线性方程组解的存在性

第二讲 Peano 定理（解的存在性定理）的应用（主讲：范进军）例 利用 Peano 存在定理证明如下隐函数存在定理：设D 是空间 nR R ´ 内的一个区域，函数 :;(,)(,) nF D R t x F t x ®® 是连续可微的， 而且满足条件00 (,)0 F t x = 和 00 det{(,)}0,x F t x ¹ 其中初值 00 (,) t x D Î 。

则方程 (,)0 F t x = 确定一个满足条件 00 () x t x = 的隐函数() x x t = 。

证明 由条件 00 det{(,)}0 x F t x ¹ （其中 00 (,) t x D Î ）知，存在充分小的矩形区域{ } 00 (,):||,||||(,0) n Q t x R R t t a x x b a b =δ-£-£> ,使得当(,) t x Q Î 时矩阵 00 (,) x F t x 是可逆的. 因此函数1 (,){(,)}(,)x t f t x F t x F t x - =- 在区域Q 上是连续的。

根据 Peano 定理知，初值问题00(,), () dxf t xdt x t x ì = ï í ï = î 存在一个局部解 00 (),[,](0) x t t t h t h h j =Î-+> 。

从而1 (){(,())}(,()) x t d t F t t F t t dtj j j - =- ， 0 || t t h -£ 。

它等价于()(,())(,())0 t x d t F t t F t t dtj j j += ， 0 || t t h -£ , 即(,())0 dF t t dtj = ， 0 || t t h -£ 。

线性方程组中的参数和解的存在性线性方程组是数学中的重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

在解线性方程组时，参数起着重要的作用。

本文将探讨线性方程组中参数的意义以及解的存在性。

一、参数的意义在线性方程组中，参数是未知数的系数，它们可以取任意实数值。

参数的存在使得方程组的解具有一定的灵活性。

通过改变参数的取值，我们可以得到不同的解，从而得到问题的多个解。

参数的存在也使得方程组的解具有一定的特殊性。

当参数取特定的值时，方程组可能具有特解或无解。

这使得我们可以通过调整参数的取值，来寻找特殊解或判断方程组是否有解。

二、解的存在性解的存在性是解决线性方程组问题的关键。

在研究解的存在性时，我们需要考虑方程组的系数矩阵和增广矩阵。

1. 系数矩阵系数矩阵是由方程组的系数组成的矩阵。

我们可以通过对系数矩阵进行行变换，来判断解的存在性。

当系数矩阵的秩等于方程组的未知数个数时，方程组有唯一解。

这是因为系数矩阵的秩等于方程组的未知数个数意味着方程组的每个方程都是独立的，可以通过高斯消元法得到唯一解。

当系数矩阵的秩小于方程组的未知数个数时，方程组有无穷多解。

这是因为系数矩阵的秩小于方程组的未知数个数意味着方程组的某些方程是线性相关的，可以通过高斯消元法得到自由变量，从而得到无穷多解。

2. 增广矩阵增广矩阵是由方程组的系数矩阵和常数项组成的矩阵。

我们可以通过对增广矩阵进行行变换，来判断解的存在性。

当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩且等于方程组的未知数个数时，方程组有唯一解。

这是因为增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩且等于方程组的未知数个数意味着方程组的每个方程都是独立的，可以通过高斯消元法得到唯一解。

当增广矩阵的秩小于系数矩阵的秩时，方程组无解。

这是因为增广矩阵的秩小于系数矩阵的秩意味着方程组的常数项与系数矩阵的线性关系不一致，无法通过高斯消元法得到解。

三、应用举例为了更好地理解参数和解的存在性，我们举一个具体的例子。

考虑以下线性方程组：2x + ay = 53x - y = 2其中a为参数。

考研数学线性代数常用公式数学考研考前必背常考公式集锦。

希望对考生在暑期的复习中有所帮助。

本文内容为线性代数的常考公式汇总。

1、行列式的展开定理行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即A= a i1 A i1+ a i2 A i2+...+ a in A in( i =1, 2,..., n)= a1j A1j+ a 2j A2j+...+ a nj A nj( j =1, 2,..., n)推论：行列式的一行（或列）所有元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零，即n∑a ij A kj= a i1 A k1+ a i2 A k2+...+ a in A kn=0,(i≠k )j=1n∑a ji A jk= a1i A1k+ a2i A2k+...+ a ni A nk=0(i≠k )j=12、设 A =(a ij)m⨯n，B =(b ij)n⨯k（注意 A 的列数和 B 的行数相等），定义矩阵nC =(c ij)m⨯k，其中c ij=a i1b1j+a i2b2j+...+a in b nj=∑a ik b kj，称为矩阵 A 与矩阵 B 的k =1的乘积，记作 C = AB .如果矩阵A为方阵，则定义An=A⋅A...A为矩阵 A 的 n 次幂.n个A不成立的运算法则AB≠BAAB=O≠>A =O或B=O3、设 A 为n阶方阵，A*为它的伴随矩阵则有 AA *= A * A = A E .设 A 为n阶方阵，那么当 AB = E 或 BA = E 时，有 B -1 = A4、对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：第一种：交换单位矩阵的第 i 行和第 j 行得到的初等矩阵记作E ij，该矩阵也⎛ 0 0 1 ⎫ 可以看做交换单位矩阵的第 i 列和第 j 列得到的.如 E 1,3 0 1 0 ⎪= ⎪ .1 0 0 ⎪⎝ ⎭第二种：将一个非零数 k 乘到单位矩阵的第 i 行得到的初等矩阵记作 E i ( k ) ；该矩 阵 也 可 以 看 做 将 单 位 矩 阵 第 i 列 乘 以 非 零 数 k 得 到 的 . 如⎛ 1 0 0 ⎫E 2 (-5) 0 -5 0 ⎪ = ⎪ .0 0 1 ⎪⎝ ⎭第三种：将单位矩阵的第 i 行的 k 倍加到第 j 行上得到的初等矩阵记作 E ij ( k ) ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第 j 列的 k 倍加到第 i 列上得到的.如⎛ 1 0 0 ⎫ E 3,2 (-2) 0 1 -2 ⎪= ⎪ .0 0 1 ⎪⎝ ⎭注：1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的.2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵 E ij ( k ) 看做列变换是将单位矩阵第 j 列的k 倍加到第 i 列，这一点考生比较容易犯错.5、矩阵 A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵 A 的秩，记为 r ( A ) .1） r ( A ) = r ( A T ) = r ( k A ), k ≠ 0 ；2） A ≠ O ⇔ r (A ) ≥ 1；3） r ( A ) = 1 ⇔ A ≠ O 且 A 各行元素成比例；4）设 A 为 n 阶矩阵，则 r ( A ) = n ⇔ A ≠ 0 . 6、线性表出设 α1 , α 2 ,...,αm 是 m 个 n 维 向 量 ， k 1 , k 2 ,...k m 是 m 个 常 数 ， 则 称k 1α1 + k 2α 2 + ... + k m αm 为向量组α1 , α 2 ,...,αm 的一个线性组合.设 α1,α2 ,...,αm 是 m 个 n 维向量， β 是一个 n 维向量，如果 β 为向量组α1 , α2 ,...,αm的一个线性组合，则称向量β可以由向量组α1 , α2 ,...,αm线性表出.线性相关设α1 , α2 ,...,αm是m个n维向量，如果存在不全为零的实数k1 , k2 ,..., k m，使得k1α1+ k 2α2+...+ k mαm=0，则称向量组α1,α2,...,αm线性相关.如果向量组α1 , α2 ,...,αm不是线性相关的，则称该向量组线性无关.与线性表出与线性相关性有关的基本定理定理1：向量组α1 , α2 ,...αm线性相关当且仅当α1 , α2 ,...αm中至少有一个是其余m-1 个向量的线性组合.定理2：若向量组α1 , α2 ,...αm线性相关，则向量组α1 , α2 ,..., αm ,αm+1也线性相关.注：本定理也可以概括为“部分相关⇒整体相关”或等价地“整体无关⇒部分无关”.定理3：若向量组α1 , α2 ,...αm线性无关，则向量组α1 , α2 ,...αm的延伸组⎛α⎫ ⎛α⎫⎛α⎫也线性无关.1⎪ , 2⎪,..., m⎪⎝β1⎭ ⎝β2 ⎭⎝βm ⎭定理4：已知向量组α1 , α2 ,...αm线性无关，则向量组α1 , α2 ,...αm , β线性相关当且仅当β可以由向量组α1,α2 ,...αm线性表出.定理 5：阶梯型向量组线性无关.定理6：若向量组α1 , α2 ,...,αs可以由向量组β1 , β2 ,..., βt线性表出，且α1 , α2 ,...,αs线性无关，则有s≤t.注：本定理在理论上有很重要的意义，是讨论秩和极大线性无关组的基础.定理内容也可以等价的描述为：若向量组α1 ,α2 ,...,αs可以由向量组β1 , β2 ,..., βt线性表出，且 s > t ，则α1,α2,...,αs线性相关.对于这种描述方式，我们可以把定理内容简单地记为：“多数被少数线性表出，则必相关.”定理7：n +1个n维向量必然线性相关.7、线性方程组解的存在性设 A =(α1,α2,...,αn)，其中α1,α2,...,αn为 A 的列向量，则线性方程组 Ax = b 有解⇔向量 b 能由向量组α1,α2,...,αn线性表出；⇔r (α1,α2,...,αn)= r (α1,α2,...,αn,b )；⇔r ( A )= r ( A, b)线性方程组解的唯一性当线性方程组 Ax = b 有解时， Ax = b 的解不唯一（有无穷多解）⇔线性方程组的导出组 Ax =0有非零解；⇔向量组α1 , α2 ,...,αn线性相关；⇔r (α1,α2,...,αn)< n ；⇔r ( A )< n .注：1）注意该定理成立的前提条件是线性方程组有解；也就是说，仅告知r (A )< n 是不能得到 Ax = b 有无穷多解的，也有可能无解.2）定理 2是按照 Ax = b 有无穷多解的等价条件来总结的，请考生据此自行写出 Ax = b 有唯一解的条件.8、特征值和特征向量：设 A 为 n 阶矩阵，λ是一个数，若存在一个 n 维的非零列向量α使得关系式 Aα = λα成立.则称λ是矩阵 A 的特征值，α是属于特征值λ的特征向量.称为矩阵 A 的特征多项式.设 E 为 n 阶单位矩阵，则行列式λE - A注：1）要注意：特征向量必须是非零向量；2）等式 Aα = λα也可以写成(A - λE)α =0，因此α是齐次线性方程组( A - λE ) x =0的解，由于α ≠0，可知( A - λE ) x =0是有非零解的，故A - λE =0；反之，若 A - λE =0，那么齐次线性方程组( A - λE ) x =0有非零解，可知存在α ≠ 0 使得(A-λE)α = 0，也即Aα = λα.由上述讨论过程可知：λ是矩阵 A 的特征值的充要条件是 A - λE =0（或λE- A =0），而特征值λ的特征向量都是齐次线性方程组( A - λE ) x =0的非零 解.3）由于λE - A 是 n 次多项式，可知 A - λE =0有 n 个根（包括虚根），也即 n 阶矩阵有 n 个特征值；任一特征值都有无穷多特征向量9、矩阵的相似对角化定理1： n 阶矩阵 A 可相似对角化的充要条件是矩阵 A 存在 n 个线性无关的特征向量.同时，在等式 A = P ΛP-1中，对角矩阵Λ的元素为 A 的 n 个特征值，可逆矩阵 P 的列向量为矩阵 A 的 n 个线性无关的特征向量，并且 P 中特征向量的排列顺序与Λ中特征值的排列顺序一致.推论：设矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，则矩阵 A 可相似对角化.定理2： n 阶矩阵 A 可相似对角化的充要条件是对任意特征值λ，λ线性无关的特征向量个数都等于λ的重数.推论： n 阶矩阵 A 可相似对角化的充要条件是对任意特征值λ，n - r (λE - A)=λ的重数.10、设 A 为实对称矩阵（ A T= A ），则关于 A 的特征值与特征向量，我们有如下的结论：定理1： A 的所有特征值均为实数，且 A 的的所有特征向量均为实数.定理2： A 属于不同特征值的特征向量必正交.定理3：A 一定有 n 个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化.且存在正交矩阵 Q ，使得 Q -1 AQ = Q T AQ = diag (λ1,λ2,...,λn)，其中λ1,λ2,...,λn为矩阵 A 的特征值.我们称实对称矩阵可以正交相似于对角矩阵.n n11、如果二次型∑∑a i j x i x j中，只含有平方项，所有混合项 x i x j(i ≠ j)的系i=1j =1数全为零，也即形如 d1 x12+ d 2 x22+...+ d n x n2，则称该二次型为标准形。

线性方程组的解的性质线性方程组是数学中的一个重要概念，它描述了一组关于未知数的线性关系。

线性方程组的解是指满足所有方程的未知数值组合。

在本文中，我们将讨论线性方程组解的性质。

一、解的存在性和唯一性解的存在性是指线性方程组是否有解。

对于一个线性方程组而言，解的存在性可以通过矩阵的行列式来判断。

若行列式的值为非零，则线性方程组有解；若行列式的值为零，则线性方程组无解。

解的唯一性是指线性方程组解的个数。

对于一个线性方程组，解的个数取决于方程的个数和未知数的个数。

如果线性方程组含有n个方程和n个未知数，并且行列式的值不为零，那么线性方程组存在唯一解。

如果线性方程组含有n个方程和n个未知数，并且行列式的值为零，那么线性方程组可能存在无穷多个解，也可能无解。

二、解的线性相关性在解的性质中，我们还需要讨论解的线性相关性。

解的线性相关性是指线性方程组的解之间是否存在线性关系。

如果线性方程组有解且解之间存在线性关系，那么解是线性相关的；如果线性方程组有解且解之间不存在线性关系，那么解是线性无关的。

线性相关性的判断可以通过矩阵的秩来进行。

对于一个n阶矩阵A，如果它的秩r等于未知数的个数n，那么线性方程组的解是线性无关的；如果秩r小于n，那么线性方程组的解是线性相关的。

三、解空间和基础解系解空间是指线性方程组所有解构成的集合。

解空间的维数等于未知数的个数n减去矩阵A的秩r。

解空间的维数也可以理解为线性方程组解的自由变量的个数。

基础解系是指线性方程组解空间中的一组向量，它们可以通过线性组合得到解空间中所有解。

基础解系的个数等于未知数的个数n减去矩阵A的秩r。

四、解的特殊情况除了一般情况下的解的性质，线性方程组还存在一些特殊情况。

1. 无解情况：当线性方程组中出现矛盾的方程时，线性方程组无解。

2. 无穷多解情况：当线性方程组的方程个数小于未知数个数时，线性方程组可能存在无穷多个解。

此时解空间的维数大于0，存在自由变量。

通过以上讨论，我们可以看出，线性方程组的解的性质有：存在性和唯一性、线性相关性、解空间和基础解系以及特殊情况。

线性方程组解的结构在数学领域中，线性方程组是一个包含多个线性方程的集合。

解析线性方程组是解决实际问题和在数学中的基础问题之一。

线性代数作为数学分支的一个基石，研究线性方程组解的结构是至关重要的。

本文将探讨线性方程组解的结构及相关性质。

一、线性方程组的定义线性方程组是形如以下形式的方程组：$$ \\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \\cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \\cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\\\ \\vdots \\\\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2 + \\cdots + a_{mn}x_n = b_m \\\\ \\end{cases} $$其中，a ij和b i是已知的常数，x i是未知数。

二、线性方程组解的结构1. 解的存在性和唯一性对于线性方程组而言，可能出现以下几种情况：•若线性方程组有解，则解的存在性表明至少存在一组解；•若线性方程组有唯一解，则意味着只存在一组满足所有方程的解；•若线性方程组有无穷多个解，则说明有无穷多组解。

2. 解的结构线性方程组的解可以表示成一个通解和一个特解之和的形式。

具体而言，设A 是线性方程组的系数矩阵，X是未知数的向量，B是常数项的向量，通解可以表示为：X=Xℎ+X p其中Xℎ是方程组的齐次解，而X p是方程组的特解。

3. 解的分类根据线性方程组的系数矩阵的行、列数以及特殊性质，线性方程组的解可以分为以下几种情况：•若系数矩阵的行数等于列数且满秩（行列式不为零），则方程组有唯一解；•若系数矩阵的行数大于列数或者系数矩阵的秩小于行数，方程组可能无解或者有无穷多组解；•若线性方程组有特殊结构（如三角形方程组、对角矩阵方程组等），可以通过特殊性质简化解的求解过程。

三、线性方程组解的应用线性方程组解的结构在数学和应用领域均具有重要意义。

课时：2课时教学目标：1. 理解行列式的概念和性质，掌握行列式的计算方法。

2. 能够运用行列式的性质解决实际问题，如解线性方程组、判断线性方程组的解的存在性等。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。

教学重点：1. 行列式的概念和性质2. 行列式的计算方法3. 应用行列式解决实际问题教学难点：1. 行列式的性质的理解和运用2. 行列式的计算技巧教学过程：第一课时：一、导入1. 复习线性方程组的解法，引出行列式的概念。

2. 介绍行列式的定义和性质。

二、行列式的概念1. 行列式的定义：n阶行列式是由n行n列的元素按一定的顺序排列而成的一个数。

2. 行列式的表示方法：用符号D表示n阶行列式，例如，三阶行列式可以表示为D。

三、行列式的性质1. 性质1：行列式与它的转置行列式相等。

2. 性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。

3. 性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。

4. 性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

5. 性质5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和：D = D1 + D2，其中D1为第i列元素为第一数的行列式，D2为第i列元素为第二数的行列式。

6. 性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

四、行列式的计算方法1. 利用行列式的性质进行计算，如按行（列）展开、降阶等。

2. 利用行列式的性质简化计算，如化简行列式、求逆矩阵等。

五、课堂练习1. 计算以下行列式：（1）三阶行列式（2）四阶行列式2. 利用行列式的性质判断以下线性方程组的解的存在性：（1）二元线性方程组（2）三元线性方程组第二课时：一、复习1. 复习行列式的概念、性质和计算方法。

2. 回顾课堂练习。

二、应用行列式解决实际问题1. 利用行列式解线性方程组。

第二章 线性方程组一．主要内容本章主要讨论向量组的线性性质，线性方程组的可解条件及其解法等内容．（一）、向量组的线性相关性列向量（行向量）是一类特殊的矩阵，因而它的运算（如加法、数乘、转置等）和性质与矩阵的相应运算和性质一样．值得注意的是n 维列向量与n 维行向量才能做相乘运算，例如，令12x ,n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12y y y ,y n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(字母新罗马用斜体) 则111121221222T 1212xy (,,,),n n n n n n n n x x y x y x y x x y x y x y y y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(字母新罗马用斜体)()12121122,,,.T T n n n n y y x y x x x y x y x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++= ⎪ ⎪⎝⎭这表明：n 维列向量与n 维行向量的积是n 阶方阵，n 维行向量与n 维列向量的积是一个数，这个数被定义为这两个向量的内积（参见第三章）．为了研究一组同维数的列向量间的相互关系，引入了向量的线性表示和向量组的线性无关性以及向量组等价等概念．它们是研究线性方程组的基础． 假设有一组n 维列向量：1j 2j j nj a a ,1,2,,.a j s α⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(字母新罗马用斜体)构造矩阵11121s 21222s 12n1n2ns (,,,)s a a a a a a A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 则向量组12,,,s ααα线性相关的充要条件是()R A s <. 因此，可用下面步骤判断向量组12,,,s ααα的线性相关性．第一步：对矩阵A 施行初等行变换化为行阶梯形矩阵B ；第二步：行阶梯形矩阵B 的非零行数即为矩阵A 的秩()R A ；第三步：如果()R A s <，则12,,,s ααα线性相关，否则线性无关.在向量组线性相关的情况下，还应求出它的最大线性无关向量组与线性关系式．由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系，因而，可利用矩阵的初等行变换求解．具体解法如下：第一步：对矩阵11121s 21222s 12n1n2ns (,,,)s a a a a a a A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 施行初等行变换化为行标准形12(,,,)s B βββ=；第二步：求最大线性无关组．因为行标准形B 中首元1所在的列构成的向量组12,,,r i i i βββ是矩阵B 的列向量组的一个极大线性无关组，所以，12,,,r i i i ααα是12,,,s ααα的一个最大线性无关组．第三步：求线性关系式．若行标准形B 中的列向量12,,,k j j j βββ满足关系式12120k j j r j d d d βββ+++=，则矩阵A 中的列向量12,,,k j j j ααα也满足关系式12120k j j r j d d d ααα+++=． 因此，位于其它各列的向量由最大线性无关组线性表示的组合系数即为矩阵B 对应列的相应分量.（二）、线性方程组理论线性方程组理论是一个应用很广的数学理论，它包含解的存在性、解的唯一性和求解等内容.设含有m 个方程n 个未知量的线性方程组为11112211211222221122,,n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （１）其系数矩阵、未知向量、常向量和增广矩阵分别为111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12x ,n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12,m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(),.A A b = 1．线性方程组解的存在性与唯一性 存在性：线性方程组（１）有解的充分必要条件是R(A)R(A).=唯一性：若R(A)R(A)n,==则线性方程组（１）有唯一解；若R(A)R(A)n,=<则线性方程组（１）有无穷多解．2．线性方程组的求解步骤第一步： 写出线性方程组（1）的增广矩阵(),,A A b =并利用矩阵的初等行变换将A变为行标准形；第二步：分别求出线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵的秩R(A),和R(A),并运用解的存在性与唯一性定理进行判定．若有解时，继续求解．否则，停止求解；第三步：若线性方程组（１）的解唯一，则根据A的行标准形直接求解，完成计算．若线性方程组（１）的解不唯一，则根据A的行标准形求线性方程组（１）的一个特解．这时，首先确定自由变量．可令A的行标准形中非零行的首元1所在的列对应的变量为约束变量，其个数为R(A),其它未知量为自由变量，其个数为n R(A).-然后将所有的自由变量赋值为零，求得特解．第四步：求线性方程组（1）的导出组的基础解系．首先确定导出组的基础解系中所含向量的个数n R(A),-同时根据A的行标准形确定自由变量；然后，分别取n R(A)-阶单位矩阵的列对自由变量分别赋值，并根据A的行标准形求得导出组的基础解系.第五步：用线性方程组（1）的特解与导出组的基础解系表示线性方程组（1）的解．值得注意的是，对于一个数学问题（或实际问题），它的解的存在性、唯一性和求解等内容是研究的主要内容，这些内容、研究方法与数学思维便形成了一种研究模式．二．基本要求与疑难解析（一）基本要求1.熟悉线性方程组的不同表达形式(方程组形式,矩阵形式,向量形式).2.理解线性方程组的可解条件，熟练掌握求解线性方程组的消元法.3.熟悉齐次线性方程组有非零解(只有零解)的充分必要条件，熟悉非齐次线性方程组有解(无解),有唯一解,有无穷多解的充分必要条件.4.理解n维向量、n维向量空间概念，熟悉n维向量的线性运算.5.理解n维向量的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与线性无关、两向量组的等价等概念及其相关定理，会利用矩阵的秩来判别向量组是否线性相关.6.理解向量组的最大无关组及向量组的秩的概念及其相关定理，会求向量组的最大无关组与秩.7.熟悉齐次线性方程组解的结构.熟练掌握齐次线性方程组的基础解系的求法.8.熟悉非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间的联系.熟练掌握非齐次线性方程组的结构式通解的求法.（二）疑难解析1、用消元法求解线性方程组时，能对方程的系数矩阵或增广矩阵进行初等列变换吗？答：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等变换：（1）某个方程乘非零常数k；（2）一个方程乘常数k加到另一方程；（3）对换两个方程的位置，将其化为同解的阶梯形方程组这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行三种初等行变换，化为阶梯形矩阵.因此，求解线性方程组时，一般不能对增广矩阵施行初等列变换，但可以对换矩阵的两列，此时相应地未知元也要对换.2、向量组的线性相关与线性表示两个概念之间有什么联系？理解它们之间的关系要注意些什么？答：一向量组线性相关就意味着存在不全为零的一组数，以它们为系数所作的此向量组的线性组合为零.这等价于向量组中有某向量可以由其余向量线性表示.在后一句话中我们要注意两点：第一，向量组线性相关只说明向量组中存在某一个向量可由其余向量线性表示，并不一定是每个向量都可由其余向量线性表示.第二，线性相关的向量组中至少有一向量可由其余向量线性表示.3、如何判断向量组线性相关？答：根据书中的定理，某些向量组可直接判断它是线性相关的，如向量组中向量的个数多于其维数，向量组含有零向量或含有显然线性相关的部分组（如含有对应系数成比例的两个向量）等.一般的向量组可通过矩阵判别法来判断,即把向量组中向量作为列排成一矩阵A ，然后计算矩阵A 的秩，当且仅当A 的秩小于向量的个数时向量组线性相关.特别，对于由n 个n 维向量构成的向量组，只需考察A 的行列式，即当且仅当0=A 时向量组线性相关.4、向量组的最大无关组有什么特性？它在向量组的讨论中起什么作用？答：向量组的最大无关组有两个重要特性：第一，它是向量组的线性无关部分组，第二，它与原向量组等价.最大无关组也可以从其它角度来刻画：向量组的最大无关组就是向量组中含向量最多的线性无关部分组，也是与向量组等价的部分组中含向量最少的部分组.向量组的最大无关组不唯一，但每个最大无关组所包含向量的个数是相同的，称它为向量组的秩，是反映向量组本质的一个量.因为向量组的最大无关组与原向量组等价，根据等价关系的对称性和传递性，在讨论两向量组的线性关系时，诸如讨论一向量组是否可由另一向量组线性表示，两向量组是否等价，两向量组的秩之间的关系等，通常用最大无关组来代表原向量组.因为最大无关组是线性无关的，且其所含向量的个数就是向量组的秩，讨论起来较方便.特别是对包含无限多个n 维向量的向量组，它的最大无关组仅含有限个向量，这样就可以把对无限向量组的讨论转化为对有限向量组的讨论.5、向量组的等价与等秩有什么联系？答：根据等价的向量组的极大无关组也等价以及教材中有关定理可知等价的向量组必等秩.但等秩的向量组不一定等价，例如设),1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321===εεε则向量组21,εε与向量组31,εε的秩都为2，但显然这两个向量组不等价.只有当两向量组中有一个可由另一个线性表示时，这两个向量组等秩就一定等价.特别地，一个向量组的部分组如果与原向量组等秩，则它们是等价的.6、如何理解矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系？什么是由此结论得出的求向量组的极大无关组的方法？答：矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系是指如果矩阵A 通过初等行变换化为矩阵B ，那么对A 的任一列向量部分组，该部分组线性相关当且仅当B 对应的列向量部分组也线性相关.因而ir i i ,,ααα 21是A 的列向量组的最大无关组当且仅当B 中对应的列向量组ir i i βββ,,,21 是B 的列向量组的最大无关组. 前一论断证明如下：设A 通过初等行变换化为矩阵B ，任取A 的第k i i i ,,,21 列ik i i ααα,,, 21构成矩阵A 1，则A 1通过前面给出的初等行变换得到的矩阵正是由B 的第k i i i ,,,21 列ik i i βββ,,,21 构成的矩阵B 1，因而)()(11B r A r =.又ik i i ααα,,, 21线性相关当且仅当,)(1k A r <也就是.)(1k B r <而k B r <)(1当且仅当ik i i βββ,,,21 线性相关.所以矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系.利用这一性质，我们求向量组的最大无关组时，只须把所给向量组中向量为列构成一矩阵A ，然后用初等行变换化A 为阶梯形矩阵B ，因为B 的每个非零行第一个不为零的元素所在的列向量构成的列向量部分组是B 的列向量组的一个最大无关组，所以A 的相应的列向量部分组就是所给向量组的一个最大无关组.7、非齐次线性方程组AX ＝b 的解与A 的列向量组之间有何联系？(用b Ax =，或0=Ax ，下同)答：将线性方程组AX ＝b 写成向量形式b x x x n n =+++ααα 2211，其中i α为A 的第i 列构成的列向量，因此b 可由n ααα,,,21 线性表示⇔AX ＝b 有解.b 可由n αα,,1 唯一线性表示⇔AX ＝b 有唯一解.b 可由n αα,,1 表示，且表示法不唯一⇔AX ＝b 有无穷多解.8、齐次线性方程组的基础解系是否唯一？判别一个向量组是否为AX ＝0的基础解系的方法有哪些？答：当方程组AX ＝0存在基础解系（有非零解）时，其基础解系是不唯一的。

n元齐次线性方程组ax=0有非零解的充要条件是
齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是：r(A)<n，即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。

由此可得推论：齐次线性方程组AX=0仅有零解的充要条件是
r(A)=n。

齐次线性方程组解的存在性
1、若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解。

2、若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若
r(A)=n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若
r(A)=s<n，即A的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解。

扩展资料：
齐次线性方程组解的性质
1、若x是齐次线性方程组AX=0的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。

2、若x1,x2是齐次线性方程组AX=0的两个解，则x1+x2也是它的解。

3、对齐次线性方程组AX=0，若r(A)=r<n，则AX=0存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。

4、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

湖南生物机电数学高职单招试卷一、选择题（每题1分，共5分）1.下列哪个选项是微分方程的阶数？A.微分方程中未知数的最高次数B.微分方程中未知数的最低次数C.微分方程中导数的最高次数D.微分方程中导数的最低次数2.设函数f(x)=x^33x，则f(x)的极值点是？A.x=0B.x=1C.x=-1D.x=33.下列哪个选项是线性方程组的一个解？A.x+y=1,xy=2B.x+y=1,x+y=2C.xy=1,x+y=2D.xy=1,xy=24.设矩阵A=[12;34]，矩阵B=[20;02]，则矩阵A与B的乘积是？A.[24;68]B.[40;04]C.[20;02]D.[14;38]5.下列哪个选项是复数z=1+i的模？A.1B.√2C.2D.√5二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内单调增加，则f'(x)在区间(a,b)内大于0。

（）2.若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式值不为0。

（）3.任何矩阵都可以对角化。

（）4.若函数f(x)在点x=a处连续，则f(x)在点x=a处可导。

（）5.两个线性相关的向量组成的矩阵的秩为1。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1.设函数f(x)=x^22x+1，则f(x)的导数为______。

2.矩阵A=[12;34]的行列式值为______。

3.复数z=1+i的共轭复数为______。

4.若函数f(x)=e^x，则f'(x)=______。

5.线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1.简述泰勒公式的定义及其应用。

2.简述矩阵的秩的定义及其性质。

3.简述复数的模的定义及其性质。

4.简述拉格朗日中值定理的定义及其应用。

5.简述线性方程组的解的定义及其求解方法。

五、应用题（每题2分，共10分）1.设函数f(x)=x^33x，求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。

2.解线性方程组x+y=1,2x+2y=2。