6_1二次型及其矩阵表示 矩阵合同

第六章二次型本章共有三节内容：§1 二次型及其矩阵表示§2 化二次型为标准形§3 正定二次型§6.1二次型及其矩阵表示二次型的定义二次型的矩阵表示二次型的标准形合同矩阵一、二次型的定义12(,,,)n f x x x n 元二次型是指如下形式的二次齐次多项式211112121313112222232322222222n n n n nn n a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++++++++ 定义6.112,,,n x x x ；n 元二次型的特点：①含n 个自变量②二次齐次多项式：只含或的项，无一次项2i x i j x x 和常数项。

221212(,)5f x x x x =++不是二次型例如：特点：只含有变量的平方项，无混合乘积项。

222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 当a ij 为实数时，称f 为实二次型；当a ij 为复数时，称f 为复二次型。

本章仅讨论实二次型。

标准形：二、二次型的矩阵表示12,1(,,,)n n ij i ji j f x x x a x x ==∑ 若将改写成2()ij i j a x x i j <,ij i j ji j i a x x a x x +，其中ij ji a a =，则二次型可以表示为ij ji a a =即A 是对称矩阵，则二次型可用矩阵形式表示为：111211212222121212(,,)(,,)n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠若令11121121222212,n n n n nn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠A x ，其中T=x Ax 实对称矩阵A 称为二次型f 的矩阵，也把f 称为实对称矩阵A 的二次型,实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，二次型与实对称矩阵之间是一一对应的关系。

⼆次型和矩阵合同1. ⼆次型含有n个变量x_{1},x_{2},...,x_{n}的⼆次齐次函数f(x_{1},x_{2},...,x_{n})称为n元⼆次型，即在⼀个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每⼀项的次数都为2的多项式，如f(x) = ax^{2} \\ f(x,y) = ax^{2} + by^{2} + cxy \\ f(x,y,z) = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + dxy + exz + fyz它起源于⼏何学中⼆次曲线⽅程和⼆次曲⾯⽅程化为标准形问题的研究。

⼆次型中每⼀项都是⼆次的，没有⼀次项和常数项，之所以不研究包含⼀次项和常数项的⼆次⾮齐次多项式，是由于：⼀次项与常数项的改变不会影响函数图像的⼤致形状。

⼀个⼆次型可以⽤⼀个矩阵表⽰成如下的形式：f(x) = x^{T}Ax其中x是⾃变量组成的列向量。

⼀定都会找到⼀个对称的矩阵A来表⽰表⽰这个⼆次型，假如A不对称，那么必然有对称矩阵B = (A + A^{T}) / 2满⾜x^{T}Ax = x^{T}Bx因为实对称矩阵具有许多特别的性质，为了⽅便研究，规定⼆次型矩阵就是⼀个实对称矩阵。

更为关键的是：如果⼆次型矩阵是对称的，那么它将是唯⼀的。

⼆次型的图形：为了⽅便研究⼆次型，我们代⼊具体的函数值，研究⼀个具体的图形：x^{T}Ax = C这样就表⽰成⼀个曲线或者曲⾯，这个图形由取具体函数值的⾃变量全体构成的。

描述它的参考系(少了函数值那个维度)不同，⼆次型矩阵也不同，这涉及到合同的概念。

2. 矩阵合同在线性代数，特别是⼆次型理论中，常常⽤到矩阵间的合同关系。

定义：设A和B是两个n阶⽅阵，若存在可逆矩阵C，使得C^{T}AC = B则⽅阵A与B合同，A到B的变换C称为合同变换。

那矩阵A和B合同到底有什么意义呢？我们已经知道相似是相同的线性变换在不同基下的表⽰，那合同呢？下⾯针对⼀个⼆次型的图形来表述，即代⼊具体函数值之后的曲线或曲⾯。

叙述矩阵合同与二次型的关系关键信息项：协议方信息甲方：____________________________乙方：____________________________项目目标描述：____________________________合作内容主要任务：____________________________具体要求：____________________________权利与义务甲方权利与义务：____________________________乙方权利与义务：____________________________时间安排启动时间：____________________________完成时间：____________________________费用与支付总费用：____________________________支付安排：____________________________保密条款保密内容：____________________________保密责任：____________________________违约责任违约条款：____________________________违约处理：____________________________争议解决解决方式：____________________________协议修改修改程序：____________________________协议甲方与乙方就矩阵合同与二次型的关系达成如下协议：协议方信息1.1 甲方：____________________________1.2 乙方：____________________________项目目标2.1 本协议的主要目标是探讨和明确矩阵合同与二次型之间的关系。

矩阵合同将用于描述二次型在优化问题中的应用，而双方合作的目的是为了在实际项目中验证这一理论关系的有效性。

第六章二次型§1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵§2 化二次型为标准形§3 二次型与对称矩阵的正定性§1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵定义6.1.1：含有n 个变量x 1, x 2, … , x n 的二次齐次多项式()n x x x f ,,,21 nn x x a x x a x x a x x a x a 1141143113211221112222+++++= nn x x a x x a x x a x a 22422432232222222+++++ 2nnn xa +当系数属于数域F 时，称为数域F 上的一个n 元二次型。

本章讨论实数域上的n 元二次型，简称二次型。

nn x x a x x a x a 334334233322++++22212111222121213131,12111121211221212222221122,1222(,,,)n nn nn n n nn n n nn n n n nn nniji ji j f x x x a x a x a xa x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a xax x --==+++++++=++++++++++++=∑i j j i ij i j i j i j j i i j22212111222121213131,12111121211221212222221122,1222(,,,)n nn nn n n nn n n nn n n n nn nniji ji j f x x x a x a x a xa x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a xax x --==+++++++=++++++++++++=∑i j j i ij i j i j i j j i i j212111121211221212222221122(,,,)n n n n n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x =+++++++++++11111221()n n x a x a x a x+++22112222()n nx a x a x a x ++++1122()n n n nn n x a x a xa x +++11112212112222121122(,,,)n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x +++⎛⎫⎪+++⎪= ⎪⎪+++⎝⎭1112112122221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Tx Ax=其中A = (a ij )n ×n , x = (x 1, x 2, ···, x n )TA 为对称矩阵，称A 为二次型对应的矩阵，A 的秩为二次型的秩。

矩阵二次型合同1. 合同（协议）主体1.1 甲方：______________________1.2 乙方：______________________2. 合同（协议）标的2.1 矩阵二次型合同相关的项目2.11 甲方拥有特定的矩阵A，其元素明确且符合数学定义。

2.12 乙方承诺对矩阵A进行二次型合同相关的操作，包括但不限于寻找合适的可逆矩阵C，使得CTAC（其中CT为C的转置矩阵）满足双方预先约定的数学性质，例如将矩阵A变换为对角矩阵或者具有特定特征值分布的矩阵等。

2.13 操作过程需遵循矩阵二次型合同的数学原理和方法，乙方应运用合法、合规的数学手段来实现目标。

3. 权利义务3.1 甲方权利3.11 有权要求乙方按照约定的标准和时间完成矩阵二次型合同相关操作。

3.12 有权对乙方的操作过程和结果进行监督和检查，如果发现不符合约定的情况，有权要求乙方及时纠正。

3.2 甲方义务3.21 向乙方提供与矩阵A相关的准确信息，包括矩阵的维度、元素数值等必要数据，确保乙方能够顺利开展工作。

3.22 按照约定的时间和方式支付乙方报酬（如果有约定报酬的话）。

3.3 乙方权利3.31 在操作过程中，如果遇到甲方提供信息不准确或不完整的情况，有权要求甲方及时补充或修正。

3.32 按照约定获得相应的报酬（如果有此约定）。

3.4 乙方义务3.41 按照数学规范和约定的要求，认真、负责地对矩阵A进行二次型合同相关操作。

3.42 保证操作结果的准确性，即CTAC符合双方约定的数学性质。

3.43 在规定的时间内完成操作任务，并向甲方提交详细的操作报告，包括所采用的方法、步骤以及最终结果等内容。

4. 违约责任4.1 甲方违约责任4.11 如果甲方未能按照约定向乙方提供准确的矩阵A相关信息，导致乙方操作延误或无法达到约定结果，甲方应承担因此给乙方造成的损失，包括但不限于乙方额外投入的时间成本、可能产生的经济损失等。

4.12 若甲方未按时支付乙方报酬（如有约定），应按照一定比例（例如每日万分之五）向乙方支付逾期付款违约金，直至报酬全额支付完毕。

二次型矩阵合同一、二次型的定义和矩阵表示二次型是指一个关于n个变量x1,x2,...,xn的二次齐次多项式，即形如Q(x1,x2,...,xn)=a11x1^2+a22x2^2+...+annxn^2+2a12x1x2+...+2 an-1,nxn其中a11,a22,...,ann和a12,a13,...,an-1,n都是实数或复数。

将二次型Q(x)用矩阵A表示为 Q(x)=x^TAx，其中A是一个n阶对称矩阵，且对于任意向量x=(x1,x2,...,xn)^T，都有Q(x)=x^TAx。

二、合同变换合同变换是指通过正交变换将一个矩阵A转化为另一个矩阵B的过程。

具体地，设P是一个n阶正交矩阵，则有B=P^TAP。

合同变换的性质：（1）合同变换不改变矩阵的秩；（2）合同变换不改变矩阵的行列式；（3）合同变换不改变矩阵的特征值和特征向量；（4）合同变换可以将任意对称矩阵A对角化。

三、二次型矩阵合同的定义设Q(x)和P(x)分别是n元二次型，A和B是它们的矩阵表示，则称矩阵A和B合同，如果存在一个n阶正交矩阵P，使得P^TAP=B。

四、二次型矩阵合同的判定（1）方法一：利用主元法将矩阵A和B分别化为标准型，如果它们的标准型相同，则它们合同。

（2）方法二：利用特征值和特征向量进行判定。

设A和B分别有特征值λ1,λ2,...,λn和μ1,μ2,...,μn，并且对应的特征向量为x1,x2, (x)和y1,y2,...,yn，则有以下结论：①当λi=μj时，必然存在一个正交变换P使得P^TAP=B；②当λi≠μj时，A和B不合同。

五、二次型矩阵合同的应用（1）判断二次型是否等价：如果两个二次型Q(x)和P(x)的矩阵表示A 和B合同，则它们等价，即它们具有相同的规范形式。

（2）求解二次型问题：通过正交变换将一个二次型转化为规范形式后，可以方便地求解其最大值或最小值及取到最大值或最小值时的极值点。

（3）求解线性方程组：对于一个n元线性方程组Ax=b，如果A是一个对称矩阵，则可以通过合同变换将其对角化，进而求解方程组。

证明两个矩阵合同的方法以下是 9 条关于证明两个矩阵合同的方法：1. 看特征值呀！比如说矩阵 A 和矩阵 B，如果它们的特征值的正负个数完全相同，那是不是就很有可能合同啦！就好像两个人有着相同数量的优点和缺点，不就很相似嘛！比如矩阵 A 的特征值有 2 个正的 1 个负的，矩阵 B 也是，那它们就可能合同哦。

2. 行列式的符号也能说明问题呀！如果两个矩阵的行列式符号相同，这就像两条路都通往同一个方向，是不是很有可能合同呀！例如矩阵 C 的行列式大于 0，矩阵 D 的也一样，那就值得怀疑它们是不是合同啦。

3. 研究秩呀！要是两个矩阵的秩相等，这不就像两个团队的实力水平差不多嘛！比如说矩阵 E 是 3 阶矩阵且秩为 2，矩阵 F 也是 3 阶矩阵且秩为2，那它们说不定就合同呢！4. 转化成相似矩阵来想想呀！如果它们都相似于同一个对角矩阵，哇，那就厉害了，这可暗示着它们很可能合同哟！就如同两个人都和第三个人很像，那他们自己是不是也很像呢，嘿嘿！比如矩阵 G 和矩阵 H 都和同一个对角矩阵相似。

5. 观察二次型呀！它们对应的二次型如果能通过同一个可逆线性变换变成一样的，哎呀呀，这不就说明它们关系不一般嘛，很可能就是合同的呀！像两个不同形状的东西经过某种奇特变化变得一样了，能不神奇嘛！比如二次型 P 通过变换成了和二次型 Q 一样的。

6. 从等价的角度去想呀！如果两个矩阵等价，那也给合同增加了可能性呢！这就像两个事物在某些方面是等同的，那合同的可能性就有啦！比如矩阵 K 和矩阵 L 是等价的。

7. 看看主子式的正负性呀！两个矩阵相应的主子式正负性相同，这就跟两个人有着相似的性格特点一样，有可能就合同啦！像矩阵 M 和矩阵 N 的某些主子式正负性一样。

8. 考虑可逆矩阵的作用呀！要是存在可逆矩阵能把一个矩阵变成另一个，这就如同有个魔法钥匙能打开他们之间合同的大门呀！比如说有个可逆矩阵能将矩阵 O 转化为矩阵 P。