二次函数的系数与图象的关系

课题 22.1.5 二次函数图象与字母系数的关系

课型 课时 班级

教学目标 1.知识与技能

(1)通过对二次函数解析式的探究,解析式中字母系数与二次函数图像的关系

(2)能灵活地根据条件恰当利用系数解析二次函数图像.

2.过程与方法

通过观察、讨论等手段,在活动中自主探究用二次函数图像与字母系数的关系

2. 情感、态度与价值观

通过小组协作活动,培养学生协作学习的意识和研究探索的精神.

教学重难点 重点：

二次函数图象与字母系数的关系

难点：

二次函数图象与字母系数的关系的灵活运用

教学方法

教学过程

教学环节 教学内容 二度备课

一，复习巩固、自主学习

二，合作探究、解决疑难

1.关于抛物线与a、b、c以及b2-4ac的符号关系：

(1)开口方向由a决定；

(2)对称轴位置由a、b决定，“左同右异”：

对称轴在y轴左侧时，a、b同号，

对称轴在y轴右侧时，a、b异号；

(3)与y轴的交点由c决定，“上正下负”，

c为0时图象经过原点.

(4)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点由b2-4ac决定：①当b2-4ac＞0时，与x轴有两个不同交点；

②当b2-4ac=0时，与x轴只有一个交点（顶点在x轴上） ；

③当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；

(5)抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代数式的正负：

（1，a+b+c）, （-1，a-b+c）,

（2，4a+2b+c）, （-2，4a-2b+c）,

(6)判断2a+b与2a-b的正负经常由对称轴与±1的关系决定；

三，展示讲评、拓展延伸

已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；

(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．

四，检测反馈、分层练习

1、 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( )

二次函数中各项系数a，b，c与图像的关系

一、首先就y=ax2+bx+c（a≠0）中的a，b，c对图像的作用归纳如下：

1 a的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；

决定张口的大小：∣a∣越大，抛物线的张口越小．

2 b的作用：b和a与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．

b与a同号，说明02ab，则对称轴在y轴的左边；

b与a异号，说明−𝑏2𝑎>0，则对称轴在y轴的右边；

特别的，b = 0，对称轴为y轴．

3 c的作用：c决定了抛物线与y轴的交点纵坐标．抛物线与y轴的交点（0，c）

c > 0 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴；

c < 0 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴；

特别的，c = 0，抛物线过原点．

4 a,b,c共同决定判别式?=𝑏2−4𝑎𝑐的符号进而决定图象与x轴的交点

𝑏2−4𝑎𝑐>0 与x轴两个交点

𝑏2−4𝑎𝑐=0 与x轴一个交点

𝑏2−4𝑎𝑐<0 与x轴没有交点

5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；

x= -1时，y=a - b + c ．

当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0

当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．

扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。

一．选择题（共8小题）

1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）

A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．b+2a＞0

2．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ）

二次函数的图象与系数的关系

第 1 页 共 2 页 x y 二次函数的图象与系数的关系

二次函数)0(2acbxaxy的图象与系数的关系如下：

1、a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。

2、a决定抛物线的开口大小：a越大，则开口越小；a越小，则开口越大。

3、a、b的符号决定抛物线的对称轴：当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧。

4、c是抛物线与y轴交点的纵坐标：当0c时，抛物线经过原点；当c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；当c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴。

5、acb42决定图象与x轴是否相交：当acb42＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当042acb时，抛物线与x轴只有一个交点；当acb42＜0时，抛物线与x轴没有交点。

应用上述关系，便能简洁明快地根据a、b、c的符号判断抛物线的位置，或者根据抛物线的位置确定a、b、c的符号。

例1（海淀区中考题）二次函数cbxaxy2的图象如图1所示，则下列结论正确的是（ ）

A、abc000，， B、abc000，，

C、abc000，， D、abc000，，

析解：由抛物线开口向下可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交于正半轴可知c＞0，故选D。

例2（天津市中考题）图2为二次函数cbxaxy2的图象，则一次函数bcaxy的图象不经过（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

析解：由抛物线的开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的左侧，可知a、b同号，所以b＞0，抛物线与y轴交于负半轴可知c＜0，所以bc＜0，所以一次函数bcaxy不经过第二象限，故选B。

例3（广安市中考题）二次函数cbxaxy2的图象如图3所示，则点A（a，b）在（ ）

二次函数图象与系数的关系

二次函数的图象与二次函数的系数a、b、c有内在联系。由系数可以得出二次函数的大致图象，由图象可以得出二次函数系数的取值范围，以下是二次函数的系数和图象之间联系的一些归纳和总结！

一、知识点1 二次函数的图像与系数的关系

(1)a的符号由

决定： ①开口向  a 0；①开口向  a 0.

(2)b的符号由 决定：

① 在y轴的 ba、 ；

① 在y轴的 ba、 ；

① 是 b 0.

(3)c的符号由 决定：

①点（0，c）在y轴正半轴 c 0；

①点（0，c）在原点 c 0；

①点（0，c）在y轴负半轴 c 0.

知识点2 二次函数与一元二次方程的关系

[归纳概括]如果抛物线)0(2acbxaxy与x轴有公共点，公共点的横坐标是0x，那么当x= 时，函数的值是0，因此x= 就是方程02cbxax的一个根.

[归纳概括]函数)0(2acbxaxy的图像与x轴交点的个数

(1)当042acb时，有 交点；

(2)当042acb时，有 交点；

(3)当042acb时，没有交点；

二、例题讲解：例1 已知二次函数)0(2acbxaxy的图像如图所示，试确定代数式①a；②b；③c；④b2-4ac；⑤2a+b；⑥a+b+c；⑦a-b+c；⑧4a+2b+c的符号.

练习1：根据图象填空：