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分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。
常微分方程的变量分离法和齐次化方法常微分方程是研究某个未知函数在自变量的变化下所满足的的微分方程。
近年来，在数学、物理和工程等领域的研究和应用中，常微分方程广泛地被应用。
其中，变量分离法和齐次化方法是求解常微分方程的重要方法。
一、变量分离法变量分离法是常微分方程的常用求解方法，适用于一阶或高阶常微分方程。
所谓变量分离，就是把微分方程中的未知函数和自变量分离出来，然后对它们分别求积分，从而解出未知函数。
一般形式的一阶微分方程是dy/dx=f(x,y)，我们现在来看解决该微分方程的变量分离方法。
将dy和y移至方程右侧，将dx和x移至方程左侧，得到dy/y=f(x)dx，并且对方程两边同时求积分，那么就得到y的通解：y=C*exp(F(x))其中C是一个任意常数，F(x)是y(x)的一个原函数。
举个例子，比如我们要求解微分方程y’+y=c，使用变量分离法，先将微分方程移项，得到y’=-y+c，于是就有dy/y-cdx/x=0。
对方程右边积分，就得到ln |y-cx|=C, 此时可以得到y=c*exp(x+C)，也就是y=c1*exp(x)+c2, 其中c1,c2是常数。
二、齐次化方法齐次化方法是解决形如dy/dx=f(y/x)的一阶微分方程的重要方法。
如下所示：dy/dx=f(y/x)设y=kx，那么dy=kdx，将dy/dx改写为dy/kdx=x，则上述微分方程就可以改写为：dy/kdx=f(k)这是一个分离变量的一阶微分方程，可以将它写成dy/f(k) = kdx，然后分别积分，得到：∫(1/f(k))dy=∫kdx替换k=y/x，即y=kx：∫(1/f(y/x))dy=∫xdx最终通解可表示为：F(y/x)=G(x)+C其中，F为f的一个原函数，G为g的一个原函数，C为常数。
举个例子，我们来看一个应用齐次化方法解决的微分方程：dy/dx = y^2/(3x^2+2xy), 应用齐次化方法，设y=ux, dy/dx =u+xdu/dx, 代入微分方程 dy/dx = y^2/(3x^2+2xy)中可得到:u+x(du/dx)=u^2/(3+2u)移项 $\frac{3+2u}{u^2}du = \frac{1}{x}dx$，积分可得:$\int \frac{3+2u}{u^2}du = \int \frac{1}{x}dx$,这里可以用分部积分：$\int \frac{3+2u}{u^2}du = -\frac{3}{u} + 2ln|u| + C_{1}$, 对右侧积分可得$ln|x|+C_{2}$，最后得到的通解为$-\frac{3}{y}+2ln|y| = ln|x|+C$。
第八章 分离变量法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。
分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。
叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。
特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。
（2）物理上 由叠加原理作保证。
例：有界弦的自由振动1.求两端固定的弦的自由振动的规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(t T x X t x u =这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。
第二步：代入方程（偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量）)()()()(2t T x X a t T x X ''=''变形得)()()()(2t T a t T x X x X ''=''= λ- 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。
数学物理方程的分离变量法及其应用数学物理方程是研究自然现象的基础，其中热传导方程、波动方程和电动力学方程是最为常见的。
为了解决这些方程的求解问题，数学家们提出了许多方法，其中分离变量法是一种常用的解法之一。
分离变量法是指将多元函数的变量分离，使得原方程可以化为若干个单元函数的乘积形式，从而可以通过对单元函数的研究来获得原方程的解。
这种方法适用于线性方程，而且只能用于满足一定边界条件的特定问题。
下面通过几个实例来进一步探讨分离变量法的应用。
1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度的传导过程。
对于一个平板，其温度分布可以用以下偏微分方程描述：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$其中，$u(x,y,t)$表示平板上某一点的温度，$\alpha$为热传导系数。
为了求解这个方程，我们可以假设温度分布可以表示为两个函数 $X(x)$ 和 $Y(y)$ 的乘积形式：$u(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t)$因此，原方程可以改写为$X(x)Y(y)\frac{dT}{dt} = \alpha T(t)\left(\frac{d^2X}{dx^2}Y(y) + X(x)\frac{d^2Y}{dy^2}\right)$将式子移项，可以得到$\frac{1}{\alpha T}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}$由于左侧只和 $t$ 有关，而右侧只和 $x$ 和 $y$ 有关，因此等式两侧必须都等于一个常数，假设这个常数为 $-k^2$，可以得到以下三个常微分方程：$\frac{dT}{dt} = -\alpha k^2 T(t)$$\frac{d^2X}{dx^2} + k^2X(x) = 0$$\frac{d^2Y}{dy^2} + k^2Y(y) = 0$分别求解这三个方程，得到$T(t) = e^{-\alpha k^2 t}$$X(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)$$Y(y) = C\sin(ky) + D\cos(ky)$将这些解组合起来，即可得到原方程的通解：$u(x,y,t) = \sum_{n=1}^\infty (a_n\sin(k_n x) + b_n\cos(k_n x))(c_n\sin(k_n y) + d_n\cos(k_n y)) e^{-\alpha k_n^2 t}$其中，$a_n, b_n, c_n, d_n$ 是常数，$k_n = \frac{n\pi}{L}$，$L$ 是平板长度。
分离变量法在数学物理方程中的应用分离变量法是一种常用的求解偏微分方程的方法，其基本思想是将一个偏微分方程中的变量分离，从而得到一系列可分离的常微分方程，然后通过解这些常微分方程，最终得到原方程的解。
在数学物理方程中，分离变量法可以应用于很多方程。
以下列举一些常见的应用：
1.热方程（热传导方程）：热方程描述了物体的温度随时间和空间位置的变化。
通过分离变量法，可以将其分离为时间变量和空间变量，进而得到一个可分离的常微分方程组。
2.波动方程（波动传播方程）：波动方程描述了波的传播过程，通过分离变量法，可以将其分离为时间和空间变量，得到一个可分离的常微分方程组。
3.薛定谔方程（量子力学中的基本方程）：薛定谔方程描述了量子力学中粒子波函数随时间和空间位置的变化，通过分离变量法，可以将其分离为时间变量和空间变量，得到一个可分离的常微分方程组。
4.球谐函数方程（描述球对称问题）：球谐函数方程常用于描述球对称的问题，如电势、电场、磁场等。
通过分离变量法，可以将其分离为球坐标系中的三个变量，得到一个可分离的常微分方程组。
总之，分离变量法是求解偏微分方程的一种强大工具，在数学物理方程中应用广泛。
分离变量法求两端自由弦振动方程对于自由弦振动问题，我们可以使用分离变量法来求解其方程。
设弦的振动函数为y(x, t)，其中x为弦上的位置，t为时间。
根据弦上的受力分析可得到如下方程：∂²y/∂t² = c²∂²y/∂x²，其中c为波速，c²=T/μ，T为弦的拉力，μ为单位长度的质量。
为了求解该方程，我们假设振动函数可以表示为两个单变量函数的乘积，即y(x, t) = X(x)T(t)。
将这个假设代入上述方程中，可得到：X''(x)T(t) = c²X(x)T''(t)。
将上式两边同时除以c²X(x)T(t)，得到：X''(x)/X(x) = T''(t)/c²T(t)。
由于左边只与x有关，右边只与t有关，所以它们必须等于一个常数，我们设其为λ²。
于是可得到两个独立的方程：X''(x) = λ²X(x)，T''(t) = c²λ²T(t)。
第一个方程是一个关于x的常微分方程，其通解为：X(x) = A sin(λx) + B cos(λx)。
第二个方程是一个关于t的常微分方程，其通解为：T(t) = C exp(iωt) + D exp(-iωt)，其中ω² = c²λ²。
将X(x)和T(t)代回y(x, t)的表达式中，可得到弦的振动函数的通解：y(x, t) = (A sin(λx) + B cos(λx))(C exp(iωt) + D exp(-iωt))。
通过给定的边界条件和初值条件，可以确定常数A、B、C、D和λ的具体值，从而得到特定问题的解。
第4章 直角坐标下的分离变量法§4.1 基本定解问题的分离变量法本节讨论：①弦振动方程与热传导方程的分离变量法，②分离变量法的基本步骤。
⒈ 弦振动方程的分离变量法以下讨论“两端固定的自由弦振动问题”（称基本问题）的分离变量方法。
▲弦振动问题的数学物理方程：⎪⎩⎪⎨⎧='===><<='')(),0(),(),0(0),()0,()0,0(2x x u x x u l t u t u t l x u a u xx ψϕ (4.1.1) 注：“两端固定”指边界条件为齐次的，“自由”指方程为齐次的，“弦”意为一维问题，“振动”即波动方程。
▲基本方法（步骤） 这是一个波动型混合定解问题。
求解为步骤为第一步【分离变量（变量分离）】：令)()(),(x X t T x t u u ==，代入方程中有2()()()()''''=T t X x a T t X x (4.1.2)由于0≠u （即0≠X ，0≠T ），上式可写为：2()()()()''''=T t X x X x a T t (4.1.3) 不难发现，此等式等于常数（设为λ-）。
则原始方程化为：①空间坐标部分0=+''X X λ，②时间坐标部分02=+''T a T λ； 同理，边界条件：①空间坐标部分0)()0(==l X X ，②时间坐标部分)(t T 不确定。
第二步【解固有值问题】：解关于X 的方程。
可求得固有值λ与固有函数为2n n l πλλ⎛⎫== ⎪⎝⎭， sin ()n n x X X x l π== ),3,2,1(⋅⋅⋅=n (4.1.4)称n λ为⎩⎨⎧===+''0)()0(0l X X X X λ的固有值，)(x X n 为固有函数；求解固有值和固有函数的问题称为解固有值问题。
数学物理方法分离变量法分离变量法是数学物理中常用的一种解微分方程的方法，它适用于一些特定形式的偏微分方程，能够将原方程分解成一系列简单的常微分方程，从而求得方程的解。
在物理学中，分离变量法常常用于描述热传导、波动、量子力学等问题的求解。
本文将介绍分离变量法的基本思想和应用，以及一些实际问题中的案例分析。
首先，我们来看一般形式的偏微分方程：\[F(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},...) = 0\]其中，\(u = u(x,y)\) 是未知函数，\(F\) 是关于 \(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\frac{\partial^2u}{\partial y^2},...\) 的已知函数。
我们的目标是求解这个偏微分方程，找到满足条件的 \(u\) 函数。
分离变量法的基本思想是假设未知函数 \(u(x,y)\) 可以表示为两个独立变量 \(x\) 和 \(y\) 的乘积形式，即 \(u(x,y) = X(x)Y(y)\)。
将这个形式代入原方程中，然后通过变量分离的方法，将方程化为两个关于 \(x\) 和 \(y\) 的常微分方程。
最后再对这两个方程分别进行积分，得到原偏微分方程的解。
下面我们通过一个具体的例子来说明分离变量法的应用。
考虑二维热传导方程：\[\frac{\partial u}{\partial t} = k\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)\]其中，\(u(x,y,t)\) 表示温度分布，\(k\) 是热传导系数。
