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小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
分数与繁分数化简【分数化简】讲析：容易看出，分子中含有因数37，分母中含有因数71。
所以可得（长沙地区小学数学奥林匹克选拔赛试题）讲析：注意到，4×6=24，2＋4=6，由此产生的一连串算式：16×4=64166×4=6641666×4=6664……（全国“育苗杯”小学数学竞赛试题）讲析：容易看出分子中含有因数3。
把48531分解为48531=3×16177，然后可试着用16177去除分母：【繁分数化简】（1990年马鞍山市小学数学竞赛试题）讲析：如果分别计算出分子与分母的值，则难度较大。
观察式子，可发现分子中含有326×274，分母中含有275×326。
于是可想办法化成相同的数：（全国第三届“华杯赛”复赛试题）讲析：可把小数化成分数，把带分数都化成假分数，并注意将分子分母同乘以一个数，以消除各自中的分母。
于是可得例3 化简（全国第三届“华杯赛”复赛试题）讲析：由于分子与分母部分都比较复杂，所以只能分别计算。
计算时，哪一步中能简算的，就采用简算的办法去计算。
所以，原繁分数等于1。
（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：连分数化简，通常要从最下层的分母开始，自下而上逐步化简。
依此法计算，题目的得数是2。
（计算过程略）55、对称变换【将军饮马】据说古代希腊有一位将军向当时的大学者海伦请教一个问题：从A地出发到河边饮马，再到B地（如图4.32所示），走什么样的路最近？如何确定饮马的地点？海伦的方法是这样的：如图4.33，设L为河，作AO⊥L交L于O点，延长AO至A＇，使A＇O=AO。
连结A＇B，交L于C，则C点就是所要求的饮马地点。
再连结AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。
为什么呢？因为A＇是A点关于L的对称点，AC与A＇C是相等的。
而A＇B 是一条线段，所以A＇B是连结A＇、B这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=A＇C+CB=A＇B也是最短的一条路了。
六年级下册奥数 第1讲~繁分数的计算【知识精讲】本讲属于计算专题，在升学中占比20%左右，而且题目比较灵活，对学生计算能力的要求也较高，主要考察学生对于各类计算方法的熟练运用。
本讲需要掌握以下三点内容：1、繁分数的计算；2、连分数的计算；3、连分数方程。
知识点一：繁分数计算1、计算（1）_____311= （2）______231=2、计算（1）_____3132= （2）_____235.0=3、计算（1）____5.132654321=⨯+++++ （2）____4114315715743=-⨯+⨯例1、计算下列各题。
（1）251121210121121-1÷⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++ （2）15147538213212⨯-+【2015大桥】练1、计算下列各题。
（1）101-12141+【2016大桥】 （2）31652131183-+⨯ 【2008大桥】21314151+++41312111+++例2、计算下列各题。
8721654333113612141871÷÷-+⨯）（ （2） 17624143135131611332472319359⨯÷-⨯+⨯练2、定义运算“*”：()()()⎪⎩⎪⎨⎧<=>=*b a b b a b a a b a 若若若1，则________8.0541.031-371.1=***知识点二：连分数计算（1）____212111=++（2）____514121=++例3、将下面这个连分数化简为最简真分数。
练3、将下面这个连分数化简为最简真分数。
知识点三：连分数方程（1）231=x 5311=+x （2）2511=+x 58111=++x813111113=+++x）（例4、若等式11841x 12111=+++成立，x 等于多少？练4、若等式11921111=++x 成立，x 等于多少？自我挑战：1、计算：）（）（6518741365-871322+÷⨯2、计算： 2.112731174 1.25763-620173⨯÷+÷⨯）（）（3、计算：9171513111++++4、若等式111941x 121111=++++成立，x 等于多少？温故而知新！1、计算 ____31216132=-+2、计算___43212353.0412322=+⨯+⨯3、计算____432122349311=++⨯ 4、计算1111111+++=______5、将下面这个连分数化简为最简真分数。
六年级奥数比和比例讲座比和比例两个数相除又叫做两个数的比．一、比和比例的性质性质1：若a:b=c：d，则：=a：b=c：d；性质2：若a:b=c：d，则：=a：b=c：d；性质3：若a:b=c：d，则：=a：b=c：d；性质4：若a:b=c：d，则a×d=b×c；正比例：如果a÷b=，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=，则称a、b成反比．二、比和比例在行程问题中的体现在行程问题中，因为有速度=，所以：当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比；当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比；当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比．．A和B两个数的比是8：5，每一数都减少34后，A是B的2倍，试求这两个数．【分析与解】方法一：设A为8x，则B为5x，于是有:=2：1，x=17，所以A为136，B为85．方法二：因为减少的数相同，所以前后A、B的差不变，开始时差占3份，后来差占1份且与B一样多，也就是说减少的34，占开始的3-1=2份，所以开始的1份为34÷2=17，所以A为17×8=136，B为17×5=85．．近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的再向前56千米处所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早了2小时．问北京西站、安庆西站两地相距多少千米?【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？x=60：120，即：x=1：2，即x=x+112，解得x=1232．即北京西站、安庆西站两地相距1232千米，．两座房屋A和B各被分成两个单元．若干只猫和狗住在其中．已知：A房单元内猫的比率大于B房单元内猫的比率；并且A房第二单元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率．试问是否整座房屋A内猫的比率必定大于整座房屋B内猫的比率?【分析与解】如下表给出的反例指出：对所提出问题的回答应该是否定的．表中具体写出了各个单元及整座房屋中的宠物情况和猫占宠物总数的比率．4．家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中公篱与母篱数量之比是2：3，已知鸡、鸭、鹅数量之比是8：7：5，公鸡、母鸡数量之比是1：3，公鸭、母鸭数量之比是3：4．试求公鹅、母鹅的数量比．【分析与解】公鸡占家禽场家禽总数的=，母鸡占总数的；公鸭占总数的，母鸭占总数的；公鹅占总数的，母鹅占总数的，公鹅、母鹅数量之比为：3：2．．在古巴比伦的金字塔旁，其朝西下降的阶梯旁6的地方树立有1根走子，其影子的前端正好到达阶梯的第3阶．另外，此时树立l根长70c自杆子，其影子的长度为175c，设阶梯各阶的高度与深度都是50c，求柱子的高度为多少？【分析与解】70c的杆子产生影子的长度为175c;所以影子的长度与杆子的长度比为：175：70=2.5倍．于是，影子的长度为6+1.5+1.5×2.5=11.25，所以杆子的长度为11.25÷2.5=4.5．．已知三种混合物由三种成分A、B、c组成，种仅含成分A和B，重量比为3：5；第二种只含成分B和c，重量比为I：2；第三种只含成分A和c，重量之比为2：3．以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中A，B和c，这三种成分的重量比为3：5：2?【分析与解】注意到种混合物种A、B重量比与最终混合物的A、B重量比相同，均为3：5.所以，先将第二种、第三种混合物的A、B重量比调整到3：5，再将第二种、第三种混合物中A、B与种混合物中A、B视为单一物质.第二种混合物不含A，第三种混合物不含B，所以1.5倍第三种混合物含A为3，5倍第二种混合物含B为5，即第二种、第三种混合物的重量比为5：1.5．于是此时含有c为5×2+1.5×3=14.5，在最终混合物中c的含量为3A／5B含量的2倍．有14.5÷2-1=6.25，所以含有种混合物6.25．即、二、三这三种混合物的比例为6.25：5：1.5=25：20：6．7．现有男、女职工共1100人，其中全体男工和全体女工可用同样天数完成同样的工作；若将男工人数和女工人数对调一下，则全体男25天完成的工作，全体女工需36天才能完成，问：男、女工各多少人?【分析与解】直接设出男、女工人数，然后在通过方程求解，过程会比较繁琐．设开始男工为“1”，此时女工为“”，有1名男工相当名女工．男工、女工人数对调以后，则男工为“”，相当于女工“2”，女工为“I”．有2：1=36：25，所以=．于是，开始有男工数为×1100=500人，女工600人．．有甲乙两个钟，甲每天比标准时间慢5分钟，而乙每天比标准时间快5分钟，在3月15日的零点零分的时候两钟正好对准．若已知在某一时刻，乙钟和甲钟时针与分针都分别重合，且在从3月15日开始到这个时候，乙钟时针与分针重合的次数比甲钟多10次，那么这个时候的标准时间是多少?【分析与解】标准的时钟每隔分钟重合一次．假设经历了x分钟．于是，甲钟每隔分钟重合一次，甲钟重合了×x次；同理，乙钟重合了×x次；于是，需要乙钟比甲钟多重合×x-×x=×x=10;所以，x=24×60；所以要经历24×60×65分钟，则为天.于是为65天小时分钟．．一队和二队两个施工队的人数之比为3：4，每人工作效率之比为5：4，两队同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果二队比一队早完工9天．后来，由一队工人与二队工人组成新一队，其余的工人组成新二队．两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果新二队比新一队早完工6天．试求前后两次工程的工作量之比?【分析与解】一队与二队的工作效率之比为：：=15：16．一队干前一个工程需9÷=144天．新一队与新二队的工作效率之比为：新一队干后一个工程需6÷=282天．一队与新一队的工作效率之比为所以一队干后一个工程需282×天．前后两次工程的工作量之比是144：=：=540：1081.。
1、繁分数的定义
如分数形式，分⼦或分母含有分数，或分⼦与分母都含有分数的数，叫繁分数。
2、繁分数计算的技巧
(1)先找出繁分数中主分数线，确定分⼦部分和分母部分，然后这两部分分别进⾏计算，每部分的计算结果能约分的要约分，最后改成“分⼦部分/分母部分”的形式，再求出结果。
(2)繁分数化简的另⼀种⽅法是：根据分数的基本性质，将繁分数的分⼦部分和分母部分同时扩⼤相同的倍数(这个倍数必须是分⼦部分与分母部分所有分母的最⼩公倍数)，从⽽却掉分⼦部分和分母部分的分母，然后通过计算划分为最简分数或整数。
分数的四则混合运算综合教学目标分数是小学阶段的关键知识点，在小学的学习有分水岭一样的阶段性标志，许多难题也是从分数的学习开始遇到的。
分数基本运算的常考题型有（1）分数的四则混合运算（2）分数与小数混合运算，分化小与小化分的选择（3）复杂分数的化简（4）繁分数的计算知识点拨分数与小数混合运算的技巧在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。
技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。
技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。
此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。
技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。
技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。
技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，把这些常用的数互化数表化对学习非常重要。
分数混合运算 【例 1】 0.3÷0.8＋0.2＝ 。
（结果写成分数形式）【考点】分数混合运算 【难度】1星 【题型】计算【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】 310×54+15=38+15=2340。
【答案】2340【例 2】 计算：34567455667788945678⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 【考点】分数混合运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式345674(5)5(6)6(7)7(8)8(9)45678=⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+ 453564675786897=⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+245=【答案】245【例 3】 41211423167137713⨯+⨯+⨯ 【考点】分数混合运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式4124412347137713=⨯+⨯+⨯ 412123471313⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭=16 【答案】16【例 4】 计算 14886743914848149149149⨯+⨯+ 【考点】分数混合运算 【难度】1星 【题型】计算【解析】 398624398624148148148148()148149149149149149149⨯+⨯+=⨯++= 【答案】148 【巩固】 计算：13711391371138138⨯+⨯ 【考点】分数混合运算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】小数报，初赛【解析】 原式1371(1381)137(1)138138=+⨯+⨯+ 137137137137138138=+++ 113722(1)138=⨯+⨯- 12762138=-⨯ 6827569= 例题精讲【答案】6827569【例 5】 253749517191334455÷+÷+÷= ． 【考点】分数混合运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】清华附中【解析】 观察发现如果将2513分成50与213的和，那么50是除数53的分子的整数倍，213则恰好与除数相等．原式中其它两个被除数也可以进行同样的分拆． 原式253749501701901334455⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷++÷++÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 579501701901345=÷++÷++÷+ 3040503=+++123=【答案】123【巩固】 131415314151223344÷+÷+÷= ． 【考点】分数混合运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 观察发现如果将1312分成30与112的和，那么30是除数32的分子的整数倍，112则恰好与除数相等．原式中其它两个被除数也可以进行同样的分拆． 原式131415301401501223344⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷++÷++÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 345301401501234=÷++÷++÷+ 2030403=+++93=【答案】93【巩固】 173829728191335577÷+÷+÷= ． 【考点】分数混合运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式173829702801901335577⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷++÷++÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 789701801901357=÷++÷++÷+ 3050703=+++153=【答案】153【巩固】 计算：1130.42(4.3 1.8)26524⎡⎤⨯÷⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦。
第一讲 计算综合一、常见简算方法1． 复习四则运算规则；四则混合运算的顺序安排：先算括号 => 再算乘除 => 最后算加减所有的运算定律需要举例说明，最好让学生总结，学生来举例子，调动学生的积极性。
2．运算律：(1) 加法交换律： 比如1+2+3 = 3+2+1；(2) 加法结合律： 比如1+(2+3)+4 = 1+2+(3+4)；(3) 乘法交换律： 比如1×2×3 = 3×2×1；(4) 乘法结合律： 比如1×(2×3)×4 = 1×2×(3×4)；(5) 乘法分配律： 比如1×(4±2) = 1×4±1×2；(6) 逆用乘法分配律：比如1×4±1×2 = 1×(4±2)；（又称提取公因式）(7) 除法分配律： 比如(4±2)÷2 =4÷2±2÷2；但是4÷（2+2）绝不等于4÷2+2÷2被除数可以分配，除数不能分配；3． 其他常用改变运算顺序的方法：(1) 带符号“搬家”： 平级运算中，数字可以带着运算符号“搬家”； 比如：1-1+3 = 1+3-1，1÷1×3 = 1×3÷1等等；(1) 添（去）括号： 在平级运算中，可以添上或者去掉括号，以在保证结果 不变的情况下改变原有的运算顺序，其法则是： 括号前，是加号，括号内，不变号； 括号前，是减号，括号内，要变号！ 括号前，是乘号，括号内，不变号； 括号前，是除号，括号内，要变号！4． 常见的简便运算：(1) 加减法凑整：如36+64，123+867等等；(1) 乘除法凑整：如125×8，25×4等等；(3) 乘除法凑特殊数：如3×37，7×11×13等等。
