数理方程与特殊函数试卷 3套

高中数学必修一 3.1函数与方程练习题及答案2/1、x2 5 2 _X/y x ,y(一) ,y 4x , y x 1,y (x 1) , y x, y a (a 1)1 .若2上述函数是募函数的个数是 ()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2,已知f (刈唯一的零点在区间(1,3)、。

⑷、。

⑸内, 那么下面命题错误的 () A,函数 f(x)在(1,2)或 2,3 内有零点 B,函数f(x)在(3,5)内无零点 C,函数 f(x)在(2,5) 内有零点 D,函数f(x)在(2, 4)内不一定有零点 10g l a In 2 log 1a1,2，则logab 与的关系是（log a b log 1 aB. 234,求函数f(x) 2x 3x 1零点的个数为 A. 1 B, 2 C, 3 D , 4 5,已知函数yf(x)有反函数，则方程f(x)0 ()A,有且仅有一个根 B, 至多有一个根 C,至少有一个根D,以上结论都不对26 .如果二次函数y x mx (m 3)有两个不同的零点，则 m 的取值范围是()A. 2,6 B, 2,6 C, 2,6 D, ，2 U 6，7 .某林场计划第一年造林 10000亩，以后每年比前一年多造林 20%,则第四年造林()8,若函数f x 既是哥函数又是反比例函数 ，则这个函数是f x= 9.募函数f(x)的图象过点(3河),则f (x)的解析式是3,若 a °,b O，ablog a b log 1 a A . 2log a b C.log ^ a2log a bD.log 2 aA. 14400亩 B , 172800亩 C17280亩 D , 20736亩10.用上分法”求方程x3 2x 5 0在区间［2,3］内的实根，取区间中点为x0 2.5，那么下一个有根的区间是11. 函数f(x) 1nxx 2的零点个数为12.设函数y f(x)的图象在a,b上连续，若满足,方程f (x)a,b上有实根.13. f(x) x用定义证明：函数1,上是增函数.14. 设x1与x2分别是实系数方程 2 .ax bx20和ax bx c 0的一个根,X1 x2,x1 0,x2 0a 2x,求证：方程2bx c 0有仅有一根介于x1和x215.函数f (x)x22ax 1 a在区间0,1上有最大值2,求实数a的值.16. 某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少?17.函数y x3A.是奇函数, 且在R上是单调增函数B.是奇函数,且在R上是单调减函数C.是偶函数, 且在R上是单调增函数D.是偶函数,且在R上是单调减函数18.已知log203b 2.1,c O?：则a,b,c 的大小关系是(A. a b cB. cC. a c bD. b19.函数f(x) x53的实数解落在的区间是()A. [0,1]B.[1,2]C. [2,3]D.[3,4]1 f ( x) 20.函数f(x)对一切实数x 都满足 21f(二 x)2,并且方程f(x) 0有三个实根，则这三个实根的和为22. 一个高中研究性学习小组对本地区 2000年至2002年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图)A.递减函数C.先递减再递增D.选递增再递减.x+ 2在(一8, 4)上是增函数，则a 的范围是(A. a>5B. a>3供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒.xlog 2 x23.已知2x 256且2,xf (x) log 2- log .2求函数 22的最大值和最小值.224.函数y==x —6x+ 10在区间(2, 4)上是( )26. 27. 28. 29. 函数y= x+1的单调区间为 函数f (x) = 2x2 - 3 | x |的单调减区间是 确定函数y=x+ x(x>o)的单调区间，并用定义证明. 快艇和轮船分别从A 地和。

数理方程与特殊函数试题（行波法与付氏变换）（2008-10-27）一、（15分）求解初值问题：⎩⎨⎧==>∞<<-∞+===x t t t xx tt xeu x u t x x u u 00|,sin |)0,(sin 解：令 u (x ，t ) = v (x ，t ) + w (x )，……………………………………………………（2分） 代入原方程，得v tt = [v xx + w xx ] + sin x ………………………………（2分）所以取 w (x ) = sin x ，……………………………………………………………………（2分） 得v (x ，t )满足的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧===x t xx tt xex v x v v v )0,(0)0,(…………………………………………（2分） 由达朗贝尔公式，得⎰+--+-++---+==t x t x t x t x t x t x e e e t x e t x d e t x v ])()[(2121),(ξξξ…………（3分） ])1()1[(21t x t x e t x e t x -++---+=………………（2分） 所以u (x ，t ) = v (x ，t ) + w (x )x e t x e t x t x t x sin ])1()1[(21++---+=-+……（2分）二、（15分）求解半无界弦定解问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===>∞<<====0sin ,cos )0,0(0002x x t t t xx tt u x u x u t x u a u 解：对初始条件中函数做偶延拓⎩⎨⎧<≥=0,cos 0,cos )(x x x x x ϕ…………………………………………（2分） ⎩⎨⎧<-≥=0,sin 0,sin )(x x x x x ψ………………………………………（2分） 应用达朗贝尔公式，当x >0，且 x > at 时，有⎰+-+-++=at x at x d aat x at x t x u ξξsin 21)]cos()[cos(21),(………………（2分） )]cos()[cos(21cos cos at x at x aat x --+-+=………………（2分）at x aat x sin sin 1cos cos -=……………………………………（1分） 当x >0，且 x < at 时，有 ⎰⎰+--+-++=at x at x d d a at x at x t x u 00sin sin [21)]cos()[cos(21),(ξξξξ……（4分） )]cos(11)[cos(21cos cos at x at x aat x -+--+-+=………………（2分） )cos cos 1(1cos cos at x a at x -+=……………………………………（2分）三、（15分）记)]([)(ˆx f F f=ω 1．证明)](ˆ)(ˆ[)]([ωωωf fx f x F '+-='； 2． 用付里叶变换方法求解方程0='-''y x y 。

数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案成都理工大学《数学物理方程》模拟试题一、填空题（3分?10=30分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（），说明边界上的约束情况的条件叫（），二者统称为（）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为（） . 4.边界条件 f u nuS=+??)(σ是第（）类边界条件，其中S 为边界.5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22222xu a t u ??=??的傅立叶变换为（） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有=)(0x J dxd（） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(31)(3202x P x P += （）. 8.计算积分=?-dx x P 2112)]([（） .9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） .二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1.<<=??===><22222,0x t u x x t x x u t u t t x u u u2.===><t u u u u t x x 2,0,00,40,04022 3.<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,162002022222x t u t x x u t u t t x x u u u三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）=??=>+∞<<-∞+??=??==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：=+=>>===,1,10,0,1002y x u y u y x y x u五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：)(1)()('0''02x J xx J x J -=六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足θ21cos ==r u，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:.0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(11222πθθπθθθθθ≤≤+=≤≤<<=+=r u r ur r u r r r(本题的u 只与θ,r 有关，与?无关)《数学物理方程》模拟试题参考答案一、填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件.2. )(2222222zu y u x u a t u ??+??+??=?? 3.01)(1222=??+θρρρρρu u . 4. 三.5.U a dt U d 2222ω-=. 6.)(1x J -. 7.2x . 8.52. 9.)1(212-x dxd . 10.2020)()(1ln y y x x u -+-=.二、试用分离变量法求以下定解问题1.解令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()(2''=+t T a t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)3()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22223πβλn ==为特征值，特征函数3sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到32sin 32cos )(;;t n D t n C t T n n n ππ+=，于是,3sin )32sin 32cos(),(1xn t n D t n C t x u n n n πππ+=∑∞=再由初始条件得到0,)1(183sin 332130=-==+?n n n D n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,3sin )32cos )1(18(),(11xn t n n t x u n n πππ+∞=-=∑2. 解令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()('=+t T t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)4()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22224πβλn ==为特征值，特征函数4sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到16;22)(t n n n e C t T π-=，于是,4s i n (),(16122x n eC t x u tn n n ππ-∞=∑=再由初始条件得到140)1(164sin 242+-==n n n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,4sin)1(16),(161122xn e n t x u t n n n πππ-+∞=-=∑3.解由于边界条件和自由项均与t 无关，令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。

数理方程期末试题-07-08-2-B-答案2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __一、 计算题（共80分,每题16分） 1． 求下列定解问题（15分）2222201200,0,0,|,|,|0,|0.x x l t t u ua A x l t t x u M u M u u t ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩2． 用积分变换法及性质,求解半无界弦的自由振动问题：（15分）2,0,0,(,0)0,(,0)0,(0,)(),lim (,)0.tt xx t x u a u x t u x u x u t t u x t φ→+∞⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪==⎩ 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =,弦的出示位移如下图所示。

初速度为零,又没有外力作用。

求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。

[ 解 ] 问题的定解条件是1(,)(cos sin )sin n a n a n n n l l l n u x t C t D t x πππ∞==+∑由初始条件可得0, 1,2,...n D n ==222202()sin d ()sin d =sin, 1,2,...c lh n h n n lc l l c l c hl n c lc l c n C x x x x l x x n ππππ--⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下,波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ,并由此求出波动方程的通解。

5． 用分离变量法解下列定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===><<+∂∂=∂∂====0|,0|0|,0|00sin sin 0002222222t t l x x l a l t uu u u t l x t x x u a t u ，，ππ [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数,不必推导；2) 利用参数变易法。

《数学物理方程》模拟试题一、填空题（3分⨯10=30分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u nuS=+∂∂)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边界.5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22222x u a t u ∂∂=∂∂的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有=)(0x J dxd（ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(31)(3202x P x P += （ ）. 8.计算积分=⎰-dx x P 2112)]([（ ） .9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） .二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<∂∂=∂∂====30,0,3,000,30,200322222,0x t u x x t x x u t u t t x u u u2.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===><<∂∂=∂∂===x t x x ut u u u u t x x 2,0,00,40,04022 3. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<+∂∂=∂∂====20,0,8,00,20,162002022222x t u t x x u t u t t x x u u u三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞+∂∂=∂∂==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>>=∂∂∂==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：)(1)()('0''02x J xx J x J -=六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:.0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(11222πθθπθθθθθ≤≤+=≤≤<<=∂∂∂∂+∂∂∂∂=r u r ur r u r r r(本题的u 只与θ,r 有关，与ϕ无关)《数学物理方程》模拟试题参考答案一、 填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件.2. )(2222222zu y u x u a t u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 3.01)(1222=∂∂+∂∂∂∂θρρρρρu u . 4. 三.5.U a dt U d 2222ω-=. 6.)(1x J -.7.2x .8.52.9.)1(212-x dxd . 10.2020)()(1lny y x x u -+-=.二、试用分离变量法求以下定解问题1.解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()(2''=+t T a t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)3()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22223πβλn ==为特征值，特征函数3sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到32sin32cos )(;;t n D t n C t T n n n ππ+=，于是,3sin )32sin 32cos (),(1xn t n D t n C t x u n n n πππ+=∑∞=再由初始条件得到0,)1(183sin 332130=-==+⎰n n n D n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,3sin )32cos )1(18(),(11xn t n n t x u n n πππ+∞=-=∑2. 解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()('=+t T t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)4()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22224πβλn ==为特征值，特征函数4sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到16;22)(t n n n eC t T π-=，于是,4sin(),(16122xn eC t x u t n n n ππ-∞=∑=再由初始条件得到140)1(164sin 242+-==⎰n n n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,4sin)1(16),(161122xn e n t x u t n n n πππ-+∞=-=∑3.解 由于边界条件和自由项均与t 无关，令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。

高三数学函数与方程试题答案及解析1.函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于函数在（0，+∞）上是连续函数，由于f（2）=ln2-＜0，f（3）=ln3-＞0，故f（2）f（3）＜0，故函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选Ｃ．【考点】函数零点的定义以及函数零点判定定理．2.已知函数，.若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】如图，由已知，函数，的图象有两个公共点，画图可知当直线介于，之间时，符合题意，故选B.【考点】1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.3.已知a＞0，且a≠1，则函数f(x)＝a x＋(x－1)2－2a的零点个数为( )A．1B．2C．3D．与a有关【答案】B【解析】设g(x)＝2a－a x，h(x)＝(x－1)2，注意到g(x)的图象恒过定点(1，a)，画出他们的图象无论a＞1还是0＜a＜1，g(x)与h(x)的图象都必定有两个公共点考点:零点的个数4.已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b、c∈R)．(1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b、c的值；(2)若f(x)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b的取值范围．【答案】（1）b＝0，c＝－1（2）<b<【解析】解：(1)依题意，x1＝－1，x2＝1是方程x2＋2bx＋c＝0的两个根．由韦达定理，得即所以b＝0，c＝－1．(2)由题知，f(1)＝1＋2b＋c＝0，所以c＝－1－2b．记g(x)＝f(x)＋x＋b＝x2＋(2b＋1)x＋b＋c＝x2＋(2b＋1)x－b－1，则，解得<b<，所以实数b的取值范围为<b<．5.已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(0,2)C．(1,2)D．(0,3)【答案】A【解析】设t＝f(x)，则方程为t2－at＝0，解得t＝0或t＝a，即f(x)＝0或f(x)＝a．如图，作出函数f(x)的图象，由函数图象，可知f(x)＝0的解有两个，故要使方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的解，则方程f(x)＝a的解必有三个，此时0<a<1．所以a的取值范围是(0,1)．6.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．【答案】[0,1)【解析】在坐标系内作出函数f(x)＝的图象，如图：发现当0≤m<1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有三个交点．即函数g(x)＝f(x)－m有三个零点．7.已知函数，集合，，记分别为集合中的元素个数，那么下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【答案】【解析】集合，均表示方程的解集，集合中元素的个数，就是方程解的个数.当时，有一解，无解，正确；当时，有一解，有一解，正确；当时，有两解，有两解，其不可能有三个解，正确，不正确.故选.【考点】1、新定义；2、集合的概念；3、函数与方程.8.已知0<a<1，k≠0，函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．【答案】0<k<1【解析】函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图像有两个交点．分k>0和k<0作出函数f(x)的图像．当0<k<1时，函数y＝f(x)与y＝k的图像有两个交点；当k＝1时，有一个交点；当k>1或k<0时，没有交点，故当0<k<1时满足题意．9.关于x的方程e x ln x＝1的实根个数是________．【答案】1【解析】由e x ln x＝1(x>0)得ln x＝(x>0)，即ln x＝x(x>0)．令y1＝ln x(x>0)，y2＝x(x>0)，在同一直角坐标系内绘出函数y1，y2的图像，图像如图所示．根据图像可知两函数只有一个交点，所以原方程实根的个数为1.10.（13分）（2011•湖北）设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．（Ⅰ）求a、b的值，并写出切线l的方程；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）x﹣y﹣2=0（Ⅱ）（﹣，0）【解析】（I）利用曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．即为关于a、b的方程，解方程即可．（II）把方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根转化为x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．求出实数m的取值范围以及x1，x2与实数m的关系，再把f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立问题转化为求函数f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值，综合在一起即可求出实数m的取值范围．解：（I） f'（x）=3x2+4ax+b，g'（x）=2x﹣3．由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．故有f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．由此得，解得，所以a=﹣2，b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0．（II）由（I）得f（x）=x3﹣4x2+5x﹣2，所以f（x）+g（x）=x3﹣3x2+2x．依题意，方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0，有三个互不相等的实根0，x1，x2，故x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．所以△=9﹣4（2﹣m）＞0，解得m＞﹣．又对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，特别地取x=x1时，f（x1）+g（x1）＜m（x1﹣1）成立，得m＜0．由韦达定理得x1+x2=3＞0，x1x2=2﹣m＞0．故0＜x1＜x2．对任意的x∈[x1，x2]，x﹣x2≤0，x﹣x1≥0，x＞0．则f（x）+g（x）﹣mx=x（x﹣x1）（x﹣x2）≤0，又f（x1）+g（x1）﹣mx1=0．所以f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0．于是当m＜0，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，综上得：实数m的取值范围是（﹣，0）．点评：本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立，以及函数与方程和特殊与一般的思想．11.已知函数，，的零点分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，，分别得，，，则分别为函数的图象与函数，，的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得，，，故选．【考点】函数图象、零点的概念.12.若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，函数g(x)＝，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]上的零点的个数为()A．10B．9C．8D．7【答案】B【解析】由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)是周期为2的周期函数．在同一直角坐标系中画出函数f(x)与函数g(x)的图象，结合图象可知，函数h(x)在[－5,5]上有9个零点．13.若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．(－2,2)B．[－2,2]C．(-1,1)D．[-1,1]【答案】A【解析】函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点方程x3－3x＋a=0有三个不同的根a=-x3+3x函数g(x)=a与函数F(x)=-x3+3x的图象有三个不同的交点∵F′(x)＝-3x2+3=-3(x2-1)=-3(x-1)(x+1)∴即F(x)在x=1处取得极大值2,在x=-1处取得极小值-2∵直线g(x)=a与函数F(x)=-x3+3x的图象有三个不同的交点∴a∈(－2,2)14.已知函数(a是常数，a∈R)（1）当a=1时求不等式的解集．（2）如果函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）本题含有绝对值符号，解题时我们只要根据绝对值的定义去掉绝对值符号分类讨论即可，实际上，因此分成和情况分别求解，最后归总；（2）函数有两个零点，可以转化为函数的图象与直线有两个不同交点问题，只要作出其图象就能得到结论．（1）∴的解为 --5分（2）由得,．令,,作出它们的图象，可以知道，当时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以函数有两个不同的零点． -10分【考点】（1）解不等式；（2）函数零点与函数图象交点问题．15.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为( )A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b；由已知x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的不同两根，当f(x1)＝x1＜x2时，作y＝x1，y＝x2与f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个不同交点．即方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三个不同实根．16.若方程在内有解，则的图象可能是( )【答案】D【解析】解：方程在内有解，即是的图象与函数的图象在内有交点；在A,B,C,三个选项中，当时，都有，不合题意，选项D中的图象显示，在轴左侧，的图象与函数的图象在内有交点；故选D．【考点】函数的零点．17.已知函数，若关于的函数有两个零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】有两个零点，等价于函数与函数的图像有两个交点，作出函数的图像如下：由图可知的取值范围：故答案：【考点】根的存在性和个数的判断；数形结合.18.已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为．【答案】【解析】，的解为，时，，当时，，从而在区间和上是减函数，在区间和上是减函数，，当时，．如图是的图象，，，方程的解就是函数的图象与直线的交点的横坐标，当或或时，有两个交点，即方程有两个解，或称有两个零点，或或．【考点】函数的零点，函数的图象与性质，直线与曲线相交．19.设函数，则函数的零点个数为__________个．【答案】3【解析】函数的零点个数，即为与的交点个数，在平面直角坐标系中作出两函数图象，如图：如图可知，函数与有3个交点，所以函数的零点有3个．【考点】1、函数零点；2、函数图象；3、分段函数．20.已知函数,且函数恰有3个不同的零点,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，其顶点为，点在函数图象上，而点不在函数图象上.结合图形可知，当，函数恰有3个不同的零点.【考点】函数及其零点.21.已知函数f(x)＝2x2＋m的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围是________．【答案】【解析】由于f(x)与g(x)都是偶函数，因此只需考虑当x>0时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点即可．当x>0时，g(x)＝lnx，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x2－lnx＋m，则h′(x)＝4x－，由h′(x)＝0，得x＝.易知当x＝时，h(x)有极小值为＋ln2＋m，要使函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)内有两个交点，则h<0，即＋ln2＋m<0，所以m<－－ln222.若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．【答案】0、－【解析】由题意可得，b＝－2a且a≠0，由g(x)＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或x＝－23.方程lgx＝2－x在区间(n，n＋1)(n∈Z)有解，则n的值为________．【答案】1【解析】令f(x)＝lgx＋x－2，由f(1)＝－1<0，f(2)＝lg2>0，知f(x)＝0的根介于1和2之间，即n＝1.24.函数f(x)＝－|x－5|＋2x－1的零点所在的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【答案】C【解析】f(2)·f(3)＝(－3＋2)(－2＋4)<0，所以该函数的零点所在的区间是(2，3)．25.若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时f(x)＝1－x2.函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,4]内的零点的个数()．A．7B．8，C．9D．10【答案】A【解析】由f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，求h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,4]内的零点，即求f(x)＝g(x)在区间[－5,4]上图象交点的个数．画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，由图可知两图象在[－5,4]之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.26.函数的零点所在的区间是（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3.4)【答案】B【解析】函数在区间存在零点，等价于.计算，故选B.【考点】函数零点存在定理27.的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】∵，∴，图像如图所示，由图像看出与有5个交点，∴的零点个数为5个.【考点】1.函数零点问题；2.函数图像.28.已知函数，则方程恰有两个不同实数根时，实数的取值范围是（）（注：为自然对数的底数）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵方程恰有两个不同实数根，∴与有2个交点，∵表示直线的斜率，∴，设切点为，，所以切线方程为，而切线过原点，所以，，，所以直线的斜率为，直线与平行，所以直线的斜率为，所以实数的取值范围是.【考点】1.分段函数图象；2.利用导数求曲线的切线方程；3.图象的交点问题.29.函数的图像如图所示，关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是_______________．【答案】【解析】方程的解显然利用换元法()是通过二次方程①来解决，首先考虑，即时，方程①的解为和，原方程没有三个解，当时，方程①的两根必须满足且，因此如果记，则，解得.【考点】函数的图象与方程的解.30.已知关于的方程有两个不同的解，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得.因为，结合抛物线图象知，要使得，则必须，选C.【考点】方程与不等式.31.已知关于X的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（）A．3,6,9B．6,9,12C．9,12,15D．6,12,15【答案】B【解析】函数的图像如图所示，直线，当时，；当时，；当时，；当时，；综上可得：P中所有元素的和可能是6,9,12.【考点】1.函数图像；2.中点坐标公式.32.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，得，即，即，若函数与在上是“关联函数”，则问题转化为直线与曲线在区间上有两个交点，在同一坐标系中作出直线与曲线在区间图象，由图象知，当时，直线与曲线在区间上有两个交点，故选A.【考点】1.新定义；2.函数的零点33.已知函数且函数的零点均在区间内，圆的面积的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴当或时，．而当时，∴对任意恒成立，得函数是上的增函数∵，∴函数在上有唯一零点∴的最小值为.∵圆的圆心为原点，半径∴圆的面积为，可得面积的最小值为.故选A.【考点】1.函数的零点问题；2.函数的单调性；3.圆的面积.34.函数的零点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】根据函数平移，将的图像向右平移1个单位得到的图像，再画出的图像，观察即可.【考点】1.函数零点；2.函数的零点关系转化.35.函数的零点所在区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】选C.【考点】函数的零点.36.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实数根的个数是 ( )A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.【考点】导数、零点、函数的图象37.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是（）A．2个B．3个C．4个D．多于4个【答案】C【解析】试题分析:函数f(x)是以2为周期的周期函数，且是偶函数，根据上的解析式，图象关于y轴对称，可以绘制上的图象，根据周期性，可以绘制上的图象，而是个偶函数，绘制其在y轴右侧图象可知两图象右侧有两个交点，根据对称性可得共有四个交点，故选B.【考点】函数与方程.38.函数零点的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，作出函数与图像可的结论．【考点】考查函数的图像．39.函数的零点的个数为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，令，得，故零点的个数为1,选B.【考点】零点的个数的判断.40.已知，其中为常数，且.若为常数，则的值__________【答案】【解析】根据题意分别得到和的解析式，算出化简后等于k，根据合分比性质得到k即可。