二次函数图像与系数之间的关系

二次函数中各项系数a，b，c与图像的关系

一、首先就y=ax2+bx+c（a≠0）中的a，b，c对图像的作用归纳如下：

1 a的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；

决定张口的大小：∣a∣越大，抛物线的张口越小．

2 b的作用：b和a与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．

b与a同号，说明02ab，则对称轴在y轴的左边；

b与a异号，说明−𝑏2𝑎>0，则对称轴在y轴的右边；

特别的，b = 0，对称轴为y轴．

3 c的作用：c决定了抛物线与y轴的交点纵坐标．抛物线与y轴的交点（0，c）

c > 0 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴；

c < 0 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴；

特别的，c = 0，抛物线过原点．

4 a,b,c共同决定判别式?=𝑏2−4𝑎𝑐的符号进而决定图象与x轴的交点

𝑏2−4𝑎𝑐>0 与x轴两个交点

𝑏2−4𝑎𝑐=0 与x轴一个交点

𝑏2−4𝑎𝑐<0 与x轴没有交点

5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；

x= -1时，y=a - b + c ．

当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0

当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．

扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。

一．选择题（共8小题）

1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）

A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．b+2a＞0

2．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ）

二次函数的图象与系数的关系

第 1 页 共 2 页 x y 二次函数的图象与系数的关系

二次函数)0(2acbxaxy的图象与系数的关系如下：

1、a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。

2、a决定抛物线的开口大小：a越大，则开口越小；a越小，则开口越大。

3、a、b的符号决定抛物线的对称轴：当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧。

4、c是抛物线与y轴交点的纵坐标：当0c时，抛物线经过原点；当c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；当c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴。

5、acb42决定图象与x轴是否相交：当acb42＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当042acb时，抛物线与x轴只有一个交点；当acb42＜0时，抛物线与x轴没有交点。

应用上述关系，便能简洁明快地根据a、b、c的符号判断抛物线的位置，或者根据抛物线的位置确定a、b、c的符号。

例1（海淀区中考题）二次函数cbxaxy2的图象如图1所示，则下列结论正确的是（ ）

A、abc000，， B、abc000，，

C、abc000，， D、abc000，，

析解：由抛物线开口向下可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交于正半轴可知c＞0，故选D。

例2（天津市中考题）图2为二次函数cbxaxy2的图象，则一次函数bcaxy的图象不经过（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

析解：由抛物线的开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的左侧，可知a、b同号，所以b＞0，抛物线与y轴交于负半轴可知c＜0，所以bc＜0，所以一次函数bcaxy不经过第二象限，故选B。

例3（广安市中考题）二次函数cbxaxy2的图象如图3所示，则点A（a，b）在（ ）

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二次函数图象与系数的关系

知识点

一、

二次函数错误!未找到引用源。的图象与性质

二次函数错误!未找到引用源。图象可由抛物线错误!未找到引用源。 平移 个单位，再 平移 个单位而得到. 平移规律如下：

(1)平移时与上、下、左、右平移的先后顺 ，既可以先左右移再上下移，也可以先上下移再左右移；

(2)抛物线的移动主要看 的移动，即在平移时只要抓住 的位置变化就可以了；

(3)平移规律：“上加下减，左加右减”.

(4)抛物线错误!未找到引用源。经过反向平移也可以得到错误!未找到引用源。；

(5)抛物线错误!未找到引用源。的对称轴是直线 ，顶点坐标是 .

二次函数错误!未找到引用源。的性质列表如下：

函数

错误!未找到引用源。的符号 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

图象

开口方向

对称轴

顶点坐标

最值 2 / 9

函数的增减性

二、 错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的互相转化

1.通过 、 可以将错误!未找到引用源。化为错误!未找到引用源。.

2.利用 可以将错误!未找到引用源。转化为错误!未找到引用源。.简记为“一提，二配，三计算”.即错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 .

因此，二次函数错误!未找到引用源。的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线

，顶点坐标是 .

三、 二次函数错误!未找到引用源。的图象及性质

函数

错误!未找到引用源。的符号 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

图象

开口方向

对称轴

顶点坐标

增减性

最值

二次函数系数a、b、c与图象的关系

知识归纳：

1.a的作用：决定开口方向和开口大小

2.a与b的作用：左同右异（对称轴的位置）

3.c的作用：与y轴交点的位置。

4.b2-4ac的作用：与x轴交点的个数。

5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c),

(-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。

针对训练：

1. 判断下列各图中的a、b、c及△的符号。

(1)a___0； b___0； c___0； △__0.

(2)a___0； b___0； c___0； △__0.

(3)a___0； b___0； c___0； △__0.

(4)a___0； b___0； c___0； △__0.

(5)a___0； b___0； c___0； △__0.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，

用（＞，＜，=）填空：

a___0； b___0； c___0； a+b+c__0； a-b+c__0. 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（ ）

A.ab<0 B.bc<0 C.a+b+c>0 D.a－b+c<0

4.二次函数y=ax2+bx+c图象如图，则点 A（b2-4ac，-ba）在第 象限．

5．已知 a＜0，b＞0，c＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，判断下列各式的符号：

(1)a； (2)b； (3)c； (4)a+b+c； (5)a-b+c；(6)b2-4ac；

(7)4ac-b2； (8)2a+b； (9)2a-b

7.练习：填空

（1）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值恒为正的条件： ，恒为负的条件： .