全通滤波器与最小相位系统

第8章全通滤波器1、如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1，全通滤波器的频率响应函数可表示成全通滤波器的系统函数的一般形式：二阶滤波器级联形式为：证明：由于系数是实数，所以如果将零点和极点组成一对，将零点与极点组成一对，那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现，即如果为全通滤波器的零点，则必然是全通滤波器的极点。

全通滤波器系统函数2、一个因果稳定的时域离散线性非移变系统，其所有极点必须在单位圆内，但其零点可在z平面上任意位置，只要频响特性满足要求即可。

如果因果稳定系统的所有零点都在单位圆内，则称之为“最小相位系统”，记为；反之，如果所有零点都在单位圆外，则称之为“最大相位系统”，记为，若单位圆内、外都有零点，则称之为“混合相位系统”。

最小相位系统在工程理论中较为重要，下面给出最小相位系统的几个重要特点：(1) 任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统和一个全通系统级联而成，即(2) 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延迟(负的相位值)最小。

(3) 最小相位系统保证其逆系统存在。

给定一个因果稳定系统，定义其逆系统为8.2 格型滤波器1、全零点格型滤波器：一个M阶的FIR滤波器的系统函数可写成如下形式其中，表示M阶FIR滤波器的第i个系数，并假设首项系数，对应的格型结构如图所示。

的系数求出格型结构网络系数的逆推公式。

基本格型单元的输入、输出关系如下式：与滤波器系数之间的递推关系为例：FIR滤波器由如下差分方程给定求其格型结构系数，并画出格型结构图解对差分方程两边进行Z变换的3、全极点(IIR)格型滤波器：IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数，可以根据FIR格型结构开发。

求FIR格型结构网络系数：。

主讲人：陈后金电子信息工程学院数字信号处理Digital Signal Processing全通滤波器与最小相位系统◆全通滤波器及特性◆最小相位系统定义◆全通滤波器的应用◆最小相位系统应用为什么讨论全通和最小相位系统●可以利用全通滤波器进行相位均衡●可以利用最小相位系统进行幅度均衡●可以利用这两个系统表示任意因果系统定义：A m (z )表示m 阶实系数全通滤波器的系统函数j (e )1m A Ω=1(1)111(1)11()1m mm m m m mm m d d z d z zA z d z d zd z −−−−−−−−−−++++=++++1111)(−∗−−−=dzdz z A 1<d (a)幅度响应ΩΩΩj j j 1e1e)e (−∗−−−=d dA ΩΩΩj j j e1e 1e−∗−−−=d d 1)e (j 1=ΩA 一阶复系数全通数字滤波器θj er d =ΩθΩθΩj j j j j ee 1ee 1e−−−−−=r r(b)相位响应j j j j j j j e e cos()j sin()(e )e e e e cos()j sin()θθr r θr θA r r θr θ−−−−−−−−⋅−==−−−+⋅−11111ΩΩΩΩΩΩΩΩΩsin()()2arctan1cos()r r ΩθϕΩΩΩθ−=−−−−111111()11z d d z A z z dz dz−∗∗−−−−−==−−1<d θj er d = 一阶复系数全通数字滤波器(b)相位响应2222d ()10d (1cos())sin ()rr r ϕΩΩΩθΩθ−=−<−−+−一阶全通数字滤波器的相位响应为单调递减。

sin()()2arctan1cos()r r ΩθϕΩΩΩθ−=−−−−一阶全通数字滤波器的相位响应Ωsin()()2arctan 1cos()r r ΩθϕΩΩΩθ−=−−−−θj er d =(c)一阶全通滤波器的极点和零点极点为：θj 1er d p ==零点为：θj 1e )/1(/1r d z ==∗Re z*111()p z =零点与极点存在共轭倒数的关系一阶复系数111()1z d A z dz −∗−−=−1<d θj e r d =1d z z d∗−=−mm m m mm m m m z d z d z d z z d z d d z A −−−−−−−−−−++++++++=)1(111)1(1111)( (a)幅度响应)()(1z D z D z m m m −−=111()()()()1()()m mm m m m m m z D z z D z A z A z D z D z −−−−==1)()()e (j e 12j ===−ΩΩz m m m z A z A A 利用实序列DTFT 的对称性，有m 阶实系数全通滤波器(b)m 阶实系数全通滤波器的极点和零点m 阶实系数全通系统可分解为m 个一阶全通系统的级联*1()i ip z =1212()()()()()()()m m m z z z z z z A z K z p z p z p −−−=−−− 11()()m i i m i i z z K z p ==∏−=∏−一阶全通1)e (j0=m A 因为(0)0ϕ=所以(c)m 阶实系数全通滤波器的相位响应12((((m ϕΩϕΩϕΩϕΩ)=)+)++) 所以m 阶实系数全通系统的相位响应是非正且递减的。

处理滤波器延时的方法滤波器在信号处理中起到非常重要的作用，可以对信号进行去噪、增强等操作。

然而，滤波器的延时问题却是一个令人头痛的难题。

本文将介绍一些常见的处理滤波器延时的方法，帮助读者解决这一问题。

一、预测滤波器预测滤波器是一种常见的处理滤波器延时的方法。

其基本思想是通过对信号进行预测，从而减小滤波器的延时。

预测滤波器可以采用线性预测、非线性预测等方法。

线性预测方法常用的有自回归(AR)模型、自回归滑动平均(ARMA)模型等。

非线性预测方法常用的有支持向量回归(SVR)、径向基函数(RBF)网络等。

通过预测滤波器，可以有效地减小滤波器延时，提高信号处理的效果。

二、零相延迟滤波器零相延迟滤波器是另一种常见的处理滤波器延时的方法。

零相延迟滤波器的特点是在滤波过程中不引入延时。

一种常见的实现方法是使用FIR滤波器。

FIR滤波器是一种线性相位滤波器，通过适当设计滤波器系数，可以实现零相延迟滤波。

然而，FIR滤波器也存在一定的缺点，如对滤波器阶数的要求较高、计算复杂度较大等。

三、补偿滤波器补偿滤波器是一种通过对滤波器输出信号进行处理来减小滤波器延时的方法。

其基本思想是在滤波器输出信号中添加一个延时信号，使其与输入信号同步。

常用的补偿滤波器有全通滤波器、反卷积滤波器等。

全通滤波器可以通过与原滤波器串联来实现，反卷积滤波器则可以通过对滤波器输出信号进行反卷积操作来实现。

补偿滤波器可以有效地减小滤波器延时，提高信号处理的精度。

四、最小相位滤波器最小相位滤波器是一种通过对滤波器的频率响应进行处理来减小滤波器延时的方法。

其基本思想是将滤波器的频率响应变换为最小相位形式，从而减小滤波器的延时。

最小相位滤波器可以通过对滤波器的频率响应进行对数变换、相位变换等操作来实现。

最小相位滤波器可以有效地减小滤波器的延时，提高信号处理的效果。

处理滤波器延时的方法有预测滤波器、零相延迟滤波器、补偿滤波器和最小相位滤波器等。

不同的方法适用于不同的场景，读者可以根据具体情况选择合适的方法来处理滤波器延时。