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6.2 Green公式及调和函数的性质
一、Green公式
设V是以分片光滑的曲面S为边界的有界区域，
P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在 V U S 上连续,在V内
具有一阶连续的偏导数，则成立如下的Gauss公式
Ò Px Qy Rz dV Pcosn, x Qcosn, y Rcosn, z dS
f2 (x)]
1 2π
fˆ1()
fˆ2 ()
性质4
F[ f (x)] j fˆ ()
F[ f (k) (x)] ( j)k F[ f (x)]
性质5 fˆ () F[ jxf (x)]
性质6
x0 设为任意常数，则 F[ f (x x0 )] e jx0 F[ f (x)]
性质7
定义3 Mellin变换是指 M (s) f (x)xs1dx 0
定义4 Mellin逆变换是指
f (x) 1
c j
M (s)xsds
2πj c j
第六章 Green函数法
6.1 Poisson方程与Laplace方程的边值问题 6.2 Green公式及调和函数的性质 6.3 Dirichlet与Neumann问题解的适定性 6.4 Poisson方程Dirichlet问题Green函数法 6.5 几种特殊区域上Dirichlet问题的Green函数 6.6 Laplace方程与热传导方程的基本解 6.7 波动方程的基本解 6.8 Poisson方程边值问题近似求法简介
u S (x, y, z)
称这两个定解问题分别为Laplace方程Dirichlet问题与Poisson方程Dirichlet问题。
Neumann问题（第二类边值问题）：在空间中 某光滑的闭曲面S上给出连续函数 ，要求找 出一个函数 u(x, y, z) ，在V内满足
u 0, (x, y, z) V
L[ f (x)] sL[ f (x)] f (0) L[ f (x)] s2L[ f (x)] sf (0) f (0)
LLLLLL L[ f (n) (x)] snL[ f (x)] sn1 f (0) sn2 f (0) L f (n1) (0)
6．积分定理
L[ x f ( )d ] 1 L[ f (x)]
u n
S
(x,
y,
z)
u f (x, y, zபைடு நூலகம், (x, y, z) V
u n
S
(x,
y,
z)
这里是S的外法线方向。则称这两个定解问题分别为Laplace 方程Neumann问题与Poisson方程Neumann问题。
Robin问题（第三类边值问题）：若 u(x, y, z) 在V内满足
L
,
xn
)
1 (2π)n
L
F(1,
2 ,
L
,
)e d d L j(1x1 2x2 L n xn )
n
12
dn
n维Fourier变换具有的性质
F[ f1 f2 ] F[ f1] F[ f2 ]
F[ f1 f2 ] F[ f1]F[ f2 ]
F[
f1
f2
]
1 (2π)2
F[
f1]
的Fourier变换的乘积：
F[ f1(x) f2 (x)] F[ f1(x)]F[ f2 (x)]
f1(x) f2 (x) F1[ fˆ1() fˆ2 ()]
性质3
f1(x), f2 (x) 乘积的Fourier变换等于它们各自的 Fourier变换的卷积再乘以系数 1 ，即
2π
F[ f1(x)
2．延迟定理
L[ f (x )] es L[ f (x)] ≥0
3．位移定理
设a为复数，则有
L[eax f (x)] f%(s a), Re(s a) 0
4．相似定理
L[
f
(cx)]
1 c
f%
s c
，c
0
5．微分定理
设 f (n) (x) (n 1, 2, L )分段连续，则
设 0为任意常数，则 F[ej0x f (x)] fˆ ( 0 )
性质8
F[ x f (t)dt] 1 F[ f (x)]
j
性质9
F[ f (at)]
1
fˆ
(
)
aa
性质10 F[ f (x)] g()
F[g(x)] 2πf ()
性质11
f 2(x)dx 1
+
fˆ
()
2
d
2π
性质12
第五章 积分变换
5.1 Fourier变换 5.2 Fourier变换的应用 5.3 Laplace变换 5.4 Laplace变换的应用 5.5 其他的积分变换
5.1 Fourier变换 一、Fourier变换的定义
定理1 若 f (x) f (x 2L) ,且在一个周期内只有有限个第 一类间断点与极值点，则
其中
a0 2
n1
an
cos
nπx L
bn
sin
nπx L
f (x), x 为连续点 f (x 0) f (x 0) ,
2
x
为不连续点
an
1 L
L
nπx
f (x) cos dx
L
L
bn
1 L
L
nπx
f (x)sin dx
L
L
n 0, 1, 2, L
定义1 fˆ() 称为f(x)的Fourier变换，f(x)称为 fˆ() 的Fourier逆变换。
F f1(x) f2 (x) F[ f1(x)] F[ f2 (x)]
定义6 设 f1(x), f2 (x) 都满足Fourier变换的条件，则称 f1 x f2 d 为 f1(x), f2 (x) 的卷积。记为
f1(x) f2 (x) f1(x ) f2 ()d
性质2
f1(x), f2 (x) 的卷积的Fourier变换等于 f1(x), f2 (x)
2
1
L[x 2 ]
1 s
1 2
π s
即
L
1 πx
1 s
L[xn ]
n 1
sn1
n！ sn1
四、Laplace变换的性质 1．线性定理
若 a1, a2 为任意常数，则
L[a1 f1(x) a2 f2 (x)] a1L[ f1(x)] a2L[ f2 (x)] L1[a1 f%1(s) a2 f%2 (s)] a1L1[ f%1(s)] a2L1[ f%2 (s)]
Fourier变换有多种形式。这些形式的差异主 要体现在积分号前的系数以及被积函数中指 数函数的指数符号。本书采用工程应用中典 型的定义形式，这样的Fourier变换许多性质 也可以从物理上得到解释。
二、正（余）弦变换的定义
定义2 Fourier余弦变换是指
fˆc ()
f (x) cos xdx
0
定义3 Fourier逆余弦变换是指
f (x) 2 π
fˆc()cosxd
0
定义4 Fourier正弦变换是指
fˆs ()
f (x)sin xdx
0
定义5 Fourier逆正弦变换是指
f (x) 2 π
fˆs ()sin xd
0
三、Fourier变换的基本性质
性质1 Fourier变换是一个线性变换：对于任意常数 、 与任意函数 f1(x)、f2 (x) 有
0 e(s jb)x e(s jb)x dx
1
2
j
s
1 jb
s
1 jb
s2
b
b2
,
Re s 0
3．若 f (x) x，Re 1，
则
L[x ]
0
x esxdx
1 s 1
e sx
0
sx
d(sx)
1
s 1
,
Re s 0
分别令 1 及 n (n 0, 1, 2, L ) ，则
设L为平行于虚轴的固定直线, Cn 为一族以原点为
中心并在L左边的圆弧，Cn 的半径随 n 而趋
于无穷。若在
Cn
上，函数g(s)满足 lim g(s) n
sCn
0
，则
对任一正数x，均有
lim g(s)esxds 0
n Cn
2．展开定理
设解析函数 g(s) 满足条件：
（1）在开平面内只有极点为其奇点 s0, s1, s2, L , sk , L ，且这些极点都分布在半平面 Re s ≤0 上；
F[
f2
]
F
f xk
jk F[ f ],
k
1,
2,
L
,
n
k
F[ f ] F[ jxk
f ],
k
1,
2,
L
,
n
五、Fourier变换在常微分方程中的应用
例3 求解 y xy 0
F(xy)
1 j
F ( jxy)
1F( y)
j
1 i
j
yˆ
yˆ
yˆ F(y)
( j)2yˆ
y(x)
F1
c
e 2
/2
c 2π
1 e d 2 / 2 jx R
5.2 Fourier变换的应用
Fourier变换法求解步骤为：
（1）对定解问题作Fourier变换； （2）求解像函数； （3）对像函数作Fourier逆变换。
F[u(x, t)] u(x, t)e jxdx uˆ(, t)
