二次函数的图象与系数的关系

课题 22.1.5 二次函数图象与字母系数的关系

课型 课时 班级

教学目标 1.知识与技能

(1)通过对二次函数解析式的探究,解析式中字母系数与二次函数图像的关系

(2)能灵活地根据条件恰当利用系数解析二次函数图像.

2.过程与方法

通过观察、讨论等手段,在活动中自主探究用二次函数图像与字母系数的关系

2. 情感、态度与价值观

通过小组协作活动,培养学生协作学习的意识和研究探索的精神.

教学重难点 重点：

二次函数图象与字母系数的关系

难点：

二次函数图象与字母系数的关系的灵活运用

教学方法

教学过程

教学环节 教学内容 二度备课

一，复习巩固、自主学习

二，合作探究、解决疑难

1.关于抛物线与a、b、c以及b2-4ac的符号关系：

(1)开口方向由a决定；

(2)对称轴位置由a、b决定，“左同右异”：

对称轴在y轴左侧时，a、b同号，

对称轴在y轴右侧时，a、b异号；

(3)与y轴的交点由c决定，“上正下负”，

c为0时图象经过原点.

(4)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点由b2-4ac决定：①当b2-4ac＞0时，与x轴有两个不同交点；

②当b2-4ac=0时，与x轴只有一个交点（顶点在x轴上） ；

③当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；

(5)抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代数式的正负：

（1，a+b+c）, （-1，a-b+c）,

（2，4a+2b+c）, （-2，4a-2b+c）,

(6)判断2a+b与2a-b的正负经常由对称轴与±1的关系决定；

三，展示讲评、拓展延伸

已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；

(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．

四，检测反馈、分层练习

1、 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( )

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二次函数图象的位置与系数之是的关系

作者：陈德前

来源：《初中生世界(初三年级)》2008年第08期

对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），其函数图象的位置与系数之间有如下关系：

（1）a>0?圳抛物线开口向上，a

（2）a、b同号?圳对称轴在y轴的左侧，a、b异号?圳对称轴在y轴的右侧；

（3）c>0?圳抛物线交y轴于正半轴，c

（4）△>0?圳抛物线与x轴有两个交点，△＝0?圳抛物线与x轴有一个交点，△＜0?圳抛物线与x轴没有交点；

（5）a+b+c的值的正负号，由x=1时y的正负号确定；

（6）a-b+c的值的正负号，由x=-1时y的正负号确定.

下面举例说明这些关系的应用.

例1（徐州市中考试题）函数y=ax２＋a与y=（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是图1中的（ ）.

分析：在A中，由反比例函数图象有a＞0，而二次函数的图象过原点，则a＝0，矛盾，排除；在B中，由反比例函数图象有a＞0，而由二次函数的图象有a＜0，矛盾，排除；在C中，由反比例函数图象有a＞0，而二次函数的图象交y轴于负半轴，则a＜0，矛盾，排除；所以应选D.

例2（淮安市中考试题）已知直线y=ax+b（a≠0）不经过第二象限，则抛物线y=ax2+bx的图象一定经过（ ）.

A.第一、二、四象限 B. 第一、二、三象限

C. 第一、二象限 D. 第三、四象限

分析：由于直线y=ax+b（a≠0）不经过第二象限，所以a＞0，b≤0.当b 龙源期刊网

=0时，抛物线一定过一、二象限；当b＜0时，抛物线顶点坐标为－，，因为－＞0，＜0，所以抛物线顶点在第四象限，且该抛物线必过原点，又由a、b异号知，抛物线的对称轴在y轴的右侧，所以抛物线过一、二、四象限.综上所述，图象必定经过的象限为第一、二象限，选C.

◇山东李金之　

二次函数　—ａｘ　＋　＋ｃ（口≠０）的字母系数确　定后（可以用待定系数法确定ａ、ｂ、Ｃ的值），它的图象　和性质也就确定了．反之，当已知二次函数的图象或　

它的一些性质，也可以求出它的字母系数的值或字母　

系数的范围．现就二次函数　—ａｘ　＋ｂｘ＋Ｃ（ｎ≠０）的　图象性质与字母系数的关系举例如下．　１二次函数Ｙ＝口　＋ｂｘ＋ｃ（ｎ≠０）中的字母系数ｎ、　

ｂ、ｃ及其意义　１）二次函数ａ及其意义　

二次函数ａ不但决定了二次函数图象的开口方　向（当ａ＞０时，抛物线开口向上；当ａ＜０时，其开口　

向下），它还决定开口的大小．也就是说，当二次函数ａ　的绝对值相同时，这些抛物线的形状完全相同，反之　

也成立．因此抛物线　—ａｘ　＋ｂｘ＋Ｃ（ａ≠０）可以由抛　物线　—ａｘ　（ｎ≠Ｏ）平行移动得到．　

２）常数项ｃ的意义　

对于二次函数　—ａ．２ｃ　＋ｂｘ＋ｃ（ｎ≠０）来说，当　ｚ一０时，　—Ｃ，即抛物线　—ａａｃ　＋ｂｘ＋Ｃ（口≠Ｏ）总是　

经过（Ｏ，ｃ）．当ｃ＞Ｏ时，抛物线与．ｙ轴的交点在Ｙ轴的　正半轴；当ｃ＜Ｏ时，抛物线与　轴的交点在Ｙ轴的负　

半轴；当Ｃ一０时，抛物线经过原点．反过来，当抛物线　与　轴的交点坐标已知时，其二次函数解析式中的常　

数项Ｃ的值也就决定了．　

３）一次项系数ｂ的意义　当二次函数Ｙ—ｎｚ　＋ｂｘ＋Ｃ（ｎ≠０）中的二次项　

系数ａ及一次项系数ｂ一旦确定，这个函数的对称　

轴：直线ｚ＝＝＝一　（顶点的横坐标）则唯一确定了．反　

之亦然．　静　例１已知二次函数ｙ一一ｚ　＋３ｘ，则其图象大　致位置是（　）．　

Ａ　Ｂ　Ｃ　答案Ｃ．　

触化　Ｄ　２　二次函数图象的顶点坐标与字母系数　

对于　一口　＋６ｚ＋Ｃ（ｎ≠Ｏ），其图象顶点坐标是　

（一乏，丝　），这是二次函数的重要性质，它不但　

决定了二次函数的顶点，同时也确定了函数的最值．　—　孑　例２　已知抛物线Ｙ—　一８ｚ＋ｆ顶点在　轴　

上，则Ｃ的值是（　）．　

Ａ　０；　Ｂ　一１６；　Ｃ　８；Ｄ　１６　由于抛物线　一，３２　一８ｘ＋ｃ的顶点在ｚ轴　析上，则其顶点的纵坐标为０，即　＝０，上，则其顶点的纵坐标为，即　＝＝＝，　口　所以—４ｃ＿－一６４—０，所以ｃ一１６．故选Ｄ．　

二次函数图象特征与系数关系专题

一、知识要点：

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号的确定 1、a由抛物线开口方向确定00aa开口向下开口向上

2、b由对称轴x= -a2b和a的符号确定000002000002b-babaabbabaa，则，则，则，则

3、c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴的00cc负半轴，则正半轴，则

4、b2-4ac的符号由抛物线与x轴（或坐标轴）的交点个数确定：

①与x轴的交点个数时，方程无实数根；没有交点，数根时，方程有两个相等实；个交点，实数根时，方程有两个不相等；个交点，004b0y0410042222yacacbyacb

②与坐标轴交点个数；个交点，；个交点，；个交点，041042043222acbacbacb

5、根据函数图象的具体情况取特殊值，确定代数式符号：

常见①x=1时，a +b +c的符号；②x=-1时，a -b+ c的符号；③x=2时，4a+2b+c的符号；④x=-2时，4a-2b+c的符号；…….

6、由对称轴公式x= -a2b，可确定2a+b的符号或对称轴有具体数值是确定相关代数式的符号；如：x= -a2b=-32时，可确定4a-3b的符号；有时与相关成立的等式或不等式结合，确定运算后代数式的符号。

二、专题练习

1. 如图1，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，根据图中信息，下列结论正确是（ ）

① a b c >0； ②b< a+ c；③2a+b=0；④a +b

（1） （2） （3） （4）

2、如图2，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象,根据图中信息，下列结论正确是（ ）

①b2-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0

3、如图3，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，根据图中信息，下列结论正确是（ ） （1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a +b +c＜0．