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双因素和多因素方差分析b

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第九章双因素和多因素方差分析

第九章双因素和多因素方差分析

第九章双因素和多因素方差分析引言方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组之间的差异。

双因素和多因素方差分析是方差分析的扩展，允许考虑两个或多个自变量对因变量的影响。

本文将介绍双因素和多因素方差分析的概念、假设检验、模型构建等内容。

双因素方差分析双因素方差分析主要用于对两个自变量对因变量的影响进行分析。

其中一个自变量称为因子A，另一个自变量称为因子B。

通过双因素方差分析，我们可以了解到两个自变量对因变量的主效应以及交互效应。

假设检验进行双因素方差分析时，我们需要对两个自变量的主效应和交互效应进行假设检验。

主效应是指每个因子对因变量的影响，交互效应是指两个因子之间是否存在相互影响。

在进行双因素方差分析时，我们需要提出以下假设：•零假设H0: 两个因子对因变量没有主效应和交互效应•备择假设H1: 至少一个因子对因变量有主效应或交互效应然后，我们可以通过方差分析结果的显著性检验来判断是否拒绝零假设。

模型构建双因素方差分析可以通过构建线性模型来进行。

通常，我们使用以下模型进行双因素方差分析：Y = μ + α + β + (αβ) + ε其中，Y表示因变量，μ表示总体均值，α表示因子A的主效应，β表示因子B的主效应，(αβ)表示交互效应，ε表示误差。

通过对数据进行拟合并计算模型中的各个参数，我们可以得到双因素方差分析的结果。

多因素方差分析多因素方差分析是对多个自变量对因变量的影响进行分析。

多因素方差分析可以包含两个以上的自变量，并且可以考虑每个自变量的主效应和交互效应。

假设检验进行多因素方差分析时，我们同样需要对每个自变量的主效应和交互效应进行假设检验。

假设检验的步骤与双因素方差分析类似。

模型构建多因素方差分析的模型构建与双因素方差分析类似，但是需要考虑多个自变量的影响。

Y = μ + α1 + α2 + … + αn + β + (αβ) + ε其中，Y表示因变量，μ表示总体均值，α1, α2, …, αn表示各个自变量的主效应，β表示交互效应，(αβ)表示两个或多个自变量之间的交互效应，ε表示误差。

论文—双因素试验的方差分析

论文—双因素试验的方差分析

X ijk ~ N (ij , 2 ) （ ij 和 2 未 知 ）， 记 X ijk i = ijk ， 即 有
ijk X ij ijk ~ N (0, 2 ), 故 X ijk ijk 可视为随机误差. 从而得到如下数学模型
X ijk ij ijk， ijk ~ N（0， 2）， 各 ijk 相互独立， i 1, , r; j 1, , s; k 1, , t;
1 st
1 rt
X
j 1 k 1
r t
s
t
ijk
，i=1，2， ，r，
X
j =
X
i 1 k 1
类似地，引入记号： ， i , j , i , j , 易见

i 1
r
i 0 ，

j 1
s
j
0.
为水平 B j 的效应. 这样可以将
仍称 为总平均，称 i 为水平 A i 的效应，称 成
ij
j
ij
表示
= + i + j +
ij
（ i 1, , r; j 1, , s ） ，
(3)
与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的。 2. 偏差平方和及其分解 引入记号： X =
1 rst
X
i 1 j 1 k 1
r
s
t
ijk
，
X
ij =
1 X ijk ，i=1，2， ，r，j=1，2， ，s， t k 1

t
X
i =
试 验 结 因 素 果 A 因 素 B

统计学第九章 双因素和多因素方差分析

统计学第九章 双因素和多因素方差分析
2 （ y ijk − y ij•） ∑∑∑ i =1 j =1 k =1 a b n
2、平方和的分解
与平方和相应的自由度分别为： 总自由度：df =abn-1
T
A因素处理间自由度：df =a-1
A
B因素处理间自由度：df =b-1
B
交互作用自由度：df =(a-1)(b-1)
AB
处理内自由度：dfe=ab(n-1) df =df +df +df +dfe
a b i=1 j =1
n
2
SSe= ∑∑∑yijk
i=1 j =1 k =1
a
b
2
1 a b 2 − ∑∑yij• = SST − SSA − SSB − SSAB n i=1 j=1
（五）各项均方的计算
MS
T
SS T SS T = = df T abn − 1
MS
A
SS A SS A = = a -1 df A
x9
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 33.5** 30.5** 29.75** 22** 19** 11.5 2.75 2.5
x8
31** 28** 27.25** 19.5** 16.5** 9 0.25
x7
30.75** 27.75** 27** 19.25** 16.25** 8.75
A因素误差平方和
SSA = bn∑(yi•• − y••• )
i=1
a
2
B因素误差平方和 SSB = an∑(y• j• − y••• )
b j=1
2
AB交互作用误差平方和
SSAB = n∑∑(yij• − yi•• − y• j• + y••• )

组间差异性分析的统计方法

组间差异性分析的统计方法

组间差异性分析的统计方法
组间差异性分析是统计学中一种常用的方法，用于比较两组或多组数据的差异是否显著。

常用的组间差异性分析统计方法有下面几种：
1.单因素方差分析（ANOVA）：单因素方差分析用于比较三个或三个以上组
之间的平均值是否有显著差异。

2.双因素方差分析（Two-way ANOVA）：双因素方差分析用于比较两个因素
对结果的影响。

3.t 检验：t 检验用于比较两组数据的平均值是否有显著差异。

4.秩和检验（Wilcoxon rank-sum test）：秩和检验用于比较两组数据的中位
数是否有显著差异。

5.Mann-Whitney U 检验：Mann-Whitney U 检验与秩和检验类似，也用于
比较两组数据的中位数是否有显著差异。

这些统计方法都可以用于比较两组或多组数据之间的差异是否显著，但在使用时应根据数据的性质和研究目的选择合适的方法。

生物统计第8章两因素及多因素方差分析

生物统计第8章两因素及多因素方差分析
生物统计第8章两因素及多因素方 差分析
目录
• 引言 • 两因素方差分析 • 多因素方差分析 • 案例研究 • 总结与展望
01 引言
主题简介
两因素及多因素方差分析
在生物统计中，两因素及多因素方差分析是用来比较不同组之间的 平均值是否存在显著差异的统计方法。
适用场景
适用于研究两个或多个因子对响应变量的影响，例如药物剂量和治 疗效果、不同品种和产量等。
详细描述
例如，比较不同饲料类型和不同饲养环境下 猪的增重效果。将猪随机分为不同的组，每 组给予一种饲料并处于一种饲养环境，然后 比较各组的平均增重。
多因素方差分析案例
总结词
多因素方差分析用于比较多个分类变量对数值型变量的影响。
详细描述
例如，比较不同饲料类型、不同饲养环境以及不同品种的猪的增重效果。将猪随机分为 不同的组，每组给予一种饲料、处于一种饲养环境并属于一个品种，然后比较各组的平
基本思想
通过比较各组间的方差与误差方差，判断不同组间是否存在显著差 异。
课程目标和意义
掌握两因素及多因素方差分析的基本原理和步骤
通过学习，学生应能够理解两因素及多因素方差分析的基本概念、原理和实施步骤，为进一步应用和拓展打下基础。
培养解决实际问题的能力
学习两因素及多因素方差分析的目的是为了解决实际问题，如探究不同处理对实验结果的影响、比较不同组间的差异 等。通过学习和实践，学生应能够运用该方法解决实际问题。
03
研究方差分析在不同领域的应用，如医学、生物学、经济学和社会科 学等。
04
开发更高效的算法和软件，以方便用户进行方差分析和相关统计计算。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
均增重。

SPSS超详细操作：两因素多元方差分析(Two

SPSS超详细操作：两因素多元方差分析(Two

SPSS超详细操作：两因素多元方差分析(Two医咖会在之前的推文中，推送过多篇方差分析相关的文章，包括：单因素方差分析(One-Way ANOVA)双因素方差分析(Two-way ANOVA)三因素方差分析(Three-way ANOVA)单因素重复测量方差分析两因素重复测量方差分析三因素重复测量方差分析单因素多元方差分析(One-way MANOVA)每种方差分析的应用场景，以及该如何进行SPSS操作和解读结果，各位伙伴请点击相应的文章链接查看~~今天，我们再来介绍一种统计方法：两因素多元方差分析(Two-way Manova)。

一、问题与数据某研究者想研究三种干预方式（regular—常规干预；rote—死记硬背式干预；reasoning—推理式干预）对学生学习成绩的影响。

研究者记录了学生两门考试的成绩：文科成绩（humanities_score）和理科成绩（science_score）。

另外，基于之前的知识，研究者假设干预方式对男女两种性别学生的效果可能不同。

换言之，研究者想知道不同干预方式对学习成绩的影响在男女学生中是否不同。

也就是说，干预方式和性别两个自变量之间是否存在交互作用（interaction effect）。

注：交互作用是指某一自变量对因变量的效应在另一个自变量的不同水平会不同。

在本例中，就是要比较①男性中干预方式对学习成绩的影响和②女性中干预方式对学习成绩的影响。

这两个效应就成为单独效应（simple main effects），也就是说，单独效应是指在一个自变量的某一水平，另一个自变量对因变量的影响。

因此，交互作用也可以看做是对单独效应间是否存在差异的检验。

在本研究中，共有三个效应：性别的主效应；干预方式的主效应；性别和干预方式的交互作用。

研究者选取30名男学生和30名女学生，并将其随机分配到三个干预组中，每个干预组中共有10名男学生和10名女学生。

部分数据如下：二、对问题的分析使用两因素多元方差分析法进行分析时，需要考虑10个假设。

双因素方差分析【最新】

双因素方差分析【最新】

双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。

例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。

在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。

同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。

双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。

双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。

（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。

例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。

有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。

1.无交互作用的双因素方差分析。

无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。

有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。

例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。

二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。

SPSS超详细操作：两因素多元方差分析(Two

SPSS超详细操作：两因素多元方差分析(Two

SPSS超详细操作：两因素多元方差分析(Two医咖会在之前的推文中，推送过多篇方差分析相关的文章，包括：单因素方差分析(One-Way ANOVA)双因素方差分析(Two-way ANOVA)三因素方差分析(Three-way ANOVA)单因素重复测量方差分析两因素重复测量方差分析三因素重复测量方差分析单因素多元方差分析(One-way MANOVA)每种方差分析的应用场景，以及该如何进行SPSS操作和解读结果，各位伙伴请点击相应的文章链接查看~~今天，我们再来介绍一种统计方法：两因素多元方差分析(Two-way Manova)。

一、问题与数据某研究者想研究三种干预方式（regular—常规干预；rote—死记硬背式干预；reasoning—推理式干预）对学生学习成绩的影响。

研究者记录了学生两门考试的成绩：文科成绩（humanities_score）和理科成绩（science_score）。

另外，基于之前的知识，研究者假设干预方式对男女两种性别学生的效果可能不同。

换言之，研究者想知道不同干预方式对学习成绩的影响在男女学生中是否不同。

也就是说，干预方式和性别两个自变量之间是否存在交互作用（interaction effect）。

注：交互作用是指某一自变量对因变量的效应在另一个自变量的不同水平会不同。

在本例中，就是要比较①男性中干预方式对学习成绩的影响和②女性中干预方式对学习成绩的影响。

这两个效应就成为单独效应（simple main effects），也就是说，单独效应是指在一个自变量的某一水平，另一个自变量对因变量的影响。

因此，交互作用也可以看做是对单独效应间是否存在差异的检验。

在本研究中，共有三个效应：性别的主效应；干预方式的主效应；性别和干预方式的交互作用。

研究者选取30名男学生和30名女学生，并将其随机分配到三个干预组中，每个干预组中共有10名男学生和10名女学生。

部分数据如下：二、对问题的分析使用两因素多元方差分析法进行分析时，需要考虑10个假设。

双因素试验方差分析

双因素试验方差分析

SS E df E
SST
注意
df E dfT df A f B , SSE SST SSA SSB
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方 和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
SS A DA p, SSB DB p
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。 例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。 统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。 我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B 因素 A
B1
X 11 ... X a1
B2
X 12 ... X a2
... Bb
... ... ... X 1b ... X ab
Ti. X ij X i. T b i.
j 1
b
A1 ... Aa
a b i 1 j 1
1 b i ij i 水平Ai对试验结果的效应 a j 1 1 a j ij j 水平Bj对试验结果的效应 b i 1 试验误差 ij X ij ij
特性：

i 1
a
i
0;

j 1
b
j
0; ij ~ N 0,

双因素方差分析课件

双因素方差分析课件
特点
能够同时考虑两个因素对连续变量的 影响，并比较不同因素之间的交互作 用。
适用范围
适用于研究两个分类变量对一个或多 个连续变量的影响，并分析不同因素 之间的交互作用。
适用于数据满足正态分布、方差齐性 和独立性等假设的情况。
目的与意义
目的
通过双因素方差分析，可以比较不同组之间的差异，了解两个因素对连续变量的影响程度和交互作用，为进一步 的数据分析和决策提供依据。
意义
双因素方差分析在社会科学、医学、经济学等领域有广泛应用，能够帮助研究者深入了解不同因素之间的交互作 用，为科学研究和实际应用提供有力支持。
02 双因素方差分析的数学原 理
方差分析的基本思想
01
方差分析是通过比较不同组别 的平均值差异来检验多个总体 均值是否相等的一种统计方法 。
02
它将数据总变异分为组内变异 和组间变异，通过比较组间变 异与组内变异的比例来判断各 总体均值是否存在显著差异。
在弹出的对话框中，选择“因子变 量”和“组变量”，并设置相应的 级别和组别。
03
点击“确定”，SPSS将自动进行 双因素方差分析，并输出结果。
04
其他统计软件介绍
01பைடு நூலகம்
02
03
Stata
Stata是一款功能强大的统 计软件，可以进行各种统 计分析，包括双因素方差 分析。
SAS
SAS是一款商业统计软件， 广泛应用于各种统计分析， 包括双因素方差分析。
在双因素方差分析中，数学模型通常采用如下形式：Yijk=μ+αi+βj+εijk， 其中Yijk表示第i组第j类的观测值，μ表示总体均值，αi表示第i个因素的效
应，βj表示第j个因素的效应，εijk表示随机误差。

第九章两因素及多因素方差分析

第九章两因素及多因素方差分析

ab
x..k
xijk
i1 j1
abn
x...
xijk
i1 j1 k 1
i 1, 2,..., a j 1, 2,...,b k 1, 2,..., n
离差平方和的分解
aa
SSSSTT
bb
nn ((xxiijjkk xx...... ))22
ii11 jj11 kk 11
4 -149
-10
131
153
解：
根据经验，密度与施肥量之间不存在交互作用
C x.2. 3922 9604.0 ab 16
ab
SST
xi2j C 246868 9604.0 237264.0
i1 j1
SS A
1 b
a i 1
xi2.
C
74862 4
9604.0
9111.5
SSB
HA : 1，2， ，b不全为0
第二步：提出零假设和备择假设
要说明两个因素的交互作用是否显著：
H0 : ( )11 12 ( )ab 0 HA : ( )11，( )12， ，( )ab不全为0
第三步：计算统计量
平方和的简易计算法：
SST
a i 1
bn
SST
j1 k 1
a
xi2jk i 1
发酵实验方差分析表
变差来源 原料 A 温度 B
AB 误差 总和
平方和 1554.17 3150.58 808.75 1656.50 7170.00
自由度 2 2 4
27 35
均方 777.09 1575.29 202.19 61.35
F 12.67** 25.68** 3.30*

多因素方差分析

多因素方差分析

多因素⽅差分析01.前⾔在前⾯我们讲过简单的单因素⽅差分析，这⼀篇我们讲讲双因素⽅差分析以及多因素⽅差分析，双因素⽅差分析是最简单的多因素⽅差分析。

单因素分析就是只考虑⼀个因素会对要⽐较的均值产⽣影响，⽽多因素分析是有多个因素会对均值产⽣影响。

需要注意的是⼀个因素可能会有不同的⽔平值，即不同的取值。

⽐如要判断某⼀款药对某种病症有没有效果，服⽤不同的剂量效果应该是不⼀样的，虽然因素都是服药这⼀个因素，但是不同的药剂量代表不同的⽔平。

双因素（多因素）⽅差分析⼜可以分为两种，⼀种是有交互作⽤的，⼀种是没有交互作⽤的。

啥意思呢？什么是交互作⽤呢？⽐如我们⼤家所熟知的，⽜奶和药是不可以⼀起吃的，如果单独喝⽜奶有助于⾝体蛋⽩质的补充，如果单独吃药可以有助于治疗病症，但是⽜奶和药同时吃就会把两者的作⽤抵消掉。

这种两者之间的相互作⽤就可以理解成是交互作⽤，当然了，有的时候交互是正向呢，有的时候是负向的。

02.⽆交互作⽤⽅差分析现在有如下⼀份不同品牌不同地区的产品销量数据表，想要看⼀下不同品牌和不同地区这两个因素是否对销量有显著性影响：我们先来看看⽆交互作⽤的双因素⽅差分析具体怎么做呢，所谓的⽆交互也就是假设品牌和地区之间是没有交互作⽤的，相互不影响，只是彼此单独对销量产⽣影响。

前⾯单因素⽅差分析中，我们是⽤F值去检验显著性的，多因素⽅差分析也同样是⽤F值.F = 组间⽅差/组内⽅差。

对于没有交互作⽤的多因素，可以单纯理解为多个单因素。

也就是你可以单独去看品牌对销量的影响，然后再单独去看地区对销量的影响。

那单独怎么看呢？这就回到了我们前⾯讲过的单因素⽅差分析。

我们先来计算品牌的组内平⽅和:SSA = (每个品牌的均值 - 全部销量均值)^2*每个品牌内样本数 = (344.20-328.45)^2*5 + (347.80-328.45)^2*5 + (337.00-328.45)^2*5 + (284.80-328.45)^2*5 = 13004.55我们再来计算地区的组内平⽅和:SSB = (每个地区的均值 - 全体销量均值)^2*每个地区内样本数 = (339.00-328.45)^2*4 + (330.25-328.45)^2*4 + (339.25-328.45)^2*4 + (318.25-328.45)^2*4 = 2011.7接着我们来计算全部平⽅和：SST = (每个值-总体均值)^2 = 17888.95除此之外还有⼀个平⽅和：SSE = SST - SSA - SSB这部分是除品牌和地区以外的其他因素所产⽣的，称为随机误差平⽅和。

Stata软件操作教程 (9)

Stata软件操作教程 (9)
令语句，sales是将要分析的变量，color是分类变量， 也就是水平变量，tabulate选项的作用是产生有关数据 的汇总表。显示结果如图4.1所示。
实验4.2双因素或多因素方差分析
一、实验基本原理 在现实研究中，一个事件不可能仅受一个因素的影响，
恰恰相反，一个事件是受多个因素综合作用的结果， 所以多因素方差分析相比单因素方差分析有更广泛的 应用空间。下面以双因素方差分析中无交互作用的情 况为例，介绍一下多因素方差分析的基本原理。
例如，利用sales.dta数据做方差分析的练习，在这个 数据中，反映了一种饮料的销售情况，这种饮料有4种 颜色，在5家超市进行销售，除颜色之外其他条件全部 相同，分析一下饮料的颜色是否对销售量有影响。
对此问题进行差分析的命令语句为：
oneway sales color, tabulate 这个命令语句中，oneway是进行单因素方差分析的命
一般情况下，双因素方差分析的数据如表4.3所示排列， 影响因素有A和B两个。
二、实验数据和实验内容 实验数据来源于对某国女性工作情况的调查，
其中变量married是代表是否结婚的分类变 量，children是代表是否拥有子女的分类变 量，wage代表工资水平。完整的数据在本 书附带光盘的data文件夹的“wwork.dta” 工作文件中。
习题
1.利用usaauto.dta数据进行单因素方差分析，分析内 容为美国汽车的价格price是否受进口还是国产的影响， 即以price为因变量，以foreign为分类变量进行单因素 分析，并且进行结果的解读。
2.利用womenwork.dta数据进行多因素方差分析，分 析内容为妇女受教育水平education是否受结婚 married和是否有子女children以及二者交互项的影响， 即以education为因变量，以married、children和 married*children为自变量进行多因素分析，并且进行 结果的解读。

双因素方差分析方法

双因素方差分析方法

(
)
dfT , df A , df B , df E ,则
SS A df A MS A = ~ F ( ( a 1) , ( a 1)( b 1) ) FA = SS E df E MS E
SS B df B MS B = ~ F ( ( b 1) , ( a 1)( b 1) ) FB = SS E df E MS E
结论:工人对产品的产量有显著影响, 结论:工人对产品的产量有显著影响, 机器对产品的产量有极显著影响. 机器对产品的产量有极显著影响.
例1的上机操作 的上机操作
原始数据,行因素水平, 原始数据,行因素水平,列因素水平
对应例1 对应例 的数据输入方式
工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著. 工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著.
1 b 水平A α i = ∑ ij = i i 水平 i对试验结果的效应 a j =1 1 a 水平 β j = ∑ ij = i j 水平Bj对试验结果的效应 b i =1 试验误差 ε ij = X ij ij
特性: 特性:
∑ α i = 0;
i =1
a
β j = 0; ε ij ~ N ( 0, σ 2 ) ∑
SST = ∑∑ X ij X
i =1 j =1
a
b
(
)
2
可分解为: 可分解为:SST = SS A + SS B + SS E
SS A = b∑ X i. X
SS B = a ∑ X . j X
j =1 a b
a
i =1 b
(
)
2
称为因素A的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 A 对试验指标的影响. 称为因素B的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 B 对试验指标的影响.

双因素及多因素SPSS方差分析.ppt

双因素及多因素SPSS方差分析.ppt

主效应方差分析检验结果
NAU 李刚华
SPSS 2×2析因实验方差分析实例 应用
方差分析表
e e D p u q 9 5 6 9 3 5 0 . . . . . E . . . . . S 6 0 8 0 6 0 5 4 m u 9 . 5 . 6 . 9 . 3 . M S C 7 I 7 D 7 D 7 D 7 E 1T 1C a R q 3 7 8 7 8 2 0 3 a d 8 0 0 0 8 0 0 0 6 0 0 o o 5 3 n 5 1 R 5 1 1 R 5 1 R 5 8 r 2o 1o . u
因素变量表
N
Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: YIELD Source Corrected Model Intercept REP COL VARIETY Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 27.717a 22588.751 4.460 1.695 21.563 77.302 22693.770 105.019 df 15 1 5 5 5 56 72 71 Mean Square 1.848 22588.751 .892 .339 4.313 1.380 F 1.339 16364.072 .646 .246 3.124 Sig. .211 .000 .666 .940 .015
SPSS 应用
方差分析
NAU 李刚华
单因变量多因素方差分析
SPSS 应用 单因变量多因素方差分析过程主对话框
NAU 李刚华
SPSS 定义分析模型对话框 应用
NAU 李刚华
SPSS 选择对照方法对话框 应用

10.3(双因素方差分析)

10.3(双因素方差分析)

10.3.1 无交互作用的双因素方差分析
计算F统计量 在单元格G15中输入公式： 中输入公式： 计算 统计量FB，在单元格 统计量 中输入公式 =F15/F16 计算F 中输入公式： 计算 A的P值，在单元格 值 在单元格H14中输入公式： 中输入公式 =FDIST(G14,D14,D16) 计算FB的P值，在单元格 中输入公式： 计算 值 在单元格H15中输入公式： 中输入公式 =FDIST(G15,D15,D16) 如图10.9所示． 所示． 如图 所示
平均值
x1..
x2..
xl..
10.3 双因素方差分析
10. 10.3.1 无交互作用的双因素方差分析
无交互作用的双因素方差分析的数学模型可以表示 为： xijk= µ + αi + τj + εijk
ε ijk ~ N (0, σ 2 ) , 且相互独立. 1≤i≤l, 1≤j≤m, 1≤k≤n 且相互独立
10.3.1 无交互作用的双因素方差分析
( 2) 计算 xi ..，在单元格 在单元格C10中输入公式： 中输入公式： 中输入公式 =AVERAGE(C4:C9) 并将单元格C10中公式复制到单元格区域 中公式复制到单元格区域D10:F10． 并将单元格 中公式复制到单元格区域 ． 在单元格G4中输入公式 中输入公式： 计算x. j . ，在单元格 中输入公式： =AVERAGE(C4:F5) 并将单元格G4中公式复制到单元格 、 中 并将单元格 中公式复制到单元格G6、G8中． 中公式复制到单元格 如图所示． 如图所示．
10.3 双因素方差分析 对于两因素问题，通常考虑等重复观测的情形， 对于两因素问题 ，通常考虑等重复观测的情形，若 第一个因素A有 个水平 第二个因素B有 个水平 个水平， 个水平． 第一个因素 有l个水平，第二个因素 有m个水平．在 因素A的第 个水平和因素B的第 个水平下均进行了n次 因素 的第i个水平和因素 的第j个水平下均进行了 次 的第 个水平和因素 的第 个水平下均进行了 观测，记为{x 观测，记为 ijk，1≤i≤l，1≤j≤m，1≤k≤n}． ， ， ． 其数据结构如表所示． 其数据结构如表所示．

双因素方差分析

双因素方差分析

1)(m
1))
在H0B 成立时, 检验统计量
FB
SSMB (m 1) SSE (l 1)(m 1)
H0B真
~ F(m
1,(l
1)(m
1))
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 要说明因素A有无显著影响, 就是要检验如下假设：
H0A：1 = 2 = … = l = 0, H1A：1, 2, …,l 不全为零
lm
➢ 误差平方和： SSE
( xij xi. x. j x )2
i1 j1
lm
➢ 总离差平方和： SST
( xij x )2
i1 j1
➢ 可以证明： SST = SSMA + SSMB + SSE
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 可以证明： 构造检验统计量
ij~N(0, 2), 且相互独立, 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m,
l
ai 0,
i 1
m
j 0
j1
其中表示平均的效应, i和j分别表示因素A的第i个水 平和因素B的第j个水平的附加效应, ij为随机误差,假定ij
相互独立并且服从等方差的正态分布．
概率论与数理统计
❖1. 无交互作用的双因素方差分析
SSMA SSMB SSE
SSMA / (l – 1) MSA / MSE PA SSMB / (m – 1) MSB / MSE PB SSE / (l – 1)(m – 1)
全部
lm – 1
SSMA + SSMB +SSE
其中MSA = SSMA/(l – 1), MSB = SSMB/(m – 1),
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当存在交互作用时，A的效应依B的水平而不同，所以B1B1，B2-B2 两线不平行(图9-1b)。
9.1.3 两因素交叉分组实验设计的一般格 式
两因素实验的典型设计：假定A因素有a水平， B因素有b水平，则每一次重复有ab次实验，设 试验重复n次，则试验总次数为abn。数据以表 9-1的形式出现。
4.混合模型中，交互作用的两个因素只要有一个是随机 的，则交互作用是随机的，其方差分量记为σ2αβ；
5.不论哪种模型，误差的方差一律极为σ2.
以固定模型为例，说明推演步骤：
9.5.3 统计量F的确定
一般规律：为了得到检验某个因素或某个交互作用 的统计量，在计算F时分子均方的组成比分母均方的 组成仅多出欲检验的分量(固定因素)或方差分量(随 机因素)，除此之外的其他成分应完全相同。
例如，将例9.1中的A因素固定在第二种原料上，比较 不同温度对产量的影响。将产量依次排序：
如果考虑交互作用的话，就要比较全部ab次处理，才能 得出哪些差异是显著的。这样比较的结果不仅包括主效 应，而且包括交互作用。
9.3 随机模型
9.3.1 线性统计模型
随机模型的线性统计模型如下:
i1,2,..a.,
例9.2
9.2.6 交互作用的判断(Tukey,1949)
将残余项平方和(SST-SSA-SSB)分解为具有1自由度的非累加（交
互作用）的成分和具(a-1)(b-1)-1自由度的误差成分：
例9.3
9.2.7 多重比较
固定效应模型中，如果主效应显著，还应该在每一因 素（例如A)的各水平的平均数之间做多重比较，仍然 使用Duncan多范围检验；如果交互作用显著，则将B 固定在某一水平，在该特定水平上，比较A因素各水平 的平均数。
主效应(main effect):因素水平的改变造成因素 效应的改变，称该因素的主效应。
ห้องสมุดไป่ตู้
A1
A2
B1 18
24
B2 38
44
A因素的主效应为(24+44)/2-(18+38)/2=6
9.1.2 主效应与交互作用
交互作用(interaction):某一因素在另一因素不同水平上 产生的效应不同，则两因素间存在交互作用。
εijk为随机误差，相互独立，且服从N(0，σ2)。
两因素交叉分组设计中，固定模型方差分析 的零假设为：
H01 :1 2 ... a 0
H02 : 1 2 ... b 0
H03
: ij

i 1, 2,...,a
0
j

1,
2,
...,b
9.2.2 平方和与自由度的分解
表9-1中，xi..表示A因素第i水平的所有观测值的 和；x.j.表示B因素第j水平的所有观测值的和；xij. 表示A的第i和B的第j水平的所有观测值的和；x… 表示所有观测值的和。
9.2 固定模型
9.2.1线性统计模型 观测值可以用以下线性统计模型描述：
i1,2,..a.,
xijkijijij kj1,2,..b., (9.1)
第九章 两因素及多因素 方差分析
本章内容
9.1 两因素方差分析中的基本概念 9.2 固定模型 9.3 随机模型 9.4 混合模型 9.5 两个以上因素的方差分析 9.6 缺失数据的估计 9.7 变换
9.1 两因素方差分析中的基本 概念
9.1.1模型类型 交叉分组设计(cross over design)：假设A药物 有a水平，
9.5 两个以上因素的方差分析
9.5.1 平方和与自由度分解的一般规律
将两种方式分组的方差分析，扩展到一般情况。例如，在一个实验 中，A因素有a水平，B因素有b水平，C因素有c水平，假设每一处理 都有n次重复(n≥2)，那么总观测次数为abcn，线性统计模型为：
i1,2,..a.,
xijklijkijikjkij kij kk jl 1 1,,2 2,,....b c..,,
设A、C为固定因素，B为随机因素，构成混合模型，各均 方期望由下表给出
交互作用的检验统计量分别为： 三个主效应的检验统计量分别为：
9.6 缺失数据的估计
实验过程中，由于意外原因，使全部数据中的一个或 两个缺失，又没有重做实验的可能性，可以采用补救。
补救原则：补上缺失的数据以后，所得到的误差平方 和最小。
9.6.1 缺失一个数据 设表9-13中x23是缺失的
为了使SSe达到最小，令 计算出x=215
，则可以
9.6.2 缺失两个数据
设表9-14中缺失x23和x42，分别称为x和y。
方程 的解，即为x和y的值 从而，x=213.55,y=366.05
9.6.3 缺失数据资料的方差分析
缺失数据的估计，可以使计算得以完成，但并不能提 供更多的信息。因此，实验工作一定要认真操作，数 据要仔细记录。由于缺失数据是估计值，当缺失一个 数据时，总自由度和误差自由度都相应减1，但A、B两 因素各自的自由度不变。同样，缺失两个数据时，总 自由度和误差自由度都相应减2。
A1
A2
B1 18
28
B2 38
44
A(在B1的水平上)=A2B1-A1B1 A(在B2的水平上)=A2B2-A1B2 交互作用的大小用A1B1+A2B2-A1B2-A2B1来估计
当A、B间不存在交互作用时，从B1变化到B2不以A水平的 变化而改变，所以B1-B1，B2-B2两线平行(图9-1a);
xij . xi.. x. j. x... 2
i1 j 1
(9.12)
a b n
2
SS e
xijk xij .
i1 j 1 k 1
(9.13)
a b n
2
STS
xij kx.. .SA S SB S SA S BSE S
误差平方和是通过计算重复间平方和得到的。(9.13)可以改 写为：
a
SeS
i1
bn
1 2 x ijk n j1k1
a i1
b
x2 ij.
j1
(9.21)
交互作用平方和为： 例9.1
9.2.5 无重复实验时的两因素方差分析 观测值的线性模型：
Σαi=Σβj=0;
xijkijijij kj1,2,..b., (9.2)6
k1,2,..n.,
9.3.2 均方期望与统计量F的确定
方差分析与固定模型的分析一样，分别计算出SST，SSA，SSB，
SSe。各均方的数学期望分别为：
E(MSA) 2 n2 bn2 E(MSB) 2 n2 an2 E(MSAB) 2 n2 E(MSe) 2
9.4.2 均方期望与统计量F的确定
固定因素效应的估计为： 例9.5
在随机模型和混合模型中，不设置重复，同样会有固 定模型中的问题，即因素间的交互作用与实验误差无 法区分，全部归于误差项。特别是在混和模型中，随 机因素的个水平之间存在的差异，往往检查不出来， 结果降低了实验的可靠性。因而，在条件允许的情况 下，不论哪种模型，最好都设置重复。
将(9.9)~(9.11)变形得：
SST

a i 1
bn
x2 ijk
j1 k 1

x2 ...
abn
SS A

1 bn
a i 1
x2 i..

x2 ...
abn
SS B
1 an
b j 1
x2 . j.

x2 ...
abn
(9.18) (9.19) (9.20)
其中 为校正项，用C表示。
如果缺失数据不是很多，对处理平均数之间的检验影 响不大，在缺失数据估计出来之后，按照一般方法进 行方差分析，只要将总自由度和误差自由度减去缺失 数据个数即可。
9.7 变换
方差分析应该满足三个条件：可加性、正态性和方差齐 性。数据变换的目的主要是满足方差齐性的要求，同时 正态性和可加性都可以得到较好的满足。
k1,2,..n.,
其中αi是固定效应，βj是随机效应，交互作用(αβ)ij为随机效应。
Σαi=0，βj是服从N(0，
2
)的随机变量。交互作用效应是平
均数为0，方差为

a
a
1

2
正态随机变量。因为固定因素的
全部交互作用效应之和为0，所以在固定因素的某个水平上，
交互作用的成分不是独立的。
1.线性统计模型中误差εijk的下标写为ε(ij)k，括号内的 下标为死下标(dead subscript);括号外的下表为活下标 (live subscript)。αi,βi，(αβ)ij中的下标都为活下 标；
2.固定模型中各因素的效应分别用该模型分量的平方和 除以自由度表示；
3.随机模型中各因素的效应分别用以希腊字母为下标的 方差表示；
i 1j 1k 1
相应的自由度为：
相应均方为：
MS A SS A / df A , MS B SS B / df B , MS AB SS AB / df AB MS e SS e / df e
9.2.3 均方期望与统计量F的确定
9.2.4 平方和的简易计算方法
A因素引起的平方和SSA，B因素引起的平方和SSB，A、B交互 作用引起的平方和SSAB及误差平方和分别是：
a
2
SS A bn xi.. x...
i 1
b
2
SS B an x. j. x...
j 1
(9.10) (9.11)
a b