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二次函数系数与图像的关系

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第 1页 / 共 5页 二次函数系数a，b，c与图像的关系

二次函数)0(2acbxaxy的图像确定后，解析式中的系数a，b，c也随之确定，反之，根据所给字母系数a，b，c的符号，也可以判断抛物线的开口方向和位置．

这一知识点在中考也属于必考知识点，在选择题第10题考察，难度中等，综合性较强．那么，字母系数a，b，c又是分别对图像有着怎样的影响，下面我们来一一归纳：

一、a的作用

1．决定开口方向：0a开口向上；0a开口向下；

2．决定开口的大小：∣a∣越大，抛物线的开口越小．

二、b的作用与抛物线的对称轴和a有关，b与a的符号共同决定抛物线的对称轴

1．b与a同号．02ab对称轴在y轴的左边．如图一，对称轴在 y轴的左边，所以b与a同号，因为抛物线开口向下，所以0a，则0b；

2．b与a异号．02ab对称轴在y轴的右边．如图二，对称轴在 y轴的右边，所以b与a异号，因为抛物线开口向下，所以0a，则0b；

3．0b．顶点在y轴上．

简记：左同右异

三、c的作用：由抛物线与y轴的交点坐标决定

1． 0c抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴；

2． 0c抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴；

3． c= 0抛物线过原点． 图一 图二

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四、抛物线与x轴的交点个数决定acb42的符号

1．抛物线与x轴有两个交点042acb；

2．抛物线与x轴有一个交点042acb；

3．抛物线与x轴没有交点042acb．

五、ba2的符号由对称轴所在位置来决定

1．判断ba2的符号，需要判断抛物线的对称轴与1的大小关系；

①如果对称轴在1的右面，则12ab，如果抛物线开口向上，则0a，不等式就可转化为ab2，移项可得02ba；

②如果对称轴在1的左面，则12ab，如果抛物线开口向上，则0a，不等式就可转化为ab2，移项可得02ba；

例如：在图三中，抛物线对称轴在1x的左侧，则12ab，因为开口向下，所以0a，两边同时乘以a，不等号方向改变，则有02ba．根据这一方法，很容易推出图四中02ba．

2．判断ba2的符号，需要判断抛物线的对称轴与1的大小关系；

①如果对称轴在1的右面，则12ab，如果抛物线开口向上，则0a，不等式就可转化为ab2，移项可得02ba； 图三 图四

第 3页 / 共 5页 1x1x②如果对称轴在1的左面，则12ab，如果抛物线开口向上，则0a，不等式就可转化为ab2，移项可得02ba．

例如：在图五中，抛物线对称轴在1x的左侧，则12ab，因为开口向下，所以0a，两边同时乘以a，不等号方向不变，则有02ba．根据这一方法，很容易推出图六中02ba．

六、其他情况（解析式cbxaxy2中x取特殊值）

1．当1x，则cbay，所以抛物线cbxaxy2必过),1(cba，在图像中找到这个点的位置．如图七，抛物线cbxaxy2与1x的交点位置在第一象限，所以0cba．当1x时，cbay，用同样的方法即可判断符号；

图五 图六

1 x y

图七

第 4页 / 共 5页 3

图九 x y 2

图八 x y 2．当2x，则cbay24，所以抛物线cbxaxy2必过)24,2(cba，在图像中找到这个点的位置．如图八，抛物线cbxaxy2与2x的交点位置在第四象限，所以024cba．当2x时，cbay24，用同样的方法即可判断符号；

3．当3x，则cbay39，所以抛物线cbxaxy2必过)39,3(cba，在图像中找到这个点的位置．如图九，抛物线cbxaxy2与3x的交点位置在第四象限，所以039cba．

当3x时，cbay39，用同样的方法即可判断符号．

以上总结的知识点，在考试中也经常考察，在中考也有直接考察；这一部分知识点属于二次函数性质中非常重要的部分，必须熟练掌握．

下面给出几道例题，供大家试试身手：

例1：二次函数cbxaxy2的图像如图所示，用<，>，=填空：

a 0， b 0， c 0， ba2 0， acb42

0，

cba 0， cba

0，

x y

第 5页 / 共 5页 例2：已知，二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则点M（cb，a）在( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

x y

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二次函数中各项系数abc与图像的关系

二次函数中各项系数abc与图像的关系

二次函数中各项系数a，b，c与图像的关系

一、首先就y=ax2+bx+c（a≠0）中的a，b，c对图像的作用归纳如下：

1 a的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；

决定张口的大小：∣a∣越大，抛物线的张口越小．

2 b的作用：b和a与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．

b与a同号，说明02ab，则对称轴在y轴的左边；

b与a异号，说明−𝑏2𝑎>0，则对称轴在y轴的右边；

特别的，b = 0，对称轴为y轴．

3 c的作用：c决定了抛物线与y轴的交点纵坐标．抛物线与y轴的交点（0，c）

c > 0 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴；

c < 0 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴；

特别的，c = 0，抛物线过原点．

4 a,b,c共同决定判别式?=𝑏2−4𝑎𝑐的符号进而决定图象与x轴的交点

𝑏2−4𝑎𝑐>0 与x轴两个交点

𝑏2−4𝑎𝑐=0 与x轴一个交点

𝑏2−4𝑎𝑐<0 与x轴没有交点

5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；

x= -1时，y=a - b + c ．

当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0

当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．

扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。

一．选择题（共8小题）

1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）

A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．b+2a＞0

2．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ）

二次函数图像与系数关系

二次函数图像与系数关系

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二次函数图象与系数的关系

知识点

一、

二次函数错误!未找到引用源。的图象与性质

二次函数错误!未找到引用源。图象可由抛物线错误!未找到引用源。 平移 个单位，再 平移 个单位而得到. 平移规律如下：

(1)平移时与上、下、左、右平移的先后顺 ，既可以先左右移再上下移，也可以先上下移再左右移；

(2)抛物线的移动主要看 的移动，即在平移时只要抓住 的位置变化就可以了；

(3)平移规律：“上加下减，左加右减”.

(4)抛物线错误!未找到引用源。经过反向平移也可以得到错误!未找到引用源。；

(5)抛物线错误!未找到引用源。的对称轴是直线 ，顶点坐标是 .

二次函数错误!未找到引用源。的性质列表如下：

函数

错误!未找到引用源。的符号 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

图象

开口方向

对称轴

顶点坐标

最值 2 / 9

函数的增减性

二、 错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的互相转化

1.通过 、 可以将错误!未找到引用源。化为错误!未找到引用源。.

2.利用 可以将错误!未找到引用源。转化为错误!未找到引用源。.简记为“一提，二配，三计算”.即错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 .

因此，二次函数错误!未找到引用源。的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线

，顶点坐标是 .

三、 二次函数错误!未找到引用源。的图象及性质

函数

错误!未找到引用源。的符号 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

图象

开口方向

对称轴

顶点坐标

增减性

最值

二次函数系数abc与图像的关系

二次函数系数abc与图像的关系

二次函数系数a、b、c与图象的关系

知识归纳：

1.a的作用：决定开口方向和开口大小

2.a与b的作用：左同右异（对称轴的位置）

3.c的作用：与y轴交点的位置。

4.b2-4ac的作用：与x轴交点的个数。

5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c),

(-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。

针对训练：

1. 判断下列各图中的a、b、c及△的符号。

(1)a___0； b___0； c___0； △__0.

(2)a___0； b___0； c___0； △__0.

(3)a___0； b___0； c___0； △__0.

(4)a___0； b___0； c___0； △__0.

(5)a___0； b___0； c___0； △__0.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，

用（＞，＜，=）填空：

a___0； b___0； c___0； a+b+c__0； a-b+c__0. 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（ ）

A.ab<0 B.bc<0 C.a+b+c>0 D.a－b+c<0

4.二次函数y=ax2+bx+c图象如图，则点 A（b2-4ac，-ba）在第 象限．

5．已知 a＜0，b＞0，c＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，判断下列各式的符号：

(1)a； (2)b； (3)c； (4)a+b+c； (5)a-b+c；(6)b2-4ac；

(7)4ac-b2； (8)2a+b； (9)2a-b

7.练习：填空

（1）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值恒为正的条件： ，恒为负的条件： .

二次函数的图像与系数的关系(初三数学最全整理)

二次函数的图像与系数的关系(初三数学最全整理)

二次函数图象与系数的关系

二次函数的图象与二次函数的系数a、b、c有内在联系。由系数可以得出二次函数的大致图象，由图象可以得出二次函数系数的取值范围，以下是二次函数的系数和图象之间联系的一些归纳和总结！

一、知识点1 二次函数的图像与系数的关系

(1)a的符号由

决定： ①开口向  a 0；①开口向  a 0.

(2)b的符号由 决定：

① 在y轴的 ba、 ；

① 在y轴的 ba、 ；

① 是 b 0.

(3)c的符号由 决定：

①点（0，c）在y轴正半轴 c 0；

①点（0，c）在原点 c 0；

①点（0，c）在y轴负半轴 c 0.

知识点2 二次函数与一元二次方程的关系

[归纳概括]如果抛物线)0(2acbxaxy与x轴有公共点，公共点的横坐标是0x，那么当x= 时，函数的值是0，因此x= 就是方程02cbxax的一个根.

[归纳概括]函数)0(2acbxaxy的图像与x轴交点的个数

(1)当042acb时，有 交点；

(2)当042acb时，有 交点；

(3)当042acb时，没有交点；

二、例题讲解：例1 已知二次函数)0(2acbxaxy的图像如图所示，试确定代数式①a；②b；③c；④b2-4ac；⑤2a+b；⑥a+b+c；⑦a-b+c；⑧4a+2b+c的符号.

练习1：根据图象填空：