数理方程与特殊函数试卷 3套

高中数学必修一 3.1函数与方程练习题及答案2/1、x2 5 2 _X/y x ,y(一) ,y 4x , y x 1,y (x 1) , y x, y a (a 1)1 .若2上述函数是募函数的个数是 ()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2,已知f (刈唯一的零点在区间(1,3)、。

⑷、。

⑸内, 那么下面命题错误的 () A,函数 f(x)在(1,2)或 2,3 内有零点 B,函数f(x)在(3,5)内无零点 C,函数 f(x)在(2,5) 内有零点 D,函数f(x)在(2, 4)内不一定有零点 10g l a In 2 log 1a1,2，则logab 与的关系是（log a b log 1 aB. 234,求函数f(x) 2x 3x 1零点的个数为 A. 1 B, 2 C, 3 D , 4 5,已知函数yf(x)有反函数，则方程f(x)0 ()A,有且仅有一个根 B, 至多有一个根 C,至少有一个根D,以上结论都不对26 .如果二次函数y x mx (m 3)有两个不同的零点，则 m 的取值范围是()A. 2,6 B, 2,6 C, 2,6 D, ，2 U 6，7 .某林场计划第一年造林 10000亩，以后每年比前一年多造林 20%,则第四年造林()8,若函数f x 既是哥函数又是反比例函数 ，则这个函数是f x= 9.募函数f(x)的图象过点(3河),则f (x)的解析式是3,若 a °,b O，ablog a b log 1 a A . 2log a b C.log ^ a2log a bD.log 2 aA. 14400亩 B , 172800亩 C17280亩 D , 20736亩10.用上分法”求方程x3 2x 5 0在区间［2,3］内的实根，取区间中点为x0 2.5，那么下一个有根的区间是11. 函数f(x) 1nxx 2的零点个数为12.设函数y f(x)的图象在a,b上连续，若满足,方程f (x)a,b上有实根.13. f(x) x用定义证明：函数1,上是增函数.14. 设x1与x2分别是实系数方程 2 .ax bx20和ax bx c 0的一个根,X1 x2,x1 0,x2 0a 2x,求证：方程2bx c 0有仅有一根介于x1和x215.函数f (x)x22ax 1 a在区间0,1上有最大值2,求实数a的值.16. 某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少?17.函数y x3A.是奇函数, 且在R上是单调增函数B.是奇函数,且在R上是单调减函数C.是偶函数, 且在R上是单调增函数D.是偶函数,且在R上是单调减函数18.已知log203b 2.1,c O?：则a,b,c 的大小关系是(A. a b cB. cC. a c bD. b19.函数f(x) x53的实数解落在的区间是()A. [0,1]B.[1,2]C. [2,3]D.[3,4]1 f ( x) 20.函数f(x)对一切实数x 都满足 21f(二 x)2,并且方程f(x) 0有三个实根，则这三个实根的和为22. 一个高中研究性学习小组对本地区 2000年至2002年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图)A.递减函数C.先递减再递增D.选递增再递减.x+ 2在(一8, 4)上是增函数，则a 的范围是(A. a>5B. a>3供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒.xlog 2 x23.已知2x 256且2,xf (x) log 2- log .2求函数 22的最大值和最小值.224.函数y==x —6x+ 10在区间(2, 4)上是( )26. 27. 28. 29. 函数y= x+1的单调区间为 函数f (x) = 2x2 - 3 | x |的单调减区间是 确定函数y=x+ x(x>o)的单调区间，并用定义证明. 快艇和轮船分别从A 地和。

数理方程与特殊函数试题（行波法与付氏变换）（2008-10-27）一、（15分）求解初值问题：⎩⎨⎧==>∞<<-∞+===x t t t xx tt xeu x u t x x u u 00|,sin |)0,(sin 解：令 u (x ，t ) = v (x ，t ) + w (x )，……………………………………………………（2分） 代入原方程，得v tt = [v xx + w xx ] + sin x ………………………………（2分）所以取 w (x ) = sin x ，……………………………………………………………………（2分） 得v (x ，t )满足的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧===x t xx tt xex v x v v v )0,(0)0,(…………………………………………（2分） 由达朗贝尔公式，得⎰+--+-++---+==t x t x t x t x t x t x e e e t x e t x d e t x v ])()[(2121),(ξξξ…………（3分） ])1()1[(21t x t x e t x e t x -++---+=………………（2分） 所以u (x ，t ) = v (x ，t ) + w (x )x e t x e t x t x t x sin ])1()1[(21++---+=-+……（2分）二、（15分）求解半无界弦定解问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===>∞<<====0sin ,cos )0,0(0002x x t t t xx tt u x u x u t x u a u 解：对初始条件中函数做偶延拓⎩⎨⎧<≥=0,cos 0,cos )(x x x x x ϕ…………………………………………（2分） ⎩⎨⎧<-≥=0,sin 0,sin )(x x x x x ψ………………………………………（2分） 应用达朗贝尔公式，当x >0，且 x > at 时，有⎰+-+-++=at x at x d aat x at x t x u ξξsin 21)]cos()[cos(21),(………………（2分） )]cos()[cos(21cos cos at x at x aat x --+-+=………………（2分）at x aat x sin sin 1cos cos -=……………………………………（1分） 当x >0，且 x < at 时，有 ⎰⎰+--+-++=at x at x d d a at x at x t x u 00sin sin [21)]cos()[cos(21),(ξξξξ……（4分） )]cos(11)[cos(21cos cos at x at x aat x -+--+-+=………………（2分） )cos cos 1(1cos cos at x a at x -+=……………………………………（2分）三、（15分）记)]([)(ˆx f F f=ω 1．证明)](ˆ)(ˆ[)]([ωωωf fx f x F '+-='； 2． 用付里叶变换方法求解方程0='-''y x y 。

数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案成都理工大学《数学物理方程》模拟试题一、填空题（3分?10=30分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（），说明边界上的约束情况的条件叫（），二者统称为（）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为（） . 4.边界条件 f u nuS=+??)(σ是第（）类边界条件，其中S 为边界.5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22222xu a t u ??=??的傅立叶变换为（） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有=)(0x J dxd（） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(31)(3202x P x P += （）. 8.计算积分=?-dx x P 2112)]([（） .9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） .二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1.<<=??===><22222,0x t u x x t x x u t u t t x u u u2.===><t u u u u t x x 2,0,00,40,04022 3.<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,162002022222x t u t x x u t u t t x x u u u三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）=??=>+∞<<-∞+??=??==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：=+=>>===,1,10,0,1002y x u y u y x y x u五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：)(1)()('0''02x J xx J x J -=六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足θ21cos ==r u，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:.0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(11222πθθπθθθθθ≤≤+=≤≤<<=+=r u r ur r u r r r(本题的u 只与θ,r 有关，与?无关)《数学物理方程》模拟试题参考答案一、填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件.2. )(2222222zu y u x u a t u ??+??+??=?? 3.01)(1222=??+θρρρρρu u . 4. 三.5.U a dt U d 2222ω-=. 6.)(1x J -. 7.2x . 8.52. 9.)1(212-x dxd . 10.2020)()(1ln y y x x u -+-=.二、试用分离变量法求以下定解问题1.解令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()(2''=+t T a t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)3()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22223πβλn ==为特征值，特征函数3sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到32sin 32cos )(;;t n D t n C t T n n n ππ+=，于是,3sin )32sin 32cos(),(1xn t n D t n C t x u n n n πππ+=∑∞=再由初始条件得到0,)1(183sin 332130=-==+?n n n D n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,3sin )32cos )1(18(),(11xn t n n t x u n n πππ+∞=-=∑2. 解令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()('=+t T t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)4()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22224πβλn ==为特征值，特征函数4sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到16;22)(t n n n e C t T π-=，于是,4s i n (),(16122x n eC t x u tn n n ππ-∞=∑=再由初始条件得到140)1(164sin 242+-==n n n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,4sin)1(16),(161122xn e n t x u t n n n πππ-+∞=-=∑3.解由于边界条件和自由项均与t 无关，令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。

数理方程期末试题-07-08-2-B-答案2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __一、 计算题（共80分,每题16分） 1． 求下列定解问题（15分）2222201200,0,0,|,|,|0,|0.x x l t t u ua A x l t t x u M u M u u t ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩2． 用积分变换法及性质,求解半无界弦的自由振动问题：（15分）2,0,0,(,0)0,(,0)0,(0,)(),lim (,)0.tt xx t x u a u x t u x u x u t t u x t φ→+∞⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪==⎩ 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =,弦的出示位移如下图所示。

初速度为零,又没有外力作用。

求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。

[ 解 ] 问题的定解条件是1(,)(cos sin )sin n a n a n n n l l l n u x t C t D t x πππ∞==+∑由初始条件可得0, 1,2,...n D n ==222202()sin d ()sin d =sin, 1,2,...c lh n h n n lc l l c l c hl n c lc l c n C x x x x l x x n ππππ--⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下,波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ,并由此求出波动方程的通解。

5． 用分离变量法解下列定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===><<+∂∂=∂∂====0|,0|0|,0|00sin sin 0002222222t t l x x l a l t uu u u t l x t x x u a t u ，，ππ [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数,不必推导；2) 利用参数变易法。

《数学物理方程》模拟试题一、填空题（3分⨯10=30分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u nuS=+∂∂)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边界.5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22222x u a t u ∂∂=∂∂的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有=)(0x J dxd（ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(31)(3202x P x P += （ ）. 8.计算积分=⎰-dx x P 2112)]([（ ） .9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） .二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<∂∂=∂∂====30,0,3,000,30,200322222,0x t u x x t x x u t u t t x u u u2.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===><<∂∂=∂∂===x t x x ut u u u u t x x 2,0,00,40,04022 3. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<+∂∂=∂∂====20,0,8,00,20,162002022222x t u t x x u t u t t x x u u u三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞+∂∂=∂∂==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>>=∂∂∂==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：)(1)()('0''02x J xx J x J -=六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:.0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(11222πθθπθθθθθ≤≤+=≤≤<<=∂∂∂∂+∂∂∂∂=r u r ur r u r r r(本题的u 只与θ,r 有关，与ϕ无关)《数学物理方程》模拟试题参考答案一、 填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件.2. )(2222222zu y u x u a t u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 3.01)(1222=∂∂+∂∂∂∂θρρρρρu u . 4. 三.5.U a dt U d 2222ω-=. 6.)(1x J -.7.2x .8.52.9.)1(212-x dxd . 10.2020)()(1lny y x x u -+-=.二、试用分离变量法求以下定解问题1.解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()(2''=+t T a t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)3()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22223πβλn ==为特征值，特征函数3sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到32sin32cos )(;;t n D t n C t T n n n ππ+=，于是,3sin )32sin 32cos (),(1xn t n D t n C t x u n n n πππ+=∑∞=再由初始条件得到0,)1(183sin 332130=-==+⎰n n n D n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,3sin )32cos )1(18(),(11xn t n n t x u n n πππ+∞=-=∑2. 解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()('=+t T t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)4()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22224πβλn ==为特征值，特征函数4sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到16;22)(t n n n eC t T π-=，于是,4sin(),(16122xn eC t x u t n n n ππ-∞=∑=再由初始条件得到140)1(164sin 242+-==⎰n n n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,4sin)1(16),(161122xn e n t x u t n n n πππ-+∞=-=∑3.解 由于边界条件和自由项均与t 无关，令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。

高三数学函数与方程试题答案及解析1.函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于函数在（0，+∞）上是连续函数，由于f（2）=ln2-＜0，f（3）=ln3-＞0，故f（2）f（3）＜0，故函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选Ｃ．【考点】函数零点的定义以及函数零点判定定理．2.已知函数，.若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】如图，由已知，函数，的图象有两个公共点，画图可知当直线介于，之间时，符合题意，故选B.【考点】1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.3.已知a＞0，且a≠1，则函数f(x)＝a x＋(x－1)2－2a的零点个数为( )A．1B．2C．3D．与a有关【答案】B【解析】设g(x)＝2a－a x，h(x)＝(x－1)2，注意到g(x)的图象恒过定点(1，a)，画出他们的图象无论a＞1还是0＜a＜1，g(x)与h(x)的图象都必定有两个公共点考点:零点的个数4.已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b、c∈R)．(1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b、c的值；(2)若f(x)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b的取值范围．【答案】（1）b＝0，c＝－1（2）<b<【解析】解：(1)依题意，x1＝－1，x2＝1是方程x2＋2bx＋c＝0的两个根．由韦达定理，得即所以b＝0，c＝－1．(2)由题知，f(1)＝1＋2b＋c＝0，所以c＝－1－2b．记g(x)＝f(x)＋x＋b＝x2＋(2b＋1)x＋b＋c＝x2＋(2b＋1)x－b－1，则，解得<b<，所以实数b的取值范围为<b<．5.已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(0,2)C．(1,2)D．(0,3)【答案】A【解析】设t＝f(x)，则方程为t2－at＝0，解得t＝0或t＝a，即f(x)＝0或f(x)＝a．如图，作出函数f(x)的图象，由函数图象，可知f(x)＝0的解有两个，故要使方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的解，则方程f(x)＝a的解必有三个，此时0<a<1．所以a的取值范围是(0,1)．6.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．【答案】[0,1)【解析】在坐标系内作出函数f(x)＝的图象，如图：发现当0≤m<1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有三个交点．即函数g(x)＝f(x)－m有三个零点．7.已知函数，集合，，记分别为集合中的元素个数，那么下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【答案】【解析】集合，均表示方程的解集，集合中元素的个数，就是方程解的个数.当时，有一解，无解，正确；当时，有一解，有一解，正确；当时，有两解，有两解，其不可能有三个解，正确，不正确.故选.【考点】1、新定义；2、集合的概念；3、函数与方程.8.已知0<a<1，k≠0，函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．【答案】0<k<1【解析】函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图像有两个交点．分k>0和k<0作出函数f(x)的图像．当0<k<1时，函数y＝f(x)与y＝k的图像有两个交点；当k＝1时，有一个交点；当k>1或k<0时，没有交点，故当0<k<1时满足题意．9.关于x的方程e x ln x＝1的实根个数是________．【答案】1【解析】由e x ln x＝1(x>0)得ln x＝(x>0)，即ln x＝x(x>0)．令y1＝ln x(x>0)，y2＝x(x>0)，在同一直角坐标系内绘出函数y1，y2的图像，图像如图所示．根据图像可知两函数只有一个交点，所以原方程实根的个数为1.10.（13分）（2011•湖北）设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．（Ⅰ）求a、b的值，并写出切线l的方程；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）x﹣y﹣2=0（Ⅱ）（﹣，0）【解析】（I）利用曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．即为关于a、b的方程，解方程即可．（II）把方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根转化为x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．求出实数m的取值范围以及x1，x2与实数m的关系，再把f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立问题转化为求函数f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值，综合在一起即可求出实数m的取值范围．解：（I） f'（x）=3x2+4ax+b，g'（x）=2x﹣3．由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．故有f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．由此得，解得，所以a=﹣2，b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0．（II）由（I）得f（x）=x3﹣4x2+5x﹣2，所以f（x）+g（x）=x3﹣3x2+2x．依题意，方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0，有三个互不相等的实根0，x1，x2，故x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．所以△=9﹣4（2﹣m）＞0，解得m＞﹣．又对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，特别地取x=x1时，f（x1）+g（x1）＜m（x1﹣1）成立，得m＜0．由韦达定理得x1+x2=3＞0，x1x2=2﹣m＞0．故0＜x1＜x2．对任意的x∈[x1，x2]，x﹣x2≤0，x﹣x1≥0，x＞0．则f（x）+g（x）﹣mx=x（x﹣x1）（x﹣x2）≤0，又f（x1）+g（x1）﹣mx1=0．所以f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0．于是当m＜0，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，综上得：实数m的取值范围是（﹣，0）．点评：本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立，以及函数与方程和特殊与一般的思想．11.已知函数，，的零点分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，，分别得，，，则分别为函数的图象与函数，，的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得，，，故选．【考点】函数图象、零点的概念.12.若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，函数g(x)＝，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]上的零点的个数为()A．10B．9C．8D．7【答案】B【解析】由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)是周期为2的周期函数．在同一直角坐标系中画出函数f(x)与函数g(x)的图象，结合图象可知，函数h(x)在[－5,5]上有9个零点．13.若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．(－2,2)B．[－2,2]C．(-1,1)D．[-1,1]【答案】A【解析】函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点方程x3－3x＋a=0有三个不同的根a=-x3+3x函数g(x)=a与函数F(x)=-x3+3x的图象有三个不同的交点∵F′(x)＝-3x2+3=-3(x2-1)=-3(x-1)(x+1)∴即F(x)在x=1处取得极大值2,在x=-1处取得极小值-2∵直线g(x)=a与函数F(x)=-x3+3x的图象有三个不同的交点∴a∈(－2,2)14.已知函数(a是常数，a∈R)（1）当a=1时求不等式的解集．（2）如果函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）本题含有绝对值符号，解题时我们只要根据绝对值的定义去掉绝对值符号分类讨论即可，实际上，因此分成和情况分别求解，最后归总；（2）函数有两个零点，可以转化为函数的图象与直线有两个不同交点问题，只要作出其图象就能得到结论．（1）∴的解为 --5分（2）由得,．令,,作出它们的图象，可以知道，当时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以函数有两个不同的零点． -10分【考点】（1）解不等式；（2）函数零点与函数图象交点问题．15.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为( )A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b；由已知x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的不同两根，当f(x1)＝x1＜x2时，作y＝x1，y＝x2与f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个不同交点．即方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三个不同实根．16.若方程在内有解，则的图象可能是( )【答案】D【解析】解：方程在内有解，即是的图象与函数的图象在内有交点；在A,B,C,三个选项中，当时，都有，不合题意，选项D中的图象显示，在轴左侧，的图象与函数的图象在内有交点；故选D．【考点】函数的零点．17.已知函数，若关于的函数有两个零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】有两个零点，等价于函数与函数的图像有两个交点，作出函数的图像如下：由图可知的取值范围：故答案：【考点】根的存在性和个数的判断；数形结合.18.已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为．【答案】【解析】，的解为，时，，当时，，从而在区间和上是减函数，在区间和上是减函数，，当时，．如图是的图象，，，方程的解就是函数的图象与直线的交点的横坐标，当或或时，有两个交点，即方程有两个解，或称有两个零点，或或．【考点】函数的零点，函数的图象与性质，直线与曲线相交．19.设函数，则函数的零点个数为__________个．【答案】3【解析】函数的零点个数，即为与的交点个数，在平面直角坐标系中作出两函数图象，如图：如图可知，函数与有3个交点，所以函数的零点有3个．【考点】1、函数零点；2、函数图象；3、分段函数．20.已知函数,且函数恰有3个不同的零点,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，其顶点为，点在函数图象上，而点不在函数图象上.结合图形可知，当，函数恰有3个不同的零点.【考点】函数及其零点.21.已知函数f(x)＝2x2＋m的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围是________．【答案】【解析】由于f(x)与g(x)都是偶函数，因此只需考虑当x>0时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点即可．当x>0时，g(x)＝lnx，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x2－lnx＋m，则h′(x)＝4x－，由h′(x)＝0，得x＝.易知当x＝时，h(x)有极小值为＋ln2＋m，要使函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)内有两个交点，则h<0，即＋ln2＋m<0，所以m<－－ln222.若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．【答案】0、－【解析】由题意可得，b＝－2a且a≠0，由g(x)＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或x＝－23.方程lgx＝2－x在区间(n，n＋1)(n∈Z)有解，则n的值为________．【答案】1【解析】令f(x)＝lgx＋x－2，由f(1)＝－1<0，f(2)＝lg2>0，知f(x)＝0的根介于1和2之间，即n＝1.24.函数f(x)＝－|x－5|＋2x－1的零点所在的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【答案】C【解析】f(2)·f(3)＝(－3＋2)(－2＋4)<0，所以该函数的零点所在的区间是(2，3)．25.若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时f(x)＝1－x2.函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,4]内的零点的个数()．A．7B．8，C．9D．10【答案】A【解析】由f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，求h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,4]内的零点，即求f(x)＝g(x)在区间[－5,4]上图象交点的个数．画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，由图可知两图象在[－5,4]之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.26.函数的零点所在的区间是（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3.4)【答案】B【解析】函数在区间存在零点，等价于.计算，故选B.【考点】函数零点存在定理27.的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】∵，∴，图像如图所示，由图像看出与有5个交点，∴的零点个数为5个.【考点】1.函数零点问题；2.函数图像.28.已知函数，则方程恰有两个不同实数根时，实数的取值范围是（）（注：为自然对数的底数）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵方程恰有两个不同实数根，∴与有2个交点，∵表示直线的斜率，∴，设切点为，，所以切线方程为，而切线过原点，所以，，，所以直线的斜率为，直线与平行，所以直线的斜率为，所以实数的取值范围是.【考点】1.分段函数图象；2.利用导数求曲线的切线方程；3.图象的交点问题.29.函数的图像如图所示，关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是_______________．【答案】【解析】方程的解显然利用换元法()是通过二次方程①来解决，首先考虑，即时，方程①的解为和，原方程没有三个解，当时，方程①的两根必须满足且，因此如果记，则，解得.【考点】函数的图象与方程的解.30.已知关于的方程有两个不同的解，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得.因为，结合抛物线图象知，要使得，则必须，选C.【考点】方程与不等式.31.已知关于X的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（）A．3,6,9B．6,9,12C．9,12,15D．6,12,15【答案】B【解析】函数的图像如图所示，直线，当时，；当时，；当时，；当时，；综上可得：P中所有元素的和可能是6,9,12.【考点】1.函数图像；2.中点坐标公式.32.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，得，即，即，若函数与在上是“关联函数”，则问题转化为直线与曲线在区间上有两个交点，在同一坐标系中作出直线与曲线在区间图象，由图象知，当时，直线与曲线在区间上有两个交点，故选A.【考点】1.新定义；2.函数的零点33.已知函数且函数的零点均在区间内，圆的面积的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴当或时，．而当时，∴对任意恒成立，得函数是上的增函数∵，∴函数在上有唯一零点∴的最小值为.∵圆的圆心为原点，半径∴圆的面积为，可得面积的最小值为.故选A.【考点】1.函数的零点问题；2.函数的单调性；3.圆的面积.34.函数的零点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】根据函数平移，将的图像向右平移1个单位得到的图像，再画出的图像，观察即可.【考点】1.函数零点；2.函数的零点关系转化.35.函数的零点所在区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】选C.【考点】函数的零点.36.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实数根的个数是 ( )A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.【考点】导数、零点、函数的图象37.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是（）A．2个B．3个C．4个D．多于4个【答案】C【解析】试题分析:函数f(x)是以2为周期的周期函数，且是偶函数，根据上的解析式，图象关于y轴对称，可以绘制上的图象，根据周期性，可以绘制上的图象，而是个偶函数，绘制其在y轴右侧图象可知两图象右侧有两个交点，根据对称性可得共有四个交点，故选B.【考点】函数与方程.38.函数零点的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，作出函数与图像可的结论．【考点】考查函数的图像．39.函数的零点的个数为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，令，得，故零点的个数为1,选B.【考点】零点的个数的判断.40.已知，其中为常数，且.若为常数，则的值__________【答案】【解析】根据题意分别得到和的解析式，算出化简后等于k，根据合分比性质得到k即可。

10---11-2 数学物理方程与特殊函数（A 卷）参考答案一．填空题1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题； 2，函数()t z y x u u ,,,= 1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程； 3，()xt t x w =,；4，)cos(t x π-；5，[]1,1-，t x t ≤≤-；6，4122≤+<y x ；122<+y x ； 7，()x x 35213-；()32331481-x dxd ；无界的； 8，⎪⎩⎪⎨⎧=+≠;,122,,0n m n n m ()()().,2,1,021211 =+⎰-n dx x P x f n n 二．解：相应方程的特征方程为：0)(2)(322=-+dt dxdt dx ，即：31=dt dx ，1-=dtdx。

由此得积分曲线：13C t x =-，2C t x =+。

作特征变换：t x -=3ξ，t x +=η，则：ηξ∂∂+∂∂-=∂∂u u t u ，ηξ∂∂+∂∂=∂∂u u x u 3；22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u t u ， 22222223ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂-=∂∂∂u u u x t u ，222222239ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 。

代入原方程，整理得：02=∂∂∂ηξu，则通解为：()()ηξ21f f u +=，其中21,f f 是任意两个连续二次可微函数。

因此原方程通解为： ()()()t x f t x f t x u ++-=213,。

由初值条件有： ()()22133x x f x f =+，()()0321='+'-x f x f 。

由微分方程有：()()C x f x f =-2133 因此 ()449321Cx x f +=，()44121C x x f +=，()44322C x x f -=。

2010年6月一、填空题（20分）1、微分方程的固有值为____________，固有函数为____________。

2、勒让德多项式的母函数为________________________。

3、一长为的均匀直金属杆，x=0端固定，x=l端自由，则纵向震动过程中的边界条件为________________________。

4、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。

5、微分方程，在条件下的拉氏变换表达式为____________________________________。

6、埃尔米特多项式的微分表达式为____________________________________。

7、函数是区域内的调和函数，它在上有一阶连续偏导数，则____________.8、定解问题的解为________________________。

9、在第一类奇次边界条件下=____________。

10、=____________，=____________。

二、证明题（10分）三、建立数学物理方程（10分）一长为l、截面积为s、密度为、比热容为的均匀细杆，一端保持零度，另一端有恒定的热量q流入，初始温度为试建立热传导方程，写出定界条件（要有必要的步骤）。

四、写出下列定解问题的解（35分）1、2、3、五、将函数展开为广义傅里叶级数（25分）1、设是的正零点，试将函数展开成的傅里叶贝塞尔级数。

2将函数按埃尔米特多项式展开成级数。

2009年6月一、填空题（20分）11、微分方程的固有值为____________，固有函数为____________。

12、勒让德多项式的母函数为________________________。

13、一长为的均匀直金属杆，x=0端温度为零，x=l端有恒定的热流流出，则热传导过程中的边界条件为________________________。

14、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。

1981年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编2、函数与方程部分2018A 5、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足1)(=πf ，2)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2)(121x f x 的解集为 ◆答案：[]ππ28,2--★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]1,0上严格递减知，)(x f 在[]0,1-上递增，结合周期性知，)(x f 在[]2,1上递增，又1)()2(==-ππf f ，2)2()2()28(==-=-πππf f f ， 所以不等式等价于)28()()2(ππ-≤≤-f x f f ，又22821<-<-<ππ 所以ππ282-<<-x ，即不等式的解集为[]ππ28,2--2018A ，B 9、（本题满分16分）已知定义在+R 上的函数)(x f 为⎩⎨⎧--=x x x f 41log )(39,90,>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足)()()(c f b f a f ==，求abc 的取值范围。

★解析：不妨设c b a <<，由于)(x f 在(]3,0上递减，在[]9,3上递增，在[)+∞,9上递减，且0)3(=f ，1)9(=f ，结合图像知：()3,0∈a ，()9,3∈b ，()+∞∈,9c ，且()1,0)()()(∈==c f b f a f 。

由)()(b f a f =得2log log 33=+b a ，即9=ab ，此时c abc 9=，又c c f -=4)(，由140<-<c 得()16,9∈c ，所以()144,819∈=c abc 。

2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为[]ππ--4,62.2017A1、设)(x f 是定义在R 上函数，对任意的实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f ，又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为 ◆答案： 21-★解析：由条件知，1)()7(-=+x f x f ，即1)14()7(-=++x f x f ，故)14()(+=x f x f ，即函数)(x f 的周期为14，所以21)5(1)2()100(-=-=-=-f f f2017B 3、设)(x f 是定义在R 上的函数，若2)(x x f +是奇函数，xx f 2)(+是偶函数，则)1(f 的值为 ◆答案：74-★解析：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7(1)4f =-.2016A 3、正实数u ，v ，w 均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则v w log 的值为 ◆答案：54★解析：令a v u =log ，b w v =log ，则a u v 1log =，bv w 1log =，ab a w v v vw v u u u +=•+=log log log log 条件化为5=++b ab a ，311=+b a ，由此可得45=ab ，因此54log log log ==•=u v u v w w ．2016A 10、（本题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0<x ，均有)()1(x xf x x f =-。

专题2.2 函数与方程A 组 5年高考真题1．(2018全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是（）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+2．(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln 0⎧=⎨>⎩，≤，，，x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（）A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞3．（2017新课标Ⅰ）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则（）A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点(1,0)对称 4．（2017新课标Ⅱ）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是（）A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞5．（2016年全国II 卷）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（） A ．y =x B ．y =lg x C ．y =2xD ． 6．（2015新课标Ⅱ）设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨⎩≥，则2(2)(log 12)f f -+=（）A ．3B ．6C ．9D ．12 7．（2015新课标1）设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =（）A ．1-B ．1C ．2D ．48．（2013新课标）设，则（）A ．B ．C ．D ． 9．（2012新课标）当102x <≤时，4log x a x <，则a 的取值范围是（） A． B． C． D．y =357log 6,log 10,log 14a b c ===c b a >>b c a >>a c b >>a b c >>10．（2015全国课标卷2，文12）设函数，则使得成立的的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．11．（2019全国Ⅲ文5）函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．512．(2018全国卷Ⅰ，理9)已知函数0()ln 0⎧=⎨>⎩，≤，，，x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（）A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞13．（2017新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．12-B ．13C ．12D ．114．(2018全国卷Ⅲ)函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为________．15．(2018全国卷Ⅰ)已知函数22()log ()=+f x x a ，若(3)1=f ，则a =________．21()ln(1||)1f x x x=+-+()(21)f x f x >-x 1,13⎛⎫⎪⎝⎭()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 组 优质模拟题16．（2021·全国高一课时练习）已知01a <<，方程0xa a log x -=的解的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．2或3或417．（2021·全国高三专题练习）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（ ） A ．(]1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1- D ．()1,1-18．（2018·湖北高一期中）已知函数2lg(),0()23,0x x f x x x x ⎧-<=⎨-+⎩，且关于x 的函数()()g x f x m =-有4个不同的零点1234,,,x x x x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围为（ ） A ．[0,1)B ．[0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]19．（2020·泰州市第二中学高一月考）已知函数42,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，若方程()0f x x a ++=恰有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)+∞D ．[1,)-+∞.20．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数ln 1()xx x f x e x+=+，若关于x 的方程22()()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实根，则m 取值范围是（ ）A ． (11,1)e+B ． 1(0,1)e+ C ．D ．21．（2021·浙江高一期末）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论正确的是（ ）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在[,]-ππ有4个零点D ．()f x 的值域为[2,2]-22．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2412,02()2log ,2x x x f x x x ⎧-++≤≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程2[()]()10m f x n f x ⋅+⋅+=恰好有7个不同的实数根，那么m n -的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．423．（2021·安徽高一开学考试）已知函数()22log 6f x x x =--，用二分法求()f x 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ） A ．()1,2B ．()2,2.5C ．()2.5,3D ．()3,3.524．（2021·山东高三专题练习）已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一的零点，则a 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．13D ．13-25．（2020·全国高三专题练习）已知函数11,1()3ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则当函数()()F x f x ax =-恰有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是______．26．（2021·苏州市第三中学校高一开学考试）若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.27．（2021·浙江宁波市·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数,若方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根，则1234____.x x x x +++=28．（2021·全国高三专题练习）已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是_____.29．（2019·江苏高三专题练习）已知函数()(),0,1,0,x xe x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()1g x k x =+，若方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_____．30．（2020·华东师范大学附属天山学校）若直角坐标系内A B 、两点满足：（1）点A B 、都在()f x 的图像上；（2）点A B 、关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对”，点对(,)A B 与(,)B A 可看作一个“姊妹点对”.已知函数22(0)(){2(0)x x x x f x x e+<=≥，则()f x 的“姊妹点对”有__________个．专题2.2 函数与方程A 组 5年高考真题1．(2018全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是（）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【答案】B【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线1x =的对称点的坐标为(2,)x y -，由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上，所以ln(2)y x =-，故选B ．2．(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln 0⎧=⎨>⎩，≤，，，x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（）A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞【答案】C【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2 个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ．3．（2017新课标Ⅰ）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则（）A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点(1,0)对称 【答案】C【解析】由2(1)()(2)x f x x x -'=-，02x <<知，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，排除A 、B ；又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于1x =对称，C 正确． 4．（2017新课标Ⅱ）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是（）A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞ 【答案】D【解析】由2280x x -->，得2x <-或4x >，设228u x x =--，则(,2)x ∈-∞-，u 关于x 单调递减，(4,)x ∈+∞，u 关于x 单调递增，由对数函数的性质，可知ln y u =单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ．5．（2016年全国II 卷）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（） A ．y =x B ．y =lg x C ．y =2xD ． 【答案】D【解析】函数lg 10x y =的定义域为(0,)+∞，又lg 10x y x ==，所以函数的值域为(0,)+∞，故选D ． 6．（2015新课标Ⅱ）设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨⎩≥，则2(2)(log 12)f f -+=（）A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】由于2(2)1log 43f -=+=，22log 121log 62(log 12)226f ，所以2(2)(log 12)f f -+=9，故选C ．7．（2015新课标1）设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称， 且(2)(4)1f f -+-=，则a =（）A ．1-B ．1C ．2D ．4 【答案】C【解析】设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知知（,y x --）在函数2x ay +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a =--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C ．y =8．（2013新课标）设，则（）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】， 由下图可知D 正确．9．（2012新课标）当102x <≤时，4log x a x <，则a 的取值范围是（） A．2 B．(2C． D． 【答案】B【解析】由指数函数与对数函数的图像知12011log 42a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得212a <<，故选B ． 10．（2015全国课标卷2，文12）设函数，则使得成立的的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由可知是偶函数，且在是增函数，所以 ．故选A ．11．（2019全国Ⅲ文5）函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为（）357log 6,log 10,log 14a b c ===c b a >>b c a >>a c b >>a b c >>33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+21()ln(1||)1f x x x=+-+()(21)f x f x >-x 1,13⎛⎫⎪⎝⎭()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭11,33⎛⎫-⎪⎝⎭11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21()ln(1||)1f x x x=+-+()f x [)0,+∞()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<<A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】解法一：函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数， 即2sin sin 20x x -=在区间[]0,2π的根个数，即2sin sin 2x x =，令()2sin h x x =和()sin 2g x x =， 作出两函数在区间[]0,2π的图像如图所示，由图可知，()2sin h x x =和()sin 2g x x =在区间[]0,2π的图像的交点个数为3个．故选B ．解法二：因为()()[]2sin sin22sin 1cos ,0,2πf x x x x x x =-=-∈，令()0f x =，得()2sin 1cos 0x x -=，即sin 0x =或1cos 0x -=，解得0,π,2πx =． 所以()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为3个． 故选B ．12．(2018全国卷Ⅰ，理9)已知函数0()ln 0⎧=⎨>⎩，≤，，，x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（）A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞【答案】C【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2 个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ．13．（2017新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】令()0f x =，则方程112()2x x a e e x x --++=-+有唯一解，设2()2h x x x =-+，11()x x g x e e --+=+，则()h x 与()g x 有唯一交点，又11111()2x x x x g x ee e e--+--=+=+≥，当且仅当1x =时取得最小值2．而2()(1)11h x x =--+≤，此时1x =时取得最大值1，()()ag x h x =有唯一的交点，则12a =．选C ． 14．(2018全国卷Ⅲ)函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为________．【答案】3【解析】由题意知，cos(3)06x π+=，所以362x k πππ+=+，k ∈Z ，所以93k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，9x π=；当1k =时，49x π=；当2k =时，79x π=，均满足题意，所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．15．(2018全国卷Ⅰ)已知函数22()log ()=+f x x a ，若(3)1=f ，则a =________． 【答案】7-【解析】由(3)1f =得，22log (3)1a +=，所以92a +=，即7a =-．B 组 优质模拟题16．（2021·全国高一课时练习）已知01a <<，方程0xa a log x -=的解的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．2或3或4【答案】A 【分析】方程0xa a log x -=的解的个数，等于函数x y a =和函数a y log x =的图象的交点个数，然后画出图象，结合图象得出结论． 【详解】01a <<时，方程0xa a log x -=的解的个数，等于01a <<时，函数x y a =和函数a y log x =的图象的交点个数，如图所示：数形结合可得，函数x y a =和函数a y log x =的图象的交点个数为2， 故01a <<时，方程0xa a log x -=的解的个数为2， 故选：A ．17．（2021·全国高三专题练习）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（ ） A ．(]1,1- B ．[]1,1-C ．[)1,1- D ．()1,1-【答案】A 【分析】画出()f x 的图象，根据图象将()3122341x x x x x ⋅++⋅表示为只含3x的形式，结合函数的单调性求得()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围. 【详解】21log 12x x =-⇒=. 先作()f x 图象，由图象可得12343121,1.2x x x x x ⎡⎫+=-=∈⎪⎢⎣⎭，， 因此()31232343112x x x x x x x ⋅++=-+⋅为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减函数， 11121,2111212-⨯+=-⨯+=-， 从而()(]31223411,1x x x x x ⋅++∈-⋅. 故选：A18．（2018·湖北高一期中）已知函数2lg(),0()23,0x x f x x x x ⎧-<=⎨-+⎩，且关于x 的函数()()g x f x m =-有4个不同的零点1234,,,x x x x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围为（ ） A ．[0,1) B ．[0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]【答案】A 【分析】将函数()()g x f x m =-有四个不同的零点，转化为函数()f x 的图象与直线y m =有四个不同的交点，结合二次函数、对数函数的性质，求得1234x x x x 的取值范围. 【详解】因为函数()()g x f x m =-有4个不同的零点1234,,,x x x x ， 不妨记1234x x x x <<<结合()y f x =的图像分析可知:12121212lg()lg()lg()lg()0lg()01x x x x x x x x -=--⇒-+-=⇒=⇒=3432,01x x x +=<，所以()2123434333322[0,1)x x x x x x x x x x ⋅⋅⋅=⋅=-=-∈故选：A19．（2020·泰州市第二中学高一月考）已知函数42,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，若方程()0f x x a ++=恰有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,0)- B ．[0,)+∞C ．[1,)+∞D ．[1,)-+∞【答案】D 【分析】把方程根的问题转化为函数零点问题，再转化为两个函数图象交点的个数问题，根据函数的单调性，运用数形结合思想进行求解即可. 【详解】方程()0f x x a ++=恰有两个不相等的实数根，则函数()()g x f x x a =++有两个零点，令22,0,()()log ,0x x x h x f x x x x x ⎧+≤=+=⎨+>⎩，所以函数()h x 与函数y a =-有两个不同的交点，当0x ≤时，函数()h x 单调递增，故函数有最大值(0)1h =，当0x >时，函数()h x 单调递增，函数没有最小值，函数图象如下图所示：因此有11a a -≤⇒≥-， 故选：D 【点睛】方法点睛：已知方程的根的个数求参数，一般转化为函数零点个数问题，再转化为两个函数图象交点个数问题，运用数形结合思想进行求解即可.20．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数ln 1()xx x f x e x+=+，若关于x 的方程22()()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实根，则m 取值范围是（ ）A ． (11,1)e+ B ． 1(0,1)e+ C ．(1,3D ．【答案】C 【分析】令()t f x =，将方程可化为2210t mt m -+-=，由方程22()()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实根，则方程2210t mt m -+-=有两个根12,t t t t ==，由()t f x =的图象与12,t t t t ==的交点个数为4，确定12,t t 的范围，再利用根的分布求解. 【详解】 因为ln 1()x x x f x e x+=+， 所以2221(ln 1)11ln ()()x x x x x x e xe x x x f x e x e x⋅-+⋅--'=+=-， 当01x <<时，()0f x '>，则()f x 为增函数， 当1x >时，()0f x '<，则()f x 为减函数， 所以()f x 的极大值为11(1)1e f e e+=+=， 设()t f x =，则关于x 的方程22()()10f x mf x m -+-=可化为2210t mt m -+-=， 设关于t 的方程2210t mt m -+-=有两个实数根12,t t ，则关于x 的方程22()()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实根等价为： 函数()t f x =的图象与12,t t t t ==的交点个数为4， 函数()t f x =的图象与12,t t t t ==的图象如下所示：所以关于t 的方程2210t mt m -+-=有两个实数根121,(0,)e t t e+∈， 设22()1g t t mt m =-+-，则有224(1)0102(0)01()0m m m m e e g e g e ⎧-->⎪+⎪<<⎪⎨>⎪⎪+>⎪⎩，解得13m <<故选：C 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．21．（2021·浙江高一期末）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论正确的是（ ）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在[,]-ππ有4个零点 D ．()f x 的值域为[2,2]-【答案】B 【分析】对于A ，画出函数的图像，由图像判断即可；对于B ，当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，对函数化简再判断；对于C ，对函数化简后，求零点即可判断；结合A ，C 求出函数的值域即可 【详解】解：对于A ，函数的图像如图所示，由图可知函数不是周期函数，所以A 错误； 对于B ，当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，则()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以B 正确； 对于C ，2sin ,[,0)()sin sin 2sin ,[0,]x x f x x x x x ππ-∈-⎧=+=⎨∈⎩，当[,0)x π∈-时，由()0f x =，得2sin 0x -=，解得x π=-，当[0,]x π∈时，由()0f x =，得2sin 0x =，解得x π=或0x =，所以()f x 在[,]-ππ有3个零点，所以C 错误；对于D ，当[,0)x π∈-时，()2sin (0,2]f x x =-∈，当[0,]x π∈时，()2sin [0,2]f x x =∈，当(,2]x ππ∈时，()sin sin 0f x x x =-=，结合函数的图像可得()f x 的值域为[0,2]，所以D 错误， 故选：B22．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2412,02()2log ,2x x x f x x x ⎧-++≤≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程2[()]()10m f x n f x ⋅+⋅+=恰好有7个不同的实数根，那么m n -的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】作出()f x 图像如图，令()f x t =，则原方程可化为210m t n t ⋅+⋅+=，并且结合图像可知，该方程有2个根，再根据韦达定理求出,m n ,即可求解. 【详解】由函数()f x 是定义域为R 的偶函数，故图像关于y 轴对称，作出()f x 图像如图， 令()f x t =，则原方程可化为210m t n t ⋅+⋅+=，根据图像可知，当12t 时，方程()f x t =没有实数根； 当12t =时，方程()f x t =有3个不同的实数根； 当1322<<t 时，方程()f x t =有6个实数根； 当32t =时，方程()f x t =有4个实数根；当32t >时，方程()f x t =有2个实数根；原方程恰好有7个不同的实数根，只需210m t n t ⋅+⋅+=有两个不等的实数根12､32， 由韦达定理得1322n m +=-，13122m ⨯=，解得43m =，83n =-，于是4m n -=，故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.23．（2021·安徽高一开学考试）已知函数()22log 6f x x x =--，用二分法求()f x 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ） A ．()1,2 B ．()2,2.5 C ．()2.5,3 D ．()3,3.5【答案】C 【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD 都不正确，再结合零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】因为函数()22log 6f x x x =--在()0,∞+上显然是连续函数，2yx 和2log 6y x =+在()0,∞+上都是增函数，当()1,2x ∈时，2222246log 16log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()1,2x ∈上恒成立；当()2,2.5x ∈时，22222.5 6.257log 26log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()2,2.5x ∈上也恒成立；当()3,3.5x ∈时，222239log 3.56log 6x x >=>+>+，所以()22log 60f x x x =-->在()3,3.5x ∈上恒成立，又22(2.5) 2.5log 2.560f =--<，2(3)9log 360f =-->，根据函数零点存在性定理，可得()f x 的其中一个零点的初始区间可为()2.5,3. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：判断零点所在区间的一般方法：先根据题中条件，判断函数在所给区间是连续函数，再由零点存在性定理，即可得出结果.24．（2021·山东高三专题练习）已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一的零点，则a 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．13D ．13-【答案】B 【分析】分析出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，可得出()10f =，由此可解得实数a 的值. 【详解】()()()21111x x f x x a e e --+=-++-，所以，()()()()()()()22212111221111x x x x f x x a ee x a e ef x --+---+--=--++-=-++-=，所以，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，若()10f ≠，则函数()f x 的零点必成对出现，即函数()f x 的零点个数为偶数，不合乎题意. 由于函数()f x 有唯一零点，则()1210f a =-=，解得12a =. 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题利用函数有唯一零点求参数值，解题的关键在于分析出函数的单调性，通过分析出函数()f x 的零点成对出现而得出()10f =，从而求解，在解题时要注意对函数的基本性质进行分析，从而找到问题的突破点.25．（2020·全国高三专题练习）已知函数11,1()3ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则当函数()()F x f x ax =-恰有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是______． 【答案】11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由题方程()f x ax =恰有两个不同的实数根，得()y f x =与y ax =有2个交点，利用数形结合得a 的不等式求解即可 【详解】由题可知方程()f x ax =恰有两个不同的实数根，所以()y f x =与y ax =有2个交点， 因为a 表示直线y ax =的斜率，当1x >时，1()f x x'=，设切点坐标为00,x y ，01k x =， 所以切线方程为()0001y y x x x -=-，而切线过原点，所以01y =，0x e =，1k e=， 所以直线1l 的斜率为1e ，直线2l 与113y x =+平行，所以直线2l 的斜率为13， 所以实数a 的取值范围是11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题26．（2021·苏州市第三中学校高一开学考试）若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.【答案】02b << 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么27．（2021·浙江宁波市·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数,若方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根，则1234____.x x x x +++=【答案】8- 【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可. 【详解】解：定义在R 上的奇函数()f x ，所以()()f x f x -=-，(0)0f =，又(4)()f x f x -=-，所以()()(4)8f x f x f x =--=-，8是函数()f x 的一个周期，所以()(4)()4f x f x f x -=-=+，所以2x =-是函数的一条对称轴，函数的对称轴是()42x k k Z =-∈，根据以上性质画出函数的大致图像:有图像知，12344,12x x x x +=+=-，所以12348x x x x +++=-，故答案为：8-【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.28．（2021·全国高三专题练习）已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是_____. 【答案】1(0,)2【详解】 作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈．【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．29．（2019·江苏高三专题练习）已知函数()(),0,1,0,x xe x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()1g x k x =+，若方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】11,2e e ⎛⎤--⎥⎝⎦【分析】先利用导数刻画0x ≤时()f x 的图像，再画出当0x >时()f x 的图像，考虑函数()()1g x k x =+的图像（动直线）与()f x 图像有两个交点，从而得到实数k 的取值范围.【详解】当0x <时，()()1x f x x e '=+， 当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>，又当0x >时，()()1f x f x =-，所以根据周期为1可得0x >时()f x 的图像，故()f x 的图像如图所示：函数()()1g x k x =+的图像恒过()1,0-，因为()f x 与()g x 的图像有两个不同的交点，故AB BC k k k <≤， 又10,A e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故1AB k e =-，12AB k e=-， 所以112k e e -<≤-，填11,2e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【点睛】方程的解的个数可以转化为两个函数图像的交点个数去讨论，两个函数最好一个不含参数，另一个为含参数的常见函数（最好是一次函数），刻画不含参数的函数图像需要用导数等工具刻画其单调性、极值等，还需要利用函数的奇偶性、周期性等把图像归结为局部图像的平移或翻折等.30．（2020·华东师范大学附属天山学校）若直角坐标系内A B 、两点满足：（1）点A B 、都在()f x 的图像上；（2）点A B 、关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对”，点对(,)A B 与(,)B A 可看作一个“姊妹点对”.已知函数22(0)(){2(0)x x x x f x x e+<=≥，则()f x 的“姊妹点对”有__________个． 【答案】2【解析】根据题意，作出函数()220y x x x =+< 的图象关于原点对称的图象，以及函数()20xy x e =≥的图像，如下图，观察图象可得：它们的交点个数是2个；即()f x 的“姊妹点对”有2个．点睛：根据题意：“姊妹点”，可知，欲求()f x 的“姊妹点”，只须作出函数()220y x x x =+<的图象关于原点对称的图象，看它与函数()20xy x e =≥交点个数即可．。

2.6函数与方程及函数的综合应用基础篇考点一函数的零点1.(2023届皖优联盟阶段测试一,4)函数f(x)=x-1-4x+4存在零点的一个区间是()A.0,B.1C. D.2答案C2.(2021吉林延边期末,4)某同学用二分法求方程2x+5x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中,设f(x)=2x+5x-8,且计算f(1)<0,f(2)>0,f(1.5)>0,则该同学下次应计算的函数值为() A.f(0.5) B.f(1.125)C.f(1.25)D.f(1.75)答案C3.(2022哈尔滨呼兰一中检测(二),5)函数f(x)=log2x()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案C4.(2021江西八所重点中学4月联考,6)定义在R上的函数y=f(x)满足f(6-x)=f(x),(x-3)f'(x)>0(x≠3),若f(0)·f(1)<0,则函数f(x)在区间(5,6)内() A.没有零点 B.有且仅有1个零点C.至少有2个零点D.可能有无数个零点答案B5.(2018课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=e,≤0,lns>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a 的取值范围是() A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)答案C6.(2021合肥质监(一),8)设函数f(x)=log2,>0,−s≤0.当∈−4,,方程f(x+1)=k 有唯一解,则实数k的取值范围为() A.(0,3) B.[1,3)C.(0,2)D.[1,2)答案B考点二函数模型及其应用1.(2020课标Ⅲ,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=1+e−0.23(K53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln19≈3)() A.60 B.63 C.66 D.69答案C2.(2022北京,7,4分)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是()A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态答案D3.(2019课标Ⅱ,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:1(rp2+22=(R+r)13.设α=.由于α的值很小,因此在近似计算中33+34+5(1+p2≈3α3,则r的近似值为()D.答案D4.(2022吉林白山模拟,8)有这样一种说法:一张矩形纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离,但实际上,因为纸张本身有厚度,我们并不能将纸张无限次对折,当厚度超过纸张的长边长时,便不能继续对折了.将一张长边为a,厚度为x的矩形纸沿两个方向不断对折,经过两次对折,长边变为12a,厚度变为4x.在理想情况下,对折次数n满足关系:n≤log.根据以上信息,一张长为40cm,厚度为0.01mm的矩形纸经过对折后的厚度的最大值约为(lg2≈0.3)() A.1.28cm B.2.56cmC.12.8cmD.25.6cm答案B5.(2023届河南名校联考,6)二叉树是计算机中数据结构的一种,是树形结构的一个重要类型,许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式,形式如图,其中节点是包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息,树中所有节点层次的最大值称为树的高度,经实验验证,节点数与树的高度呈指数关系,二叉树的高度h与节点数x的关系为x=eℎ+4.13.6,若经测算,一个二叉树的节点大约有800个,则二叉树的高度约为(ln2≈0.7,ln5≈1.6,结果保留整数)A.14B.16C.18D.20答案D6.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-op−op K的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.答案①②③综合篇考法一判断函数零点所在区间和零点的个数1.(2022四川攀枝花统考一,7)方程f(x)=f'(x)的实数根叫做函数f(x)的“新驻点”.如果函数g(x)=ln x+2的“新驻点”为a,那么a的取值范围是()A.0,B.1C. D.2答案B2.(2022兰州西北师大附中期中,12)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)-1,则在区间(-2,6)上关于x的方程f(x)-log8(x+2)=0的解的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1答案B3.(2021东北三省四市教研联合体二模,11)若函数f(x)1|,<2,≥2,则函数g(x)=f(f(x))-2的零点个数为() A.3 B.4 C.5 D.6答案B4.(2023届赣南五校期中,14)函数f(x)=e x-x-6的零点所在区间为(n,n+1)(n∈N),则n=.答案25.(2021北京,15,5分)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:①当k=0时,f(x)恰有2个零点;②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.其中所有正确结论的序号是.答案①②④考法二已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围)1.(2017课标Ⅲ,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-12B.13C.12D.1答案C2.(2020天津,9,5分)已知函数f(x)=3,≥0,−s<0.若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是()A.−∞,−(22,+∞)B.−∞,−(0,22)C.(-∞,0)∪(0,22)D.(-∞,0)∪(22,+∞)答案D3.(2023届皖优联盟阶段测试一,11)已知函数f(x)3(+1)|,−1<<8,2−10+50,≥8,若函数g(x)=f(x)-a恰好有4个不同的零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则11+12+x3x4的取值范围是() A.(97,101) B.(95,99)C.[97,101)D.[95,99)答案B4.(2019浙江,9,4分)设a,b∈R,函数f(x)<0,3−12(+1)2+B,≥0.若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则() A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>0答案C5.(2022安徽滁州二模,12)已知函数f(x)=ln2,关于x的不等式1-op>0的解集中有且只有一个整数,则实数a的范围是()ln2 B.ln2 D.答案B6.(2023届四川绵阳诊断一,16)已知函数f(x)=2−2−3,≥s−2,<s若存在实数m,使得关于x的方程f(x)=m恰有三个不同的实数根,则a的取值范围是.答案(-2,1)7.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)=−4,≥s2−4+3,<u当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.答案(1,4);(1,3]∪(4,+∞)8.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=1−(−1)2,g(x)=o+2),0<≤1,−12,1<≤2,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.答案专题综合检测一、选择题1.(2023届安徽安庆怀宁二中月考,2)下列命题中,错误的命题有()A.函数f(x)=x与g(x)=()2不是同一个函数B.命题“∃x0∈[0,1],02+x0≥1”的否定为“∀x∈[0,1],x2+x<1”C.设函数f(x)=2+2,<0,2,≥0,则f(x)在R上单调递增D.设x,y∈R,则“x<y”是“(x-y)·y2<0”的必要不充分条件答案C2.(2022湖北襄阳五中10月月考,2)已知函数y=f(x)的定义域为(-1,1),则函数F(x)=f(|2x-1|)的定义域为() A.(-∞,1) B.(-1,1)C.(0,+∞)D.[0,1)答案A3.(2021陕西宝鸡一模,4)很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”“64片金片在三根金针上移动的寓言”)都涉及264这个数.请你估算264大致所在的范围是() (参考数据:lg2=0.30,lg3=0.48)A.(1012,1013)B.(1019,1020)C.(1020,1021)D.(1030,1031)答案B4.(2015课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)=1+log2(2−p,<1,2K1,≥1,则f(-2)+f(log212)=() A.3 B.6C.9D.12答案C5.(2022昆明第一中学检测,4)给出下列三个条件:①函数是奇函数;②函数的值域为R;③函数图象经过第一象限.则下列函数中满足上述三个条件的是()A.f(x)=14B.f(x)=x+1C.f(x)=sin xD.f(x)=2x-2-x答案D6.(2022安徽江南十校一模,3)已知函数f(x)=2|x|,a=f(log0.53),b=f(log45),c=f则()A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b答案B7.(2021全国Ⅰ卷地区联考,6)函数f(x)=4r2+12的图象关于()A.点(-2,0)对称B.直线x=-2对称C.点(2,0)对称D.直线x=2对称答案B8.(2023届内蒙古赤峰二中月考,7)已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,且当x<0时, f(x)=x++1.若函数y=f(x)在[1,+∞)上的最小值为3,则实数a的值为() A.1 B.2 C.3 D.4答案D9.(2019课标Ⅲ,7,5分)函数y=232+2−在[-6,6]的图象大致为()答案B10.(2022湖南名校10月联考,7)已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x2+2x+6,则()A.f(x)的最小值为2B.∃x ∈R ,22+4r3op >2C.f (x )的最大值为2D.∀x ∈R ,22+4r5op>2答案D11.(2016课标Ⅱ,12,5分)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x ),若函数y =r1与y =f (x )图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑=mi 1(x i +y i )=()A.0B.mC.2mD.4m答案B12.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f (x )的定义域为R ,且f (x +y )+f (x -y )=f (x )f (y ),f (1)=1,则∑=221k f (k )=()A.-3B.-2C.0D.1答案A13.(2022全国乙,12,5分)已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R ,且f (x )+g (2-x )=5,g (x )-f (x -4)=7.若y =g (x )的图象关于直线x =2对称,g (2)=4,则∑=221k ∑=221k f (k )=()A.-21B.-22C.-23D.-24答案D 二、填空题14.(2023届甘肃武威凉州诊断二,14)[(-2)2]12++4log 22+log 24=.答案1215.(2015山东,14,5分)已知函数f (x )=a x +b (a >0,且a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a +b =.答案-3216.(2023届山西临汾期中,14)函数y=f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=f(2-x),f(-x2)=-f(x2+2),当x∈[0,4)时,f(x)=sin则=.答案1217.(2016山东,15,5分)已知函数f(x),≤s2−2B+4s>s其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)18.(2022北京,14,5分)设函数f(x)=−B+1,<s(−2)2,≥u若f(x)存在最小值,则a的一个取值为;a的最大值为.答案12([0,1]中任意一个实数都可以,答案不唯一);119.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函数f(x)=+4−+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是.答案−∞,三、解答题20.(2023届甘肃武威凉州诊断二,22)新冠肺炎疫情发生以后,口罩供不应求,某口罩厂日夜加班生产,为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元,每生产x万箱,需另投入成本p(x)万元,当产量不足60万箱时,p(x)=12x2+50x;当产量不小于60万箱时,p(x)=101x+6400-1860,若每箱口罩售价100元,通过市场分析,该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式;(2)当产量为多少万箱时,该口罩生产厂在生产中所获得利润最大?解析(1)当0<x<60时,y=100x2+50−400=−12x2+50x-400.当x≥60时,y=100x-101+6400−1860−400=1460−+所以y=−122+50<<60,1460−+,≥60.(2)当0<x<60时,y=-12y+50−400=−12(x-50)2+850,当x=50时,y取得最大值,最大值为850万元.当x≥60时,y=1460-≤1460−300,当且仅当x=6400,即x=80时,y 取得最大值,最大值为1300万元.综上,当产量为80万箱时,该口罩生产厂在生产中获得利润最大,最大利润为1300万元.21.(2023届河南部分重点中学测试,21)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=log2(2x+1)-kx,g(x)=f(x)+2x.(1)求f(x)的解析式;(2)若不等式g(4x-a·2x+1)>g(-15)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设h(x)=x2-2mx+5,若存在x1∈[0,2],对任意的x2∈[1,4],都有g(x1)≤h(x2),求实数m的取值范围.解析(1)由f(x)是定义在R上的偶函数可知log2(2-x+1)+kx-log2(2x+1)+kx=0,即-2kx=log22−+12+1=-x,所以k=12,故f(x)=log2(2x+1)-12x.(2)由(1)知,g(x)=f(x)+2x=log2(2x+1)+32x,易知g(x)在R上单调递增,所以不等式g(4x-a·2x+1)>g(-15)恒成立等价于4x-a·2x+1>-15,即a<4+162恒成立.又4+162=2+162≥8,当且仅当x=2时,等号成立,所以a<8,即实数a的取值范围是(-∞,8).(3)因为存在x1∈[0,2],对任意的x2∈[1,4],都有g(x1)≤h(x2),所以g(x)在[0,2]上的最小值不大于h(x)在[1,4]上的最小值.因为g(x)=log2(2x+1)+32x在[0,2]上单调递增,所以当x∈[0,2]时,g(x)min=g(0)=1.函数h(x)=x2-2mx+5图象的对称轴为直线x=m,x∈[1,4].当m≤1时,h(x)在[1,4]上单调递增,h(x)min=h(1)=6-2m≥1,解得m≤52,所以m≤1;当1<m<4时,h(x)在[1,m)上单调递减,在[m,4]上单调递增,h(x)min=h(m)=5-m2≥1,解得1<m≤2;当m≥4时,h(x)在[1,4]上单调递减,h(x)min=h(4)=21-8m≥1,解得m≤52.所以m∈⌀.综上,实数m的取值范围是(-∞,2].。

1981年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编2、函数与方程部分2018A 5、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足1)(=πf ，2)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2)(121x f x 的解集为 ◆答案：[]ππ28,2--★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]1,0上严格递减知，)(x f 在[]0,1-上递增，结合周期性知，)(x f 在[]2,1上递增，又1)()2(==-ππf f ，2)2()2()28(==-=-πππf f f ， 所以不等式等价于)28()()2(ππ-≤≤-f x f f ，又22821<-<-<ππ 所以ππ282-<<-x ，即不等式的解集为[]ππ28,2--2018A ，B 9、（本题满分16分）已知定义在+R 上的函数)(x f 为⎩⎨⎧--=x x x f 41log )(39,90,>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足)()()(c f b f a f ==，求abc 的取值范围。

★解析：不妨设c b a <<，由于)(x f 在(]3,0上递减，在[]9,3上递增，在[)+∞,9上递减，且0)3(=f ，1)9(=f ，结合图像知：()3,0∈a ，()9,3∈b ，()+∞∈,9c ，且()1,0)()()(∈==c f b f a f 。

由)()(b f a f =得2log log 33=+b a ，即9=ab ，此时c abc 9=，又c c f -=4)(，由140<-<c 得()16,9∈c ，所以()144,819∈=c abc 。

2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为[]ππ--4,62.2017A1、设)(x f 是定义在R 上函数，对任意的实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f ，又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为 ◆答案： 21-★解析：由条件知，1)()7(-=+x f x f ，即1)14()7(-=++x f x f ，故)14()(+=x f x f ，即函数)(x f 的周期为14，所以21)5(1)2()100(-=-=-=-f f f2017B 3、设)(x f 是定义在R 上的函数，若2)(x x f +是奇函数，xx f 2)(+是偶函数，则)1(f 的值为 ◆答案：74-★解析：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7(1)4f =-.2016A 3、正实数u ，v ，w 均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则v w log 的值为 ◆答案：54★解析：令a v u =log ，b w v =log ，则a u v 1log =，bv w 1log =，ab a w v v vw v u u u +=•+=log log log log 条件化为5=++b ab a ，311=+b a ，由此可得45=ab ，因此54log log log ==•=u v u v w w ．2016A 10、（本题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0<x ，均有)()1(x xf x x f =-。

29.0(,)11cos ,sin (,)(cos ,sin ),cos sin ;sin cos .sin cos ;s xx yy rr r r x y x y x r y laplace u u r u u u r rx r y r u x y u r r u u u u r u r u u u u ru θθθθθθθθθθθθθθθ+=++==⎧⎨=⎩∴==+⎧⎪⎨=−+⎪⎩=−⇒=∵ 证明方程在极坐标下为 证明： sin cos ;cos cos in .sin .sin ()cos ()sin sin cos cos r xx x r r u u r y r r u u u x x r r x u u r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎧∂∂∂⎛⎞⎧=−⎜⎟⎪⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪⇒⎨⎨∂∂∂⎛⎞⎪⎪+=+⎜⎟⎪⎪⎩∂∂∂⎝⎠⎩∂∂∂∂∂⎛⎞==−⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂∂∂⎛⎞⎛=−−⎜⎟⎜∂∂∂∂⎝⎠⎝ 从而2222222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin .cos ()sin ()sin yy u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u y y r r y θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎞⎟⎠∂∂∂∂=+−+∂∂∂∂∂∂∂∂−++∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞==+⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠= 2222222222222cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos .1u u r r r r u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u u θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂∂=−++∂∂∂∂∂∂∂∂+−+∂∂∂∂+=+ 所以 10.u +=习题二21.(01,0),(0,)(1,)0,1,0.(2)2(,0)11,1,2(,0)(1);tt xx tu a u x t u t u t x x u x x x u x x x ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎧⎪<≤⎪⎨⎪=⎨⎪⎪⎪−<<⎪⎩⎪⎪=−⎩求下列问题的解22(,)()().()()0,()()0.(0)(1)0.()()0,(0)(1)0.(),()si n n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X X x X x X X n X x B λλλλπ=′′+=′′+===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 111212202n (1,2,).()cos sin (1,2,).(,)(cos sin )sin .42sin (1)sin sin .2n n n n n n n n x n T t C an t D an t n u x t a an t b an t n x n a x n xdx x n xdx n ππππππππππ∞===+==+⎡⎤=+−=⎢⎥⎣⎦∑∫∫ 代入另一常微分方程，得则其中 ()()14402244124(1)sin 11.44(,)(sin cos 11sin )sin .2nn nn b x x n xdx an n a n u x t an t an t n x n n a πππππππππ∞=⎡⎤=−=−−⎣⎦⎡⎤=+−−⎣⎦∫∑ 因此，所求定解问题的解为2(0,0),(0,)(,)0,(3)35(,0)3sin6sin ,22(,0)0.tt xx x t u a u x l t u t u l t x xu x l l u x ππ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎪⎩ ()22(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.21(),(2n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X l X x X x X X l n X l λλλπλ=′′+=′′+=′==′′+=⎧⎨′==⎩+=解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， ()()()()()()121)sin (0,1,2,).22121()cossin (0,1,2,).22212121(,)(cossin )sin .222235(3sin6sin 22n n n n n n n n n x B x n la n a n T t C t D t n l la n a n n u x t a tb t x l l l x x a l l ππππππππ∞=+==++=+=+++=+=+∑ 代入另一常微分方程，得则 其中 ()03,1;21)sin 6,2;20,12.0.3355(,)3cos sin 6cos sin .2222l n n n xdx n l l n b a a u x t t x t x l l l lπππππ=⎧+⎪==⎨⎪≠⎩==+∫、 因此，所求定解问题的解为3.4(0,0),(2)(0,)0,(,)0,(,0)().t xx x x u u x l t u t u l t u x x l x =<<>⎧⎪==⎨⎪=−⎩求下列定解问题的解：2(,)()().()4()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()n n u x t X x T t T t T t X x X x X X l X x X x X X l n X x A lλλλπλ=′+=′′+=′′==′′+=⎧⎨′′==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 222()2()012000cos (0,1,2,).()(0,1,2,).1(,)cos .222().62()cos n n t ln n n t ln n l l n n x n l T t D e n n u x t a a e x l l a x l x dx l n a x l x xd l l πππππ−∞−=====+=−==−∑∫∫ 代入另一常微分方程，得则 其中 2222222()2212[1(1)].2[1(1)](,)cos .6n n n t ln l x n l l n u x t e x n lππππ∞−=−−+−=−−+−=+∑ 因此，所求定解问题的解为2110(01),,0,(1,)0,.,.rr r u u u r r r A u A θθθαθαθπα⎧++=<<⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩⎩其中为已知常数22(,)()().()()()0,()()0.()()0,()(2).(),()cos sin n n n n u r R r r R r rR r R r n X x A n B n θθλθλθθλθθθπλθθ=Φ′′′+−=′′Φ+Φ=′′Φ+Φ=⎧⎨Φ=Φ+⎩==+解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得求解固有值问题得，()2010(0,1,2,).()()()0,(0).()(0,1,2,).1(,)cos sin .212n n n n n n n n n r R r rR r R r R R r C r n u r a a n b n r Aa Ad a ααλθθθαθππ∞=−=′′′⎧+−=⎨<+∞⎩===++==∑∫ 代入另一常微分方程的定解问题得， 则 其中 112cos sin ,1sin 0.2(,)sin cos .n nn AA n d n n b A n d A A u x t r n n n ααααθθαππθθπααθππ−−∞======+∫∫∑ 因此，所求定解问题的解为0(0,0),(0,)0,(,)0(0),(,0)(1),lim (,)0(0),.xx yy y u u x l y u y u l y y x u x A u x y x l l A →∞⎧+=<<<<∞⎪⎪==≤<∞⎨⎪⎪=−=<<⎩其中为已知常数 2(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()sin n n n u x y X x Y y X x X x Y y Y y X X l X x X x X X l n X x B lλλλπλ=′′+=′′−===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 10(1,2,).()(1,2,).(,)sin.22()sin .lim (,)0n n y y lln n n n n y y l ln n n l n n y n x n l Y y C e D e n n u x y a e b e x l x n A a b A l xdx l l l n u x y a ππππππππ−∞−=→∞==+=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠+=−==⇒∑∫ 代入另一常微分方程，得则 其中 10.2(,)sin .n n y l n A n u x t e x n l πππ∞−===∑因此，所求定解问题的解为()22228.-10.cos ,sin ,111(0),0.{cos sin }.,()xx yy x y a rr r r an a u u u x r y r u u u r a r r u A n B n u r a r θθθθθθθ+==+====⎧++=−<<⎪⎨⎪=⎩+= 在以原点为心,为半径的圆内,试求泊松方程 的解,使它满足边界条件解：令作极坐标变换,得由固有函数法,相应的固有函数系为 因此,设方程的解为[]()()()()()()()0002222cos ()sin .11,110,0210,323()0()n n n n n n n n n nn n nn n n n b r n a a r n a a a n r r nb b b r r a r A r B r n b r C r D θθ∞=−+⎧′′′+=−⎪⎪⎪′′′+−=≠⎨⎪⎪′′′+−=⎪⎩=+≠=+∑ 代入方程,得方程，的通解：， ()()2000(0),()0;(0),()0.()00()0.11()ln ,4(0),()n n n n n n n n r a a a b b a a r n b r a r A r B r a a a −<+∞=<+∞==≠==+−<+∞=. 由有界性条件及边界条件，得 ， 方程的通解: 由有界性条件及边界条件，()()()()()220222220.1().41,.41,.a r a r u r a r u x y a x y θ=−=−⎡⎤=−+ 得 则定解问题的解为 化成直角坐标，则得21210.sin ,(2)(0,)0,(,)0(0),(,0)0,(,0)0(0);{sin }.(,)()sin .tt xx tn n n u a u t x l u t u l t t u x u x x l n x ln u x t u t x l n a u u l ππππ∞=⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪==≤≤⎪⎩=⎛⎞′′+⎜⎟⎝⎠∑求下列问题的解：解：由固有函数法,相应的固有函数系为 设方程的解为 代入原方程,得()2111020(1),.(0)(0)0(1,2,),1()0;1()sin sin .n n n n t n a u u t l u u n n u t l an u t t d al l l a t t a a l ππτττππππ=≠⎛⎞′′+=⎜⎟⎝⎠′===≠===−⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫"" 由初始条件,得当时， 当时， 2(,)sin sin l l a u x t t t x a a l l ππππ⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ 故所求的解为2110(0,0),(3)(0,)0,(,)0,(,0)0.,{sin}.(,)()sin .sin 22sin [1(t xx n n n n l n u a u A x l t u t u l t u x n x ln u x t u t x l n A A A x l n A A A xdx l l n πππππ∞=∞=⎧=+<<>⎪==⎨⎪=⎩====−∑∑∫ 解：由固有函数法相应的固有函数系为 设方程的解为 并将展为： ，其中 222()023321)].2[1(1)],(0)0.2()[1(1)]2[1(1)][1].(,n n n n n n a t tn l n n a t n ln a A u u l n u Au t e d n Al e n au x πτπππτππ⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠−⎧⎛⎞′+=−−⎪⎜⎟⎨⎝⎠⎪=⎩=−−=−−−∫ 代入原方程可得得: 故所求的解为2233212)[1(1)][1]sin .n a tnl n Al n t e x n alπππ⎛⎞∞−⎜⎟⎝⎠==−−−∑()2211.224sin cos ,(2)(0,)0,(,)(0),(,0),(,0)()(0).(,)(,)().224sin cos ,(0,)(0ttxx t ttxx u a u x x l lu t u l t B t Bu x x u x x l x x l l u x t v x t w x v a v w x x l lv t w ππππ⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪⎪==−≤≤⎩=+′′=+++求下列问题的解解：设问题的解为 将其代入上面的定解问题，得22222)0,(,)(),(,0)(),(,0)().224sincos 0,(0)0().4()sin.8(0,)0,(,)0,(,0)t tt xx v l t w l B Bv x w x x v x x l x l a w x x l lw w l B B l w t x x l a l v a v v t v l t v x ππππ⎧⎪⎪=+=⎨⎪⎪+==−⎩⎧′′+=⎪⎨⎪==⎩=+==== 化成下面两个问题：(1) ， 解得： (2) 12222022340(),(,0)().(,)cos sin sin .0,4;24sin sin 8, 4.824()sin t n n n l n l n Bx w x v x x l x l n a n a n v x t a t b t x l l l n l n a x xdx l l a l l n an l b x l x xdx n a l n ππππππππππ∞=⎧⎪⎪⎨⎪⎪−=−⎩⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠≠⎧⎪=−⋅=⎨−=⎪⎩=−⋅=∑∫∫ 解得： 其中， ()()43222441222[11].4[11]44(,)cos sin sin sin .844(,)(,)()1cossin 8nn n al l a n a n v x t t x t x a l l n a l l B l a u x t v x t w x x t x l a l l πππππππππ∞=−−−−=−+⎛⎞=+=+−⎜⎟⎝⎠∑ 则 因此，原问题的解为14..0,(2)(-)(),(-)().0().:0X X X X X X X x Be Ae Be A B λππππλ′′+=⎧⎨′′==⎩<=++=+−=−==⇒求下列问题的固有值与固有函数解：当时，方程的通解为 由边界条件，有， ； 得0()0.0().-0.:().0().sin ,X x X x Ax B A B A B A X x C X x A B A B A Bλππλ===++=+⇒==>=+−=++=− 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得当时，方程的通解为 由边界条件，有22sin ;()0sin 0(1,2,);()cos sin .(0,1,2,),()cos sin .n n n n n n n n X x n n X x A nx B nx n n X x A nx B nx λλ+====+===+"""" 要不恒等于，则，得故，固有值 固有函数222()()0,(3)(1)()0.ln ,()0.0()00:x y x xy x y y y e x e x d y y d y x Be Bx A B Be τλτλττλ′′′⎧++=⎨==⎩==+=<=+=++=+=解：方程通过自变量代换 或 得: 当时，方程的通解为 由边界条件，有 ， ； 得))0()0.0()ln .0,0.:()0.0()cos ln sin ln .0,A B y x y x A B A x B B A y x y x A B A x B x A λτλ==⇒===+=+===>=+=+= 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得当时，方程的通解为 由边界条件，有()()2220;()00(1,2,);()sin ln .(1,2,),()sin ln .n n n n n n B y x n n y x B n x n n y x B n x λππλπ========"""" 要不恒等于，则，得 故，固有值 固有函数。

数理分析试题及答案高中一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：函数f(x)=x^2-4x+3可以写成(x-1)(x-3)的形式，因此零点为x=1和x=3，共两个。

2. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值（）。

A. 3x^2-3B. 3x^2-6x+1C. 3x^2-3x+1D. 3x^2+3x+1答案：A解析：对f(x)求导得到f'(x)=3x^2-3。

3. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为（）。

A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：B解析：sin(x)和cos(x)的周期都是2π，因此f(x)的周期也是2π。

4. 已知函数f(x)=e^x-x-1，求f'(x)的值（）。

A. e^x-1B. e^x+1D. e^x-x-1答案：A解析：对f(x)求导得到f'(x)=e^x-1。

5. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调递增区间为（）。

A. (-∞, 1)B. (1, 2)C. (2, +∞)D. (-∞, 2)答案：C解析：对f(x)求导得到f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)>0，解得x>2或x<1，因此单调递增区间为(2, +∞)。

6. 已知函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的值（）。

B. xC. ln(x)D. 1答案：A解析：对f(x)求导得到f'(x)=1/x。

7. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点个数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B解析：对f(x)求导得到f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2，因此极值点个数为1。

8. 函数f(x)=x^3-3x的单调递减区间为（）。

A. (-∞, 0)B. (0, 1)C. (1, +∞)D. (-∞, 1)答案：B解析：对f(x)求导得到f'(x)=3x^2-3，令f'(x)<0，解得0<x<1，因此单调递减区间为(0, 1)。