p-Laplacian方程组大解的存在性

具p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性微分方程理论是数学理论的重要组成部分,许多实际问题的模型都可以归结到微分方程,所以微分方程是数学理论联系实际问题研究的纽带.微分方程边值问题是微分方程理论研究中的一个基本问题,并且伴随着新问题的出现,许多新的研究方向由此形成.分数阶微分方程作为微分方程理论的推广,发展至今已有300多年的历史,特别是近几十年来,分数阶微分方程不断完善自身理论系统,以及其在物理、化学、生物、机械力学等不同学科领域已经得到广泛的实际应用.特别是关于具有p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题的研究已引起了国内外学者的浓厚兴趣,并逐渐成为研究热点.本文主要研究具p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性,其中包括非线性微分方程、分数阶脉冲微分方程、分数阶时滞微分方程等情形,涉及解的存在性、唯一性、多解性等情况,给出了一些新的存在性结果.根据内容本文分为以下四章:第一章,概述分数阶微积分理论的历史背景和研究现状,具p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性的研究现状及研究意义,以及我们主要研究的工作.第二章,研究非线性微分方程共振多点边值问题解的存在性.利用Mawhin连续定理获得了该边值问题解的存在性的充分条件.第三章,研究脉冲分数阶微分方程的四点边值问题解的存在性.利用上下解方法以及单调迭代技巧,给出了边值问题解的存在性以及唯一性的充分条件.第四章,研究时滞分数阶微分方程边值问题多个正解存在性.函数f与xt的时滞有关,当非线性项f满足一定增长性条件时,利用Avery-Peterson不动点定理,得到边值问题在无穷区间上至少存在三个正解的结论。

硕士学位论文（高校教师）p-Laplace方程解的存在性 )(xEXISTENCE OF SOLUTIONS OF )p-LAPLACE EQUATION(x房维维哈尔滨工业大学2009年6月中图分类号:O175.2 学校代码：10213 UDC：517.9 密级：公开理学硕士学位论文（高校教师）(xp-Laplace方程解的存在性)硕士研究生: 房维维导 师: 付永强教授申 请 学 位: 理学硕士学 科: 基础数学所 在 单 位: 哈尔滨师范大学阿城学院答 辩 日 期: 2009年6月授予学位单位: 哈尔滨工业大学Classified Index: O175.2U.D.C: 517.9Dissertation for the Master Degree in ScienceEXISTENCE OF SOLUTIONS OFp-LAPLACE EQUATION(x)Candidate:Weiwei FangSupervisor:Prof. Yongqiang FuAcademic Degree Applied for:Master of ScienceSpecialty:Fundamental Mathematics Affiliation: Harbin Normal University AchengCollegeDate of Defence:June, 2009Degree-Conferring-Institution:Harbin Institute of Technology摘要对非标准增长条件的-Laplace 方程问题的研究是近年来发展起来的一个新的研究课题。

由于Laplace 方程和)(x p p -Laplace 方程的研究方法已经不再适用于-Laplace 方程， 所以目前对-Laplace 方程的研究只有很少的成果出现， 因此对这类问题的研究具有广泛的理论与实际意义。

对-Laplace 方程的研究， 有很多不同的方法。

带有Neumann边界的类p-Laplace方程无穷多解存在性摘要讨论中有界光滑区域上的一类带有Neumann边界的类p-Laplace方程的无穷多解问题,其中,非线性项不必具有奇对称性,用寻找局部极小值的方法得到两列非负弱解,并且当非线性项在零点(无穷远点)振荡时,两列解按范数趋于零(趋于正无穷),同时对应的能量函数趋于零(趋于负无穷)。

关键词类p-Laplace算子;Neumann边界;局部极小值;无穷多解本文讨论如下带有Neumann边界的类p-Laplace方程的无穷多解问题:(1)其中是中具有光滑边界的有界区域,是的单位外法向量,.满足(2)记是标准的Sobolev空间,其等价范数可取为。

是方程(1)的弱解是指:对于任意的都有(3)成立。

求问题(1)的弱解可归结为求泛函(4)的临界点。

对于如下带有Dirichlet边界的p-Laplace方程:(5)的无穷多解问题(其中同上),,现有的结论和证明方法已比较多,文[1]已有详细阐述。

文[2]讨论了上的椭圆问题,用寻找局部极小值得到临界点的方法得到了无穷多群不变弱解.受此文的启发,本文用类似的方法讨论了问题(1),得到了两列具有不同性质的弱解,推广了边值的情形。

1条件及主要结论对和非线性项,我们提出以下的假设:(A1)映射是凸函数。

(A2)存在常数,使得。

(F1)。

且。

(F2)存在正实数列和,,使得,(F3)存在使得极限关于一致成立。

记我们的结果如下:定理1设条件(A1),(A2),(F1),(F2)和(F3)成立,且(6)则问题(1)有一列非负弱解,使得,并有,,相对于在零点附近的条件(F3),我们对提出在无穷远的条件为:存在使极限关于一致成立。

记,相应地有:定理2设条件(A1),(A2),(F1),(F2)和(F3)成立,且(7)则问题(1)有一列非负弱解使得,2预备性结果固定一个数,记,引理1: 在上有下界且下确界可在上达到。

证明:显然是中的凸集。

一类p-laplacian椭圆抛物型方程解的存在和唯一性本文将讨论一类p-laplacian椭圆抛物型方程的存在性和唯一性。

p-laplacian椭圆抛物型方程是一类形式为$u_{xx}+u_{yy}+p(x,y)u=f(x,y)$的非线性方程，其中$p(x,y)$是非负可积函数。

在定义域$\Omega$上，这个方程有可能有多个解，但我们需要证明方程在$\Omega$上只有一个解，即存在唯一性。

为了证明方程在$\Omega$上只有一个解，我们首先需要证明它在$\Omega$上存在解。

为此，我们可以使用拉普拉斯变换法，该方法把二阶偏微分方程转化为可以解决的线性方程组。

具体来说，我们可以把原方程的拉普拉斯变换后的形式写成：$$\int_{\Omega}\int_{\Omega} \hat{u}(x,y) (-\Delta+p(x,y))u(x,y)dxdy=\int_{\Omega}\int_{\Omega}\hat{f}(x, y)u(x,y)dxdy$$其中$\hat{u}$和$\hat{f}$分别是$u$和$f$的拉普拉斯变换。

由于$-\Delta+p(x,y)$是可积的，因此可以证明方程在$\Omega$上存在解。

接下来，我们需要证明方程在$\Omega$上只有一个解。

为此，我们可以采用变分法。

我们首先利用变分法将原方程转换成一个绝对最小值问题：$$\min \int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}(u_{xx}+u_{yy})+p(x,y)u-f(x,y)\right]^2dxdy$$设$u_1$和$u_2$是方程的两个解，则有：$$\min \int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}(u_{1xx}+u_{1yy})+p(x,y)u_1-f(x,y)\right]^2dxdy=\int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}(u_{2xx}+u_{2yy})+p(x,y)u_2-f(x,y)\right]^2dxdy$$又因为$u_1$和$u_2$是方程的两个解，所以有：$$\int_{\Omega} \left[(u_{1xx}+u_{1yy})+p(x,y)u_1-f(x,y)\right]dxdy=\int_{\Omega}\left[(u_{2xx}+u_{2yy})+p(x,y)u_2-f(x,y)\right]dxdy$$从而可以得到$$\int_{\Omega} \left[(u_{1xx}+u_{1yy})-(u_{2xx}+u_{2yy})\right]dxdy=0$$这表明$u_1$和$u_2$在$\Omega$上的二阶偏微分是相等的，因此$u_1=u_2$，即方程在$\Omega$上只有一个解。

教育与培训具积分边值条件p—Laplacian型微分方程解的存在性宋文晶史允均(吉林财经大学应用数学学院，吉林长春130117)摘要：通过构造一个同伦映射，运用拓扑度理论得到了具积分边值条件p—Laplacian型微分方程解的存在性。

关键词：积分边值；拓扑度中图分类号：G4 文献标识码：A doi：10. 19311/ki. 1672-3198. 2016. 34. 202起源于热传导、地下水流、热电弹性、等离子物理等的积分边值问题以及在生物学、神经网络等方面广泛应用的时标问题是近些年的热点e本文研究如下具积分边值条件的P—Laplacian型微分方程解的存在性：卜(机(uA(t)))v=f(t，u(t))，V t€ (0，T)T，j u(T)=JJg(s)u(s)V s,(1)[uA(0) =A,其中 t(•)是 p—Laplace 算子，士-1p^|+~^ =l，f:[〇，T]T X R’R 连续，T 表7K时标，g(s) €L1([0，T]t)，A是|个实的常数。

C[0，T]t表示[0，T]t所有连续函数构成的Ba­nach空间 ，范数定义I I x ||=max|x(t) |。

设算子K(u(t))=l(T g(s)u(s)V s，则问题（1)的解等价于积分重程(I-K)u(t)=-J T<|>P -1(<|>p(A)-JJf(s,u(s))Vs)A t(2)的解。

定义算子F:C[0，T]t—C[D，T]t 为(Fu)(t)=-J7<|>p -1(<l>p(A)-J|f(s,u(s))Vs)Ar则问题（2)表示为（I—K)u(t)=(Fu)(t)类似文献[3]，易证：引理1.算子F:C[0，T]t4C [0，T]t是全连续算子&假设：(H〇)JJ |g(s) |Vs=M<l；(Hi) |f(t,x) | <C1( |X|) +G2 »C1，C2>0，且d T C V1-M2^1T)定理1.假设(H:0)(H:)成立，则问题（1)至少存在一个解。

理学硕士学位论文有界区域上−)p Laplacian问题解的存在性(x赵辉哈尔滨工业大学2006年6月国内图书分类号：O175.9国际图书分类号: 517.9理学硕士学位论文有界区域上−)p Laplacian问题解的存在性(x硕士研究生：赵辉导师：付永强教授申请学位：理学硕士学科、专业：基础数学所在单位：数学系答辩日期：2006年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index：O175.9U.D.C.: 517.9Dissertation for the Master Degree in ScienceEXISTENCE OF SOLUTIONS FOR ()x p-LAPLACIAN PROBLEMSON A BOUNDED DOMAINCandidate：Hui ZhaoSupervisor：Prof. Yongqiang Fu Academic Degree Applied for：Master of Science Specialty：Pure Mathematics Affiliation：Department of Mathematics Date of Defence：June, 2006Degree-Conferring-Institution：Harbin Institute of Technology哈尔滨工业大学理学硕士学位论文- I -摘要本文的主要研究内容是在空间()x p L 和()x p k W ,的基本理论体系的基础上，研究−)(x p Laplacian 问题多重解的存在性。

随着弹性力学的发展，对非标准增长条件−)(x p Laplacian 问题的研究是近年来发展起来的一个新的研究课题。

−)(x p Laplacian 方程来源于许多物理背景，例如，非Newton 流体问题（Newton 流体问题对应于2=p ），非线性弹力问题等。

因此对这类问题的研究具有广泛的理论与实际意义。

一类p-Laplacian奇异初值问题正解的存在性
陈顺清
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(027)002
【摘要】利用锥上不动点理论,借助于R.P.Agarwal和
D.O'Regan(J.Math.Anal.Appl.,1999,229:441～451.)的方法研究了一维p-Laplacian奇异初值问题{[ψp(u')]'=f(t,u,u'),0＜t＜1,u(0)=u'(0)=0的正解的存在性,推广了已有的一些结果.
【总页数】4页(P165-168)
【作者】陈顺清
【作者单位】达县师范高等专科学校,数学系,四川,达州,635000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.一类p-Laplacian奇异型方程组三阶三点边值问题正解的存在性 [J], 刘勤凤;肖建中;仓曰华
2.一类一维 p-Laplacian 非线性奇异三点边值问题正解的存在性 [J], 白杰;祖力
3.一维奇异p-Laplacian三点边值问题正解的存在性 [J], 白杰;祖力
4.非线性项变号的奇异p-Laplacian动力方程正解的存在性 [J], 张红雷;汤建;许方
5.含有p-Laplacian算子的四阶奇异边值问题正解的存在性 [J], 陈永鹏;靳宝霞
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拉普拉斯方程（Laplace's equation）是一种常见的偏微分方程，其形式为：∆u=0其中，∆u是拉普拉斯运算符，表示二阶偏导数的和：∆u=uxx+uyy拉普拉斯方程通常用来描述无源的物理系统，如电场、热传导等。

对于拉普拉斯方程，通常存在多种解法。

其中，最常见的解法是使用数值方法，如有限差分法（Finite Difference Method, FDM）、有限元法（Finite Element Method, FEM）等。

这些方法可以得到近似解，但不能保证得到正确的解。

另外，还有一类解法是使用解析方法，即通过数学方法求出正确的解。

对于拉普拉斯方程，可以使用偏微分方程的通解公式求解。

但是，这种方法得到的解通常是概括性质的，不能得到具体的数值解。

对于拉普拉斯方程，由于它的物理意义和数学复杂度，通常存在多解。

多解的存在可能是由于拉普拉斯方程描述的系统存在不唯一性，也可能是由于数学方法本身的局限性造成的。

拉普拉斯方程是一个关于某个特定函数f(x)的积分方程，它可以用于描述物理现象、金融市场、生物进化等等。

拉普拉斯方程的正解是一个积分方程的解，它满足拉普拉斯方程的边界条件，并且可以在拉普拉斯方程内部求解出来。

多解的存在性取决于拉普拉斯方程的边界条件，如果边界条件不确定，或者存在不同的边界条件，那么拉普拉斯方程就有可能拥有多个解。

因此，对于拉普拉斯方程的多解的存在性而言，关键在于边界条件的确定性。

总之，对于拉普拉斯方程，存在多种解法，其中数值方法可以得到近似解，但不能保证正确性；解析方法可以得到正确的解，但通常是概括性质的。

对于拉普拉斯方程，多解的存在可能是由于系统本身的不唯一性，也可能是由于数学方法的局限性造成的。

虫虫危机观后感前几天，我看了一部动画电影，叫《虫虫危机》。

看完之后，心里那叫一个“五味杂陈”，忍不住想跟大家唠唠。

这部电影讲的是在一个蚂蚁岛，蚂蚁们辛勤工作，为一群蚂蚱收集粮食。

可这蚂蚱呢，又凶又坏，把蚂蚁们欺负得够呛。

主角菲力是一只与众不同的蚂蚁，它充满了奇思妙想，总想着能改变蚂蚁们被压迫的命运。

电影里的画面那叫一个精彩，特别是对蚂蚁岛的描绘，简直细致入微。

那些小小的蚂蚁洞穴，里面弯弯曲曲的通道，还有存放粮食的仓库，都让我感觉仿佛自己也变成了一只小蚂蚁，在那里忙忙碌碌。

说起里面的角色，我最喜欢的就是菲力了。

它小小的身躯里藏着大大的勇气和智慧。

它不像其他蚂蚁那样，只是一味地听从命令，埋头苦干。

它有自己的想法，虽然一开始不被大家理解，但它始终没有放弃。

这让我想起了自己有时候也是这样，脑子里有一些新奇的想法，说出来却被身边的人否定，那种感觉真不好受。

不过菲力就厉害啦，它愣是靠着自己的坚持，让大家看到了希望。

还有那个公主雅婷，一开始我觉得她有点娇气，只知道指挥别人。

但后来发现，她其实也很勇敢，在关键时刻能够挺身而出，和大家一起面对困难。

这让我明白了，不能轻易地给一个人下定论，每个人都有自己不为人知的一面。

电影里蚂蚁们收集粮食的场景，真的是让我大开眼界。

它们排着整齐的队伍，扛着比自己身体大好多倍的麦粒，一步一步艰难地前进。

有时候累得气喘吁吁，有时候还会被麦粒压得直不起腰，但它们依然没有放弃。

我就在想，咱们人类有时候遇到一点小困难就叫苦连天，和这些小蚂蚁比起来，可真是有点惭愧啊！再说说那些可恶的蚂蚱。

一个个长得又肥又大，还特别嚣张。

尤其是那个霸王蚂蚱，整天对蚂蚁们呼来喝去，稍不如意就发脾气。

看着它那副丑恶的嘴脸，我真恨不得跳进屏幕里，把它狠狠地教训一顿。

不过这也让我明白了，在生活中不能像这些蚂蚱一样，仗着自己的强大就去欺负弱小，这样是不会有好下场的。

当菲力制造出了那个假鸟来吓唬蚂蚱的时候，我心里那叫一个紧张。

第42卷第1期2021年1月宁夏师范学院学报Journal of Ningxia Normal UniversityVol.42No.1J an.2021常p-Laplacian系统周期解的存在性郭曼X王大斌2(.四川信息职业技术学院基础教育部：四川广元628000；.兰州理工大学理学院：甘肃兰州730050)摘要：当常p-Laplacian系统中的位势函数关于时间变量积分后具有周期性时，利用直接变分最小方法和Rabinowtz的鞍点定理得出系统周期解存在的结论.关键词：周期解；p-Laplacian系统；鞍点定理；变分最小方法中图分类号：O175.12文献标识码：A文章编号：1674—1331(2021)01—0023—06收稿日期：2020—08—23基金项目：四川信息职业技术学院2020年学院青年课题(2020C26).作者简介：郭曼(1990—),女，河南南阳人，助教，硕士，研究方向：非线性分析及其应用.考察如下p-Laplacian系统一J u t^~u t)'=勺Ftt,t),(1)当p=2时，系统(1)即为二阶Hamiltonian系统.经查阅文献发现，对于二阶Hamiltonian系统解的存在性问题，大量学者采用了不同的方法来验证，最后得到了一系列成果.特别地，Li［1］等在较弱的积分周期条件下得到了关于系统(1)周期解的一个新的结果，且该结果推广了Willem［2］的结论.通过采用类似于文献［1］中的条件,Wang［3］等证得了二阶离散Hamiltonian系统存在周期解.其他研究成果详情可参见文献［4—8］及其参考文献•目前，关于(1)式这样的p-Laplacian系统周期解的存在性问题受到了很多学者的关注，详情可见文献［9—14］及其参考文献.特别地，文献［9］分别运用对偶最小作用原理和鞍点定理讨论了系统(1)周期解的存在性问题，并且最后在该问题上有所收获•受到文献［1］和勺启发，一个自然的问题：若用口］中的方法去研究［9］中的系统的周期解存在性问题得到几个结论•1主要结论本文主要针对系统(1)的周期解的存在性问题展开讨论，其中p>2,F：叹X叹N—叹,N>2,F(j+ T,x)=Ftx),T>0,\7Ftut)=F'tut)表示Ftut)关于t的梯度.在文中，假定Ftut)满足如下条件：(A)对任意x€叹N FtX关于(是可测的，对几乎每个t€［0,T］,Ftx)关于x连续可微，且存在a€C(萨，叹+)b€L1(［0,T］;R+),对每个x€叹N和几乎所有的t€［0,T］满足下列式子FJ,x)W a t x)b(t):V F(j,x)W a(|x)t.下面为本文的主要结果.定理1假设F满足条件(A)和下列条件(F){e,|1W z W"}是叹N的正交集，存在T,> 0对任意的x€创和几乎所有的t€［0,T］满足・24・宁夏师范学院学报2021年1月F(tc十Te)dt=F(tCdt,i=1,2,…，N;J0J0(F2)存在0V C1V寻和C2〉0使得pT pF(j x)|C C1|c|"+C2,则系统(1)至少存在一个T-周期解.定理2假设条件(A):(F1)和下列条件成立(F)存在A1V p和A e叹满足F'(,c)•x C A1F(j,x)十仏:F)当|c f十¥,对任意的t e叹，存在0〉0满足FtC〉0,(F5)F(j,rc)b c.则系统⑴存在一个T周期解，其中T VC1)1.另外,假设对任意的c e叹N,有「F(c)d上0,则系统(1)bp J0存在一个非常值T周期解.2预备知识定义空间W T p：={u：[0,T]f叹N|u在叹上是绝对连续的，u(+T)=u(t),u e L p([0,T]；R N)}:且对应如下范数II u||]=(J"t|dt十J)ut dt)1,u e WT p:则CWT'p:II•II)是自反的且一致凸Banach空间.据文献口5]所知，局部一致凸的Banach空间具有Ka-dec-Klee特征，即对Banach空间(X,II•II)中的每一个序列{u…}，若u n弱收敛于u且II u”I f II u II,则有u”f u.(X,II-II)的对偶空间记为(X*,I•I*).定义fW T p f叹如下f(u)=1|u()dt一F(t,ut)dt:u e W T p:p J0J0引理1[16]假设X为Banach空间：f e C(X,叹).若{”}U X满足如下条件f(”)f C,(1十II u”II)II f'(”)II*f0,且{u…}U X存在收敛的子序列，则泛函f满足(CPS)条件.引理2[17]X为自反的Banach空间当且仅当X中任一有界序列存在弱收敛的子序列.通过运用文献[]中的方法，得到了如下结果.引理3令u e W T p={u e W T p(!«/TZ,叹N)J utd=0}，则下列不等式成立(i)Poincare-Wirtinger不等式I u()p dt上2[u()dt.J0T p J0(ii)Sobolev不等式II u I¥：=max|况()W C([ut"d z)p.；e[0.T]J0定义空间W T-p(^/TZ,^N)的等价范数：第1期郭曼，等：常p-Laplacian系统周期解的存在性・25・||u|=J Ut dt))十utdt.引理4[2]假设X为Banach空间M U X为弱闭子集，且f：M—读U{十¥}为弱下半连续函数.若f在M上的极小化序列有界，则f在M上可达到下确界•引理5[2]假设X为自反的Banach空间且f€C(X H).令X=X】㊉X且dim X1<+¥,sup f<inf/,S1X2其中,S b={u€X1||u=R}.令B R={u€X1u\W R},M={g€C(BR,X)|g(s)=s,€S1}:C=inf max/(g(5)):g€M用b；则C>inf f另外，当f满足(CPS)c条件，则C为f的临界值.X23主要结论的证明引理6[819]假设L：[(T]X X—读对任意的(x,y)€^N X读仁Ltx,y)关于(是可测的，对几乎所有的工€[0T]Ltxy)关于(xy)是连续可微的，且存在a€C(萨+),b€L1(：0, T]萨)和c€L q([(T];萨),<q<¥，对于任意的(xy)€M X读化和几乎所有的t€[T]满足L t x y)W a1x)(t十y q),DL t x y)W a t x)(t十|y q),D y L t x y)W a(x)(c t十|y p 一1),其中，1十1=1,则泛函pqT(p(u)=L(t,tt),Utt t)dtJ0在Sobolev空间W1p=U€L p([0,T]；读N)U€L p([0,T]；读N)}内是连续可微的，且有〈"(u),2=[〈DL(t,u,U)2〉十D y L,U)・vjdt.J0结合引理6和条件(A):得到泛函f在空间W T p内是C1的，且对于任意的u,€W T p,有〈f'(u),2=〈U t p—2必t2t〉d z—〈F‘(tu t)2(t〉d z.J0J0易知，泛函f的临界点对应系统(1)的周期解•定理1的证明证明现验证当f满足条件(F1)和(F2)时：f在W T p上可达到下确界•事实上：W T p=㊉W^T p:且对任意的U€W T p:存在U€W T和U€叹N,使得U=U十U由Poincare-Wirtinger不等式和(F2)可得f t)=1|\ut p dt一F(t,t)dtp J0J)・26・宁夏师范学院学报2021年1月上 1 |\u ｛t") dt 一 C 1 I u \ dt 一 C? Tp J 0J 0上(丄—C 1T p ) T |u (j) I 'd j — C 2T .(2)p J 0因此：f 在X 上是强制的.假设｛u ｝是f(u )在w t p 上的极小化序列 u = u + u ,其中，u e w T p , u e 叹N .则运用(2)得到如下结果I u IW c .(3)由假设(F 1)可以推出f(十 T,e,) = f(u ) , V u e W T p ,1 W i W N .因此，若｛u ｝为f 的极小化序列，则(u k • e 1 + u k • e 1 + k 1T 1■ ,u k • e N 十 u • e N 十 k N T N )也为f 的极小化序列.所以，可以假设0 W u k • e, W T ,()W i W N .(4)结合(3)和(4)可得｛u k ｝为一有界极小化序列.因此，存在弱收敛的子列.此外，由于f 是凸连续函数 和弱连续函数之和，可得f 是弱下半连续的.结合引理6,结论成立.注1定理1推广了文献[]中的定理1.3,利用鞍点定理，得到了关于周期解的新的存在性定理，其中文献 [1] 中的 p = 2 ．引理7[18 19]假设条件(A ),(F 1)和(F 3)均成立，则f 在W T p 上满足(CPS )条件.证明令｛u k ｝ U W \p 满足f (u k )f C ,(1 十 I u k I )I f' (u k )I * f0 ,从而对任意的” e n ,有f(u k ) W c ,(1 十 II u k II ) I f' (k ) I * W C(5)结合⑸和 F )，得到(p 十 1 )C 上(1 十 II u k II ) I f (u k ) II * — pf (u k )上〈f '(u k ) ,u k 〉一 pf (u k )=p J F (t ,u k )dt —J 〈F ‘ tt ,k ) )u k )dt0>p fJ 0TF(tu Q dt 一 A )1 F (t ,u k )dt —A J 0= (p -A 1)F(t ，k )dt —A 2T ,这意味着，存在常数c 使得F (t ,u k )dt W C .J 0由(5)可知—1u dt ——C :即第1期郭曼，等：常p-Laplacian系统周期解的存在性・27・]u k*d t W c.(6)由假设(F1)可以推出f(十Te)=f(u),V u e W T p,1W i W N.因此，若｛u k｝为f的一(CPS)c序列，则(u k•e1+u k•e1+\1T1•,u k•e N+u k•e N+k N T N)也为f的(CPS)c序列.所以，可以假设0W u k•e,W T.,0W i W N,(7)即\u k是有界的.基于以上事实，可知l u ll=J T u p d t十|[u k tdt是有界的.因W T p是自反的Banach空间，且W T p嵌入C([(),T]；叹N)是紧的，故｛u｝存在子列，仍记为｛u｝,满足u\弱收敛于u在W T中，(8)u k*u在C([0,T];^N)中.(9)结合文献[4]中的结果，便有ll u||f II u||.(10)由于W T p为一致凸Banach空间且具有Kadec-Klee特征，再根据(8)和(10),得到u\f u在W T p中.因此,f在w T p上满足(CPS)C条件.定理2的证明证明假设X1=^n,X2=W T p.由(F5)和Poincare-Wiringer不等式可知，对任意的u e X?,有f(u)=1\u(i)P dt—F(,Odtp J)'J。