二次型的矩阵表示

线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。

定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。

这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。

最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。

从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。

⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。

5 4 2 A4 5 2
2 2 2
A的特征多项式 5 4
2
I A 4 5 2 ( 1)2( 10)
2 2 2
A的特征值为 1 1(二重)， 2 10
f xT Ax (Qy)T A(Qy) yT (QT AQ) y yT y
1
y2 1
2
y2 2
n
y2 n
线性代数 第五章
111
例4
通 过 正 交 变 换化 二 次 型
f 5 x12 5 x22 2 x32 8 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3
成 标 准 形.
解 二次型矩阵
nn
f ( x) aij xi x j
x cy
i1 j1
x cy
f xT Ax
f
(
y)
d1
y2 1
d2
y2 2
dn
y2 n
.
f yT By
因为有 f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (C T AC ) y yT By
所以经满秩线性变换后，新旧二次型的矩阵的关系：B CT AC.
写 成 矩 阵 形 式.
解
f
(
x1 ,
x2
,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
0½
½
2
½ x1
32 x2
½ 32
0
x3
注
aij
a ji (i
j
)为
交
叉
项xi
x
的
j
系
数
的
一
半
，
aii为 平 方 项xi2的 系 数,

二次型定理二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。

本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。

一、二次型的定义在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。

设有n个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。

二次型可以表示为：f(x) = x^TAx其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。

二、二次型的矩阵表示设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx可以写成矩阵形式：f(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix}整理得：f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j将此式称为二次型的矩阵表示。

三、二次型定理二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。

具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得：P^TAP = D其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为二次型的主元或特征值。

进一步推广，在主元前面引入主元系数q_i，则有：P^TAP = q_1\lambda_1 + q_2\lambda_2 + ... + q_n\lambda_n其中，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n是A的特征值，q_1, q_2, ..., q_n 是相应的特征向量。

二次型的矩阵表示与规范形二次型是数学中一种重要的函数形式，它在线性代数、微分方程、物理学等多个领域中都有广泛的应用。

在研究二次型时，通过矩阵表示和规范形可以更加清晰地理解和分析其性质和特点。

本文将介绍二次型的矩阵表示和规范形的概念及其应用。

1. 二次型的矩阵表示二次型是一个多元二次齐次函数，通常表示为Q(x) = x^TAX，其中x为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。

这里的x^T表示x的转置矩阵。

实际上，二次型Q(x)可以看作是向量x和矩阵A的乘积，而矩阵A起到了描述二次型性质的作用。

为了将二次型表示为矩阵形式，我们可以将x表示为列向量，A表示为矩阵，然后将二次型的表达式展开为矩阵的乘积形式。

具体来说，对于一个n维列向量x = (x_1, x_2, ..., x_n)^T，其中x_i表示向量x的第i个分量，我们可以将二次型Q(x)表示为：Q(x) = x^TAX = x_1a_{11}x_1 + x_1a_{12}x_2 + ... + x_na_{nn}x_n 将上式中的二次项系数（a_{ij}）按照矩阵的形式排列，即可得到矩阵A。

这样，二次型Q(x)就可以表示为矩阵A的乘积形式。

2. 二次型的规范形二次型的规范形是一种特殊的矩阵表示形式，通过对矩阵A进行特殊的相似变换，可以将二次型化为规范形。

规范形对于分析二次型的性质和特征有很大的帮助。

对于一个二次型Q(x) = x^TAX，通过合同变换（转置和相似变换的组合），我们可以将矩阵A转化为对角矩阵D = diag(λ_1, λ_2, ..., λ_n)，其中λ_i表示矩阵D的第i个对角元素。

这样，二次型Q(x)就可以表示为：Q(x) = x^TAX = x^TP^TDPx = (Px)^TD(Px)其中P为可逆矩阵，称之为合同变换矩阵。

从上式可以看出，二次型Q(x)经过合同变换后可以化为规范形，其中规范形的矩阵D是对角矩阵，每个对角元素表示了相应方向上的特征值，而合同变换矩阵P则是由特征向量构成。

对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
• 例1 用矩阵形式表示下列二次型 • （1） f (x, y) 5x2 8xy 3y2 • 解： a11 5, a12 a21 4, a22 3
• 所以
f
(x,
y)
x,Байду номын сангаас
y
5 4
4 x
3
y
• （2） • 解：
f
(x1, x2 , x3
a11 0, a12
一、二次型的概念
定义4.11
含有n个变量 x1 ,
x2 ,
,
x
的二次齐次函数
n
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型. 简记为 f f (x1, , xn )
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
1/21
二、二次型的表示方法
1．用和号表示
对二次型
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
)12x, 3a2 13
x1x2
0;
2 x2
x3
a21
1 2
, a22
0, a23
1;
a31 0, a32 1, a33 1
• 所以：
0
1 2
0
A
1 2
0

6
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
二、二次型的矩阵表示
推导 f ( x1 , x2 , L , xn ) =
2 a11 x1 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 x n 2 + a 21 x 2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 x n
LLLLLLLLLL 2 + a n1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
定义 含有 n 个变量的二次齐次多项式称为 n 元二次型。 个变量的二次齐次 二次齐次多项式称为 二次型。
(一般) 一般)
2 2 例如 (1) f ( x , y ) = 3 x + 8 x y + 2 y
是一个二 二次型。 是一个二元二次型。
2 2 2 (2) f ( x , y , z ) = x + 2 x y + 6 x z + 2 y + 4 y z + 4 z
2 2
3 4 x = ( x, y ) . 4 2 y
4
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
试试看： 试试看： (2) f ( x , y , z ) = x 2 + 2 x y + 6 x z + 2 y 2 + 4 y z + 4 z 2
=
x1 (a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n x n )

记作 X PY , X x1 , x2 ,L xn , Y y1 , y2 ,L yn 注 非退化线性变换的逆变换仍为非退化的；连续多次 施行非退化线性变换其结果仍为一个非退化的线性变换，
T T
且系数矩阵等于非退化线性变换矩阵的乘积．
n
n
②
２、二次型 f ( x1 , x2 , 的矩阵表示
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2
a1n x1 xn
x1
x2
x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn xn an1 x1 an 2 x2 ann xn a11 a12 L a1n x1 a a22 L a2 n x2 ③ 21 L xn M M M M an1 an 2 L ann xn
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn 2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn
aij xi x j
i 1 j 1
f称为对称矩阵Ａ的二次型； Ａ称为二次型f的矩阵； 练习 写出下列二次型的对称矩阵．
例１
2 2 1）实数域Ｒ上的２元二次型 f ax 2bxy cy
2）实数域上Ｒ的３元二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 4 x1 x2 6 x1 x3 5 x2 4 x2 x3 3）复数域Ｃ上的４元二次型 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ix1 x2 3 x1 x4 5 x2 (3 i ) x2 x3 a b A 解： 1） b c

第五章 实二次型 ５－１ 二次型及其矩阵表示一、２元实二次型：两个实变量ｘ，ｙ的二次齐次多项式函数。

ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２［平方项 交叉项］＝22Cy byx bxy ax +++＝()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++cy bx by ax y x＝[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x c b b a y x 二次型ｆ的矩阵Ａ 未知量矩阵Ｘｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ）叫二次型ｆ的矩阵表示式。

二元二次型ｆ−−−→←一一对应２阶实对称矩阵Ａ。

二次型ｆ的秩＝秩（Ａ）。

二、３元实二次型：三个实变量ｘ１，ｘ２ｘ３的二次齐次多项式函数。

ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ａ１１ｘ１２＋２ａ１２ｘ１ｘ２＋２ａ１３ｘ１ｘ３＋ａ２２ｘ２２＋２ａ２３ｘ２ｘ３＋ａ３３ｘ３２令ａｊｉ＝ａｉｊ，其中１≤ｉ＜ｊ≤３。

因为ｘｉｘｊ＝ｘｊｘｉ，所以ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ ａ１１ｘ１２＋ａ１２ｘ１ｘ２＋ａ１３ｘ１ｘ３＋ａ２１ｘ２ｘ１＋ａ２２ｘ２２＋ａ２３ｘ２ｘ３＋ａ３１ｘ３ｘ１＋ａ３２ｘ３ｘ２＋ａ３３ｘ３２＝[]321x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a＝[]321x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x 二次型ｆ的矩阵Ａ 未知量矩阵Ｘｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ）叫二次型ｆ的矩阵表示式。

三元二次型ｆ−−−→←一一对应３阶实对称矩阵Ａ。

二次型ｆ的秩＝秩（Ａ）例（掌握）ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｘ１２－２ｘ２２＋３ｘ３２－４ｘ１ｘ２＋ｘ１ｘ３，ｆ的矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---30210222121 ｆ的矩阵表示式：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝[]321x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---30210222121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x 。

f = x T Ax = (Qy )T A(Qy ) = y T (Q T AQ ) y = y T Λy
2 = λ1 y12 + λ 2 y22 + L + λn yn
线性代数
第五章
11 11
例4
通过正交变换 化二次型
2 2 2 f = 5 x1 + 5 x 2 + 2 x 3 − 8 x1 x 2 − 4 x1 x 3 + 4 x 2 x 3
a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn a x a x L a x = ( x1 , x2 ,L, xn ) 21 1 + 22 2 + + 2n n LLLL a x + a x + L+ a x nn n n1 1 n2 2
线性代数
写成矩阵形式
解
.
½ 0 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ½ 2 −3 2 ½
x1 −3 x 2 2 0 x 3
½
注
a ij = a ji ( i ≠ j )为交叉项 x i x j的系数的一半， 的系数的一半， a ii 为平方项 x i2的系数 ,
令正交变换X=QY，则 ， 令正交变换
2 2 f = y12 + y 2 + 10 y 3
（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 ）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。 ， 。 线性代数 的特点 使其易于识别 第五章
14 14
（二）用满秩线性变换化二次型为标准形——配方法 用满秩线性变换化二次型为标准形 配方法 例2 化二次型

T 若存在 x1 ≠ 0,使得 f = x1 Ax1 > 0 ; 且存在 x2 ≠ 0, 使得
T 不定矩阵. 不定矩阵 f = x2 Ax2 < 0, 则称f 为不定二次型 A为不定矩阵 不定二次型, 不定二次型
(2). 可逆线性变换不改变二次型的正定性
f = xT Ax经过可逆线性变换x = Cy 化成 yT CT ACy 二次型
(4).正(负)定二次型及正 负)定矩阵的充要条件 正 负 定二次型及正 定二次型及正(负 定矩阵的充要条件 f = xT Ax 是正定二次型(A是正定矩阵) ⇔ A的正惯性指数p = n (A的阶数) = r (A的秩) ⇔A E ⇔ 存在可逆阵D, 使得 A = DT D ⇔ A的顺序主子式大于零, 即
即xT Ax
x = Cy
T T yT CT ACy,此时二次型 xT Ax 和 y C ACy
且 A和 CT AC(C为可逆阵)也有相同的 有相同的正定性. 的正定性.即可逆线性变换不改变二次型的正定性. (3). A是正定矩阵的必要条件 是正定矩阵的必要条件 A是n阶正定矩阵,则 aii > 0 (i =1,2,L, n), 且 |A| > 0 . (即 A 是实对称矩阵, 且 A 是可逆矩阵.)
其中 则p与q 是由A唯一确定的. (4) 正惯性指数、负惯性指数、符号差 正惯性指数、负惯性指数、 二次型化为标准形以后, 标准形中正项项数称为正惯 正惯 性指数, 负惯性指数, 性指数 负项项数称为负惯性指数 正、负惯性指数的 负惯性指数 差称为符号差 符号差. 符号差
3. 正定二次型、正定矩阵 正定二次型、
简记为 其中A是实对称矩阵 是实对称矩阵 称为二次型对应的矩阵,
且二次型 f 与实对称矩阵A存在一一对应的关系. (2)线性变换 设两组变量 线性变换 有关系

B = C ′AC , | C |≠ 0 ， 则 A = (C −1 )′ BC −1 = P′BP, P = C −1 ≠ 0
若 则
A1 = C1′ AC1 , A2 = C2′ A1C2 , C1 ≠ 0, C2 ≠ 0 ，
（3）传递性：
A2 = (C1C2 )′ A(C1C2 ) = Q′AQ,
（5.1）
（5.2）
f ( x, y ) = a′x′2 + c′y′2
（5.3）
（5.1）的右边是一个二元齐次多项式，把它化为标准方程 用代数的语言来说，就是用变量替换（5.2）把二元齐次多项式 化为只含平方项的标准方程。
第五章 二次型
能不能把这个结果推广到一般的 n 元齐次多项式？ 这需要引入 n 元齐次多项式的概念。 定义1：F是一个数域，系数在F中的n个文字 x1 , x2 ," , xn 的二次齐次多项式
第五章 二次型
例如： f ( x1 ) = 3 x12 是一元二次型；
2 f ( x1 , x2 ) = 2 x12 − 6 x1 x2 + 5 x2 是二元二次型；
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x1 x2 + 3 x1 x3 + 2 x2 + 4 x2 x3 + 3 x3
⎛ n ⎞ ⎜ ∑ a1 j x j ⎟ ⎜ jn=1 ⎟ ⎜ a x ⎟ n n n ∑ 2j j = ( x1 , x2 ,..., xn ) ⎜ j =1 ⎟ = x1 ∑ a1 j x j + x2 ∑ a2 j x j + " + xn ∑ anj x j ⎜ ⎟ j =1 j =1 j =1 # ⎜ n ⎟ ⎜ ⎜ ∑ anj x j ⎟ ⎟ ⎝ j =1 ⎠

非对称二次型：矩阵不是对称矩阵
半正定二次型：矩阵的所有特征值都是非负数
半负定二次型：矩阵的所有特征值都是非正数
实二次型：矩阵的系数都是实数
对称二次型：矩阵是对称矩阵
正定二次型：矩阵的所有特征值都是正数
负定二次型：矩阵的所有特征值都是负数
二次型的矩阵表示方法
01
02
03
04
标准二次型：二次型可以表示为矩阵乘以向量的形式，其中矩阵是对称矩阵。
02
二次型在经济学中的应用
生产函数：二次型可以用来表示生产函数，分析生产过程中的投入与产出关系。
成本函数：二次型可以用来表示成本函数，分析生产过程中的成本与产量关系。
效用函数：二次型可以用来表示效用函数，分析消费者在消费过程中的满足程度与消费量关系。
投资函数：二次型可以用来表示投资函数，分析投资者在投资过程中的收益与投资量关系。
主成分分析在二次型中的应用
01
主成分分析（PCA）是一种用于降维和多元数据分析的统计学方法。
04
02
03
在二次型中，主成分分析可以用来寻找数据的主成分，即数据的主要方向。
通过主成分分析，我们可以将二次型矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，另一个矩阵是低秩矩阵。
这种分解方法可以简化二次型的计算，提高计算效率。
二次型在物理学中的应用
电磁学：二次型在电磁学中用于描述电磁场的分布和相互作用，如麦克斯韦方程组、高斯定理等。
03
量子力学：二次型在量子力学中用于描述粒子的状态和运动规律，如薛定谔方程、海森堡不确定性原理等。
04
力学：二次型在力学中用于描述物体的运动和受力情况，如牛顿第二定律、胡克定律等。
01
光学：二次型在光学中用于描述光的传播和折射现象，如菲涅尔方程、折射定律等。

§1 二次型的矩阵表示3．写出下列二次型的矩阵表示式 （1） xy（2）222ax by cz dxy eyz fxz +++++。

解 （1）102(,)102x x y y ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ; (2)()22,,2222d f a x de x y z b y zf e c ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 4.已给二次型22123121223(,,)244f x x x x x x x x x =++-，试对它作如下非退化线性替换：（1）112233110012;001x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）11223311011;102x y x y x y ⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭（3）1122332211122.3212x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解 （1）123112321233112123233(,,)220100(,,)212(,,)110020021220110244212012(,,)474021001444f x x x x x x x x y y y x y y y y y y y y y =-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪--=-- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221231213274888y y y y y y y y⎪⎪⎪=+---+（2） 方法同（1），可得222123123(,,).f x x x y y y =--（3） 方法同（1），可得222123123(,,)42.f x x x y y y =+-§2 标准形15．配方法化下列二次型为标准形：（1）22123121223(,,)326;f x x x x x x x x x =--- （2）2221231122233(,,)2244;f x x x x x x x x x x =++++（3）123121223(,,)422;f x x x x x x x x x =-++ （4）2221234124121314232434(,,,)2442222;f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++（5）123414342324(,,,)8228.f x x x x x x x x x x x x =+++解 （1）二次型222221231212231122223222,12233(,,)32624639()(2)24f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =---=-+--=--+-令1123122322333313,,243132,,224,,x y y y y x x y x x x y y y x x y ⎧=+-⎪=-⎧⎪⎪⎪⎪=+=-⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎪⎩或故 2221231239(,,).4f x x x y y y =-- (2) 同样方法,可求得2212312(,,).f x x x y y =+(3) 令112112212212233311,22,11,,22;.y x x x y y x y y y x x x y y x ⎧=+⎪=+⎛⎫⎪⎪⎪=-=-⎨ ⎪⎪ ⎪=⎝⎭=⎪⎪⎩或 二次型 2212132312132221323(,,)42244414()42f x x x x x x x x x y y y y y y y y =-++=-++=--++令 1131132222333311,,22,,;.z y y y z z z y y z z y y z ⎧⎧=-=+⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩或故 222123123(,,)44.f x x x z z z =-++ (4) 同(1)之方法可得22212341231(,,,)2.2f x x x x y y y =-+ (5) 同(1)之方法可得222212341234(,,,)8222.f x x x x z z z z =-+-16．用合同变换化下列二次型为标准形，并写出相应的可逆矩阵：（1）22123121223(,,)222;f x x x x x x x x x =++- (2) 212311223(,,)54;f x x x x x x x x =+- (3) 22123131223(,,)22;f x x x x x x x x x =-++ (4) 12312132 3.(,,)f x x x x x x x x x =++解 （1）二次型的矩阵为110121.010⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭作如下合同变换11010010010121010011110010001010001100100010110.002111⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭故222123123(,,)2.f x x x y y y =+-相应的可逆矩阵为111011.001C --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭用同样方法得2221231232516(,,).425f x x x y y y =-+55124801.25001C ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3） 用同样方法可得2212312(,,).f x x x y y =-111011001C --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 用同样方法可得222123123(,,).f x x x z z z =--111111.001C --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭17. 用可逆线性替换化下列二次型为标准形:(1) 12341234(,,,)22;f x x x x x x x x =- (2)122122211(,,,).n n n n n f x x x x x x x x x --=+++解 (1) 作可逆线性替换112212334434,,,.x y y x y y x y y x y y =-⎧⎪=+⎪⎨=-⎪⎪=+⎩得 222212341234(,,,)2222.f x x x x y y y y =--+ (2) 令112222111121221212,,,,,,;.n n n n n n n n n n nn x y y x y y x y y x y y x y y x y y -+++--=+⎧⎪=+⎪⎪⎪=+⎪⎨=-⎪⎪⎪=-⎪⎪=-⎩得 222221221212(,,).n n n n f x x x y y y y y +=+++--- 18. 用可逆线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算其结果:2121(),.nni i x x x X X X n=+++-=∑其中解 令112112122232111112,2,,,,,2,;.nii n i i n n n n i n n n n i n n x y y y x x x y y y y x x y x x x y y y y x x y ==-----=⎧=+⎪⎧⎪=-⎪⎪=++=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪=++⎪⎪=⎩⎪⎪=⎩∑∑∑或 ① 由11(1),n ni ii i y Xn x x ===--=∑∑则 原式=()111122222111111222222121121()()2()332()2.42121n n n n n in i i i ii ji i i i i i j nn n yy y y y y y y n nz z z z z z n n ----=====≤<≤--+-=+=+=+++=+++--∑∑∑∑∑∑其中所作的线性替换为112312234111111,231111,341,,.n n n n n n y zz zzn y z zz z n y z y z ----⎧=----⎪-⎪⎪=----⎪-⎨⎪⎪=⎪⎪=⎩由①,②知替换矩阵为2000131001214101,231111231001T n n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭||0.T ≠ 再求二次型的矩阵 A.122123111221212()(,,,)(,,,)'(,,,),ni i n n n n n x x x x X X x x x x x x x x x x x x x x x C C x x x C x x =⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥-=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑ 其中C 是主对角线上元素都是1n n -,其余元素都是1n-的n 阶方阵.111111.111n n n n n A C nn nn nn n -⎛⎫--⎪ ⎪- ⎪-- ⎪== ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ 20000300024000'.30000100T AT n n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭19.求把二次型 222123123121323(,,)2938410f x x x x x x x x x x x x =+++-- 化为二次型222123123121323(,,)236448g y y y y y y y y y y y y =++--+的非退化线性替换.解 二次型123(,,)f x x x 的矩阵为242495.253A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭由合同变换法，可求得121011.001C --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭使200'010000C AC ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭同理可求得0111012,001C -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭使00200222'010,234.000246C BC B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭其中 这样，取10136013,001P C C ---⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭作非退化线性替换11232233336,3,.x y y y x y y x y =--⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 则有123123(,,)(,,).f x x xg y y y = §3 规范形28. 在实数域上,将互相合同的n 阶对称矩阵放在一起组成一个合同类.问一共有多少个合同类? 解n 元实二次型的秩有1n +种可能:0,1,2,,n 而秩为()r n ≤的实二次型的正惯性指数有1r +种可能:0,1,,,r 因此n 元实二次型按合同关系分类的情况如下表n因此n 元实二次型的合同类总数为(1)(2)123(1).2n n n n ++++++++=29. 在复数域中,化下列二次型为规范行,并写出相应的线性替换:(1) 222123123121323(,,)2242;f x x x x x x x x x x x x =-++++ (2) 2221231231213(,,)5424.f x x x x x x x x x x =+-+-解 (1)222123123121323222123233(,,)224218(2)3().33f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-++++=++-+-作非退化线性替换1123123332,1,3.y x x x y x x y x =++⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ 则2321231238(,,)3.3f x x x y y y =-- 再作非退化线性替换.112233,,.y z y z y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎩则222123123(,,).f x x x z z z =++(2) 同样方法,可得222123123(,,).f x x x ωωω=++30.在实数域中,化下列二次型为规范形,并写出相应的线性替换:(1) 223123122121323(,,)4443;f x x x x x x x x x x x x =++-+-(2) 222123123121323(,,)3422;f x x x x x x x x x x x x =+++++ (3) 123121323(,,).f x x x x x x x x x =++ 解 (1) 实二次型123(,,)f x x x 的矩阵为422321.23212A ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭由合同变换法,可求得1011002011,'010.011001C C AC ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭使则 222123123(,,).f x x x y y y =-+所作的非退化线性替换为 1122331012011.011x y x y x y ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭(2)用同样方法可得 222123123(,,).f x x x y y y =-+ 非退化线性替换为11223310.00x yx y x y ⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ (3) 用同样方法可得222123123(,,).f x x x z z z =--非退化线性替换为112233111111.001x z x z x z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31. 求下列实二次型的秩与符号差:(1) 2221231231213(,,)56444;f x x x x x x x x x x =---++(2) 123411223(,,,)53;f x x x x x x x x x =+- (3) 1234122334(,,,);f x x x x x x x x x x =++(4)2222123411213142232434(,,,)222242.f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+-++-+- 解 （1） 2221231231213(,,)56444f x x x x x x x x x x =---++=2221232332262405[()]().551313x x x x x x --+--- 令 1123223332().52,13,y x x x y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩则 2221231232640(,,)5.513f x x x y y y =--- 再令112233,,,z z z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩得 222123123(,,).f x x x z z z =---故实二次型 123(,,)f x x x 的秩为3，符号差为-3. (2) 用同样的方法可得1234(,,,)f x x x x 的秩为3，符号差为2-1=1.(3) 用同样的方法可得1234(,,,)f x x x x 的秩为4，符号差为0.（4） 同样的方法可得1234(,,,)f x x x x 的秩为3，符号差为1.32． 求下列实二次型的秩与符号差：（1） 1221234212(,,,);n n n f x x x x x x x x x -=+++（2）122123456782(,,,)234.n n nf x x x x x x x x x x x n x x-=+++++解 （1） 作非退化线性替换112212334434212122212,,,,,.n n n nn n x y y x y y x y y x y y x y y x y y ---=+⎧⎪=-⎪⎪=+⎪=-⎨⎪⎪=+⎪⎪=-⎩即12212121234342122122222221321242(,,,)()()()()()().n n n n n n n n f x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y ----=+-++-+++-=+++----故 122(,,,)n f x x x 的秩为2n ，符号差为0. （2）用同样的方法可得122(,,,)n f x x x 的秩为2n ，符号差为0.§ 4 正定二次型1． 用克兰姆法则解方程组 2x 1－x 2+3x 3+2x 4=6 3x 1－3x 2+3x 3+2x 4=5 3x 1－x 2－x 3+2x 4=3 3x 1－x 2+3x 3－x 4=42． 设 α1=（1，2，3，0） α2=（-1，-2，0，3）α3=（2，4，6，0） α4=（1，-2，-1，0） α5=（0，0，1，1） 求｛α1，α2，α3，α4，α5｝的秩和一个极大线性无关组。

2. 二次型的矩阵：二次型与对称矩阵一一对应 3.可逆线性替换与二次型：矩阵的合同
18
21．试证：若A 是n 阶方阵，n 是奇数，且满足 T A A E, A 1, 则 E A 0 . 证：
E A AAT A A AT E
A A E A E 1 E A
n
∵ n 是奇数，故有
EA EA
E A 0.
19
23． 设A为n 阶方阵，Ak O (k 2的正数 ),
求: E A . k 解： A O ,
1
Ak E k E k E E k Ak

1
E A E A A2 Ak 1
R( A) R( A) 2 3
方程组有无穷多解，
x1 1 (x3 为自由未知量) 其一般解为 x2 1 x3
23
⒈ 若C 可逆，则称线性替换 ⑴为可逆线性替换 (或非退化线性替换) ,简称为可逆替换. ⒉ 若矩阵C 是正交矩阵，则称⑴为正交线性替 换，简称为正交替换.
11
定理: 可逆线性替换将二次型变成二次型.
T f ( x , x , , x ) X AX , 证： 设二次型 1 2 n
X CY 为可逆替换，则有
6
如
3 A 2 0
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 3 x1 x2 7 x2 x3 3 2 x1 x1 x2 0 x1 x3 2 3 7 2 x1 x2 2 x2 x2 x3 2 2 7 2 0 x1 x3 x2 x3 0 x3 3 2 0 1
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX

线性代数中的二次型矩阵表示在线性代数中，二次型是一种重要的概念，它与矩阵表示有着密切的联系。

本文将介绍二次型的定义及其矩阵表示的相关知识，帮助读者更好地理解和应用线性代数中的二次型。

一、二次型的定义二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其一般形式可以表示为：Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j其中，x_1, x_2, ..., x_n为变量，a_{ij}为系数。

二次型可以用矩阵来表示，即二次型矩阵。

二、二次型矩阵的构造将二次型中的系数构成一个矩阵A = [a_{ij}]_{n\times n}，则矩阵A 为二次型的矩阵表示。

其中，a_{ij}为二次型中的系数。

例如，对于一个二次型Q(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 3x_1x_2 +4x_2x_3，其矩阵表示为：A = \begin{bmatrix} 2 & \frac{3}{2} & 0\\ \frac{3}{2} & 0 & 2 \\ 0 &2 & 0 \end{bmatrix}三、二次型矩阵的性质1. 对称性：二次型矩阵A是对称矩阵，即A^T = A，其中A^T为A 的转置矩阵。

2. 正定性：若对于任意非零向量x，都有x^TAx > 0，则称二次型矩阵A为正定矩阵。

3. 半正定性：若对于任意非零向量x，都有x^TAx \geq 0，则称二次型矩阵A为半正定矩阵。

4. 负定性和半负定性的定义与正定性和半负定性类似，只是不等式的方向相反。

四、二次型矩阵的特征值与特征向量对于二次型矩阵A，存在n个实数\lambda_1, \lambda_2, ...,\lambda_n，使得存在非零向量x_1, x_2, ..., x_n，满足Ax_i =\lambda_ix_i，其中i = 1, 2, ..., n。

第六章 二 次 型I 重要知识点一、二次型及其矩阵表示1、二次型的定义：以数域P 中的数为系数，关于x 1，x 2，…，x n 的二次齐次多项式f (x 1，x 2，…，x n )=a 11x 12+2a 12x 1x 2+ … +2a 1n x 1x n+a 22x 22+ … +a 2n x 2x n + … (3) +a nn x n 2称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。

2、二次型的矩阵表示 设n 阶对称矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a 212221211211 则n 元二次型可表示为下列矩阵形式：f (x 1，x 2，…，x n )=( x 1，x 2，…，x n ) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a212221211211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21=X TAX其中 X =( x 1，x 2，…，x n )T 。

对称矩阵A 称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。

矩阵A 的秩称为二次型f (x 1，x 2，…，x n )的秩。

二次型与非零对称矩阵一一对应。

即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。

3、线性变换设x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 为两组变量，关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 其中c ij (i ，j =1，2，…，n )为实数域R (或复数域C )中的数，称为由x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换，简称线性变换。

线性变换的矩阵表示，设n 阶矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n c c c c c c c c c212222111211则从x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换可表示为下列矩阵形式：X =CY其中X =( x 1，x 2，…，x n )T 和Y =( y 1，y 2，…，y n )T ，C 称为线性变换的系数矩阵。

二次型和矩阵特征值的关系一、引言二次型和矩阵特征值是线性代数中重要的概念，它们之间存在着紧密的联系。

本文将从二次型的定义入手，介绍二次型的矩阵表示及其与特征值的关系。

二、二次型的定义在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式。

对于一个n维实数向量x = (x1, x2, ..., xn)，其对应的二次型可以表示为Q(x) = x^TAX，其中A是一个n×n的实对称矩阵。

三、二次型的矩阵表示对于二次型Q(x) = x^TAX，我们可以将其表示为矩阵的形式。

假设x和A分别表示为列向量和矩阵的形式，即x = [x1, x2, ..., xn]^T，A = [a_ij]，则有Q(x) = x^TAX = [x1, x2, ..., xn] [a_ij] [x1, x2, ..., xn]^T = Σ(a_ij * xi * xj)，其中Σ表示对i和j的求和。

四、特征值和特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵特征值问题中的重要概念。

对于一个n×n 的矩阵A，如果存在一个实数λ和一个非零向量v，使得Av = λv 成立，则称λ为A的特征值，v为A的对应于特征值λ的特征向量。

五、二次型与特征值的关系对于一个n维实对称矩阵A，它的特征值问题可以表示为Av = λv，其中A是一个n×n的实对称矩阵，v是一个非零向量，λ是一个实数。

将特征向量表示为x，即x = v，则有Ax = λx。

根据二次型的矩阵表示，我们可以将二次型Q(x) = x^TAX表示为Q(x) = x^T(λx) = λ(x^Tx) = λ||x||^2。

由此可见，二次型的值与特征值λ之间存在着直接的关系。

六、二次型的正定性与特征值正定性是二次型重要的性质之一。

一个二次型Q(x)被称为正定的，如果对于所有非零向量x，都有Q(x) > 0。

对于正定的二次型，其特征值均为正数。

同样地，如果一个二次型Q(x)被称为半正定的，如果对于所有非零向量x，都有Q(x) ≥ 0。