小学奥数全能解法及训练(分数拆分)

第十三讲 分数裂项与分拆1. “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+③对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭ 2. 裂差型裂项的三大关键特征：①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

小学奥数全能解法及训练
分数大小的比较
解法精讲
精讲1
精讲2
“比较倒数”法: 通过比较两个分数倒数的大
小来比较两个分数的大小。倒数较小的分数,原
1
分数较大；倒数较大的分数,原分数较小。
比较
11
111
与
的大小
111 1111
【分析与解答】
11
的倒数是
111
1 111
1
的倒数是10 ,因为
11 1111
210
10875
因为10875> 10864,所以
即


<



的大小。

<
210
,
10864
归纳总结
化为同分母法
相除法
化为同分子法
比较倒数法
化成小数法
化成整数法
中间分数法
差等法
交叉相乘法
。
“交叉相乘”法：
精讲6
把第一个分数的分子与第二个
分数的分母相乘的积当作第一个分数的相对值；把第
二个分数的分子与第一个分数的分母相乘的积当作第
二个分数的相对值,相对值比较大的分数比较大。
7
12
5
9
比较 和 的大小
7
5
【分析与解答】12的相对值是7×9=63,9的相对
7
5
值是12×5=60,因为63>60,所以12 > 9
个分数的大小。
精讲5
“差等”法:
根据“分子与分母的差相等
的两个真分数,分子加分母得到的和较大的
分数比较大”来比较两个分数的大小。
2013
比较
2014

1.7 数的拆分1.7.1 整数的拆分整数的拆分，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。

整数的分拆是古老而又风趣的问题，此中最有名的是哥德巴赫猜想。

在国内外数学比赛中，整数分拆的问题经常以各样形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

例 1 电视台要播放一部 30 集电视连续剧，若要求每日安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多能够播几日？剖析与解：因为希望播出的天数尽可能地多，所以，在每日播出的集数互不相等的条件下，每日播放的集数应尽可能地少。

我们知道， 1+2+3+4+5+6+7=28 。

假如各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7 时，那么七天共可播出28 集，还剩 2 集未播出。

因为已有过一天播出 2 集的情况，所以，这余下的 2 集不可以再独自于一天播出，而只能把它们分到从前的日子，经过变动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。

比如，各天播出的集数安排为1， 2，3， 4，5， 7， 8 或 1，2， 3， 4， 5， 6， 9 都能够。

所以最多能够播7 天。

例 2 有面值为 1 分、 2 分、 5 分的硬币各 4 枚，用它们去支付 2 角 3 分。

问：有多少种不一样支付方法？剖析与解：要付 2 角 3 分钱，最多只能使用 4 枚 5 分币。

因为所有 1 分和 2 分币都用上时，共值12 分，所以最少要用 3 枚 5 分币。

当使用 3 枚 5 分币时， 5× 3=15，23-15=8 ，所以使用 2 分币最多 4 枚，最少 2 枚，可有23=15+（ 2+2+2+2 ），23=15+（ 2+2+2+1+1 ），23=15+（ 2+2+1+1+1+1 ），共 3 种支付方法。

当使用 4 枚 5 分币时， 5× 4=20，23-20=3 ，所以最多使用 1 枚 2 分币，或不使用，进而可有23=20+（ 2+1 ），23=20+（ 1+1+1 ），共 2 种支付方法。

【小学五年级奥数讲义】分数的拆分1.概念单位分数: 分子为1、分母为自然数的分数叫单位分数。

分数的分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆2．解题方法与技巧。

（1）把单位分数拆分成单位分数相加的和方法一：先扩分：同剩以分母的约数的和再拆分：拆分成约数作分子的分数。

后约分：约分成最简分数方法二：分子、分母同剩以大于分母，小于分母两倍的自然树（2）把真分数分拆成单位分数相加的和。

把一个真分数拆成两个单位分数相加的和，先给要分拆的分数分子和分母同剩以分母除以分子的整数商加1的和，再给分子加上分母，要使分数大小不变，同时应减去这个数，然后再分拆并约分。

（3）把假分数分拆成单位分数相加的和方法：先把这个假分数分拆成真分数，再按真分数的分拆方法去分。

例题一在错误!未找到引用源。

的括号里填入适当的自然数，使等式成立。

分析一：从式子的左边往右边看，是分数的分拆；才有便往左边看，则是分数的加法，可见分数的分析与分数的加法过程刚好相反。

分数加法主要步骤是通分、合并、约分，因此分数的分拆可按先扩分，再拆分，最后约分的步骤来做。

分析二：根据把单位分数分拆成单位分数相加的和的方法二：分子、分母同剩以大于分母8，小于分母8的2倍（16）的自然数分别求解。

解析一：8的约数有1、2、4、8。

①错误!未找到引用源。

②错误!未找到引用源。

③错误!未找到引用源。

④错误!未找到引用源。

⑤错误!未找到引用源。

⑥错误!未找到引用源。

以上六种分析方法，其中①、④、⑥相同，②和⑤相同。

如果两个约数相同时，可以得到错误!未找到引用源。

，共有四组解。

解法二：错误!未找到引用源。

(像解法二这样的拆分方法不止一种．同学们，你们愿意研究吗？)练习一将下列各分数写成两个单位分数：1.错误!未找到引用源。

2. 错误!未找到引用源。

3. 错误!未找到引用源。

4.错误!未找到引用源。

5. 错误!未找到引用源。

6. 错误!未找到引用源。

例题二:将错误!未找到引用源。

三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇
（最新版）
目录
1.整数分拆的定义和意义
2.整数分拆的方法和技巧
3.整数分拆的实际应用和强化练习
正文
一、整数分拆的定义和意义
整数分拆是奥数中的一个重要概念，它指的是将一个整数拆分成若干个整数的和，这些整数可以是正数、负数或零。

整数分拆在数学问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们简化问题，提高解题效率。

通过学习整数分拆，我们可以培养自己的逻辑思维能力和数学运算技巧。

二、整数分拆的方法和技巧
1.直接分拆法：根据题目要求，直接将整数拆分成若干个整数的和。

这种方法适用于较简单的问题，需要我们熟练掌握整数的加减法。

2.差分法：通过计算两个整数的差，然后逐步逼近目标整数。

这种方法适用于较难直接分拆的问题，需要我们具备较强的观察能力和计算能力。

3.代换法：将题目中的整数用变量表示，通过代数运算求解。

这种方法适用于含有较多未知数的问题，需要我们具备较强的代数运算能力。

4.构造法：通过构造特殊的数列或数组，找到整数的分拆方式。

这种方法适用于题目中存在一定规律性的问题，需要我们具备较强的创新思维和构造能力。

三、整数分拆的实际应用和强化练习
为了更好地掌握整数分拆的方法和技巧，我们需要进行大量的练习。

可以从简单的题目开始，逐步提高难度，巩固所学知识。

在实际应用中，我们要注意观察题目的特点，灵活运用各种方法，以求达到最佳的解题效果。

总之，整数分拆是奥数中一个重要的概念，通过学习整数分拆，我们可以提高自己的数学运算能力和解题技巧。

一年级奥数数学分成思维训练一年级奥数数学是学生们第一次接触奥数的阶段，旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

下面将详细介绍一年级奥数数学的分成思维训练：一、什么是分成思维？1.分成思维是指将一个整体分成若干个相等部分的能力。

2.分成思维是奥数数学中的一个基础能力，培养学生的观察力和逻辑思维。

二、分成思维的重要性3.分成思维可以帮助学生在解决实际问题时有效分析。

4.分成思维可以培养学生的耐心和专注力。

三、分成思维的训练方法5.通过图形分成：给学生一个图形，让他们将其分成若干相等部分。

6.通过数字分成：给学生一个数字，让他们找出该数字能被几个数整除。

四、分成思维的练习题目7.练习1：一个苹果分成四份，每份多少？8.练习2：有12个糖果，要平均分给3个朋友，每人分多少？9.练习3：36除以9等于多少？五、分成思维的拓展训练10.练习4：一个矩形面积为24平方厘米，将其分成四份，每份的面积是多少？11.练习5：用3个相同的正方体能拼成一个长方体吗？为什么？六、分成思维的应用12.超市促销时，商品的价格打6折，这时如果买了6件商品，应该怎样平分成本？13.一个班的学生总数是48人，要让每个学生抓一只兔子，需要多少只兔子？七、分成思维的竞赛实践14.小明和小红参加了一个分组比赛，将20枚硬币平均分给5个人，每人可分到多少枚？15.学校组织了一场拼图比赛，每位参赛者需要将100块拼图平均分成5组，每组多少块？八、分成思维的案例分析16.某商场有1000件衣服打折销售，如何将这些衣服平均分给10个顾客？17.一辆公共汽车有40个座位，如果每个人都坐满，每个座位能坐几个人？九、分成思维的成果展示18.小明通过练习，已经能够将一个任意面积的图形分成若干相等部分。

19.小红通过分成思维的训练，解决了学校数学竞赛中的难题。

十、分成思维的反思与总结20.经过一段时间的训练，学生们对分成思维的理解和应用有了明显提高。

图片排版与组合
图片编辑与美化方法
选用通用的音频视频格式，确保课件能够在不同设备和平台上正常播放。
音频视频格式选择
对音频视频素材进行必要的剪辑、合并、添加字幕等处理，提高课件的观赏性和实用性。
音频视频编辑与处理
根据课件内容和受众群体，合理设置音频视频的播放速度、音量和画质等参数，确保观众能够获得最佳的视听体验。
分数拆分
小学奥数全能解法及训练
解法精讲
精讲1
10
15
分数 的拆分
精讲2
精讲3
典例精析
例1
18× （18＋2）
典例精析
例1
180
20
例2
例2
求 的和。
举一反三
练习1
(填两个不同的整数）
15
3
规律总结
在分母的因数中找到两个数之和是2的倍。 数。
空白与负空间
选择适合主题和氛围的色彩，注意色彩的饱和度和对比度，避免过于刺眼或难以辨认。
色彩搭配和字体选择建议
字体选择
色彩搭配
统一的风格有助于学生快速识别课件内容，提高学习效率。
提高识别度
统一的风格能够体现课件的专业性和严谨性，提升教师形象。
增强专业性
统一的风格便于后期对课件进行修改和更新，保持课件的时效性和准确性。
定义
旨在辅助教师进行教学，提高教学效果，增强学生的学习兴趣和参与度。
目的
定义与目的
演示型课件
交互型课件
游戏型课件
仿真型课件
课件类型及特点
01
02
03
04
以幻灯片、动画等形式展示教学内容，适用于课堂演示和讲解。
具有交互功能，学生可以通过操作课件进行自主学习和练习。

选讲1 等差数列求和一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项＋(项数－1)×公差项数公式：项数=(末项－首项)÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22…，52.这个数列共有多少项？练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2, 5，8，11…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11, 16，21, 26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3, 7，11, 15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1, 2, 3, 4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习3：计算下面各题。

(1)1＋2＋3＋…＋49＋50 (2)6＋7＋8＋…＋74＋75(3)100＋99＋98＋…＋61＋60【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习4：计算下面各题。

(1)2＋6＋10＋14＋18＋22 (2)5＋10＋15＋20＋…＋195＋200(3)9＋18＋27＋36＋…＋261＋270【例题5】计算(2＋4＋6＋...＋100)－(1＋3＋5＋ (99)练习5：用简便方法计算下面各题。

(1)(2001＋1999＋1997＋1995)－(2000＋1998＋1996＋1994)(2)(2＋4＋6＋...＋2000)－(1＋3＋5＋ (1999)(3)(1＋3＋5＋...＋1999)－(2＋4＋6＋ (1998)三、课后作业1、张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，做了30天刚好做完，则这批零件一共有多少个？2、在一次同学聚会中，一共到了45位同学和2位老师，每位同学或老师都要和其他所有人握一次手，那么一共握手了几次？3、新星幼儿园304个小朋友围成若干个圆圈(一圈套一圈)做游戏，已知最里面的圈有24人，最外面的圈有52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？选讲2 三阶幻方的性质一、知识点整理：性质1：能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加都相等且等于中间数两倍的九个数数列；性质2：幻方的中心数为数列的中间数；性质3：幻方中关于中心对称的两个数均为数列中首尾相对应的配对；性质4：幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的3倍；性质5：数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，第二大与第二小的配对只能出现在四角；性质6：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数；性质7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等。

小学奥数计算专题--分数拆分与裂项（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】。

【答案】【解析】原式提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：．【题文】=【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】=【答案】【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。

此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。

从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有，，……，原式【题文】【答案】【解析】【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】 = 【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】_______【答案】【解析】根据裂项性质进行拆分为：【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：＝【答案】【解析】原式【题文】。

【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：=。

【答案】【解析】原式【题文】计算：。

【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：，，……，，所以原式【题文】计算：．【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】首先分析出原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式＝＋＋…+++…+＝(－)＋(－)＝＋＝＋＝【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】＝＝－＝－＝＝－＝－＝＝－＝－……＝＝－＝－原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以，再将每一项的与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【题文】计算：【答案】651【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知，，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以所以原式．（法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为，其中为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将与分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．，所以原式．（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：所以原式．（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：（，3， (9)如果将分子分成和1，就是上面的法二；如果将分子分成和，就是上面的法一．【题文】计算：【答案】【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，知识虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：，，……原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算： .【答案】【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．原式【题文】【答案】【解析】原式＝＋＋＋＋…＋＝（）＋（）＋（）＋（）＝【题文】【答案】【解析】，，……，，所以原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】 .【答案】【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：，原式【题文】计算：【答案】【解析】，，……所以，原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】，，，……由于，，，可见原式【题文】计算：．【答案】【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式【题文】【答案】【解析】【题文】【答案】【解析】原式==【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式= =====【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】所以原式。

1.7数的拆分1.7.1整数的拆分 整数的拆分，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。

整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。

在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？ 分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。

我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。

如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。

由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。

例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。

所以最多可以播7天。

例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。

问：有多少种不同支付方法？ 分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。

因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。

当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有　23=15+（2+2+2+2）， 23=15+（2+2+2+1+1）， 23=15+（2+2+1+1+1+1）， 共3种支付方法。

当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有 23=20+（2+1）， 23=20+（1+1+1）， 共2种支付方法。

总共有5种不同的支付方法。

例3 把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23 =2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17，共10种不同拆法，其中3×5×29=435最小。

小学奥数计算专题训练分数拆分与裂项练习试题一、填空题1、【答案】【解析】所以原式2、计算：【答案】【解析】原式3、计算：【答案】【解析】原式4、计算：【答案】【解析】原式5、计算：．【答案】【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式6、计算：．【答案】【解析】，，，……由于，，，可见原式7、计算：．【答案】【解析】原式8、计算：【答案】【解析】，，……所以，原式9、 .【答案】【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：，原式10、计算： .【答案】【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．原式11、计算：．【答案】【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以，再将每一项的与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．12、计算：．【答案】【解析】原式13、计算：。

【答案】【解析】原式14、计算：= 。

【答案】【解析】原式15、。

【答案】【解析】原式提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：．二、计算题16、【答案】【解析】原式======17、【答案】【解析】原式18、【答案】【解析】原式19、计算：【答案】【解析】原式20、【答案】【解析】原式21、【答案】【解析】原式22、【答案】【解析】原式23、【答案】【解析】原式== 24、【答案】【解析】25、计算：【答案】【解析】原式26、【答案】【解析】原式27、【答案】【解析】，，……，，所以原式28、【答案】【解析】原式＝＋＋＋＋…＋＝（）＋（）＋（）＋（）＝29、【答案】【解析】原式30、【答案】【解析】原式31、计算：【答案】【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，知识虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：，，……原式32、计算：【答案】651【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知，，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以所以原式．（法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为，其中为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将与分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．，所以原式．（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：所以原式．（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：（，3， (9)如果将分子分成和1，就是上面的法二；如果将分子分成和，就是上面的法一．33、【答案】【解析】原式34、【答案】【解析】原式35、【答案】【解析】＝＝－＝－＝＝－＝－＝＝－＝－……＝＝－＝－原式36、【答案】【解析】原式37、计算：【答案】【解析】原式＝＋＋…+++…+＝(－)＋(－)＝＋＝＋＝38、【答案】【解析】原式39、【答案】【解析】首先分析出原式40、计算：【答案】【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：，，……，，所以原式41、计算：【答案】【解析】原式42、计算：【答案】【解析】原式43、。

自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
• （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数
“首尾相接”
• （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 • （二）、“裂和”型运算： • 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
ab a b 1 1 ab ab ab b a
12

22
1
10 2

换元与公式的应用
13 33 53 73 93 113 133 153
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
2007 8.5 8.5 1.5 1.5 10 160 0.3
不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化
目的。
• 三、整数裂项
12 23 34 ... (n 1)n
1 (n 1) n (n 1) 3
1 23 23 4 3 45 ... (n 2) (n 1) n 1 (n 2)(n 1)n(n 1) 4
2 23 234
2 3 L 50
分数裂项
12 13

12 13
22 23

12 13
22 23
32 33

12 13
22 23
32 33
42 43



12 13
22 23
262 263
分数裂项
分数裂项