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分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。
常微分方程的变量分离法和齐次化方法常微分方程是研究某个未知函数在自变量的变化下所满足的的微分方程。
近年来，在数学、物理和工程等领域的研究和应用中，常微分方程广泛地被应用。
其中，变量分离法和齐次化方法是求解常微分方程的重要方法。
一、变量分离法变量分离法是常微分方程的常用求解方法，适用于一阶或高阶常微分方程。
所谓变量分离，就是把微分方程中的未知函数和自变量分离出来，然后对它们分别求积分，从而解出未知函数。
一般形式的一阶微分方程是dy/dx=f(x,y)，我们现在来看解决该微分方程的变量分离方法。
将dy和y移至方程右侧，将dx和x移至方程左侧，得到dy/y=f(x)dx，并且对方程两边同时求积分，那么就得到y的通解：y=C*exp(F(x))其中C是一个任意常数，F(x)是y(x)的一个原函数。
举个例子，比如我们要求解微分方程y’+y=c，使用变量分离法，先将微分方程移项，得到y’=-y+c，于是就有dy/y-cdx/x=0。
对方程右边积分，就得到ln |y-cx|=C, 此时可以得到y=c*exp(x+C)，也就是y=c1*exp(x)+c2, 其中c1,c2是常数。
二、齐次化方法齐次化方法是解决形如dy/dx=f(y/x)的一阶微分方程的重要方法。
如下所示：dy/dx=f(y/x)设y=kx，那么dy=kdx，将dy/dx改写为dy/kdx=x，则上述微分方程就可以改写为：dy/kdx=f(k)这是一个分离变量的一阶微分方程，可以将它写成dy/f(k) = kdx，然后分别积分，得到：∫(1/f(k))dy=∫kdx替换k=y/x，即y=kx：∫(1/f(y/x))dy=∫xdx最终通解可表示为：F(y/x)=G(x)+C其中，F为f的一个原函数，G为g的一个原函数，C为常数。
举个例子，我们来看一个应用齐次化方法解决的微分方程：dy/dx = y^2/(3x^2+2xy), 应用齐次化方法，设y=ux, dy/dx =u+xdu/dx, 代入微分方程 dy/dx = y^2/(3x^2+2xy)中可得到:u+x(du/dx)=u^2/(3+2u)移项 $\frac{3+2u}{u^2}du = \frac{1}{x}dx$，积分可得:$\int \frac{3+2u}{u^2}du = \int \frac{1}{x}dx$,这里可以用分部积分：$\int \frac{3+2u}{u^2}du = -\frac{3}{u} + 2ln|u| + C_{1}$, 对右侧积分可得$ln|x|+C_{2}$，最后得到的通解为$-\frac{3}{y}+2ln|y| = ln|x|+C$。
第八章 分离变量法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。
分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。
叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。
特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。
（2）物理上 由叠加原理作保证。
例：有界弦的自由振动1.求两端固定的弦的自由振动的规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(t T x X t x u =这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。
第二步：代入方程（偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量）)()()()(2t T x X a t T x X ''=''变形得)()()()(2t T a t T x X x X ''=''= λ- 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。
数学物理方程的分离变量法及其应用数学物理方程是研究自然现象的基础，其中热传导方程、波动方程和电动力学方程是最为常见的。
为了解决这些方程的求解问题，数学家们提出了许多方法，其中分离变量法是一种常用的解法之一。
分离变量法是指将多元函数的变量分离，使得原方程可以化为若干个单元函数的乘积形式，从而可以通过对单元函数的研究来获得原方程的解。
这种方法适用于线性方程，而且只能用于满足一定边界条件的特定问题。
下面通过几个实例来进一步探讨分离变量法的应用。
1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度的传导过程。
对于一个平板，其温度分布可以用以下偏微分方程描述：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$其中，$u(x,y,t)$表示平板上某一点的温度，$\alpha$为热传导系数。
为了求解这个方程，我们可以假设温度分布可以表示为两个函数 $X(x)$ 和 $Y(y)$ 的乘积形式：$u(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t)$因此，原方程可以改写为$X(x)Y(y)\frac{dT}{dt} = \alpha T(t)\left(\frac{d^2X}{dx^2}Y(y) + X(x)\frac{d^2Y}{dy^2}\right)$将式子移项，可以得到$\frac{1}{\alpha T}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}$由于左侧只和 $t$ 有关，而右侧只和 $x$ 和 $y$ 有关，因此等式两侧必须都等于一个常数，假设这个常数为 $-k^2$，可以得到以下三个常微分方程：$\frac{dT}{dt} = -\alpha k^2 T(t)$$\frac{d^2X}{dx^2} + k^2X(x) = 0$$\frac{d^2Y}{dy^2} + k^2Y(y) = 0$分别求解这三个方程，得到$T(t) = e^{-\alpha k^2 t}$$X(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)$$Y(y) = C\sin(ky) + D\cos(ky)$将这些解组合起来，即可得到原方程的通解：$u(x,y,t) = \sum_{n=1}^\infty (a_n\sin(k_n x) + b_n\cos(k_n x))(c_n\sin(k_n y) + d_n\cos(k_n y)) e^{-\alpha k_n^2 t}$其中，$a_n, b_n, c_n, d_n$ 是常数，$k_n = \frac{n\pi}{L}$，$L$ 是平板长度。
