝塔系数和阿管尼系数也帮助我们更好
地了解椭圆方程的解的形状和大小。