【创新大课堂】高三数学(文)一轮复习活页作业：10.3合情推理与演绎推理(含答案解析)

第2讲 合情推理与演绎推理随堂演练巩固1.下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为( )A.13n n a -= B.3nn a =C.32nn a n =-D.1323n n a n -=+-【答案】 A【解析】 123413927a a a a =,=,=,=.归纳推理:13n n a -=.2.“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故此奇数是3的倍数”,上述推理是( ) A.小前提错 B.结论错 C.正确的 D.大前提错 【答案】 C【解析】 这是演绎推理的一般模式“三段论”.前提和推理形式都正确,因此结论也正确. 3.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b ∥平面α,直线a ⊂平面α,则直线b ∥直线a”,结论显然是错误的,这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 【答案】 A【解析】 由演绎推理的三段论可知答案应为A.4.观察下列各式:237497343=,=,47=2 401,…,则20117的末两位数字为( ) A.01 B.43 C.07 D.49 【答案】 B【解析】 (方法一)由题意得2011502434502377(7)7⨯+,==⋅,由于472= 401末位为1,倒数第二位为0,因此2 502401的末两位定为01.又37=343,∴45023(7)7⋅的末两位定为43.(方法二)用归纳法:∵234749734372=,=,=54017,=16 68077,=117 76497,823=543,…,由上知末两位有周期性且T=4. 又20115024377⨯+=,∴20117的末两位与37的末两位一样,为43. 5.在等差数列{n a }中,若100a =,则有等式12a a ++…12n a a a +=++…19(19n a n -+<,且n ∈N )*成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{n b }中,若91b =,则有等式 成立.【答案】 12b b ⋅⋅…12n b b b ⋅=⋅⋅…17n b -⋅【解析】 对于等差数列{n a },若有0k a =,根据等差中项的知识,有121222323n k n n k n n k n k a a a a a a a +--+--+--+=+=+=+k a =0,所以必有12a a ++…12n a a a +=++…n a ++12(n n a a ++++…2221)k n k n a a ----++(21n k n <-,∈N )*.∵此时有100a =,即k=10.∴12a a ++…12n a a a +=++…12(n n n a a a ++++++…181912)n n a a a a --++=++…19n a -+. 类似地:对于等比数列{n b },若1k b =,由等比中项的知识,有121222323n k n n k n n k n b b b b b b +--+--+--⋅=⋅=⋅=…=1k k b b ⋅=∴12b b ⋅⋅…12n b b b ⋅=⋅⋅…12(n n n b b b ++⋅⋅⋅…2221)k n k n b b ----⋅⋅. ∵91b =,∴k=9.∴12b b ⋅⋅…12n b b b ⋅=⋅⋅…12(n n n b b b ++⋅⋅⋅…18218112)n n b b b b ----⋅⋅=⋅⋅…17n b -⋅.课后作业夯基 基础巩固1.下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.①③⑤ 【答案】 D【解析】 归纳推理是由部分到整体的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理.2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则 ①“m n =n m”类比得到“a ⋅b=b ⋅a ”;②“(m+n )t=mt+n t”类比得到“(a +b ) ⋅c=a ⋅c+b ⋅c ”;③“()()m n t m n t ⋅=⋅”类比得到“（a ⋅b ）⋅c =a ⋅（b ⋅c ）”; ④“0t mt xt m x ≠,=⇒=”类比得到“p ≠0, a ⋅p =x ⋅p ⇒a =x ”;⑤“|m n ⋅|=|m|⋅|n |”类比得到“| a ⋅b |=|a |⋅|b ⑥“ac a bc b =”类比得到“a c a b c b⋅=⋅”.以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4 【答案】 B【解析】 ①②正确;③④⑤⑥错误. 3.已知△ABC 中30A ,∠=60B ,∠=,求证:证明:∴a<b.框内部分是演绎推理的( ) A.大前提 B.小前提 C.结论 D.三段论 【答案】 B4.根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n 个图中有个点.( )A.21n + B.2n n - C.n +1 D.21n n -+ 【答案】 D【解析】 第(2)个图形,中间有1个点,另外的点指向两个方向,每个方向一个点,共有2(21)1⨯-+ 个点;第(3)个图形,中间有1个点,另外的点指向三个方向,每个方向两个点,共有3(31)1⨯-+个点; 第(4)个图形,中间有1个点,另外的点指向四个方向,每个方向三个点,共有4(41)1⨯-+个点; 第(5)个图形,中间有1个点,另外的点指向五个方向,每个方向四个点,共有5(51)1⨯-+个点; ……由上面的变化规律,可猜测,第n 个图形中心有1个点,另外的点指向n 个方向,每个方向n -1个点,共 有n (n -1)211n n +=-+个点. 5.下列推理是归纳推理的是( )A.A,B 为定点,动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P 点的轨迹为椭圆B.由1131n a a n =,=-,求出123S S S ,,,猜想出数列的前n 项和n S 的表达式C.由圆222x y r +=的面积π2r ,猜想出椭圆22221y x a b+=的面积S=πab D.以上均不正确【答案】 B【解析】 从123S S S ,,猜想出数列的前n 项和n S ,是从特殊到一般的推理,所以B 是归纳推理.6.如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB AB ⊥时,此类椭圆被称为 “黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )11【答案】 A【解析】 B(0,b),F(-c,0),A(a,0).在“黄金双曲线”中∵FB AB ⊥, ∴0FB AB ⋅=.∴2b ac =.而222b c a =-,∴22c a ac -=在等号两边同除以2a 得e =. 7.观察下列等式:33212(12)+=+,31+3323333223(123)1234(1234)+=++,+++=+++,…,根据上述规律,第四个等式为 .【答案】 33333212345(12345)(++++=++++或215)【解析】 332333212(12)123(123)+=+,++=++,…, 所以333332225(15)12345(12345)[]152+++++=++++==. 8.在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱 锥”形的展品,其中第1堆只有一层,就一个球;第2、3、4、…堆最底层(第一层)分别按如下图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n 堆第n 层就放一个乒乓球,以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数,则f (3)= ;f (n )= (答案用n 表示).【答案】 10(1)(2)6n n n ++【解析】 f (1)=1,由题图可得f (2)=3+1=42(21)(1)2f +=+, f (3)=6+3+1=103(31)(2)2f +=+.f (4)=10+6+3+1=204(41)(3)2f +=+.可知,下一堆的球的个数是上一堆球的个数加上其第一层的球的个数,而第一层的球的个数满足1,3,6,10,…,其通项公式是(1)2n n +. ∴f (5)=f (4)+155(51)(4)2f +=+,…,f (n )=f (1)(1)2n n n +-+.∴2(21)3(31)()(1)22f n f ++-=++ (1)2n n ++22332222++=++…22n n ++ 222232322n n ++++++=+(1)(21)(1)1124n n n n n+++=+-(1)(2)16n n n ++=-.∴(1)(2)()6n n n f n ++=.9.观察下列等式: 1=1 2+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律,第五个等式应为 . 【答案】 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81【解析】 观察等式左侧:第一行有1个数是1,第二行是3个连续自然数的和,第一个数是2,第三行是5个连续自然数的和,第一个数是3,第四行是7个连续自然数的和,第一个数是4,第5行应该是连续9个自然数的和,第一个数为5,∴第5行左侧:5+6+7+8+9+10+11+12+13;等式右侧:第一行 1=12,第二行9=32,第三行25=52,第四行49=72,则第5行应为81=92, ∴第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+10.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,则4841281612S S S S S S S ,-,-,-成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{n b }的前n 项积为n T ,则4T , , 1612T T ,成等比数列. 【答案】84T T 128T T 【解析】 对于等比数列,通过类比,可得8161244812T T T T T T T ,,,成等比数列. 11.已知等式:si n 25+23355354cos sin cos +=;223154515454sin cos sin cos ++=;223306030604sin cos sin cos ++=;….由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式,并予以证明【证明】 归纳已知可得:2sin θ+2cos (30θ+)+si n θcos (30θ+3)4=.证明如下:∵si n 2θ+cos 2(30θ+)+si n θcos (30θ+)=sin2θ+cos 12θ-si n 2)θ+sin θcos 12θ-si n )θ=si n 2θ+cos 12θ-si n θcos 12θ+si n )θ =si n 234θ+2cos 14θ-2sin 34θ=.∴等式成立.12.已知椭圆具有性质:若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,当直线PM 、PN 的斜率都存在,并记为PM k 、PN k 时,那么PM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线22221y x a b-=写出具有类似特性的性质,并加以证明. 【解】 类似的性质为:若M 、N 是双曲线22221y x a b-=上关于原点对称的两个点,点P 是双曲线上 任意一点,当直线、PN 的斜率都存在,并记为PM k 、PN k 时,那么PM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值.证明:设点M 、P 的坐标分别为(m,n )、(x,y), 则N(-m,-n ).因为点M(m,n )在已知双曲线上,所以22222b n m b a =-.同理22222b y x b a=-. 则2222PM PN y n y n y n k k x m x m x m -+-⋅=⋅==-+-22b a ⋅2222x m x m -=-22b a 定值). 13.已知等差数列{n a }的公差d=2,首项15a =. (1)求数列{n a }的前n 项和n S ;(2)设(25)n n T n a =-,求12345S S S S S ,,,,;12345T T T T T ,,,,,并归纳出n S 与n T 的大小规律.【解】 (1)(1)52(4)2n n n S n n n -=+⨯=+.(2)(25)[2(n n T n a n =-=2n +3)-5],∴24n T n n =+.∴2212354221843339T T T =,=⨯+=,=⨯+=,224544468455105T T =⨯+=,=⨯+=.12352(24)123(34)21S S S =,=⨯+=,=⨯+=, 454(44)325(54)45S S =⨯+=,=⨯+=.由此可知11S T =,当2n ≥时n n S T ,<. 归纳猜想:当2n n ≥,∈N 时n n S T ,<. 拓展延伸14.设2()41f n n n n =++,∈N *,计算f (1),f (2),f (3),f (4),…,f (10)的值,同时作出归纳推理,并用n =40验证猜想是否正确. 解:2(1)114143f =++=,2(2)224147f =++=, 2(3)334153f =++=, 2(4)444161f =++=, 2(5)554171f =++=, 2(6)664183f =++=, 2(7)774197f =++=, 2(8)8841113f =++=, 2(9)9941131f =++=, 2(10)101041151f =++=.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数, ∴归纳猜想:当n ∈N *时2()41f n n n ,=++的值都为质数. ∵n =40时2(40)40404140(f ,=++=40+1)+414141=⨯, ∴f (40)是合数.因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.。

第五节合情推理与演绎推理【考纲下载】1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．1．归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理方式．(2)特点：①是由部分到整体，由个别到一般的推理．②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．2．类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程．(2)特点：①是两类事物特征之间的推理．②利用类比推理得出的结论不一定是正确的．3．合情推理(1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)分类：归纳推理与类比推理．4．演绎推理演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．1．归纳推理的结论一定正确吗？提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验．2．演绎推理所获得的结论一定可靠吗？提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论．1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③ B．②③④C．②④⑤ D．①③⑤解析：选D 由归纳推理、类比推理及演绎推理的特征可知①③⑤正确．2．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④解析：选C ①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理．3．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( ) A ．大前提错误导致结论错 B ．小前提错误导致结论错 C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：选A 当a >1时，y ＝a x 为增函数；当0<a <1时，y ＝a x为减函数．故大前提错误． 4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：因为两个正四面体的棱长的比为1∶2，则底面积之比为1∶4，底面对应的高之比是1∶2，所以体积之比为1∶8.答案：1∶85．(教材习题改编)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想，在n 边形A 1A 2…A n 中，成立的不等式为________．解析：∵9＝32,16＝42,25＝52，且1＝3－2,2＝4－2,3＝5－2，…，故在n 边形A 1A 2…A n中，有不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －π成立．答案：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －π(n ≥3)1．归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题和填空题，难度稍大，属中高档题． 2．高考对归纳推理的考查常有以下几个命题角度： (1)归纳推理与等式或不等式“共舞”问题； (2)归纳推理与数列“牵手”问题； (3)归纳推理与图形变化“相融”问题．[例1] (1)(2013·陕西高考)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为________．(2)(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为n n ＋2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.(3)(2014·青岛模拟)某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．一级分形图 二级分形图 三级分形图 ①n 级分形图中共有________条线段；②n 级分形图中所有线段长度之和为________．[自主解答] (1)观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋2. (2)N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列．所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10，24)＝11×102－10×10＝1 000.(3)①分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝(3×2n －3)(n ∈N *)．②分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，∴n 级分形图中第n 级的所有线段的长度为b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)，∴n 级分形图中所有线段长度之和为S n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋…＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23＝9－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.[答案] (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋2(2)1 000 (3)①3×2n－3 ②9－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与等式或不等式“共舞”问题．观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．(2)与数列“牵手”问题．先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．(3)与图形变化“相融”问题．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．1．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.解析：根据题意知，分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知f n (x )的分母中常数项为2n，分母中x 的系数为2n－1，故f n (x )＝f (f n －1(x ))＝xn－x ＋2n.答案：xn－x ＋2n2．如图的倒三角形数阵满足：①第1行的n 个数，分别是1,3,5，…，2n －1；②从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；③数阵共有n 行．当n ＝2 012时，第32行的第17个数是________．1 3 5 7 9 11 ……4 8 12 16 20 ……12 20 28 36 …………解析：每行的第1个数分别是1,4,12,32，…，记为数列{a n }，它的通项公式为a n ＝n ×2n－1，则第32行的第1个数为a 32＝32×232－1＝236，而在第32行的各个数成等差数列，且公差为232，所以第17个数是236＋(17－1)×232＝236＋24×232＝2×236＝237.答案：2373．仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……，若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．解析：进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n n ＋2，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.答案：14[例2]如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则1×h 1＋2×h 2＋3×h 3＋4×h 4＝2Sk.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4值为( )A.4V kB.3V kC.2V kD.V k[自主解答]在平面凸四边形中，连接P 点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得S ＝12(a 1h 1＋a 2h 2＋a 3h 3＋a 4h 4)＝12(kh 1＋2kh 2＋3kh 3＋4kh 4) ＝k 2(h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4)．所以h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2S k. 类似地，连接Q 点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有 V ＝13(S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4)＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4)＝k3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)， 所以H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3Vk.[答案] B【方法规律】类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.解析：法一：设数列{a n }的公差为d 1，则d 1＝a n －a m n －m ＝b －a n －m .所以a m ＋n ＝a m ＋nd 1＝a ＋n ·b －an －m＝bn －am n －m.类比推导方法可知：设数列{b n }的公比为q ，由b n ＝b m q n －m ，可知d ＝cq n －m，所以q ＝n －m d c ，所以b m ＋n ＝b m q n ＝c ·n －m ⎝ ⎛⎭⎪⎫d c n＝n －m d nc m . 法二：(直接类比)设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公比为q ，因为等差数列中a n ＝a 1＋(n －1)d 1，等比数列中b n ＝b 1q n －1，因为a m ＋n ＝nb －man －m ，所以b m ＋n ＝n －m d nc m.答案：n －m d nc m[例3] 已知函数f (x )＝a x＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，试确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．[自主解答] 法一：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1＋bx 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2＋bx 2＝(x 2－x 1)·⎝⎛⎭⎪⎫a x 1x 2－b .当0<x 1<x 2≤a b 时，∵a >0，b >0，∴x 2－x 1>0,0<x 1x 2<a b ，ax 1x 2>b ， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数；当x 2>x 1≥ a b >0时，x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，ax 1x 2<b ，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增函数．法二：∵a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，∴令f ′(x )＝－a x 2＋b ＝0(x >0)，得x ＝ ab，当0＜x ≤ a b 时，－a x 2≤－b ，∴－ax2＋b ≤0，即f ′(x )≤0，∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数；当x ≥ a b 时，－a x 2＋b ≥0，即f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增函数．【方法规律】应用演绎推理应注意的问题演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1(x ∈R )．(1)判定函数f (x )的奇偶性；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明．解：(1)对任意x ∈R ，有－x ∈R ，并且f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x－12x＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)f (x )在R 上单调递增，证明如下： 任取x 1，x 2∈R ，并且x 1>x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝x 1－x 2＋－x 2－1x 1＋x 1＋x 2＋＝x 1－2xx 1＋x 2＋.∵x 1>x 2，∴2x 1>2x 2>0，即2x 1－2x 2>0.又∵2x 1＋1>0,2x 2＋1>0，∴x 1－2xx 1＋x 2＋>0.∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在R 上为单调递增函数．———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个区别——合情推理与演绎推理的区别 (1)归纳是由特殊到一般的推理； (2)类比是由特殊到特殊的推理； (3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确．个步骤——归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理的一般步骤：观察、比较→联想、类推→猜想新结论个注意点——应用合情推理与演绎推理应注意的问题(1)在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．(2)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．前沿热点(十一)与归纳推理有关的创新交汇题1．归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比，题型多为客观题．2．解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验．[典例] (2013·新课标全国卷Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则 ( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列[解题指导] 先确定三角形的一边长不变及周长不变，利用另两边最接近的时候面积最大等知识求解．[解析] 在△A 1B 1C 1中，b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，∴b 1>a 1>c 1.在△A 2B 2C 2中，a 2＝a 1，b 2＝c 1＋a 12，c 2＝b 1＋a 12，b 2＋c 2＝2a 1，∴c 1<b 2<a 1<c 2<b 1.在△A 3B 3C 3中，a 3＝a 2＝a 1，b 3＝c 2＋a 22＝c 2＋a 12，c 3＝b 2＋a 22＝b 2＋a 12，b 3＋c 3＝2a 1，∴a 1<b 3<c 2，b 2<c 3<a 1，∴c 1<b 2<c 3<a 1<b 3<c 2<b 1.由归纳知，n 越大，两边c n ，b n 越靠近a 1且c n ＋b n ＝2a 1，此时面积S n 越来越大，当且仅当c n ＝b n ＝a 1时，△A n B n C n 的面积最大．[答案] B[名师点评] 解决本题的关键有以下几点：(1)由条件a n ＋1＝a n ，确定三角形的一边为固定值．(2)由条件可推出b 1＋c 1＝b 2＋c 2＝b 3＋c 3＝2a 1，进而得出△A n B n C n 的周长为定值．(3)利用“若三角形的一边不变及周长不变，则另外两边越接近，面积越大”推得结论．在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．解析：(1)由定义知，四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，S 四边形DEFG ＝3.(2)由待定系数法可得，⎩⎪⎨⎪⎧ 12＝a ·0＋b ·3＋c ，1＝a ·0＋b ·4＋c ，3＝a ·1＋b ·6＋c⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12，c ＝－1，当N ＝71，L ＝18时，S ＝1×71＋12×18－1＝79.答案：(1)3,1,6 (2)79[全盘巩固]1．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：选D 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．2．观察下式：1＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52…据此你可归纳猜想出一般结论为( )A ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)B ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n 2(n ∈N *)C ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝(n ＋1)2(n ∈N *)D ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)2(n ∈N *)解析：选D 观察可见第n 行左边有n ＋1个奇数，右边是(n ＋1)2.3．已知数列a n ：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A.3724B.76C.1115D.715解析：选A 通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：11，分子、分母之和为2；第二组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，22，13，分子、分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a 99＝78，a 100＝69.故a 99＋a 100＝3724.4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．5．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.6．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S ­ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体S ­ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 解析：选C 设三棱锥的内切球球心为O ，那么由V ＝V O ­ABC ＋V O ­SAB ＋V O ­SAC ＋V O ­SBC ，即V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ，可得R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.7．观察下列几个三角恒等式：①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1；②tan 5°tan 100°＋tan 100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan 5°＝1； ③tan 13°tan 35°＋tan 35°tan 42°＋tan 42°tan 13°＝1.一般地，若tan α，tan β，tan γ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为________________________________________________________________________．解析：所给三角恒等式都为tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1的结构形式，且α、β、γ之间满足α＋β＋γ＝90°，所以可猜想当α＋β＋γ＝90°时，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.答案：当α＋β＋γ＝90°时，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1 8．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 … 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 …根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝________.解析：由22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，可知n 2＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)．由m 2＝1＋3＋5＋…＋11，可知m ＝6.易知53＝21＋23＋25＋27＋29，则21是53的分解中最小的正整数，可得p ＝5.故m ＋p ＝11.答案：119．我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．则f (n )的表达式为________________．(1) (2) (3) (4)解析：我们考虑f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…，结合图形不难得到f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，累加得f (n )－f (1)＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，故f (n )＝2n 2－2n ＋1.答案：f (n )＝2n 2－2n ＋1 10．给出下面的数表序列： 表1 表2 表31 1 3 1 3 5 4 4 8 12其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3，5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．解：表4为1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34. (2)归纳三角恒等式sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. 12．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.求：(1)a 18的值；(2)该数列的前n 项和S n .解：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )＝52n ； 当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.[冲击名校]1．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内它从原点运动到(0,1)，然后它按图示在x 轴、y 轴的平行方向运动，且每秒移动一个单位长度，则在第12秒时，这个粒子所处的位置是( )A ．(2,2)B ．(3,2)C ．(3,3)D ．(2,3)解析：选C 第一层有(0,1)，(1,1)，(1,0)三个整点(除原点)，共用3秒；第二层有五个整点(2,0)，(2,1)，(2,2)，(1,2)，(0,2)，共用5秒；第三层有七个整点(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,2)，(3,1)，(3,0)，共用7秒．则在第12秒时，这个粒子所处的位置是(3,3)．2．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2 907B ．2 111C ．2 012D ．2 090解析：选C 依题意，设位于三角形内的最小数是n ，其中n 被8除后的余数必是3,4,5,6之一，则这九个数的和等于n ＋3(n ＋8)＋5(n ＋16)＝9n ＋104.令9n ＋104＝2 012，得n ＝212，且n ＝212被8除后的余数是4.[高频滚动]1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( )A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0解析：选B 可行域为直角三角形ABC (如图)，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，由图象可知，当直线y ＝－2x ＋z 过点B (2,0)和点A (1,0)时，z 分别取到最大值4和最小值2.2．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0.若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．19解析：选B 画出可行域如图．其最优解是点M(3,1)附近的整点．考虑到线性目标函数，只要横坐标增加1即可．故最优点为整点(4,1)，其最小值为16.。

6.5 合情推理与演绎推理
1.合理推理
（1）归纳推理:由某类事物的 部分对象具有某些特征,推出该类事物的 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由 个别事实概括出 一般结论的推理,称为归纳推理. 简言之,归纳推理是由部分到 整体,由个别 到 一般的推理. （2）类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些 已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之,类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理. （3）合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察 ，分析，比较， 联联想想，再进行 归纳，类比，然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.
项和 Sn 是从特殊到一般的推理，所以 B 是归纳推理. 【答案】B
2/18/2020
4.(2013·南京调研)将正奇数排列如图形式，其中第 i 行第 j 个数表示 aij(i ∈N*，j∈N*)，例如 a32＝9，若 aij＝2 013，则 i＋j＝____.
1
35
7 9 11
13 15 17 19 【解析】根据正奇数排列的…正三角图表知，2013 是第 1007 个奇数，应排 在 i 行(其中 i∈N*)，
2/18/2020【答案】62
5.对一个边长为 1 的正方形进行如下操作；第一步，将它分割成 3×3 方格，接着
用中心和四个角的
5
个小正方形，构成如图
1
所示的几何图形，其面积 S1

5； 9
第二步，将图 1 的 5 个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，
得到图
2；依此类推，到第
n
步，所得图形的面积 Sn
（2）(2014·济宁模拟)给出下列命题：
命题 1：点(1，1)是直线 y＝x 与双曲线 y＝ 1 的一个交点； x

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核心考点·精准研析考点一类比推理1.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,与半球(如图一)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥(如图二),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆+=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图三),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于 ( )A.4πB.8πC.16πD.32π2.我们知道:在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式d=,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(2,4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离为( )A.3B.5C.D.3【解析】1.选C.构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥,则当截面与底面距离为h(0≤h≤3)时,小圆锥的底面半径为r,则=,所以r=h,故截面面积为4π-,把y=h代入椭圆+=1可得x=±,所以橄榄球形几何体的截面面积为πx2=4π-,由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积V=2(V圆柱-V圆=16π.锥)=22.选B.类比平面内点到直线的距离公式,可得空间中点(x0,y0,z0)到直线Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=,则所求距离d==5.类比推理的分类考点二演绎推理【典例】已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N+). 世纪金榜导学号(1)求a2,a3,a4的值,猜想数列{a n}的通项公式.(2)运用(1)中的猜想,证明数列是等差数列,并注明大前提、小前提和结论.【解题导思】序号题目拆解(1)猜想数列的通项公式根据a2,a3,a4的结构特征归纳猜想(2)证明数列是等差数列证明-=常数【解析】(1)因为数列{a n}中,a1=1,a n+1=,a2=,a3=,a4=,猜想:a n=.(2)因为通项公式为a n的数列{a n},若a n+1-a n=d,d是常数,则{a n}是等差数列,…大前提又因为-=,为常数;…小前提所以数列是等差数列.…结论演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.(2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.设数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n=2-S n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4的值并写出其通项公式.(2)用三段论证明数列{a n}是等比数列.【解析】(1)由a n=2-S n,当n=1时,a1=2-S1=2-a1,解得a1=1,当n=2时,a2=2-S2=2-a1-a2,解得a2=,当n=3时,a3=2-S3=2-a1-a2-a3,解得a3=,当n=4时,a4=2-S4=2-a1-a2-a3-a4,解得a4=,…由此归纳推理得a n=(n∈N*).(2)因为通项公式为a n的数列{a n},若=p,p是非零常数,则{a n}是等比数列;因为通项公式a n=,又=;所以通项公式a n=的数列{a n}是等比数列.关闭Word文档返回原板块。