3.2两因素方差分析

双因素方差的定义和使用条件
双因素方差分析（Two-way ANOVA）是一种统计方法，用于分析两个因
素对实验结果的影响。

该方法主要用来检验两个因子对因变量的交互作用。

双因素方差分析特别适用于那些同时受到两个或更多因素影响的因变量研究。

使用双因素方差分析时，需要满足以下条件：
1. 独立性：各个观测值之间必须相互独立，这意味着每个观测值都不受其他观测值的干扰。

2. 正态性：样本必须来自正态分布总体。

3. 方差齐性：各个总体的方差必须相等，即抽样的总体必须是等方差的。

4. 样本容量：每个组中的观测值数量应该足够多，这样才能保证估计的参数接近真实值。

5. 满足其他假设：例如，误差项应该是随机的，并且服从均值为0的正态分布。

双因素方差分析的步骤如下：
1. 提出假设：包括主效应和交互效应的假设。

2. 方差分析表：列出观测值的数量、各组的均值和方差以及总均值和总方差。

3. F检验：通过F检验来检验主效应和交互效应的显著性。

4. 结果解释：如果F检验的结果显著，则说明主效应或交互效应对因变量有影响；否则，说明没有影响。

以上信息仅供参考，如需获取更多详细信息，建议咨询统计学专家或查阅统计学相关书籍。

⽅差分析2（双因素⽅差分析、多元⽅差分析、可视化）1 双因素⽅差分析1.1 双因素⽅差分析的实战dat<-ToothGrowthdatattach(dat)table(dat$supp,dat$dose)aggregate(len,by=list(dat$supp,dat$dose),FUN=mean)解释：根据投⽅式（橙汁OJ，维C素VC）supp和剂量dose来对⽛齿的长度len进⾏求均值dose<-factor(dose)解释：为了避免把dose变量认为是数值变量，⽽是把dose认为成分组变量，所以设置成因⼦类型factorfit<-aov(dat$len~dat$supp*dat$dose)解释：aov()做⽅差分析，把 + 换成了 * ，这两项dat$supp和dat$dosee就变成了交互项summary(fit)结果分析：可以看出P值很⼩，三个P值都⼩于0.05，说明不同的投喂⽅式supp对⽛齿的⽣长长度len是有显著影响的；说明不同的剂量dose对⽛齿的⽣长长度len是有显著影响的；说明在两种投喂⽅式下，不同的投喂⽅式supp和剂量dose的交互效应对⽛齿的⽣长长度len是有显著影响的1.2 可视化⽅法1interaction.plot(dat$dose,dat$supp,dat$len,type = "b",col=c("red","blue"),pch=c(16,18),main="XX")1.3 可视化⽅法2library(gplots)plotmeans(dat$len~interaction(dat$supp,dat$dose,sep=" "),connect=list(c(1,3,5),c(2,4,6)),col=c("red","blue"),main="XX",xlab="xlab")1.4 可视化⽅法3library(HH)interaction2wt(dat$len~dat$supp*dat$dose)2 重复测量⽅差分析dat<-CO2CO2$conc<-factor(CO2$conc)w1b1<-subset(CO2,Treatment=="chilled")uptake是植物光合作⽤对⼆氧化碳的吸收量，是因变量y，type是组间因⼦，是互斥的，表⽰的是两个不同地区的植物类型，要么是加拿⼤的植物，要么是美国的植物，不可能两个地⽅都是，conc是不同的⼆氧化碳的浓度，每⼀种植物都在所有的⼆氧化碳浓度下，所以conc是组内因⼦研究不同地区的植物作⽤，在某种⼆氧化碳的浓度作⽤下，对植物的光合作⽤效果有没有影响2.1 含有单个组内因⼦w和单个组间因⼦B的重复测量ANOVAfit<-aov(uptake~conc*Type+Error(Plant/(conc)),w1b1)summary(fit)结果分析：⼆氧化碳浓度和类型对植物光合作⽤都有显著影响2.2 可视化图形呈现（1）⽅式⼀par(las=2)par(mar=c(10,4,4,2))with(w1b1,interaction.plot(conc,Type,uptake,type = "b",col=c("red","blue"),pch=c(16,18)))（2）⽅式⼆boxplot(uptake~Type*conc,data=w1b1,col=c("red","blue"))3 多元⽅差分析library(MASS)attach(UScereal)dat<-UScerealshelf<-factor(shelf)y<-cbind(calories,fat,sugars)fit<-manova(y~shelf)summary(fit)结果分析：不同的货架shelf上，⾷物的热量calories，脂肪含量fat和含糖量sugars是⾮常显著不同的3.1 多元正态性center<-colMeans(y)n<-nrow(y) #⾏数p<-ncol(y) #列数cov<-cov(y) #计算⽅差d<-mahalanobis(y,center,cov)coord<-qqplot(qchisq(ppoints(n),df=p),d) #画图abline(a=0,b=1) #画参考线identify(coord$x,coord$y,labels = s(UScereal)) #给出交互式标出离群点3.2 稳健多元⽅差分析install.packages("rrcov")library(rrcov)wilks.test(y,shelf,method="mcd")结果分析：P值⼩于0.05，说明结果是显著性的，即不同货架上⾷物的热量calories，脂肪含量fat和含糖量sugars是⾮常显著不同的4 ⽤回归来做ANOVAlibrary(multcomp)dat<-cholesterollevels(dat$trt)fit.aov<-aov(response~trt,data=dat)summary(fit.aov)结果分析：aov⽅差分析，trt对response的影响⾮常显著fit.lm<-lm(response~trt,data=dat)summary(fit.lm)结果分析：lm回归分析，trt对response的影响⾮常显著，并且trt的每⼀项都显⽰出来了。

统计学中的方差分析理论研究进展引言方差分析（ANOVA）是统计学中一种常用的分析方法，用于比较多个样本之间的差异。

它可以帮助我们确定不同因素对总体均值的影响，并通过计算方差来评估这些差异是否显著。

在统计学中，方差分析一直是一个重要的研究领域，研究者们对其理论进行深入探究，以便更好地理解和应用方差分析方法。

本文将介绍统计学中方差分析理论的研究进展，包括不同类型的方差分析方法、其基本原理和应用场景等。

一、单因素方差分析单因素方差分析是最常见的一类方差分析，用于比较不同组之间的差异是否显著。

在单因素方差分析中，我们将样本分成多个组别，然后检验这些组别的均值是否相等。

1.1 单因素方差分析的基本原理单因素方差分析的基本原理是比较组内方差和组间方差的大小。

组内方差反映了组内个体之间的差异，而组间方差反映了各组之间的差异。

方差分析统计量F值通过比较组间方差和组内方差的比值，判断差异是否显著。

1.2 单因素方差分析的假设检验在单因素方差分析中，我们需要进行假设检验来判断组别之间的均值是否有显著差异。

常见的假设检验方法包括F检验和t检验。

F检验适用于多个组别的情况，而t检验适用于两个组别的情况。

假设检验的结果通常包括显著性水平和P值。

1.3 单因素方差分析的应用场景单因素方差分析广泛应用于实验设计、生物统计学、社会科学、医学研究等领域。

例如，我们可以利用单因素方差分析来研究不同教育水平对工资的影响，或者研究不同药物对病人治疗效果的影响。

二、多因素方差分析多因素方差分析是一种比较多个因素和组别之间的差异的方法。

与单因素方差分析相比，多因素方差分析考虑了多个因素对差异的影响，更加复杂和全面。

两因素方差分析是最常见的多因素方差分析方法之一，用于比较两个因素以及它们的交互作用对总体均值的影响。

通过两因素方差分析，我们可以确定不同因素对总体均值的独立和交互影响。

2.2 三因素方差分析三因素方差分析是在两因素方差分析的基础上进一步扩展的方法。

双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。

例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。

在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。

同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。

双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。

双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。

（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。

例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。

有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。

1.无交互作用的双因素方差分析。

无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。

有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。

例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。

二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。

方差分析一．方差分析的概念及意义方差分析，又称“变异数分析”或“F检验”，用于两个及两个以上样本均数差别的显著检验。

由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。

造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究种施加的对结果形成影响的可控因素。

方差分析的意义，工业生产中产品质量优劣，农业生产中产量高低，由诸多因素造成。

如农业生产中，肥料，浇灌，良种，管理等；化工生产中，原料成分，催化剂，剂量，反应温度，压力，溶液，机器设备与操作人员水平。

每种因素的改变，可影响产品质量与数量，那么在诸因素中找出对质量的某种指标有显著影响的因素，还要弄清这些显著因素在什么状态下（水平）起的作用大。

方差分析就是根据试验结果进行分析，鉴别各个因素对试验结果影响的有效方法。

二．方差分析的基本思想根据实验设计的类型及研究目的,将全部观察值之间所表现出来的总变异,分解为两个或多个部分。

除随机误差作用外,其余每个部分的变异均可由某个因素的作用加以解释。

通过比较不同变异来源的均方(MS),借助F分布做出统计推断,从而推断研究因素对试验结果有无影响三．方差分析的假定条件及假设检验3.1方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。

（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。

（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。

（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。

3.2方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K 个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。

如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。

否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。

四．方差分析中的常用术语4.1 因素（Factor）因素是指所要研究的变量，它可能对因变量产生影响。

如果方差分析只针对一个因素进行，称为单因素方差分析。

三、方差分析１、单因素方差分析例１这是某些汽车品牌的耗油量相关数据。

检验汽车品牌是否对耗油量有影响。

从表3.1可以看出，计算出的levene统计量为0.157，显著性值为0.856，远大于0.05表3.2为方差分析表，从左到右分别为平方和、自由度、均方和、F值和显著性指标。

从表3.2中的数据可以看出，组间的显著性指标值为0.008，小于0.05，即认为各组之间是有差异的。

也就是说至少有一种品牌的车耗油量与其他品牌的车的耗油量有显著差异。

表3.3所示是各类汽车品牌之间的显著性差异两两比较的结果。

从表中的数据可以看出，由于品牌B与其他两个品牌A、B比较的显著性结果都是小于0.05的，所以认为其同其他品牌在耗油量上有显著差异。

而另外两个品牌的车可认为其品牌的不同对耗油量的影响不显著。

图3.1 各组均值比较图从图3.1上可以印证标表3.3的结论。

通过观察图发现，品牌B车的平均耗油量远高于其他品牌的车。

2、多因素方差分析例2 关于不同专业不同大学的学生的收入情况。

试分析专业、大学及交互作用对收入是否有显著影响。

表3.4 主体间因子表值标签N专业 1 A1 152 A2 153 A3 154 A4 15大学 1 B1 122 B2 123 B3 124 B4 125 B5 12表3.4给出了因素在各个水平下的样本个数。

从表中的数据可以得出，专业有4个水平，每个水平下有15个样本，大学有5个水平，每个水平下有12个样本。

表3.5是两因素方差分析表。

表格左上方给出了指标变量是“收入”。

表中各列依次代表了方差的来源、III 型平方和、自由度、均方和、F值和显著性指标。

表中第一行代表对方差分析模型的检验。

其显著性指标值取为0.331，大于0.05，说明该模型是不适用的。

第二行代表的是截距，可以忽略。

第三四行代表的是专业、大学对收入的影响。

其中专业的显著性指标为0.456，大于0.05，则说明其对指标收入的影响不显著，大学的显著性指标值为0.048，小于0.05，则说明大学对指标收入有影响。