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华中科技大学《数理方程与特殊函数》课程——第一章1.2—1.5全解

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《复变函数与积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社课件-第一章

《复变函数与积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社课件-第一章

2
3、x yi 与 x yi 称为共轭复数， 记为 z 和 z
4、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 可以进行 加、减、乘、除等运算
z1 z2 x1 x2 y1 y2 i z1z2 x1 y1i x2 y2i
z1z2 r1ei1r2ei2 r1r2ei12
z1 z2

r1e i1 r2e i2
r1 ei12 r2
于是有：
z1z2 z1
z2
,
z1 z2

z1 z2
Arg z1z2 Arg z1 Arg z2
Arg z1 / z2 Arg z1 Arg z2
一、复数的基本概念
1、z x yi 称为复数，记为 z C 其中 i 称为虚单位满足：i2 1 实数 x 和 y 称为实部和虚部，记为 x Re z, y Im z
2、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 相等 当且仅当 x1 x2 , y1 y2
例如：
y x 的复数方程为 z t ti 1 i t y x2 的复数方程为 z t t2i t R
x2 y2 a2 a 0 的复数方程为
z acost iasint aeit t 0,2
或 z a
而圆心在 z0 x0 y0i 的圆复数方程为 z z0 a 或 z aeit z0
例如 w f z z2 x yi 2
x2 y2 2xyi
u x, y x2 y2,v x, y 2xy
w f z ez e x yi e xe yi e x cos y i sin y

数理方程与特殊函数教学大纲

数理方程与特殊函数教学大纲

数理方程与特殊函数课程简介：本课程为电子与通信工程类专业的基础课。

学分2，周学时2。

本课程由“数学物理方程”与“特殊函数”两大部分组成。

“数学物理方程”讲授物理学的一个分支——数学与物理所涉及的偏微分方程。

主要介绍物理学中常见的三类偏微分方程及其有关的定解问题和这些问题的几种常用解法。

“特殊函数”讲授贝塞尔函数与勒让德多项式，以及如何利用这两种特殊函数来解决数学物理方程的一些定解问题的过程。

教学目的与基本要求：通过数理方程与特殊函数课程的学习，使学生系统的掌握工程数学中数学物理方法的知识和技能，培养学生分析问题解决问题的能力，为后续课程的学习及研究奠定重要的数学基础。

本课程的先修课程为：高等数学，复变函数，积分变换主要教学方法：课堂讲授与课外习题。

第零章预备知识（4学时）复习先修课程中相关的一些内容，主要包括：二阶线性常微分方程解的结构以及常系数情形解的求法；积分学中的一些重要公式和技巧；傅里叶（Fourier）分析；解析函数的极点及其留数；拉普拉斯（Laplace)变换。

第一章典型方程和定解条件的推导（４学时）在讨论数学物理方程的求解之前，应建立描述某种物理过程的微分方程，再把一个特定物理现象所具有的具体条件用数学形式表达出来。

本章学习的重点和难点是了解数学物理方程的推导及定解问题的确定过程，学会推导一些简单物理过程的微分方程并能确定某些具体物理现象的定解条件。

第一节基本方程的建立通过几个不同的物理模型，推导出数学物理方程中的三种典型偏微分方程：波动方程、电磁场方程和热传导方程。

第二节初始条件与边界条件方程决定了物理规律的数学形式，但具体的物理问题所具有的特定条件也应用数学形式表达出来。

用以说明某一具体物理现象的初始状态的条件称为初始条件，用以说明其边界上约束情况的条件称为边界条件。

第三节定解问题的提法由于每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们要求出偏微分方程适合某些特定条件的解。

初始条件和边界条件都称为定解条件。

华中科技大学物理系袁松柳教授量子力学课件第一章

华中科技大学物理系袁松柳教授量子力学课件第一章

4. 对 Planck 公式的讨论
(1) 短波（相当于高频区） 由于很大，
h / kT
e
1 e
h / kT
8 h 3 d 8 h 3 h / kT d 3 e d h / kT 3 c e 1 c
Wein 公式 (2) 长波（相当于低频区） 由于很小， eh / kT
黑体辐射 光电效应 Compton散射
？
§1.2.3 电子衍射实验
(1) 晶体表面电子衍射实验
Davisson 和 Germer(19271928)：截取单晶的一个 面作为表面，该表面形 成二维平面点阵。
入射电子注
θ
法拉第 园筒

镍单晶
d 观察到和X射线相类似的衍射 现象即在适当的方向上可观 察到极大现象，观察到极大 现象满足的条件：d sin=n
d (8 / c )kTd
2 3 0 0


导致黑体辐射能量密度 趋于无穷大的荒谬结果。
由于这种荒谬结果出现在紫 外部分，这就是著名的所谓 紫外灾难，是经典物理学最 早显露的困难之一。
§1.2.2 光电效应
(1) 实验装置
(2) 实验现象
当光照射到金属 表面上时，电子 会从金属中逸出， 这种现象称为光 电效应
热力学连最基本的问题都不能 回答，如热是如何产生的？为 什么有些物质是热的良导体， 有些物质是热的不良导体？
§1.2 触发量子力学诞生的实验基础
紫外灾难 光电效应
物理学上空
晴空万里!
紫外灾难和光电效应虽然 仅仅是当时经典物理学万 里晴空中远在天边的两朵 乌云，但预示着暴风雨即 将来临!
这里简述一下从上上个世纪末到上个世纪三十年代所做 的一些著名实验，这些实验奠定了量子力学的基本概念， 触发了从经典物理学向量子理论的跃变，并为这种跃变 提供了最初一批实验事实。

数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解

数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解

sin sin
n1 (L)2 (na)2
L
L
原定解问题解为：
u(t,
x)
2aL
n1
(1)n1
(L)2 (n
a)2
sin
n at
L
sin
n x
L
sin
L
a
1
sin
x
a
16
2、特殊情形下齐次化方法
如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以令：
u(x,t) V (x,t) W (x)
2 l
l 0
l2
32 2a2
sin
n
l
x sin
n
l
xdx
0, n 4
l2
32 2a2
,
n
4
Dn
2
n a
l 0
sin
4
l
x sin
n
l
xdx
0, n 4
l
4
a
,
n
4
27
所以，定解问题的解为：
V
(
x,
t
)
l2 32 2a
2
cos
4 l
a
t
l 4
a
sin
4 l
a
t
sin
2、基本要求 :
叠加原理要能够使用，并能够定出固有值问题.
3、主要方法 :
(1)、最基本的分离变量求解(要求齐次方程和齐次边界条件或园 域上的周期性条件);
(2)、固有函数展开法(要求齐次边界条件或园域上的周期性条件)。
22
4、主要步骤 :
(1)、根据边界的形状选取适当的坐标系 。原则是使边界条件表 达式最简单。若边界是圆、扇形，柱形，球形，要使用极坐标， 柱面坐标和球坐标表示定解问题；

数理方程与特殊函数 第一章 王元明版课件

数理方程与特殊函数 第一章 王元明版课件

自变量的个数是两个或者两个以 上的微分方程称为偏微分方程
数理方程学科发展
微积分产生后，人们开始把力学中的一些问 题和规律归结为偏微分方程进行研究。 十八世纪初，弦振动问题归结为偏微分方程 并探讨了它的解法。 流体的运动 弹性体的平衡和振动 热传导 电磁相互作用 原子核和电子的相互作用
发展（续）
在研究物理现象的过程中，人们对偏微分方程的 性质也了解得越来越多，越来越深入，从而形成 了数学中得一门重要得分支——偏微分方程理论。 它既有悠久的历史，又不断地更新它的对象、内 容和方法。由于它直接联系着许多自然现象，所 以又不断地产生需要解决的新课题和新方法。
偏微分方程的有关术语
齐次和非齐次
自由项：方程中不含未知函数及其各阶偏导数的项
∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ) ∂t 2 ∂x
∂u ∂ 2u = a2 2 ∂t ∂x
自由项为0 齐次 自由项不为0 非齐次
偏微分方程的有关术语
偏微分方程的解 若一个函数具有所需要的各阶连续偏导数，且代 入方程后使该方程成为恒等式，则该函数称为偏 微分方程的解
课程考核
考核方式： 闭卷书面考试+平时成绩
课程要求
（1）上课认真听讲、积极发言 （2）课前预习，课后复习 （3）独立完成作业，每周一交作业
什么是数理方程？
质点的自由落体运动
位移随时间的变化
∂ u =g 2 ∂t
2
自感电路的 电流滋长
电流随时间的变化
dI ε − L = IR dt
研究某个物理量（位移、电流）怎样随时间变化 以时间为自变量的常微分方程
∂u 小段的相对伸长为 ，在x点处为 ∂u ( x, t ) ∂x ∂x ∂u ( x + Δx, t )

数理方程第一章典型方程与定解条件共31页文档

数理方程第一章典型方程与定解条件共31页文档
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)

《数理方程与特殊数函数》课程教学大纲

《数理方程与特殊数函数》课程教学大纲一、课程名称（中英文）中文名称：数理方程与特殊函数英文名称：Equations of Mathematical Physics and Special Functions二、课程代码及性质课程代码：0700081课程性质：必修三、学时与学分总学时：40（理论学时：40学时；实践学时：0学时）学分：2.5四、先修课程先修课程：微积分，线性代数，复变函数与积分变换五、授课对象本课程面向电子科学与技术，集成电路设计与集成系统（包括卓越计划实验班），光电信息科学和与工程（包括中法班），微电子科学与工程，自动化（包括理工交叉创新实验班），物流管理，电子信息工程，通信工程，电磁场与无线技术，信息类数理提高班，基于项目信息类专业教育实验班，电信卓越计划实验班，工程科学，电气工程及其自动化（包括电气卓越计划实验班），水利水电工程，工程力学，生物医学工程，软件工程，数字媒体技术等专业学生开设六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用）通过本课程教学，提升学生利用数学知识分析和解决实际问题的能力；使学生了解数学物理方程的实际背景，并使学生意识到掌握本课程基本理论和方法对专业知识学习以及今后的科学实践的重要性。

正确掌握数学物理方程与特殊函数的基本概念、基本理论和基本方法，熟练掌握几类经典方程的求解方法（包括分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法、试探法等），掌握特殊函数的性质并能熟练应用特殊函数求解常见数学物理问题。

七、教学重点与难点：课程重点：三类方程的导出及物理背景、各类定解条件及定解问题、分离变量法、行波法、积分变换法、贝塞尔函数。

课程难点：格林函数法的理解和应用；贝塞尔函数性质的理解及在分离变量法中的应用；积分变换法在求解不同类型定解问题时的应用等。

八、教学方法与手段：教学方法：1、启发式讲授法：最常用的方法；2、互动式教学：组织课堂讨论，引导学生发现问题、分析问题、解决问题，倡导讨论和争论，对于每一章节的重点内容，设计学生必做的论述题；3、研究性学习：学生自由结合组合成学习小组，指导他们结合专业方向学习设计能够用数理方程与特殊函数课程中三类典型偏微分方程进行数学建模的实际物理或者专业实验，然后进行相关物理量的测量、分析，同时进行数学模型的理论计算和计算机软件仿真等工作，并将其实验报告作为平时成绩的重要参考。

华中科技大学文华学院数学物理方程与特殊函数新大纲草案

华中科技大学文华学院《数学物理方程与特殊函数》课程教学大纲一、课程名称：数学物理方程与特殊函数Equations of Mathematical Physics with Special functions二、课程编码：三、学时与学分：48/3四、先修课程：微积分、线性代数、复变函数与积分变换五、课程性质：必修六、课程教学目标及要求开设本课程的主要目的，在于通过典型物理问题数学模型的建立、定解条件的给出以及对模型实施具体求解和分析检验的全过程，搭建起贯通数学理论到实际应用的桥梁，在“缩微”的科研活动中进一步发展学生分析问题与解决问题的能力，使学生既能获得运用数学方法求解实际工程物理和技术问题的初步经验，又能了解Bessel函数与Legendre多项式等特殊函数的概念和基本性质，掌握求解数学物理方程常见定解问题的主要解法，特别是明确所述特殊函数在数学物理方程求解中的作用，进而为其进入各相关专业的深入学习，和深化其数学知识的积累，奠定良好的必要基础。

七、适用学科专业光信息、通信、电子、电力及相关专业（本科）八、基本教学内容与学时安排第一章数学物理方程基本概念（4学时）【内容】偏微方程基本概念，二阶线性方程的特征线与分类，典型方程的推导。

【基本要求】（1）了解三个典型方程(弦振动、热传导和Laplace方程)的推导过程；（2）掌握定解问题归属于初值、边值和混合问题的判识方法；（3）掌握二阶线性偏微方程的特征方程与特征线的求法，能以其为线索，用合适的变元代换将其化为标准方程。

【重点与难点】重点：各类泛定方程与定解问题的判识与解的确认，特征方程与特征线的求法，二阶线性偏微方程化为标准方程。

难点：推导三个典型方程。

第二章分离变量法（12学时）【内容】函数的Fourier级数展开理论与二阶常微方程的特征值理论；两端固定的弦自由振动、有限长杆上的热传导以及矩形薄板与圆盘上稳恒状态的温度分布；两端固定的弦的强迫振动、有热源的有限长杆上的热传导与Poisson 方程的特征函数展开求解法；非齐次边界条件齐次化的辅助函数法。

华中科技大学数理方程课件——数理方程复习


HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
4. 求解下列定解问题 x 0, y 0 u xy 1, u (0, y ) y 1, y 0 u ( x,0) 1, x0 解法一（积分变换法） 记 Ly [u( x, y)] U ( x, p) ，则 d d 1 x pU ( x, p) 1 1 p U ( x, p ) U ( x, p ) 2 C dx p dx p p 1 1 由于 U (0, p) Ly [ y 1] 2 ，于是 U ( x, p) x 1 1 p p p2 p2 p 从而所求解为：
n x l
n 2 n l 2 xd sin x x sin x |0 0 l n l n
l

l
0
sin
n为偶数 0, n l 2l n 2 2 cos x |0 2 2 (1) 1 4l , n为奇数 n l n n 2 2


l 4l u e 2 2 2 n1 2n 1

2hl2 2 l n Cn u ( x,0) sin xdx 2 c(l c)n 2 l 0 l
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
2. 解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为 u (0, t ) u (l , t ) u ( x,0) x, 0, 0 x x 2 u 2 u , 0 x l, t 0 a 2 x t u (l , t ) u (0, t ) 0, 0, t 0 x x 0 xl u ( x,0) x, u( x, t ) X ( x)T (t ) u (0, t ) X (0)T (t ) 0 x T X a 2TX u (l , t ) X (l )T (t ) 0 T X x 2 aT X X (0) 0, X (l ) 0

数学物理方程和特殊函数


常见类型
Pn ( x ),
Pn ( x )e x ,
e x ( A1 cos x A2 sin x )
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
1.
y py qy Pn ( x )
设非齐方程特解为 y* 为多项式 Q( x )， 代入方程
Q( x ) pQ( x ) qQ( x ) Pn ( x )
q 0 , p 0 时， 方程通解可由 y Pn ( x ) 直接积分得到.
2.
py qy Pn ( x )e x y
代入原方程
Q( x ) (2 p )Q( x ) ( 2 p q )Q( x ) Pn ( x )
设非齐方程特解为 y* Q( x )e x
例 求解下列定解问题 ( x at ) 1 x at ( x at ) U ( x, t ) xat ( )d 2 2a u u t sin x ( x , t 0) tt 1 xxx t u t 02 0 t sin x d x x 0 cos( ut t 1 sinxx ) 1 cos( x t) t 2 2 u( x , t ) U ( x , t ) V ( x , t ) 利用叠加原理
其中 f ( x , t ) F ( x , t ) /
齐次化原理
设 v( x, t; )是齐次cauchy问题
vtt a 2v xx 0 ( x , t ) (II) v 0 x t v t t f ( x , ) x
对应齐次方程 y py qy 0,
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1
热的传播按傅立叶（Fourier）实验定律进行： 物体在无穷小时段 dt 内流过一个无穷小面积 dS 的热量 dQ 与物体温度沿曲面 dS 法线方向
u 的方向导数 成正比，而热流方向与温度升高的 n
方向相反，即
u dQ k ( x, y, z ) dSdt , n
其中 k ( x, y, z ) 称为物体在点 ( x, y, z) 处的热传导 系数，为正值. 当物体为均匀且各向同性时， k 为常数， n 为曲面 dS 沿热流方向的法线.

sin m xcosnxdx 0, sin nxdx cosnxdx 0.




补充：
三角函数积化和差公式
1 sin sin [cos( ) cos( )] 2 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2
2 2 2 u u u u 2 a ( 2 2 2 ) f ( x, y, z, t ). t x y z
其中 f ( x, y, z, t ) F ( x, y, z, t ) / c. 相对应的一维、二维热传导方程可 类似写出。
非齐次热传 导方程
9
二、定解条件
13
在空间某一区域 的边界 上给定了连续函数
f , 要求函数 u ( x, y, z ) 在闭区域 上连续且在 内调 Nhomakorabea,在边界
上与给定的函数 u | f .
f 重合,即
第二边值问题(诺伊曼问题) 在空间某一区域 的边界 上给定了连续函数
f , 要求函数 u ( x, y, z ) 在闭区域 上连续且在 内调和,在边界 上法向导数 u 存在,且有 n u | f , 其中n是外法线方向. n
P Q R ( )dv ( P cos Q cos R cos )dS x y z
设函数 u 关于变量 x, y, z 具有二阶连续偏导数,
关于变量
Q1
t2 t1
t 具有一阶连续偏导数,
Q1 可化为
u u u { [ ( k ) ( k ) ( k )]dv}dt; x x y y z z
u
对曲面的外法向导数.
u u u u cos cos cos . n x y z
3
流入的热量使区域 内部的温度发生变化, 在时间间隔 (t1 , t2 ) 中物理温度从 u( x, y, z, t1 ) 变化到 u( x, y, z, t2 ) 所需要的热量为
2 u 2u 2u 2 u a ( 2 2 2 ). t x y z
齐次热传导 方程
7
如果所考察的物体内部有热源(例如物体中通有 电流,或有化学反应等情况), 设热源密度(单位时 间内单位体积所产生的热量)为 F ( x, y, z, t ), 则在时间间隔 (t1 , t2 ) 中区域 内所产生的热量为
2 1
t2
1
u [ k dS]dt n
4
u Q1 [ k dS]dt, 先对 Q1 进行变形 t1 n t2 u u u Q1 [ k ( cos cos cos )dS]dt. t1 x y z
t2
利用奥-高(Gauss)公式
5
而 Q2 可化为 （利用牛顿-莱布尼兹公式）
Q2 c[u( x, y, z, t2 ) u( x, y, z, t1 )]dv

c (
t2
因此由


t1
u dt)dv t

t2
t1
u ( c dv)dt, t
t2
1
c[u( x, y, z, t ) u( x, y, z, t )]dv t
1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 cos sin [sin( ) sin( )] 2
19
4.傅里叶(Fourier)级数 设周期为 2l 的函数 f ( x) 可展开成傅里叶级数,则
a0 nx nx f ( x) (an cos bn sin ), (4) 2 n1 l l 其中傅里叶系数 an , bn 满足
14
1.4 基本概念与基本知识
1.古典解:如果一个函数具有某偏微分方程中所 需要的各阶连续偏导数,且满足该方程. 2.自由项:偏微分方程中不含有未知函数及其 各阶偏导数的项. 例如:
uxx u yy 0,
u x u y 8x .
2
2
齐次偏微分方 程(自由项为0)
非齐次偏微分方 程(自由项不为0)
u( x, y, z, t ) |S f1 ( x, y, z, t ), ( x, y, z ) S.
10
2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann） 已知物体表面上各点的热流 q, 也就是说在 量 单位时间内流过单位面积的热量是已知的，
由傅里叶实验定律可知
u q k |S , n
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu ci f i x xy x x y i 1
特别地,当方程(1)中的自由项 fi 0 时,则得相应的 齐次方程为 2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu 0. (3) x xy x x y 若 ui (i 1,2,) 是方程(3)的解,则级数(2)也是方程 (3)的解.
2
u dQ k ( x, y, z ) dSdt , n
为了导出温度 一闭曲面
u
所满足的方程, 在物体G内任取
, 它所包围的区域记作 , 则从时刻 t1 到时刻 t 2 经过曲面 流入区域 的热量为
Q1
u 其中 表示 n
t2 t1
u [ k dS]dt, n
1.2 热传导方程与定解条件
热传导现象： 如果空间某物体G内各处的温度 不同，则热量就从温度较高的点处向温度较 低的点流动。 一、下面先从物理G内的热传导问题出发来导出 热传导方程。 为此，我们用函数 u ( x, y, z, t ) 表示物体G 在位置 ( x, y, z ) 处及时刻
t 的温度。
Q3 ( F ( x, y, z, t )dv)dt.
t1 t2
同样由于热量要平衡,
c[u( x, y, z, t ) u( x, y, z, t )]dv
2 1

t2
t1
t u [ k dS]dt t ( F ( x, y, z, t )dv)dt. n
拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的 分布规律. 1.三维拉普拉斯(Laplace)方程 (调和方程)
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z
(1)
凡具有二阶连续偏导数并满足方程(1)的连 续函数为调和函数. 方程(1)通常表示成
u 0
或 2u 0.
12
1 l nx an f ( x) cos dx (n 0,1,2,), l l l
(5)
1 l nx bn f ( x) sin dx (n 1,2,3, ). l l l
20
当 f ( x) 为奇函数时
nx f ( x) bn sin , l n 1
初始条件： 表示初始时刻物体内温度的分布情况
u( x, y, z, t ) |t 0 ( x, y, z), 其中 ( x, y, z) 为已知函数。
1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
设所考察的物体G的边界曲面为S，已知物体
表面温度函数为 f1 ( x, y, z, t ), 即

(6)
2 l nx bn f ( x) sin dx (n 1,2,3, ). 0 l l
当 f ( x) 为偶函数时
u |S f 2 ( x, y, z , t ), n
其中 f 2 ( x, y, z, t ) q / k 是定义在边界曲面S，且 t 0 上的已知函数. 特别地，如果物体表面上各点的热流量为0, 则相应的边界条件为
u | S 0. n
绝热性边界条 件
11
1.3 拉普拉斯方程与定解条件
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3.叠加原理
考察二阶线性偏微分方程
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu f i (i 1,2,), (1) x xy y x y
其中 A F , fi 都是某区域上
x, y 的已知函数.
叠加原理
设 ui (i 1,2,) 是方程(1)中第i个方程的解,
Q2 c( x, y, z) ( x, y, z)[u( x, y, z, t2 ) u( x, y, z, t1 )]dv,

其中
c 为物体的比热,
为物体的密度.
如果所考察的物体内部没有热源,由于热量守恒,
Q2 Q1
c[u( x, y, z, t ) u( x, y, z, t )]dv t
2ui 2ui 2ui ui ui A 2 2B C 2 D E Fui f i x xy x x y
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如果级数
u ci ui
i 1

(2)
收敛,其中 ci (i 1,2,) 为任意常数,并且它还能够逐项 微分两次,则级数(2)是下方程的解
由于 t1,t 2 与区域 都是任意取的,并且被积函数
是连续的,于是得
u u u u c ( k ) ( k ) ( k ). t x x y y z z