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泊松方程推导泊松方程（Poisson's Equation）是数学中的一种偏微分方程，描述了标量场在无源情况下的分布。
它在物理学、工程学和其他领域中有着广泛的应用，尤其在电场和重力场的研究中起着重要的作用。
泊松方程是由法国数学家西蒙·泊松（Siméon Denis Poisson）于19世纪初提出的，它描述了一个标量函数在空间中的分布情况。
泊松方程可以用来解决各种物理问题，如电场分布、热传导等。
它的一般形式可以表示为：∇²φ = -ρ/ε₀其中，φ是待求的标量场，ρ是源项，ε₀是真空介电常数。
这个方程描述了标量场的拉普拉斯算子（Laplacian）与源项之间的关系。
泊松方程的解可以通过数值计算或解析解得到。
在一些简单的情况下，可以通过分离变量法、格林函数法等方法求解。
然而，在实际问题中，往往需要借助计算机进行数值求解。
泊松方程的数值求解方法包括有限差分法、有限元法等。
其中，有限差分法是一种常用的数值求解方法。
它将空间离散化为网格，并通过近似计算网格点上的函数值和导数值。
有限差分法的核心思想是将微分方程转化为代数方程，通过求解代数方程组得到解。
在有限差分法中，泊松方程的离散形式可以表示为：φᵢ₊₁ⱼ + φᵢ₋₁ⱼ + φᵢⱼ₊₁ + φᵢⱼ₋₁ - 4φᵢⱼ = -ρᵢⱼ/ε₀其中，i和j分别表示网格点的索引，φᵢⱼ表示网格点上的函数值，ρᵢⱼ表示源项的值。
通过求解代数方程组，可以得到网格点上的函数值，从而得到整个空间中的标量场分布。
泊松方程的求解涉及到边界条件的选择。
边界条件是指在边界上给定的条件，用于确定解的唯一性。
常见的边界条件有：第一类边界条件（Dirichlet边界条件）和第二类边界条件（Neumann边界条件）。
第一类边界条件是指在边界上给定函数值，第二类边界条件是指在边界上给定导数值。
根据具体问题的要求和边界条件的给定，可以选择合适的边界条件进行求解。
调和⽅程调和⽅程狄利克雷内外问题的唯⼀性及稳定性。
（1）原理 3.1 （极值原理）对于不恒等于常数的调和函数),,(z y x u ，其在区域Ω的任何内点上的值不可能达到它在Ω上的上界或下界。
推论1 在有限区域Ω内调和、在Γ?Ω上连续连续的函数必在边界Γ上取得最⼤值和最⼩值；推论2 设v u 及都是区域Ω内的调和函数，且在Γ?Ω上连续。
如果在Ω的边界Γ上成⽴着不等式v u ≤，那么在Ω内上述不等式也成⽴；并且只有在v u =时，在Ω内才会有等式成⽴的可能。
（2）调和⽅程狄利克雷内问题==++=Γ)2.3...(....................)1.3......(0222222g u z uy u x u u 现在证明解如果存在必是唯⼀的，⽽且连续的依赖于所给定的边界条件.f证：假设有两个调和函数),,(),,(21z y x u z y x u 和，它们在有界区域Ω的边界Γ上完全相同，则它们的差21u u u -=在Ω中也满⾜⽅程（3.1），⽽在Γ上等于零。
于是按照极值原理的推论1，函数u 在区域Ω上最⼤值及最⼩值均为零，即.0≡u 因此21u u ≡，即狄利克雷内问题的解是唯⼀的。
其次，设在区域Ω的边界Γ上给定了函数*f f 和，⽽且在Γ上处处成⽴ε≤-*f f ，这⾥ε是⼀个给定的正数。
设*u u ,分别是⽅程（3.1）在区域Γ上以*f f 和为边界条件的狄利克雷内问题的解，那么调和函数*-u u 在Γ上取值*-f f 。
由极值原理的推论1得到，在Ω上各点有.)(min )(min ,)(max )(max εε-≥-=-≤-=-*Γ*ΓΩ*Γ*ΓΩf f u u f f u u因此在Ω上各点有，ε≤-≤-*Γ设函数21,u u 是狄利克雷外问题的解，令21u u v -=，则调和函数v 满⾜.0),,(l i m 00==→Γz y x v v r 及如果v 不恒等于零，则⼀定存在⼀点M ，使,0)(≠M v 不妨设0)(>M v 。
压力泊松方程的推导答：压力泊松方程是描述流体在压力作用下泊松效应的数学模型。
它对于理解流体动力学、流体力学等领域具有重要意义。
压力泊松方程的推导过程，包括受力分析、建立数学模型、求解方程、考虑边界条件和得出结论等方面。
一、受力分析在推导压力泊松方程之前，我们需要对受力进行分析。
假设流体在某区域受到压力作用，该区域受到的压力可以表示为P(x,y,z)。
其中，x、y、z分别表示流体在三个方向上的坐标。
由于流体是连续的，因此该区域内的压力分布是连续的。
二、建立数学模型根据受力分析，我们可以建立压力泊松方程的数学模型。
在二维平面上，泊松方程可以表示为：▽²u = ρf/η 其中，▽²表示拉普拉斯算子，u表示位移场，ρ表示流体密度，f表示作用力密度，η表示流体的粘度。
三、求解方程求解泊松方程需要采用适当的数值方法。
常用的数值方法包括有限元法、有限差分法等。
这些方法可以根据实际问题选择合适的边界条件和初始条件，从而得到近似解。
四、考虑边界条件在求解泊松方程时，需要考虑边界条件。
边界条件可以根据实际情况确定，例如流体与固体边界的接触条件、流体的进出口条件等。
这些条件对于求解泊松方程具有重要影响。
五、得出结论通过以上步骤，我们可以得到压力泊松方程的近似解。
该解可以用于描述流体在压力作用下的泊松效应，为流体力学和流体动力学等领域的研究提供理论支持。
需要注意的是，求解泊松方程可能存在数值误差和边界条件选择不当等问题，因此得到的解可能具有一定的近似性。
为了获得更精确的解，可以采用更高级的数值方法和更准确的边界条件。
《电磁场》复习题A一、填空题1、描述电场对于电荷作用力的物理量叫做______________。
2、E线和等位面之间的关系是______________，和电场强度关系是______________。
3、静电场中的折射定律是______________。
4、静电场边界条件中的自然边界条件是______________。
5、静电场中，虚位移法求静电力的两个公式是______________、______________。
6、恒定磁场中的分界面衔接条件是______________、______________。
7、恒定磁场的泊松方程为______________。
8．材料能够安全承受的最大电场强度称为___________。
9．平板电容器的板面积增大时，电容量___________。
10．在均匀媒质中，电位函数满足的偏微分方程称为___________。
11．深埋于地下的球形导体接地体，其半径越大，接地电阻越___________。
12．多匝线圈交链磁通的总和，称为___________。
13．恒定磁场中的库仑规范就是选定矢量磁位A的散度为___________。
14．磁通连续性定理的微分形式是磁感应强度B的散度等于___________。
15．正弦电磁波在单位长度上相角的改变量称为___________。
16．电磁波的传播速度等于___________。
17．电场能量等于电场建立过程中外力所做的___________。
二、选择题1．两点电荷所带电量大小不等，则电量大者所受作用力（）A．更大B．更小C．与电量小者相等D．大小不定2．静电场中，场强大处，电位（）A．更高B．更低C．接近于零D．高低不定3．A 和B 为两个均匀带电球，S 为与A 同心的球面，B 在S 之外，则S 面的通量与B 的（ ）A ．电量及位置有关B ．电量及位置无关C ．电量有关、位置无关D ．电量无关、位置有关4．一中性导体球壳中放置一同心带电导体球，若用导线将导体球与中性导体球壳相联，则导体球的电位（ ）A ．会降低B ．会升高C ．保护不变D ．变为零5．相同场源条件下，均匀电介质中的电场强度值为真空中电场强度值的（） A ．ε倍 B ．εr 倍C ．倍ε1D ．倍r1ε6．导电媒质中的恒定电流场是（ ）A ．散度场B ．无散场C ．旋度场D ．无旋场7．在恒定电场中，电流密度的闭合面积分等于（ ）A ．电荷之和B ．电流之和C ．非零常数D ．零8．电流从良导体进入不良导体时，电流密度的切向分量（ ）A ．不变B ．不定C ．变小D ．变大9．磁感应强度B 的单位为（ ）A ．特斯拉B ．韦伯C ．库仑D ．安培10．如果在磁媒介中，M 和H 的关系处处相同，则称这种磁媒质为（ ）A ．线性媒质B ．均匀媒质C ．各向同性媒质D ．各向异性媒质三、名词解释1、非极性分子2、体电流密度3、恒定磁场4、时变场5、动生电动势四、简答题1、什么是唯一性定理？2、什么是传导电流、什么是运流电流，什么是位移电流。
第5节静电场的边界条件及解的唯一性简单电荷分布的静电场的可用两个静电场性质和叠加原理来进行分析。
但实际静电场常常电荷分布不对称以及复杂的边界条件，因此需要寻求复杂静电场问题的一般分析方法，那就泊松方程或拉普拉斯方程结合边界条件来得到场的确定解。
复杂静电场的边界条件可归于几类，在一定边界条件下的具体静电场的解是唯一的。
1导体表面静电平衡条件静电场因电荷静止而产生稳定的电场，达到静电平衡状态。
导体上的电荷是自由电荷，内部不能有电场，否则无法达到静电平衡状态。
因此导体上的电荷只能分布在表面。
例如如图5.1所示，一导体表面分布有自由电荷，对外产生电场，如果电场既有法向分量E n又有切线分量E t，那么切向方向的电场强度E t会使表面电荷移动，这不符合静电平衡原理。
因此分布有面电荷的导体表面的切向方向没有电场强度，即E n≠0，E t=0因此导体表面只有法向方向电场强度，或者说导体表面电场强度垂直于导体表面。
由此也证明了导体是个等位体，即φ|球面=C，（C为常数）——导体表面的边界条件2两种介质交界面边界条件如图5.2所示两种介电常数分别为ε1和ε2的介质，电力线从介质ε1入射进入介质ε2。
那么在交界面上，电位函数不可以突变，否则根据E⃗=−∇φ电场强度会无限大。
因此，在两种介质交界面上有φ1|S12=φ2|S12——介质交界面满足的方程1S12——介质ε1和介质ε2的交界面即在两种介质交界面上电位是连续的。
上述边界方程也是静电场性质2的应用结果。
将静电场性质1高斯定理∮D⃗⋅ⅆS=q应用于边界上，如图所示，两介质交界面上的自由电荷面密度为σ，取微小圆柱面，左右圆柱面ΔS n1=ΔS n2=ΔS n关于交界面对称且无限靠近，则圆柱侧面积趋向为零，那么D⃗在侧面的通量为零。
则∮D⃗⋅ⅆS=−D n1ΔS n+D n2ΔS n=σΔS nD n2−D n1=σ不同介质交界面上电位移矢量的法向分量之差为交界面自由电荷面密度。
静电唯一性定理我们将证明，如果我们得到了满足给定边界条件的泊松方程的解，那么，这个解是唯一的。
这就是静电唯一性定理。
下面我们证明这一定理并初步介绍它的应用。
在由边界面s 包围的求解区域V 内，若：1) 区域V 内的电荷分布给定；2) 在边界面s 上各点，给定了电势s ϕ，或给定了电势法向偏导数s n ϕ∂∂， 则V 内的电势唯一确定。
以上的表述就是静电唯一性定理。
下面，我们用反证法证明静电唯一性定理。
证: 假定在区域V 内的电荷密度分布为ρ(x )，且有两个不同的解φ1和φ2满足泊松方程及给定边界条件(给定的电势值s ϕ或电势法向偏导数s n ϕ∂∂)。
即： 2212,ρρϕϕεε∇=-∇=- 并有12s s s ϕϕϕ==或12ss s n n n ϕϕϕ∂∂∂==∂∂∂ 式中s ϕ和sn ϕ∂∂为给定的边界条件。
令φ = φ1 – φ2，则在区域V 内各点： 2212()0φϕϕ∇=∇-= (2-2-1)及在边界s 上各点：120s s s φϕϕ=-= (2-2-2)或120s s sn n n ϕϕφ∂∂∂=-=∂∂∂ (2-2-3) 利用公式22d d ()d V V sV V φφφφφ∇+∇=∇⎰⎰⎰s 将式(2-2-1)带入上式得：2d ()d d V ss V s n φφφφφ∇=∇∂=∂⎰⎰⎰s (2-2-4)若在边界s 上各点无论是给定了电势或给定了电势法向偏导数均有：2d 0V V φ∇=⎰ (2-2-5)因|∇φ|2 ≥ 0，满足上式的条件只能是在求解区域V 内各点∇φ = 0。
因此，φ1 - φ2= 常数如果在边界上（或部分边界上）给定了电势φ|s ，则因φ1|s = φ2|s ，此常数为零；若全部边界条件给出的不是电势，而是(∂φ/∂n )|s ，此常数不一定为零。
但由式E = -∇φ，区域V 内的电场唯一确定，一个常数并不改变电场的基本特性，通常为了方便，此常数可选择为零。
