北师大数学选修课时分层作业4 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非” 含解析

§4逻辑联结词“且”“或”“非”[对应学生用书P11]如图所示，有三种电路图．问题1：甲图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合且q闭合．问题2：乙图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合或q闭合．问题3：丙图中什么情况下灯不亮？提示：开关p不闭合．用逻辑联结词“且”“或”“非”构成新命题(1)用逻辑联结词“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”．(2)用逻辑联结词“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p或q”．(3)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”.在知识点一中的甲、乙、丙三种电路图中，若开关p，q的闭合与断开分别对应着命题p，q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p且q，p或q，非p的真与假．问题1：什么情况下，p且q为真命题？提示：当p真，且q真时．问题2：什么情况下，p或q为假命题？提示：当p假，且q假时．问题3：什么情况下，綈p为真命题？提示：当p为假时．含有逻辑联结词的命题的真假判断1．新命题“p且q”的真假概括为：同真为真，有假为假；2．新命题“p或q”的真假概括为：同假为假，有真为真；3．新命题綈p与命题p的真假相反．[对应学生用书P12][例1](1)p：6是自然数；q：6是偶数．(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直．(3)p：3是9的约数；q：3是18的约数．[思路点拨]先用逻辑联结词将两个简单命题连起来，再用数学语言综合叙述．[精解详析](1)p或q：6是自然数或是偶数．p且q：6是自然数且是偶数．綈p：6不是自然数．(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直．p且q：菱形的对角线相等且互相垂直．綈p：菱形的对角线不相等．(3)p或q：3是9的约数或是18的约数．p且q：3是9的约数且是18的约数．綈p：3不是9的约数．[一点通]用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形．1．给出下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有() A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”，共有3个命题①③④使用逻辑联结词，故选C.答案：C2．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p或(綈q)”表示()A．甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环B．甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环C．甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环D．甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环解析：綈q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p或(綈q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B.答案：B3．分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题．(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．解：(1)“p或q”：π是无理数或e不是无理数；“p且q”：π是无理数且e不是无理数．(2)“p或q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p且q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．(3)“p或q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p且q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角．4．判断下列命题的构成形式，若含有逻辑联结词“且”“或”“非”，请指出其中的p，q.(1)菱形的对角线互相垂直平分；(2)2是4和6的约数；(3)x ＝1不是不等式x 2－5x ＋6>0的解．解：(1)是“p 且q ”形式的命题．其中p ：菱形的对角线互相垂直．q ：菱形的对角线互相平分．(2)是“p 且q ”形式的命题，其中p ：2是4的约数；q ：2是6的约数． (3)是“綈p ”形式的命题，其中p ：x ＝1是不等式x 2－5x ＋6>0的解.[例2] (1)p ：3是13的约数，q ：3是方程x 2－4x ＋3＝0的解； (2)p ：x 2＋1≥1，q ：3＞4；(3)p ：四边形的一组对边平行，q ：四边形的一组对边相等； (4)p ：1∈{1,2}，q ：{1} {1,2}．[思路点拨] 要正确判断含有逻辑联结词的命题的真假，首先要确定命题的构成形式，再根据p ，q 的真假判断命题的真假．[精解详析] (1)因为p 假q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真； (2)因为p 真q 假，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为假； (3)因为p 假q 假，所以“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“非p ”为真； (4)因为p 真q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为真，“非p ”为假． [一点通]判断含逻辑联结词的命题真假的步骤： (1)确定命题的形式；(2)判断构成该命题的两个命题的真假；(3)根据“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”的真假性与命题p ，q 的真假性的关系作出判断．5．若綈p 或q 是假命题，则( ) A ．p 且q 是假命题 B ．p 或q 是假命题 C ．p 是假命题D ．綈q 是假命题解析：由于綈p 或q 是假命题，则綈p 与q 均是假命题，所以p 是真命题，綈q 是真命题，所以p 且q 是假命题，p 或q 是真命题，故选A.答案：A6．设命题p ：函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝tan x 的图像关于直线x ＝3π2对称，则( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p 且q 为真D ．p 或q 为假解析：函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12的最小正周期T ＝2π2＝π，所以p 为假命题；函数y ＝tan x 的图像不是轴对称图形，不存在对称轴，所以q 为假命题，所以綈q 为真，p 且q 为假，p 或q 为假，故选D.答案：D[例3] ＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．[思路点拨] “p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p ，q 中必一真一假；可分p 真q 假，p 假q 真两种情况处理．[精解详析] 由题意知，p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根，则p 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，∴m >2.q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则q 为真时，Δ＝16(m －2)2－4×4<0， 即1<m <3.①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，∴m ≥3.②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，∴1<m ≤2.综上所述，m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． [一点通]根据p ，q 的真假求参数的取值范围时，要充分利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系，特别注意“p 假”时，一般不从綈p 为真求参数的取值范围，而利用补集的思想，求“p 真”时参数的集合的补集．7．若命题“存在x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≤0成立”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：该命题p 的否定是綈p ：“任意x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1＞0”，即关于x 的一元二次不等式x 2＋(a －1)x ＋1＞0的解集为R ，由于命题p 是假命题，所以綈p 是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4＜0，解得－1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围是(－1,3)．答案：(－1,3)8．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0，对一切x ∈R 恒成立，命题q ：指数函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立， 所以函数g (x )的图像开口向上且与x 轴没有交点， 故Δ＝4a 2－16＜0，∴－2＜a ＜2.函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，则有3－2a ＞1，即a ＜1. 又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥1，∴1≤a ＜2.②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a ＜1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．1．正确理解逻辑联结词是解题的关键．日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是指两个中至少选一个．2．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件又否定结论，要注意二者的区别．[对应课时跟踪训练(四)]1．已知命题p ，q ，若命题綈p 是假命题，命题p ∨q 是真命题，则( ) A ．p 是真命题，q 是真命题 B ．p 是假命题，q 是真命题C ．p 是真命题，q 可能是真命题也可能是假命题D ．p 是假命题，q 可能是真命题也可能是假命题解析：由于綈p 是假命题，所以p 是真命题，由于命题p 或q 一真则真，所以q 可能是真命题也可能是假命题，故选C.答案：C2．对命题p ：1∈{1}，命题q ：1∈/∅，下列说法正确的是( ) A ．p 且q 为假命题 B ．p 或q 为假命题 C ．非p 为真命题 D ．非q 为假命题解析：由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D.答案：D3．命题“若a∉A，则b∈B”的否定是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∉A，则b∈BC．若a∈A，则b∉B D．若b∉A，则a∈B解析：命题的否定只否定其结论，为：若a∉A，则b∉B.故应选A.答案：A4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x＜0.下列选项中为真命题的是()A．綈p B．綈p或qC．綈q且p D．q解析：很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C.答案：C5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集∁U A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中的元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.答案：p且q p或q非p6．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是________．解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．∵綈p为假，则p为真，即函数在(－∞，4]上为减函数，∴－(a－1)≥4，即a≤－3，∴a的取值范围是(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]7．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q 是“第二次击中飞机”．试用p ，q 以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：(1)命题s ：两次都击中飞机； (2)命题r ：两次都没击中飞机； (3)命题t ：恰有一次击中了飞机； (4)命题u ：至少有一次击中了飞机．解：(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s 表示为p 且q .(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r 表示为綈p 且綈q .(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为 p 且綈q ，二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p 且q ，所以命题t 表示为( p 且綈q )或(綈p 且q )．(4)法一：命题u 表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u 表示为p 或q . 法二：綈u ：两次都没击中飞机，即是命题r ，所以命题u 是綈r ，从而命题u 表示为綈(綈p 且綈q )．法三：命题u 表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u 表示为(p 且綈q )或(綈p 且q )或(p 且q )．8．已知p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解：由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题可知p ，q 一真一假． p 为真命题时，Δ＝a 2－16≥0， ∴a ≥4或a ≤－4；q 为真命题时，对称轴x ＝－a4≤3，∴a ≥－12.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥4或a ≤－4，a <－12，得a <－12；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <4，a ≥－12，得－4<a <4.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．[对应学生用书P14]一、命题1．命题：能够判断真假、用文字或符号表述的语句叫命题．感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等都不是命题．2．四种命题：原命题与它的逆命题、否命题之间的真假关系是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)同真同假．正是因为原命题与逆否命题的真值一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．二、充分条件与必要条件1．关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定． 若“p ⇒q ”，且“p ⇐/ q ”，则p 是q 的“充分不必要条件”，同时q 是p 的“必要不充分条件”；若“p ⇔q ”，则p 是q 的“充要条件”，同时q 是p 的“充要条件”；若“p ⇔/ q ”，则p 是q 的“既不充分也不必要条件”，同时q 是p 的“既不充分也不必要条件”．2．利用集合关系判断充分必要条件：若A B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件； 若A ＝B ，则x ∈A 与x ∈B 互为充要条件；若A ⃘B 且B ⃘A ，则x ∈A 是x ∈B 的既不充分也不必要条件． 三、全称量词与存在量词1．全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合中的每一个x 验证命题成立；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．2．特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只需在限定集合中找到一个x ，使命题成立即可，否则这一特称命题为假．四、逻辑联结词1．由“且”“或”“非”构成的新命题有三种形式：“p 或q ”“p 且q ”“非p ”． 2．含逻辑联结词的命题的真假判断：“p 或q ”中有真为真，其余为假；“p 且q ”中有假为假，其余为真． 3．命题的否定与否命题的区别：否命题既否定条件又否定结论，其真假与原命题的真假无关；而命题的否定只否定结论，其真假与原命题的真假相反．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(一) 见8开试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中是假命题的是( ) A ．等边三角形的三个内角均为60° B ．若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数 C ．集合A ＝{0,1}的真子集有3个D ．若b ≤－1，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根解析：对于A ，由平面几何知识可知A 是真命题；对于B ，取x ＝3，y ＝－3可知x ＋y ＝0是有理数，显然x ，y 都是无理数，故B 是假命题；对于C ，集合A ＝{0,1}的所有真子集是∅，{0}，{1}，共有3个，故C 是真命题；对于D ，由b ≤－1知Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ＞0，所以D 是真命题，故选B.答案：B2．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分而不必要条件．答案：A3．命题p ：对任意x ∈R ，都有x 2－2x ＋2≤sin x 成立，则命题p 的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，使x 2－2x ＋2＞sin x 成立 B ．存在x ∈R ，使x 2－2x ＋2≥sin x 成立 C ．存在x ∈R ，使x 2－2x ＋2＞sin x 成立 D ．对任意x ∈R ，都有x 2－2x ＋2＞sin x 成立解析：全称命题的否定必为特称命题，因此否定全称命题时，要改全称量词为存在量词，同时还要否定结论，故选C.答案：C4．命题“已知a ，b 都是实数，若a ＋b ＞0，则a ，b 不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：逆命题“已知a ，b 都是实数，若a ，b 不全为0，则a ＋b ＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.答案：C5．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数解析：命题的逆命题即把原命题的条件、结论对换．即为：若一个数的平方为正数，则这个数为负数．答案：B6．给出下列四个命题：①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0；③若x＋y＝2，则x2＋y2≥2；④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么()A．①的逆命题为真B．②的否命题为真C．③的逆否命题为假D．④的逆命题为假解析：①的逆命题为：若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0为真，其余均错，故选A.答案：A7．已知条件p：1x＋2＜0和条件q：lg(x＋2)有意义，则綈p是q的() A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：不等式1x＋2＜0的解集为{x|x＜－2}，则綈p：x≥－2.命题q：x＞－2，故綈p⇒/ q，q⇒綈p，故选C.答案：C8．命题“对任意x∈[1,2]，都有x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥4B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：∵任意x∈[1,2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，即a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.答案：C9．已知命题p ：任意x ∈R ，使x 2－x ＋14<0；命题q ：存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2，则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．綈p 是假命题D ．綈q 是假命题解析：∵任意x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0恒成立， ∴命题p 假，綈p 真；又sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1时，sin x ＋cos x ＝2， ∴q 真，綈q 假．答案：D10．以下判断正确的是( )A ．命题“负数的相反数是正数”不是全称命题B ．命题“任意x ∈N ，x 3＞x ”的否定是“存在x ∈N ，x 3＞x ”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的必要不充分条件D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件解析：∵“负数的相反数是正数”即为任意一个负数的相反数是正数，是全称命题，∴A 不正确；又∵对全称命题“任意x ∈N ，x 3＞x ”的否定为“存在x ∈N ，x 3≤x ”，∴B 不正确； 又∵f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，当最小正周期T ＝π时，有2π|2a |＝π， ∴|a |＝1⇒/ a ＝1.故“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．“对顶角相等”的否定为__________________，否命题为_______________________．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．答案：对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等12．已知角A 是△ABC 的内角，则“sin A ＝45”是“cos A ＝35”的________条件． 解析：因为角A 可能为锐角或为钝角，因此由“sin A ＝45”不一定得到“cos A ＝35”，但“cos A ＝35”一定能得到“sin A ＝45”，故“sin A ＝45”是“cos A ＝35”的必要不充分条件． 答案：必要不充分13．已知命题p ：任意x ∈R ，ax 2－2x －3＜0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是________．解析：綈p ：存在x ∈R ，ax 2－2x －3≥0.当a ＝0时，存在x ≤－32，使ax 2－2x －3≥0；当a ＞0时，显然存在实数x ，使ax 2－2x －3≥0；当a ＜0时，只需判别式Δ＝4＋12a ≥0，即有－13≤a ＜0.综上所述：a ≥－13. 答案：⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ 14．已知命题p ：存在x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 或綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题．上述结论中，正确结论的序号是________．解析：∵p 真，q 真，∴p 且q 真，p 或綈q 真，綈p 或q 真，綈p 或綈q 假．答案：①③④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．解：∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件， ∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述：实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1. 16．(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”形式的新命题，并判断真假．(1)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相平分．(2)p ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同；q ：方程x 2－16＝0的两根的绝对值相等． 解：(1)p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分．p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分，綈p ：平行四边形的对角线不一定相等．由于p 假q 真，所以“p 或q ”真，“p 且q ”假，“綈p ”真．(2)p 或q ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同或绝对值相等．p 且q ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同且绝对值相等．綈p ：方程x 2－16＝0的两根的符号相同．由于p 真q 真，所以“p 或q ”，“p 且q ”为真，“綈p ”为假．17．(本小题满分12分)已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件．解：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2.方程有两个大于1的实根就是函数f (x )与x 轴的两个交点都位于(1，＋∞)内，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，－2k －12>1，f (1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (2k －1)2－4k 2≥0，2k ＋1<0，k 2＋2k >0⇔k <－2.所以方程有两个大于1的实根的充要条件是k <－2.18．(本小题满分14分)给定p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：若对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，则“a ＝0”或“a >0且a 2－4a <0”．解得0≤a <4.若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，则Δ＝1－4a ≥0，得a ≤14. 因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则p ，q 有且仅有一个为真命题，故“綈p 且q ”为真命题，或“p 且綈q ”为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧ a <0或a ≥4，a ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4，a >14， 解得a <0或14<a <4. 所以实数a 的取值范围是()－∞，0∪⎝⎛⎭⎫14，4.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§4逻辑联结词“且”“或”“非”（北京师大版选修2-1）一、选择题（本题共5小题，每小题6分，共30分）1.已知命题所有有理数都是实数；命题:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是（）A.﹁B.C.﹁﹁D.﹁﹁2.（2012·山东青岛一模）设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，mα,nβ，有两个命题：p：若m∥n，则α∥β；q：若m⊥β，则α⊥β,那么( )A.“p或q”是假命题B.“p且q”是真命题C.“非p或q”是假命题D.“非p且q”是真命题3.（2012·北京高考预测）已知:命题p：“a=1是x＞0,x+≥2的充分必要条件”；命题q：“x∈R,+x－2＞0”,则下列结论正确的是( )A.命题“p∧q”是真命题B.命题“（p）∧q”是真命题C.命题“p∧（q）”是真命题D.命题“（p）∧（q）”是真命题4.“p且q是真命题”是“非p为假命题”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知命题p：函数y=的值域为R，命题q：函数y=－是减函数.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，p为真命题，则实数a的取值范围是( )A.a≤1B.1＜a＜2C.a＜2D.a≤1或a≥2二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）6.已知命题：函数（）的定义域为（）；命题:若，则函数在（）上是减函数,则下列结论:①命题“且”为真；②命题“或﹁”为假；③命题“或”为假；④命题“﹁且﹁”为假，其中错误的是＿＿＿＿＿＿＿.7.设函数在区间（）上单调递增；.如果“非”是真命题，“或”也是真命题，那么实数的取值范围是．8.已知命题p：x∈[0,π],sin x＜x，那么命题﹁是.9.已知命题p:x∈R,+≤2，命题q是命题p的否定，则命题p，q，p∧q，p∨q中是真命题的是. 三、解答题（本题共4小题,共46分）10.（本小题满分10分）已知“”,“”,若“且”为真命题，试求的取值范围.11.（本小题满分12分）分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题，并判断真假.(1)相似三角形周长相等或对应角相等；(2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.12.（本小题满分12分）写出由下列各组命题构成的“或”“且”“非”形式的新命题，并判断其真假．（1）：2是4的约数，：2是6的约数；（2）：矩形的对角线相等，：矩形的对角线互相平分；（3）：方程的两个实数根的符号相同，：方程的两个实数根的绝对值相等．13.（本小题满分12分）已知命题方程在上有且仅有一解；命题：只有一个实数满足不等式.若命题“或”是假命题，求的取值范围．答题纸得分：＿＿＿一、选择题二、填空题6.7.8.＿＿＿＿＿9.＿＿＿＿＿三、解答题10.解：11.解：12.解：13.解：答案一、选择题1.D解析：不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而只有（）为真命题．2.D解析：显然命题p是假命题，则非p为真命题.由面面垂直的判定定理知命题q为真命题，所以非p且q是真命题.3.B解析：对于命题p，当a=1时，由均值不等式知，若x＞0,则x+≥2，显然成立.但当x＞0,x+≥2时，a未必取1，所以a=1是x＞0,x+≥2的充分不必要条件，故p为假命题，p为真命题.对于命题q，取x=2，显然成立，所以q为真命题，q为假命题.故命题“（p）∧q”是真命题.4. A解析：“p且q是真命题”，则p和q均为真命题，所以“非p为假命题”；反之，由“非p为假命题”可得p为真命题，命题q真假未知，不能推出“p且q是真命题”.5.B解析：因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p,q一真一假.又p为真命题，故p假q真.p真时，需4－4a≥0，即a≤1；q真时，需5－2a＞1，即a＜2.所以如果p假q真，需1＜a＜2.二、填空题6.①②③解析：由，得，故命题为真，﹁为假．又由，得函数在（）上是增函数，命题为假，﹁为真,所以命题“且”为假，命题“或﹁”为真，命题“或”为真，命题“﹁且﹁”为假．7.（）解析：由题意知：为假命题，为真命题．当1时，由为真命题得；由为假命题结合图像可知：.当时，无解．所以.8.x∈[0,π],sin x≥x解析：把全称量词变为存在量词，再把“＜”变为“≥”,得x∈[0,π],sin x≥x.9.p，p∨q解析：当x=1或x=－1时，p成立，所以p真q假，p∨q真，p∧q假.三、解答题10.解：若成立，则.若成立，则或若“且”为真命题，则真真，所以的取值范围是或11.解：(1)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：相似三角形周长相等，q：相似三角形对应角相等.因为p假q真，所以“p∨q”为真.(2)这个命题是“p”的形式，其中p：9的算术平方根是－3.因为p假，所以“p”为真.(3)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦，q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧.因为p真q真，所以“p∧q”为真.12.解：（1）或：2是4的约数或2是6的约数，真命题；且：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非：2不是4的约数，假命题.（2）或：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；且：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非：矩形的对角线不相等，假命题.（3）或: 方程的两个实数根的符号相同或绝对值相等，假命题；且 : 方程 的两个实数根的符号相同且绝对值相等，假命题； 非 ：方程 的两个实数根的符号不相同，真命题. 13.解：由 ，得（ ）（ ） . 显然 ,所以或.因为方程 在 上有且仅有一解,故，，或，，所以 或 .因为只有一个实数 满足不等式 ， 所以 ,解得 或 .因为命题“ 或 ”是假命题，所以命题 和 都是假命题,所以 的取值范围是 或 或 或 .。

§逻辑联结词“且”“或”“非”课时目标.理解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．．“且”的真假()当两个命题和都是时，新命题“且”是真命题；()在两个命题和之中，只要有一个命题是，新命题“且”就是假命题．．“或”的真假()在两个命题和之中，只要有一个命题是时，新命题“或”就是真命题；()当两个命题和都是时，新命题“或”是假命题．．逻辑联结词“非”()一般地，对命题加以，就得到一个新命题，记作，读作“”．()“綈”的真假一个命题与这个命题的否定綈，必然一个是，一个是．一、选择题．下列命题：①年月日既是春节，又是情人节；②的倍数一定是的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有( )．个．个．个．个．已知：＋＝；：>，则下列判断错误的是( )．“或”为真，“綈”为假．“且”为假，“綈”为真．“且”为假，“綈”为假．“綈”为假，“或”为真．已知全集＝，⊆，⊆，若命题：∈(∪)，则命题“綈”是( )∉∈∁∉∩ ∈(∁)∩(∁)．已知命题：≥，：>，则下列判断正确的是( )．或为真，且为真，綈为假．或为真，且为假，綈为真．或为假，且为假，綈为假．或为真，且为假，綈为假．设、是两个命题，则新命题“或为真，且为假”的充要条件是( )．、中至少有一个为真．、中至少有一个为假．、中有且只有一个为假．为真，为假．下列命题中既是且形式的命题，又是真命题的是( )．或是的倍数．方程－－＝的两根是－和．方程＋＝没有实数根．有两个角为°的三角形是等腰直角三角形二、填空题．“≤”中的逻辑联结词是，它是命题．(填“真”，“假”)．若“∈]或∈{<或>}”是假命题，则的范围是．．设：函数()＝－在区间(，＋∞)上单调递增；：<.如果“綈”是真命题，“或”也是真命题，那么实数的取值范围是．三、解答题．判断下列命题的真假：()等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；()＝±是方程＋＋＝的根．.已知：＋＋＝有两个不等的负数根，：函数()＝－(－＋)在(－∞，＋∞)上是增函数．若或为真，且为假，求实数的取值范围．能力提升．命题：若，∈，则＋>是＋>的充分而不必要条件；命题：函数＝的定义域是(－∞，－]∪，＋∞)，则( )．“或”为假．“且”为真．真假．假真．设：实数满足－＋<，其中>，命题：实数满足(\\(－－≤，＋－>.))()若＝，且且为真，求实数的取值范围；()若綈是綈的充分不必要条件，求实数的取值范围．。

课时跟踪训练(四)逻辑联结词“且”“或”“非”1．已知命题p，q，若命题綈p是假命题，命题p∨q是真命题，则()A．p是真命题，q是真命题B．p是假命题，q是真命题C．p是真命题，q可能是真命题也可能是假命题D．p是假命题，q可能是真命题也可能是假命题2．对命题p：1∈{1}，命题q：1∈/∅，下列说法正确的是()A．p且q为假命题B．p或q为假命题C．非p为真命题D．非q为假命题3．命题“若a∉A，则b∈B”的否定是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∉A，则b∈BC．若a∈A，则b∉B D．若b∉A，则a∈B4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x＜0.下列选项中为真命题的是()A．綈p B．綈p或qC．綈q且p D．q5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集∁U A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．6．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是______________________．7．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：(1)命题s：两次都击中飞机；(2)命题r：两次都没击中飞机；(3)命题t：恰有一次击中了飞机；(4)命题u：至少有一次击中了飞机．8．已知p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．答案1．选C由于綈p是假命题，所以p是真命题，由于命题p或q一真则真，所以q可能是真命题也可能是假命题，故选C.2．选D由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D.3．选A命题的否定只否定其结论，为：若a∉A，则b∉B.故应选A.4．选C很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C.5．解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中的元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.答案：p且q p或q非p6．解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．∵綈p为假，则p为真，即函数在(－∞，4]上为减函数，∴－(a－1)≥4，即a≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]7．解：(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s 表示为p 且q .(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r 表示为綈p 且綈q .(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为 p 且綈q ，二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p 且q ，所以命题t 表示为( p 且綈q )或(綈p 且q )．(4)法一：命题u 表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u 表示为p 或q . 法二：綈u ：两次都没击中飞机，即是命题r ，所以命题u 是綈r ，从而命题u 表示为綈(綈p 且綈q )．法三：命题u 表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u 表示为(p 且綈q )或(綈p 且q )或(p 且q )．8．解：由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题可知p ，q 一真一假．p 为真命题时，Δ＝a 2－16≥0，∴a ≥4或a ≤－4；q 为真命题时，对称轴x ＝－a 4≤3， ∴a ≥－12.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥4或a ≤－4，a <－12，得a <－12； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <4，a ≥－12，得－4<a <4. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．。

4.1逻辑联结词“且”4.2逻辑联结词“或”学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假.知识点一“且”思考观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“且”的含义.梳理(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“______”.当p，q都是真命题时，p且q是______命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q是______命题.我们将命题p和命题q以及p且q的真假情况绘制为命题“p且q”的真值表如下：命题“p且q”的真值表可简单归纳为“同真则真”.(2)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足. (3)我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题p且q的真与假.知识点二“或”思考观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解.梳理(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“______”.(2)判断用“或”联结的命题的真假：当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p或q是______命题；当p，q两个命题都是假命题时，p或q是______命题.我们将命题p和命题q以及p或q的真假情况绘制为命题“p或q”的真值表如下：命题“p或q”的真值表可简单归纳为“假假才假”.(3)对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x∉B，也可以是x∉A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.(4)我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p或q的真与假.类型一含有“且”“或”命题的构成命题角度1简单命题与复合命题的区分例1指出下列命题的形式及构成它的命题.(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)2≥2.反思与感悟不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题.判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题.如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题.跟踪训练1命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题.命题角度2用逻辑联结词构造新命题例2分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题.(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.反思与感悟用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并.跟踪训练2指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q.(1)0≤2；(2)30是5的倍数，也是6的倍数.类型二 “p 且q ”和“p 或q ”形式命题的真假判断 例3 分别指出“p 或q ”“p 且q ”的真假.(1)p ：函数y ＝sin x 是奇函数；q ：函数y ＝sin x 在R 上单调递增； (2)p ：直线x ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切；q ：直线x ＝12与圆x 2＋y 2＝1相交.反思与感悟 形如p 或q ，p 且q ，命题的真假根据真值表判定.如：跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”形式的命题的真假. (1)p ：3是无理数，q ：π不是无理数； (2)p ：集合A ＝A ，q ：A ∪A ＝A ；(3)p ：函数y ＝x 2＋3x ＋4的图像与x 轴有公共点，q ：方程x 2＋3x －4＝0没有实数根.类型三 已知复合命题的真假求参数范围例4 设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋116a )的定义域为R ；命题q ：关于x 的不等式3x －9x <a对一切正实数均成立.(1)如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围.反思与感悟 解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p ，q ，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想.跟踪训练4 已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围.1.已知命题p 、q ，若p 为真命题，则( ) A.p 且q 必为真 B.p 且q 必为假 C.p 或q 必为真D.p 或q 必为假2.命题“xy ≠0”是指( ) A.x ≠0且y ≠0B.x ≠0或y ≠0C.x 、y 至少有一个不为0D.不都是0 3.已知p ：函数y ＝sin x 的最小正周期为π2，q ：函数y ＝sin 2x 的图像关于直线x ＝π对称，则p且q 是________命题.(填“真”或“假”)4.已知命题p ：函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减少的；命题q ：函数g (x )＝x 2＋ax 在[1,2]上是增加的，若p 且q 为真，则实数a 的取值范围是________.5.已知命题p ：函数f (x )＝(x ＋m )(x ＋4)为偶函数；命题q ：方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数m 的取值范围.1.判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条件、结论.2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假.(1)“p 且q ”形式的命题简记为：同真则真，一假则假；(2)“p 或q ”形式的命题简记为：同假则假，一真则真. 提醒：完成作业 第一章 §4 4.1～4.2答案精析问题导学知识点一思考命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且”，“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替.梳理(1)p且q真假知识点二思考命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.“或”从集合的角度看，可设A＝{x│x满足命题p}，B＝{x│x满足命题q}，则“p或q”对应于集合中的并集A∪B＝{x│x∈A或x∈B}.“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q, 即两者中至少要有一个.梳理(1)p或q(2)真假题型探究例1解(1)是p且q形式命题.其中p：向量有大小，q：向量有方向.(2)是p或q形式命题.其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆.(3)是p或q形式命题.其中p：2>2，q：2＝2.跟踪训练1p且q例2解(1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等.p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等.(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.跟踪训练2解(1)此命题为“p或q”形式的命题，其中p：0<2；q：0＝2.(2)此命题为“p且q”形式的命题，其中p：30是5的倍数；q：30是6的倍数.例3 解 (1)∵p 真，q 假，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假. (2)∵p 真，q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为真. 跟踪训练3 解 (1)∵p 真q 假， ∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假.(2)∵p 真q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为真. (3)∵p 假q 假，∴“p 或q ”为假，“p 且q ”为假. 例4 解 (1)若命题p 为真命题， 则ax 2－x ＋116a >0对x ∈R 恒成立.当a ＝0时，－x >0，不合题意；当a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－14a 2<0，∴a >2.(2)令y ＝3x －9x ＝－(3x －12)2＋14.由x >0，得3x >1，∴y ＝3x －9x 的值域为(－∞，0). 若命题q 为真命题，则a ≥0.由命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，得命题p ，q 一真一假. 当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，0≤a ≤2. ∴满足条件的a 的取值范围是{a |0≤a ≤2}. 跟踪训练4 解 对于命题p ：由a 2x 2＋ax －2＝0， 得(ax ＋2)(ax －1)＝0， 显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a ，∵x ∈[－1,1]，故|－2a |≤1或|1a |≤1，即|a |≥1.∴p 为假时得|a |<1.对于命题q ：只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， 由Δ＝4a 2－8a ＝0，得a ＝0或a ＝2. ∴q 为假时得a ≠0且a ≠2.又命题“p 或q ”为假，即p 与q 都为假命题， ∴a 的取值范围是(－1,0)∪(0,1).当堂训练1.C2.A3.假4.[－2，12)5.解 若命题p 为真，则由f (x )＝x 2＋(m ＋4)x ＋4m ，得m ＋4＝0，解得m ＝－4. 设g (x )＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，其图像开口向上，若命题q 为真，则g (2)<0，即22＋(2m －1)×2＋4－2m <0，解得m <－3. 由p 且q 为假，p 或q 为真，得p 假q 真或p 真q 假. 若p 假q 真，则m <－3且m ≠－4； 若p 真q 假，则m 无解.所以m 的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3).。

§4逻辑联结词“且”“或”“非”课时目标 1.理解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．1．“p且q”的真假(1)当两个命题p和q都是__________时，新命题“p且q”是真命题；(2)在两个命题p和q之中，只要有一个命题是__________，新命题“p且q”就是假命题．2．“p或q”的真假(1)在两个命题p和q之中，只要有一个命题是__________时，新命题“p或q”就是真命题；(2)当两个命题p和q都是__________时，新命题“p或q”是假命题．3．逻辑联结词“非”(1)一般地，对命题p加以________，就得到一个新命题，记作________，读作“________”．(2)“綈p”的真假一个命题p与这个命题的否定綈p，必然一个是__________，一个是__________．一、选择题1．下列命题：①2010年2月14日既是春节，又是情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是( )A．“p或q”为真，“綈q”为假B．“p且q”为假，“綈p”为真C．“p且q”为假，“綈p”为假D．“綈q”为假，“p或q”为真3．已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若命题p：2∈(A∪B)，则命题“綈p”是( )A.2∉AB.2∈∁S BC.2∉A∩BD.2∈(∁S A)∩(∁S B)4．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是( )A．p或q为真，p且q为真，綈p为假B．p或q为真，p且q为假，綈p为真C．p或q为假，p且q为假，綈p为假D．p或q为真，p且q为假，綈p为假5．设p、q是两个命题，则新命题“p或q为真，p且q为假”的充要条件是( ) A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为假D．p为真，q为假6．下列命题中既是p且q形式的命题，又是真命题的是( )A．10或15是5的倍数B ．方程x 2－3x －4＝0的两根是－4和1C ．方程x 2＋1＝0没有实数根D ．有两个角为二、填空题7．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________命题．(填“真”，“假”)8．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的范围是____________．9．设p ：函数f (x )＝2|x －a |在区间(4，＋∞)上单调递增；q ：log a 2<1.如果“綈p ”是真命题，“p 或q ”也是真命题，那么实数a 的取值范围是____________．三、解答题10．判断下列命题的真假：(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)x ＝±1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根．11.已知p ：x 2＋4mx ＋1＝0有两个不等的负数根，q ：函数f (x )＝－(m 2－m ＋1)x 在(－∞，＋∞)上是增函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．能力提升12．命题p ：若a ，b ∈R ，则|a |＋|b |>1是|a ＋b |>1的充分而不必要条件；命题q ：函数y ＝|x －1|－2 的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则( )A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真13．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．1．从集合的角度理解“且”“或”“非”．设命题p：x∈A.命题q：x∈B.则p且q⇔x∈A且x∈B⇔x∈A∩B；p或q⇔x∈A或x∈B ⇔x∈A∪B；綈p⇔x∉A⇔x∈∁U A.2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断当p、q都为真，p且q才为真；当p、q有一个为真，p或q即为真；綈p与p的真假性相反且一定有一个为真．3．含有逻辑联结词的命题否定“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”，它类似于集合中的“∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)”．§4逻辑联结词“且”“或”“非”知识梳理1．(1)真命题(2)假命题2．(1)真命题(2)假命题3．(1)否定 p非p(2)真命题假命题作业设计1．C [①③命题使用逻辑联结词，其中，①使用“且”，③使用“非”．]2．C3．D [∵p：2∈(A∪B)，∴綈p：2∉(A∪B)，即2∉A且2∉B，∴2∈∁S A且2∈∁S B，故2∈(∁S A)∩(∁S B)．]4．D [p为真，q为假，结合真值表可知，p或q为真，p且q为假綈p为假．]5．C [因为p或q为真命题．所以p、q一真一假或都是真命题．又因为p且q为假，所以p、q必有一假，所以p、q中有且只有一个为假．]6．D [A中的命题是条件复合的简单命题，B中的命题是p或q型，C中的命题是綈p的形式，D中的命题为p且q型且是真命题．]7．或真8．[1,2)解析x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以1≤x <2，即x ∈[1,2)．9．(4，＋∞)解析 由题意知：p 为假命题，q 为真命题．当a >1时，由q 为真命题得a >2；由p 为假命题且画图可知：a >4.当0<a <1时，无解．所以a >4.10．解 (1)这个命题是“p 且q ”的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，q ：－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，因为p 假q 真，则“p 或q ”真，所以该命题是真命题．11．解 p ：x 2＋4mx ＋1＝0有两个不等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝16m 2－4>0－4m <0⇔m >12. q ：函数f (x )＝－(m 2－m ＋1)x 在(－∞，＋∞)上是增函数⇔0<m 2－m ＋1<1⇔0<m <1.(1)若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >12，m ≤0或m ≥1.⇔m ≥1. (2)若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤120<m <1⇔0<m ≤12 综上，得m ≥1或0<m ≤12. 12．D [当a ＝－2，b ＝2时，从|a |＋|b |>1不能推出|a ＋b |>1，所以p 假，q 显然为真．]13．解 由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －a )(x －3a )<0.又a >0.∴a <x <3a .则p ：a <x <3a ，其中a >0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.得2<x ≤3.因此q ：2<x ≤3.(1)当a ＝1时，p ：1<x <3.若p 且q 为真，则p ，q 均为真．∴1<x <3且2<x ≤3，则2<x <3.所以实数x 的取值范围是2<x <3.(2)由⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，知q 是p 的充分不必要条件．∴q ⇒p ，且p ⇒q ，∴0<a ≤2且3a >3.故实数a 的取值范围是1<a ≤2.。