二次函数各个系数与图像之间的关系

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二次函数图象与系数的关系

知识点

一、

二次函数错误!未找到引用源。的图象与性质

二次函数错误!未找到引用源。图象可由抛物线错误!未找到引用源。 平移 个单位，再 平移 个单位而得到. 平移规律如下：

(1)平移时与上、下、左、右平移的先后顺 ，既可以先左右移再上下移，也可以先上下移再左右移；

(2)抛物线的移动主要看 的移动，即在平移时只要抓住 的位置变化就可以了；

(3)平移规律：“上加下减，左加右减”.

(4)抛物线错误!未找到引用源。经过反向平移也可以得到错误!未找到引用源。；

(5)抛物线错误!未找到引用源。的对称轴是直线 ，顶点坐标是 .

二次函数错误!未找到引用源。的性质列表如下：

函数

错误!未找到引用源。的符号 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

图象

开口方向

对称轴

顶点坐标

最值 2 / 9

函数的增减性

二、 错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的互相转化

1.通过 、 可以将错误!未找到引用源。化为错误!未找到引用源。.

2.利用 可以将错误!未找到引用源。转化为错误!未找到引用源。.简记为“一提，二配，三计算”.即错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 .

因此，二次函数错误!未找到引用源。的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线

，顶点坐标是 .

三、 二次函数错误!未找到引用源。的图象及性质

函数

错误!未找到引用源。的符号 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

图象

开口方向

对称轴

顶点坐标

增减性

最值

二次函数系数a、b、c与图象的关系

知识归纳：

1.a的作用：决定开口方向和开口大小

2.a与b的作用：左同右异（对称轴的位置）

3.c的作用：与y轴交点的位置。

4.b2-4ac的作用：与x轴交点的个数。

5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c),

(-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。

针对训练：

1. 判断下列各图中的a、b、c及△的符号。

(1)a___0； b___0； c___0； △__0.

(2)a___0； b___0； c___0； △__0.

(3)a___0； b___0； c___0； △__0.

(4)a___0； b___0； c___0； △__0.

(5)a___0； b___0； c___0； △__0.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，

用（＞，＜，=）填空：

a___0； b___0； c___0； a+b+c__0； a-b+c__0. 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（ ）

A.ab<0 B.bc<0 C.a+b+c>0 D.a－b+c<0

4.二次函数y=ax2+bx+c图象如图，则点 A（b2-4ac，-ba）在第 象限．

5．已知 a＜0，b＞0，c＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，判断下列各式的符号：

(1)a； (2)b； (3)c； (4)a+b+c； (5)a-b+c；(6)b2-4ac；

(7)4ac-b2； (8)2a+b； (9)2a-b

7.练习：填空

（1）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值恒为正的条件： ，恒为负的条件： .

责任编辑：王二喜　

像与　

的关系　

０／邓革周　

二次函数，，＝　＋ｂｘ＋ｃ（ｏ≠０）的图像与其系数的关系是中考　

命题的重点内容．这类题能考查我们的逻辑推理能力和数与形的　转化能力．现以２０１０年的中考题为例，说明这类题的解法．　

例１　（２０１０年天津卷）已知二次函数ｙ＝似　＋ｂｘ＋ｃ（口≠０）的图　

像如图１所示，有下列结论：①ｂ２＿４ａｃ＞０；②ａｂｃ＞０；③８ａ＋ｃ＞０；④　

９ａ＋３ｂ＋ｃ＜０．其中，正确的结论个数是（　）．　

，４．】　Ｂ．２　Ｃ．３　Ｄ　４　解：‘．‘函数图像与　轴有两个交点，　

．・．二次函数对应的方程似　＋ｂｘ＋ｃ：０（ｎ≠　

０）有两解，即ｂ２＿４ａｃ＞Ｏ．故结论①正确．　

由抛物线开口向上可知ａ＞Ｏ．　

・．・对称轴　：一　ｂ：１＞０，．・．ｂ＜Ｏ．　０　又‘．’抛物线与Ｙ轴交于负半轴，．・．ｃ＜０　

．・．ａｂｅ＞０．故结论②正确．　｛　／　

一２　Ｄ　／　＼　

＝１　＼　

图１　

ｌｉｘ＇￣

　当Ｘ－－一２时，ｙ＝４ａ～２ｂ＋ｃ＞０，由　＝一　－＿＝１得６＝一２ａ，　ａ　

．・．４ａ＋４ａ＋ｃ＝Ｓａ＋ｃ＞０．故结论③正确．　由抛物线的对称性可知，当Ｘ－－一１和ｘ＝３时，Ｙ的值相等．　

当Ｘ－－一１时，由图像可知ｙ＝ａ—ｂ＋ｃ＜０，　

．・．当ｘ＝３时，ｙ＝９ａ＋３ｂ＋ｃ＜０．故结论④正确．　

综上所述，选Ｄ．　

温馨小提示：这是一道二次函数图像与其系数关系的综合题，　

考查了二次函数的性质、数形结合思想以及恒等变形的能力．其　

中，“取　的不同值列出与选项有关的代数式”是解题的难点，对　我们分析问题的能力和推理能力有较高要求．　

．｜　方法提艨　｜　

一般说来，对于二次函数ｙ＝　＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图像与其系数　

之间的关系类考题，我们可从以下几个方面去思考：　

开１：２向上学０＞Ｏ：　ａ的符号　看抛物线的开口方向　开口向下∞日＜Ｏ．　

对称轴在Ｙ轴的左侧甘６与ａ同号；　ｂ的符号　看对称轴与Ｙ轴的位置关系　对称轴在Ｙ轴的右侧铮６与Ⅱ异号；　对称轴是Ｙ轴甘６＝０．　

二次函数的图像与系数的关系

一．选择题（共19小题）

1．（2013•齐河县一模）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：

①abc＞0；

②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；

③a+b+c＞0；

④当x＞1时，y随着x的增大而增大．

正确的说法个数是（ ）

A． 1 B． 2 C． 3 D．

4

2．（2013•盐城模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）

A． abc＞0 B． b2﹣4ac＜0 C． 9a+3b+c＞0 D． c+8a＜0

3．（2012•鞍山）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是（ ）

A． ①④ B．

①③ C． ②④ D． ①②

4．（2011•闵行区一模）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（

）

A． a＞0 B． b＜0 C． c＞0 D． abc＞0

5．（2010•福州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A． a＞0 B． c＜0 C． b2﹣4ac＜0 D． a+b+c＞0

6．（2010•文山州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（ ）

A． a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B． a＜0，b＜0，c＜0，b2﹣4ac＞0

C． a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＜0 D． a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0

7．（2006•武汉）（人教版）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，下列结论：①9a﹣3b+c＞0；②b＜a；③3a+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）