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最小相位系统及极坐标图第11讲

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系统的频率特性分析

系统的频率特性分析
系统的型号:一种依据系统开环传递函数中积分环节的多少 来对系统进行分类的方法
１．0 型系统（v=0） ２．I 型系统（v=1） 3 . II 型系统（v=2） ……
极坐标图的形状与系统的型号有关，一 般情况如下（注意起始点）：
II型系 统
w0
w w
Im
w 0
w 0 Re
I型系 统
w0
w 0 型系统
w 基准点 ( 1 , L ( 1 ) 2l0 g K ) 第一转折频率之左
斜率 20 v dBdec
的特性及其延长线
⑷ 叠加作图
一阶 二阶
惯性环节 复合微分 振荡环节 复合微分
-20dB/dec +20dB/dec -40dB/dec -40dB/dec
⑸ 修正 根据误差曲线修正
① L(w) 最右端曲线斜率=-20(n-m) dB/dec ⑹ 检查 ② 转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分)
(1 w2 )1 1 ( 4 5 w2)jw (1 5 (1 w 2)j2 1 w ( 2 4 )w2)
G (j0) 90G (j)0270
渐近线： RG e(j[0) ] 15
与实轴交点：Im G (j[w) ]0 w1 20.707
15
10
RG (e j0 .[ 7) 0 ]7
(1 0 .5 )1 ( 4 0 .5 ) 3
对数幅频特性记为 对数相频特性记为
单位为分贝（dB) 单位为弧度（rad)
Bode Diagram 0
Phase (deg) Magnitude (dB)
-50
-100 0
-45
-90
-135

最小相位系统

最小相位系统

最⼩相位系统0. 若⾮特别说明，本⽂中的最⼩相位系统总是因果且稳定的；1. 最⼩相位系统指所有零点和极点都在单位圆内的系统；2. ⾮最⼩相位系统可表⽰为最⼩相位系统和全通系统的级联（于是全通系统不是最⼩相位系统）；3. 将⾮最⼩相位系统在单位圆外的零点反射到其共轭倒数位置，即得相应的最⼩相位系统；5. 于是，与上⼀步得到的最⼩相位系统级联的全通系统就有如下组成：零点：H(z)位于单位圆外的全部零点，以得到最⼩相位系统中缺乏的那些零点；极点：与反射过来的共轭倒数零点相抵消的极点，以抵消那些反射过来的零点。

再考虑到其模为1，与最⼩相位系统级联的全通系统就是完全确定的。

6. 最⼩相位系统存在的意义是，其逆系统是因果且稳定的；但⾮最⼩相位系统则不是这样（系统在单位圆外的零点，在其逆系统中将成为单位圆外极点）。

因此，对于⼀个⾮最⼩相位系统，为了求得其“⼴义”上的逆系统，可以将该系统分解为最⼩相位系统和全通系统，然后求最⼩相位系统的逆系统。

这样得到的逆系统和原系统级联后，幅度响应满⾜逆系统要求，但相位响应则不⾏。

7. ⼀个全通系统的连续相位曲线总是负值，因此将最⼩相位系统与全通系统级联总是增加相位的滞后。

所以我们把最⼩相位系统叫做最⼩相位系统：实际上应该叫最⼩相位滞后系统。

最⼩相位系统同时也是最⼩群延迟系统、最⼩能量延迟系统。

8. 最⼩相位系统相位与幅值之间的对应关系是唯⼀的。

以连续⼀阶系统jωτ+1为例，画出其近似bode图，幅值在1/τ转折，相位在0.1/τ和10/τ转折，于是⼀阶系统只需有幅值或相位图中其⼀，就可画出另⼀。

由此我们也可推断出，对任何连续系统，幅值和相位的关系：幅值斜率20db/10oct，对应相位90°；幅值斜率20n db/oct，对应相位90°n；反之亦然。

在幅值斜率转折频率点前后，相位转折。

仍以连续⼀阶系统为例，幅值在频率点1/τ之前斜率为0，在之后为-20db/10oct；对应相位起始为0，在1/τ前后（0.1τ~10τ）转折，终值为-90°。

第12讲bode最小相位系统和非最小相位系统

第12讲bode最小相位系统和非最小相位系统

(1)对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot) (2)极坐标图 (Polar plot) (3)对数幅相图 (Log-magnitude versus phase plot)
对数幅频特性 对数频率 特性曲线
相频特性
20log G( j) dB G( j) ()
R(s) + -
E(s)
G(s)
C(s)
假设系统的开环传递函数为
G(s)
K (T1s 1)(T2s 1)(Tms 1) s (T1s 1)(T2s 1)(Tn s 1)
图5-21单位反馈控制系统
G(
j)
(
K (T1 j 1)(T2 j 1)(Tm j j) (T1 j 1)(T2 j 1)(Tn
n
n
时
40 log 40 log1 0 n
dB
所以高频渐近线与低频渐近线在
8
处相交。这个频率就是上述二阶因子的转角频率。
谐振频率谐振峰值
d g() 2(1 2 )(2 ) 2(2 )2 1 0
dt
n2
n2
n n
g ( )
2
2 n
(1
2 n
2
2)2
4
2 (1
2)
G( j)
n
n
L()
20 log
1 2 (
j
1
)
(
j
)2
20log
(1
2 n2
)2
(2
n
)2
n
n
低频渐近线为一条0分贝的水平线
在低频时，即当 n
-20log1=0dB
在高频时，即当 n

系统的频率特性

系统的频率特性

三、机械系统动刚度的概念
质量-弹簧-阻尼系统(m- k- B)
f(t):输入力
x(t):输出位移
k
B
m
其传递函数
阻尼比
无阻尼自然频率
系统的频率特性
动柔度： 动刚度： ω = 0时，即为系统静刚度。 当
f
x1
k1
m1
k2
m2
x2
例p142：弹簧吸振器简化图示模型,若质量m1受到干扰力f=Asinωt,如何选择吸振器参数m2和k2,使质量m1产生的振幅为最小?
解 其稳态响应为： 求一阶系统G(s)=K/Ts+1的频率特性及在正弦信号xi(t)=Xsinωt作用下的频率响应。
求系统如图所示，当输入3cos(4t-30°)+sin(10t+45 °)时，试求系统的稳态输出。
[结论]：当传递函数中的复变量s用 jω代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。 到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下： 微分方程 频率特性 传递函数 脉冲函数
卡通风学期计划
频率特性
频率特性的对数坐标图
频率特性的极坐标图
最小相位系统
闭环频率特性与频域性能指标
系统辨识
第五章 系统的频率特性
B
D
F
A
C
E
掌握系统频率特性的概念和求法
掌握系统闭环频率特性的求取方法
根据bode图估计系统的传递函数
熟悉系统的bode图和nyquist图的构成
系统幅频特性和相频特性的求法
解:以f为输入,x1为输出,系统微分方程为
则位移x1与干扰力f之间的传递函数为

极坐标图

极坐标图

w 0
Re
w
③ 二阶微分环节：
2 2 2
G(s) T 2 s 2 2Ts 1
2 1
2w T A(w ) (1 T w ) ( 2w T ) ， (w ) tg 1 T 2w 2
P(w ) 1 T 2w 2 ,
Q(w ) 2wT
Im
实际绘图时极坐标图画的都是近似曲线。具体来讲是根据幅频 特性和相频特性确定起点(对应w=0)和终点(对应w=∞)；根据实 频特性和虚频特性确定与坐标轴的交点；然后按w从小到大的顺 序用光滑曲线连接即可。必要时可再求一些中间的点帮助绘图
使用MATLAB工具绘制。
最小相位系统频率特性绘制 1.起点和终点
w
1 w T
2
w 0
0 1
Re
⒍ 延迟环节的频率特性：
G(s) es 传递函数： G( jw ) e jw 频率特性：
幅频特性：A(w ) 1 相频特性： (w ) w ( rad ) 57.3w (deg)
Im
1 0
Re
w 0
极坐标图是一个圆心在原点， 半径为1的圆。
Q(w ) 1 2wT (w ) tg tg P(w ) 1 T 2w 2
1 T 2w 2 P(w ) (1 T 2w 2 )2 4 2w 2T 2
Q (w ) 2wT (1 T 2w 2 )2 4 2w 2T 2
1 (1 T 2w 2 )2 (2wT )2
此时与虚轴无交点，但当T1>T2时，渐近线在第三象限；而当 T2>T1时，渐近线在第四象限。
对比考虑G3 ( s) 的极坐标图。
T2 s 1 s(1 T1s)

稳定裕度

稳定裕度
j 1
m
(1 ij )
j
(1 T j )
闭环传递函数和频率特性可表示为：
GK ( s ) ( s) 1 GK ( s ) K (1 i s ) s

m i 1 j
(1 T s) K (1 s)
j 1 i 1 i m
n
|M(j|下降到
[0, b ]称为系统带宽。
2 M 0 时，对应的频率 b 称为带宽频率。频率范围 2
5.8 闭环系统性能分析
16

一、稳态性能指标分析：
如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数 v（即积分环节的个数） 和开环放大系数 K 的话，则可求得系统的稳态误差。（见3.6 稳态误差分析） 在波德图上，低频渐近线的斜率 和 的关系如下： 由 20 (dB / Dec),可求得 值； 也可由
|M(j|下降到
② 对典型欠阻尼二阶系统而言，性能指标与系统的特征参数有关。欠 阻尼二阶系统的特征参数是阻尼系数z 和无阻尼震荡频率。
tp 2 d n 1z

d%e

z
1z 2
100%
4 z ，当Δ 2时 n ts 3 ，当Δ 5时 z n
③ 对临界阻尼和过阻尼二阶系统而言，性能指标只有ts 。
60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -90 -120 -150 -180 -210 -240
10
K=30 K=3 K=0.3
－20dB/dec
当K=3，c=1.583， 23.3° 当K=30， －40dB/dec c=5.12， 16° －60dB/dec
20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 0.01 0.1 1 10 100 1000

最小相位系统及极坐标图第11讲


2、静态速度误差常数的确定
斜率为 20 dB / dec 的起始线段/或其延长线，与 的直线的交点具有的幅值为 20log Kv
Kv 证明 在1型系统中 G( j ) , j
1
1
20 log K v
Kv 斜率为 20 dB / dec 的起始线段/或 20 log j
K (T1 j 1)(T2 j 1)(Tm j 1) G( j ) ( j ) (T1 j 1)(T2 j 1)(Tn j 1)
G ( j ) 在低频段等于 K p ，即
0
2013-12
lim G ( j ) K p
s 0
12
因为 K p lim G ( S ) G 0
第11讲
杨湖
最小相位系统和非最小相位系统 伯特图求参数 典型环节的极坐标图
2013-12 1
第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
频域分析法
频率特性及其表示法
典型环节的频率特性
稳定裕度和判据
频率特性指标
2013-12 11
下面我们看三个误差系数的确定
R(s) +
E(s)
G(s)
C(s)
1、静态位置误差常数的确定 假设系统的开环传递函数为
图5-21单位反馈控制系统
K (T1s 1)(T2 s 1) (Tm s 1) G( s) s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
0
( 对数坐标 )
a Ka
1
证明
图5-24 某2型系统对数幅值曲线

自动控制原理--第5章 频域分析法

例如，惯性环节对数幅频特性和相频特性分别为
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数

4第四节最小相位系统与非最小相位系统

K = 3.2
1 s 1) 0.8 G( s) = 1 1 s 2 ( s 1)( s 1) 30 50 3.2(
Wednesday, April 01, 2015
10
非最小相位系统的频率特性 在前面所讨论的例子中，当 w 0 时，对数幅频特性的高频
渐近线的斜率都是-20(n-m)dB/Dec，相频都趋于 - (n - m) 。具有
与 的几何中点。
1 T2
w
1/10T1 1/T1
10 / T1
1/T2
-39.3°
10/T2
-5.1°
j1(w)
j2(w) j3(w) j4(w) j5(w)
Wednesday, April 01, 2015
-5.1° -39.3° -54.9°
-6.3° -50.7° 6.3° 50.7°
-90° -129.3° -173.7°
-60 0.1
-40dB/dec
-20dB/dec
-40dB/dec
-60dB/dec
0.8 1
4
10
30 50
100
1000
L(w ) = 20lg K 20lg 1 (
Wednesday, April 01, 2015
w
0.8
) - 20lg w - 20lg 1 (
2 2
w
30
) - 20lg 1 (
最小相位系统
Wednesday, April 01, 2015
非最小相位系统
13
奈氏图为：
0 .1
1
- 0 .1
1
= 1, T = 10
= 1, T = 10

自动控制原理5第三节极坐标图


当w 时，A(w) 0，(w) 180，P(w) 0，Q(w) 0
24
令Q(w ) 0，解得与实轴交点 w 2
1
T1T2 T1Td T2Td
注意与实轴交点有交点 的条件为： T1T2 T1Td T2Td 0
Td (T1 T2 ) T1T2
P(w )
K ( T1T2 T1 T2
w Im
w 0
Re
w
一阶微分环节的奈氏图
② 一阶微分：
A(w) 1 T 2w2，(w) tg1Tw
P(w) 1，Q(w) Tw
w
Im
一阶微分环节的极坐标 图为平行于虚轴直线。
频率w从0→∞特性曲线
相当于纯微分环节的特 性曲线向右平移一个单 位。
w 0 Re
w
12
二阶微分环节的频率特性
5
P() 0，Q() 0
w
0
w1 T
Re
w 0
惯性环节的奈氏图
极坐标图是一个圆，对 称于实轴。证明如下：
P(w
)
1
K
T 2w
2
Q(w
)
KTw 1 T 2w 2
Q(w) Tw P(w )
Im
w
0
w1 T
Re w 0
P
1
K
T 2w
2
1
K (Q
)2
P
整理得： (P K )2 Q2 ( K )2
n/2(弧度)。并且只要在原点处存在极点，极坐标图在w=0的幅
22 值为无穷大。
⒊ 增加有限零点
设
G5 ( s)
s(T1s
K 1)(T2s
1)
A(w)
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非最小相位系统 具有非最小相位传递函数的系统
2013-12
请看例子
3
5.2.7最小相位系统与非最小相位系统
Minimum phase systems and non-minimum phase systems
G1 ( j )
1 jT 1 jT1
1 jT G2 ( j ) , 0 T T1 1 jT1
0
-100
-200
-300
-400
-500
-600 -1 10
10
0

10
1
图5-20传递延迟的相角特性曲线
2013-12 9
5.2.8 滞后环节
G( s) e
s
G( j) e j
L(ω)/dB 0dB
A( ) 1 ( )
Im
ω
φ(ω)
ω＝0 -1
G(jω)
如果当
时
时相角
对数幅值曲线的斜率为 并且相角等于
2013-12
20(n m)dB / dec
90(n m)dB / dec
7
那么该系统就是最小相位系统。
5.2.8
延迟环节(Transport lag)
通常在热力、液压和气动系统中存在迟后环节（传递延迟） 延迟环节的输入和输出的时域表达式为 C (s) c(t ) 1(t )r (t ) G( s) e s R( s)
1 Re ω
0° 90° 180° 270°
ω
10
2013-12
5.2.9 系统类型与对数幅值之间的关系
考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度 误差常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。 对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值， 才有意义，因实际系统总存在误差。 当 趋近于零时，回路增益越高，有限 的静态误差常值就越大。 因此：系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的 斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是 否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以 从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
1 G ( j ) , 0 2013-12 2 1 2 ( j ) ( j ) n n
n
图5-30 二阶因子极坐标图
26
Im[G(jω)]
振荡环节G(jω)
B:
2 n G (s) 2 2 s 2 n s n
0
2 1 2 r n A:
2
图5-23为一个1型系统对数幅值曲线的例子。
2013-12
15
30
K G( s) s (Ts 1)
， 转折频率为
2
-20dB/dec 20
2
斜率为
10
40 dB / dec 的直线
，/或其延长线与0分 与 贝线的交点为 3 由此得到
0
2
-40dB/dec
-10
3
1
-20
1 Kv K 1 K 2 2 3 T T
2 12 3
-30
-40 0 10
10
1
10
2
图5-23 某个1型系统对数幅值曲线 在伯德图上 log1 log3 log3 log2
1 3 3 2
2013-12
3 点恰好是 2 点与 1点的中点
jω
jω
σ
1 T
1 T1

1 T1
1 T
σ
图5-18最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图
对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线 唯一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。
2013-12 4
Bode Diagram 0
Magnitude (dB)
-5
-10
相同的幅值特性
-15
第11讲
杨湖
最小相位系统和非最小相位系统 伯特图求参数 典型环节的极坐标图
2013-12 1
第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
频域分析法
频率特性及其表示法
典型环节的频率特性
稳定裕度和判据
频率特性指标
G( j) e j
G( j) cos j sin 1
传递延迟的对数幅值等于0分贝 传递延迟的相角为
其幅值总是等于1
() (rad ) 57.3 (deg)
传递延迟是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施， 高频时将造成严重的相位滞后
2013-12 8
2013-12 11
下面我们看三个误差系数的确定
R(s) +
E(s)
G(s)
C(s)
1、静态位置误差常数的确定 假设系统的开环传递函数为
图5-21单位反馈控制系统
K (T1s 1)(T2 s 1) (Tm s 1) G( s) s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
Ar
1 2 1 2
1
1 A( n ) 2
( n ) 90o
Re[G(jω)]
A
2013-12 27
B
返回
对于欠阻尼
当 时 1 G( jn ) j 2
n

0
相角 90 的轨迹与虚轴交 点处的频率，就 是无阻尼自然频 率 n
n
1 1 (T )
2
arctgT
G( j 0) 1 0
1 1 G( j ) 45 T 2
G( j) 0 90
1 图5-28 一阶因子 G ( j ) 极坐标图 1 j 23
2013-12
Im[G(jω)]
惯性环节1G(jω)
0
1
Re[G(jω)]
3
G ( j )
2
( )
Im[G( j)]
Re
0
1
但它不能清楚地表明开环传递函 数中每个因子对系统的具体影响 2013-12
图5-25 极坐标图 下面是典型环节极坐标图
20
5.3.1积分与 微分因子
1 1 G ( j ) j j
1


90
G( j ) j
1 1
其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于 证明 设交点上的频率为 我们知道
2013-12
1
Kv
Kv 1 j1
K lim sG ( s )
s 0
Kv 1
14
30 -20dB/dec 20
2
3
-40dB/dec
10
0
2
1
-10
-20
-30
-40 0 10
10
1
10
K (T1 j 1)(T2 j 1)(Tm j 1) G( j ) ( j ) (T1 j 1)(T2 j 1)(Tn j 1)
G ( j ) 在低频段等于 K p ，即
0
2013-12
lim G ( j ) K p
s 0
12
因为 K p lim G ( S ) G 0
2013-12 2
5.2.7最小相位系统与非最小相位系统
Minimum phase systems and non-minimum phase systems
最小相位传递函数
在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数 非最小相位传递函数 在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数 最小相位系统
具有最小相位传递函数的系统
0
( 对数坐标 )
a Ka
1
证明
图5-24 某2型系统对数幅值曲线
Ka 20 log 20 log 1 0 2 ( j a )
2013-12
a K a
18
5.3 极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线， 奈奎斯特曲线
G ( j ) 可用幅值 G( j) 和相角 ( ) 的向量表示。
16
dB
3、静态加速度 误差常数的确定 斜率为 40 dB / dec 的起始线段/或其 延长线，与 1 的直线的交点具 有的幅值为
0
40dB/ dec 60dB/ dec 20dB/ dec
( 对数坐标 )
a Ka
1
20log Ka
证明
图5-24 某2型系统对数幅值曲线
反之亦然
这个结论对于非最小相位系统不成立。
2013-12 6
判断最小相位系统的另一种方法
最小相位系统，相角在
时变为

90(n m)dB / dec
n为极点数，m为零点数。 时的斜率都等于
两个系统的对数幅值曲线在
20(n m)dB / dec
因此，为了确定系统是不是最小相位的既需要检查 对数幅值曲线高频渐近线的斜率，又需检查在
当输入信号的频率 由零变化到无穷大时，向量 G ( j ) 的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移 动的轨迹称为极坐标图。
在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开始，以逆 时针/顺时针旋转来定义的
2013-12 19
Re[G( j)]
Im

采用极坐 标图的优 点是它能 在一幅图 上表示出 系统在整 个频率范 围内的频 率响应特 性。
30 20logK 20
cf1_dB=23.5218252
-20dB/dec
10
0
cf2_dB=9.5424251
-40dB/dec