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§4.2量子力学的矩阵表示Dψ∑Φ=ψΦ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡n n nψ∑Φ=n n nψ∑Φ=n n n*⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ψψΦΦ= 21,2,1**ΨΦ+=若 0ΨΦ=+，则称态Ψ和Φ正交。
而1ΨΨ=+则是指态Ψ是归一化的。
基底m 在自身表象上的表示为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010Φ m ← 第m 行基底的正交归一化写成 mn n mδ=+ΦΦ.态向基底的展开写成++=∑=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1001ΦΨ21n C C C nn展开系数ΨΦn +=n C .对于连续谱情况本征方程： λλλ=Fˆ 基底： }{λ 正交归格化： )(λλδλ'-=' 封闭关系： I =⎰∞+∞-λλλd态ψ在Fˆ表象上的表示矩阵成为本征值λ的函数 ψ=ψλλ)(态ψ和Φ的内积为λλλd )()(*ψ⎰Φ=ψ∞+∞-因为λλλλλλλλd d d )()(][*ψ⎰Φ=⎰ψΦ=ψ⎰=ψ∞+∞-∞+∞-∞+∞-归一化条件为1)()(*=ψ⎰ψ=ψψ∞+∞-λλλd .而基底λ'在自身表象上表示为)(λλδλλ'-='.二、算符的表示 1．算符用矩阵表示算符是通过对态的作用定义的。
因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。
Φ=ψLˆ Φ=ψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑m n n L m n ˆ Φ=∑ψm n n Lm nˆ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦ=ψψ 212122211211L L L LΦL Ψ=矩阵L 是算符Lˆ在F ˆ表象上的表示 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=22211211L L L L L矩阵元为n Lm L mn ˆ= 可以在坐标表象上计算。
下面会看到，在坐标表象上矩阵元mn L 的计算公式为dx x xi x L x L n mmn )(),(ˆ)(*ϕϕ∂∂-⎰=∞+∞-式中n x x n =)(ϕ.【例】用包括Hamilton 量在内的力学量完全集的共同本征态的集合作基底的表象，称为能量表象。
§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量。
力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象 幺正变换（1）直角坐标系中的类比取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e,见图其标积可写成下面的形式)2,1,(),(==j i e e ijj i δ我们将其称之为基矢的正交归一关系。
平面上的任一矢量A可以写为2211e A e A A +=其中),(11A e A =，),(22A e A=称为投影分量。
而),(21A A A = 称为A在坐标系21XOX 中的表示。
现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e，且同样有)2,1,()','(==j i e e ijj i δ而平面上的任一矢量A此时可以写为 ''''2211e A e A A +=其中投影分量是),'('11A e A=，),'('22A e A =。
而)','(21A A A = 称为A在坐标系'X 'OX21中的表示。
现在的问题是：这两个表示有何关系？显然，22112211''''e A e A e A e A A+=+=。
用'1e 、'2e分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有),'(),'('2121111e e A e e A A+= ),'(),'('2221212e e A e e A A+=表成矩阵的形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A由于'1e、1e及'2e、2e的夹角为θ，显然有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ或记为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθθcos sin sin cos )(R 是把A在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。
第六章量子力学的矩阵形式及表示理论第六章目录§6.1 量子体系状态的表示 (3)§6.2 Dirac符号介绍 (4)（1）量子态、Ket矢，Bra矢（Bracket） . 5（2）标积 5（3）算符及其表示 (7)（4）不可约张量算符的矩阵元计算简介 (12)（5）投影算符 15§6.3 表象变换，幺正变换 (17)（1）同一状态在不同表象中的表示间的关系 (17)（2）两表象的基矢之间关系 (18)（3）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关系 (18)（4）幺正变换 19§6.4平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形式 (20)（1）平均值20（2）本征方程 21（3）薛定谔方程 (25)§6.5 量子态的不同描述 (26)（1）薛定谔绘景 (27)（2）海森堡绘景 (28)第六章 量子力学的矩阵形式及表示理论§6.1 量子体系状态的表示现在来讨论体系状态的“坐标”—状态表示如果有一组力学量Mˆ构成一力学量完全集，其共同本征函数构成一正交，归一和完备组，并有封闭性。
()mn n m ,δ=ϕϕ)r r ()r ()r (*m mm '-δ='ϕϕ∑于是，任一波函数⎰''ψ'-δ=ψr d )r ()r r ()r (⎰∑''ψ'ϕϕ=r d )r ()r ()r (m*m m∑ϕ=mm m a )r (。
⎰ψϕ=''ψ'ϕ=),(r d )r ()r (a m *m m2m a 是在)r (ψ中测得力学量M ˆ取值为m 的几率（若)r (ψ是归一化的）。
显然，当选定一组力学量完全集Mˆ 后，则集合 {}m a 是与 )r (ψ 完全等价的，它完全确定了体系的状态。
我们将会看到，{}m a 与)r (ψ一样，提供给我们同样多的信息。
状态表示的定义：若力学量的完全集M ˆ的共同本征函数组为m ϕ，则),(a m mψϕ=的全体{}m a ，被称为体系所处态ψ在Mˆ表象中的表示，也可以看作态矢量ψ在m ϕ作为基矢所张的“坐标系”中的“坐标”。
量子力学知识：量子力学中的矩阵力学量子力学是一门极富挑战性和创新性的科学，涉及到微观粒子的行为和性质。
在量子力学中，矩阵力学是一种常见的量子力学理论框架，它提供了一种有效的方式来描述和计算原子和分子的态和能级。
在本文中，我们将讨论量子力学中的矩阵力学，包括其基本原理、应用和限制等方面。
1.基本原理矩阵力学是矩阵代数在量子力学中的应用。
在矩阵力学中，态矢量用列矢量表示，即：|φ⟩=(φ1, φ2, ...,φn)T其中，T代表转置，φ1, φ2, ..., φn表示态矢量的各个分量。
而算符用矩阵表示，即：A=（a11 a12 … a1n）（a21 a22 … a2n）（…… …… ……）（an1 an2 … ann）其中，aij表示算符A的第i行第j列元素。
通过矩阵算法，我们可以计算出在某一态下算符A的期望值和本征值等信息。
2.应用矩阵力学在量子力学的研究中有着广泛的应用，尤其是在原子和分子物理学中。
在原子物理学中，我们可以通过矩阵力学计算出原子的基态和激发态能级，以及原子的谱线和双光子跃迁等重要物理量。
在分子物理学中，矩阵力学可以用于描述分子的振动、转动、电荷分布和能级等性质，从而揭示分子内部的量子力学行为。
3.限制尽管矩阵力学在原子和分子物理学中有着广泛的应用，但它也有一些限制。
首先，矩阵力学只适用于可视为有限维希尔伯特空间的量子系统，因此对于高维的、复杂的量子系统，矩阵力学的应用将会受到限制。
其次，矩阵力学只能得到离散的能级和谱线，而对于连续的谱线和能带等物理量，需要采用其他方法进行计算和描述。
4.总结矩阵力学是量子力学中的一种基本理论框架，它提供了一种有效的方式来描述和计算原子和分子的态和能级。
通过矩阵代数的运算，我们可以得到原子和分子的重要物理量，如基态和激发态能级、谱线和双光子跃迁等。
尽管矩阵力学在量子物理学中有着广泛的应用，但它也有一些限制，如只适用于有限维希尔伯特空间的量子系统等。
§4.2量子力学的矩阵表示一、态的表示 二、算符的表示三、量子力学公式的矩阵表示用力学量完全集 },ˆ,ˆ{ B A的正交、归一和完备的本征态矢量的集合},,{ b a 作基底的表象，称为},ˆ,ˆ{ B A表象。
为书写简便，用Fˆ代表},ˆ,ˆ{ B A ，用n 代表 ,,b a ，用n λ代表本征值谱},,{ b a . 把},ˆ,ˆ{ B A表象简称为Fˆ表象。
以分立谱为例 本征方程： n n Fn λ=ˆ 基底： },3,2,1;{ =n n 正交归一化： n m n m ,δ= 封闭关系： I n n n=∑一、态的表示态ψ在Fˆ表象上的表示为一个列矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ψψ==21Ψ21C C矩阵元 ψ=n C n 代表态ψ在基底n 上的投影，或称为展开系数。
它可在坐标表象上计算x x x x x x n n C n n ⎰ψ=⎰ψ=ψ=∞+∞-∞+∞-d d )()(*ϕ态ψ和Φ的内积可以通过列矩阵相乘得到ΨΦ+=ψΦ其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦ= 21Φ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ψψ= 21Ψ.这是因为ψ∑Φ=ψΦ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡n n nψ∑Φ=n n nψ∑Φ=n n n*⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ψψΦΦ= 21,2,1**ΨΦ+=若 0ΨΦ=+，则称态Ψ和Φ正交。
而1ΨΨ=+则是指态Ψ是归一化的。
基底m 在自身表象上的表示为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010Φ m ← 第m 行基底的正交归一化写成 mn n mδ=+ΦΦ. 态向基底的展开写成++=∑=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1001ΦΨ21n C C C nn展开系数ΨΦn +=n C .对于连续谱情况本征方程： λλλ=Fˆ 基底： }{λ正交归格化： )(λλδλλ'-=' 封闭关系： I =⎰∞+∞-λλd态ψ在Fˆ表象上的表示矩阵成为本征值λ的函数 ψ=ψλλ)(态ψ和Φ的内积为λλλd )()(*ψ⎰Φ=ψ∞+∞-因为λλλλλλλλd d d )()(][*ψ⎰Φ=⎰ψΦ=ψ⎰=ψ∞+∞-∞+∞-∞+∞-归一化条件为1)()(*=ψ⎰ψ=ψψ∞+∞-λλλd .而基底λ'在自身表象上表示为)(λλδλλ'-='.二、算符的表示 1．算符用矩阵表示算符是通过对态的作用定义的。
因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。
Φ=ψLˆ Φ=ψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑m n n Lm n ˆ Φ=∑ψm n n Lm nˆ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦ=ψψ 212122211211L L L LΦL Ψ=矩阵L 是算符Lˆ在F ˆ表象上的表示 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=22211211L L L L L矩阵元为n Lm L mn ˆ= 可以在坐标表象上计算。
下面会看到，在坐标表象上矩阵元mn L 的计算公式为dx x xi x L x L n mmn )(),(ˆ)(*ϕϕ∂∂-⎰=∞+∞-式中n x x n =)(ϕ.【例】用包括Hamilton 量在内的力学量完全集的共同本征态的集合作基底的表象，称为能量表象。
在一维谐振子的能量表象上，计算坐标x ，动量p ˆ和H ˆ本身的表示矩阵。
222212ˆˆx m m p H ω+= n n n H ω ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21ˆ ωαm =利用矩阵元公式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=-+1,1,2211n m n m n n n x m δδα⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=-+1,1,221ˆn m n m nn i n p m δδα,2,1,0,=n m得坐标x ，动量pˆ和H ˆ的表示矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=02202202102101X α⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=0220220210210P αi⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=250002300021H ω 2．在自身表象上力学量算符的表示n n F nλ=ˆ nm n n mn n m n F m F ,ˆδλλ=== ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100F λλ因此，求解力学量的本征值问题，可以通过选择合适的基底，使这一力学量算符的表示矩阵成为对角矩阵。
对角元素就是待求的本征值，而所用的基底就是待求的本征态。
3．Hermite 共轭矩阵和Hermite 矩阵 （1）Hermite 共轭矩阵矩阵A 的Hermite 共轭矩阵+A 定义为：将A 转置且矩阵元取复共轭*)A ()A (nmmn =+. 例如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A a a a a ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=+*22*12*21*11A a a a a . 若算符Aˆ的表示矩阵为A ，则Hermite 共轭算符+Aˆ的表示矩阵必为A 的Hermite 共轭矩阵+A ． 证明：n Am mn ˆ)A (= n A m m A n nmmn ++===ˆˆ)A ()A (* 即Aˆ↔A ，+A ˆ↔+A . （2）Hermite 矩阵若+=A A ，则称A 为Hermite 矩阵。
若A 为Hermite 矩阵，则*)A ()A (A nmmn mn ==+ *)A (A nnnn = (对角元)例如，22⨯的Hermite 矩阵一定取下面形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=bc c a *A其中a 和b 为实数。
Hermite 算符的表示矩阵必为Hermite 矩阵。
4．算符在坐标和动量表象上的表示 （1）在坐标表象上的表示例如Hamilton 量表示为)()(2ˆ222x x x V x m x H x ''-'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'∂∂-='''δ 注意，式中的δ函数代表“矩阵”是对角的，只在积分运算中起作用。
上述动量的表示可作如下理解x p p p p p p p x x px x x '''''⎰⎰'='''d d ˆˆ )()(*x p p p p p x p p ''Φ'⎰⎰'''Φ='d d )()()(*x p p p p p x p p ''Φ'⎰⎰'-''Φ='d d δ )()(*x p p x p p ''⎰'=ΦΦd px x ie p p )(21''-'⎰=d π 将上式中的被积函数p x x ipe )(''-' 写成p x x ip x x iex i pe)()(''-'''-''∂∂-=则原式为p x x ie p x i )(21''-'⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰'∂∂-d π)(x x x i ''-'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂-=δ即)(ˆx x x i x p x x ''-'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂-='''δ 为什么被积函数不写成p x x ip x x iex i pe)()(''-'''-'''∂∂=的形式呢？这完全是为了符合基本假定xi px ∂∂-= ˆ. 为导出算符)ˆ,(x px F 在坐标表象上的表示，首先把)ˆ,(x px F 按x 和x p ˆ作展开。
如果二元函数),(y x F 在)0,0(附近可作展开+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+=)0,0(!21)0,0(!11)0,0(),(2F y y xx F y y xx F y x F则算符)ˆ,(x px F 可展开为+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+=)0,0(ˆ!21)0,0(ˆ!11)0,0()ˆ,(2F y p xx F y p xx F px F x x x然后计算矩阵元，即可得到)(),()ˆ,(x x x i x F x p x F x x ''-''∂∂-'='''δ . 【例】证明坐标表象上矩阵元 n Lm L mn ˆ=的计算公式为dx x x i x L x L nmmn )(),(ˆ)(*ϕϕ∂∂-⎰=∞+∞- 其中n x x n =)(ϕ.证明：⎰⎰'''==∞+∞-∞+∞-n x x x Lx x x m n Lm L mn d d ˆˆ⎰⎰'''-∂∂-=∞+∞-∞+∞-)()(),()(*x x x x xi x L x x n m ϕδϕd dx x xi x L x n md )(),(ˆ)(*ϕϕ∂∂-⎰=∞+∞-【例】证明)(ˆx x i x x i px x 'ψ'∂∂-=ψ''∂∂-=ψ' )(ˆ*x x i x x i x p x 'ψ'∂∂='ψ'∂∂='ψ 证明：ψ''∂∂-=⎰ψ'''''''''∂∂-=⎰ψ'''''''=ψ'∞+∞-∞+∞-x x i x x x i x x x p x px x x )d (d x -x δˆˆ要证明的第二式是第一式的复数共轭。
（2）动量表象例如在动量表象上Hamilton 量表示为)()(2ˆ2p p p i V m p p H p ''-'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂+'='''δ .【例】一维谐振子能量本征方程的动量表象形式为)()(21222222p E p p m m p ψψω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-. 证明：ψψE H=ˆψ=ψ=⎰ψ'''∞∞-p E E p p p p Hp d ˆ 其中)(212ˆ222p p p i m m p p H p '-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+='δω 代入后积分，即证。
【例】设质量为m 的粒子处于势场Kx x V -=)(中， K 为非零常数。
