初三数学上学期期中测试试题

人教版九年级上学期期中考试数学试卷（一）一.选择题1、下列关于 X 的方程：①ax2+bx+c=0:②x'+ •!二6；③x—0；④x=3x2（5）（x+l ）（x・1） =XMX中，一元二次方程的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、下列标志既是轴对称图形乂是中心对称图形的是（）©c©D⅛⅛3、已知关于X的一元二次方程（a - 1） X2 - 2x÷l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A、a>2B、a<2C、a<2 且D、&V ・ 24、若（2, 5）、（4, 5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）B、x=lC、x=2DX x=33、一个等腰三角形的两条边长分别是方程X2 - 7x÷10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A、12B、9C、13D、12 或 96、如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地ABCD ±修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分钟花草，要使每一块花草的面积都为78cm',那么通道宽应设计成多少m?设通道宽为xm,则由题意列得方程为（）B、(30 - 2x) (20 - 2x) =78C、(30∙2x) (20 ・ x) =6X78D、(30∙2x) (20 ・ 2x)二6X787、如图，∆ABC为OO的内接三角形，ZAOB=IOO o ,则ZACB的度数为(C、150°D、160°8、如图，在OO中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）A、 AB丄CDB、ZAOB=4 ZACDC、AD= BDD、 Po二PD9、已知抛物线y二∙x'+2x∙3,下列判断正确的是（）A、开口方向向上，y有最小值是・2B、抛物线与X轴有两个交点C、顶点坐标是（■ 1, -2）D、当x<l时，y随X增大而增大10、有下列四个命题中，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②等弦所对的弧相等；③圆心角相等所对的弦相等；④半径相等的两个半圆是等弧.A、4个B、3个C、2个D、1个11、将抛物线y二3x：向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A、y=3 （x+2）2+3B、y二3 （X ・ 2）2+3C、y二3 （x+2）2- 3D、y二3 （x・2）2- 312、下列说法正确的是（）A、弦是直径B、平分弦的直径垂直弦C、长度相等的两条弧是等弧D、圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个13、已知抛物线y=a X=+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2,・3）,那么该抛物线有（）A、最小值・3B、最大值・3C、最小值2D、最大值2二、填空题14、钟表的时针匀速旋转一周需要12小时，经过2小时，时针旋转了 _______ 度.15、___________________________________________ 一元二次方程x'・4x+6二O实数根的悄况是_____________________________ .16、如图，在RtΔABC 中，ZBAC二90° , ZB二60° , ΔAB, C,可以由 AABC 绕点A顺时针旋转90°得到（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点）, 连接CC',则ZCC' B'的度数是____________ .17、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A、18、已知二次函数y=aX=+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论，Φabc<0;②2a+b=0:③b'∙4dc<0;④d+b+c>O;⑤a - b+c<O.其中正确的结论有20、某商店四月份的利润为6. 3万元，此后两个月进入淡季，利润均以相同的白分比下降，至六月份利润为5. 4万元.设下降的白分比为X,由题意列出方程21、__________________________________________________________ 已知In 是关于X的方程X2 - 2X- 3=0的一个根，则2m: - 4m= _______________ •22、下列图形中，①等腰三角形；②平行四边形；③等腰梯形；④圆；⑤正六边形；⑥菱形；⑦正五边形，是中心对称图形的有_______ (填序号)23、如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF. HMNo均为矩形，EF二b,NH=c,则b与C之间的大小关系是b ________ C (填＜、二、＞)三.解下列方程24、解下列方程(1)X2÷6X - 1=0(2)(2x+3) 2 - 25=0.四、解答题25、在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将AABO绕点0按顺时针方向旋转90° ,得ZU' B Z 0.(1)画岀旋转后的图形；(2)写出点A' , B,的坐标.26、如图，是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽8cm, 水的最大深度为2c∏b求该输水管的半径是多少？27、如图，在RtΔABC中，ZACB二90, AD平分ZBAC,过A, C, D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE.(2)若AC=6, CB=8,求Z∖ACD的外接圆的直径.28、如图，已知抛物线与X交于A ( - 1, 0)、E (3, 0)两点，与y轴交于点B(1)求抛物线的解析式：(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积.29、某体育用品丿占购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套.设销售单价为X(X$60)元，销售量为y套.(1)求出y与X的函数关系式；(2)当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？答案解析部分—、＜b ＞选择题〈/b＞1、【答案】B【考点】一元二次方程的定义【解析】【解答】解：①当沪O时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程；②X2+ ≥=6 是分式方程；③x'=()是一元二次方程；④x=3x'是一元二次方程⑤(x÷l) (x・1) =X Mx,整理后不含X的二次项，不是一元二次方程.故选：B.【分析】依据一元二次方程的定义求解即可.2、【答案】A【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形.故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形.故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误.故选：A.【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可.3、【答案】C【考点】根的判别式【解析】【解答】解：△二4 - 4 (a - 1)二8 ・ 4a>0得：a<2.又a・l≠0Λa<2 且 &H1.故选C.【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出&的取值范围. 4、【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：因为点(2, 5)、(4, 5)在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴X=故选D.【分析】由已知，点(2, 5)、(4, 5)是该抛物线上关于对称轴对称的两点, 所以只需求两对称点横坐标的平均数.5、【答案】A【考点】解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：X2- 7x÷10=0,(X ・ 2) (x ・ 5) =0,X ・ 2=0, X ・ 5=0,Xι~2, x：=o >①等腰三角形的三边是2, 2, 5V2+2<5,・・・不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2, 5, 5,此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是 2+5+5二12；即等腰三角形的周长是12.故选：A.【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可.6、【答案】C【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设道路的宽为xm,由题意得：(30 ・ 2x) (20 ・ x)二6X78,故选C.【分析】设道路的宽为xm,将6块草地平移为一个长方形，长为(30∙2x) m, 宽为(20・x) m.根据长方形面积公式即可列方程(30・2x) (20・x)二6X78. 7、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：在优弧AB上取点D,连接AD, BD,V ZAOB=IOO O ,Λ ZD= 4 ZAOB=50° ,・•・ZACB=I80° ・ ZD二130° .【分析】首先在优弧AB上取点D,连接AD, BD,然后由圆周角定理，求得ZD 的度数，乂山圆的内接四边形的性质，求得ZACB的度数.8、【答案】D【考点】垂径定理，圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】解：TP是弦AB的中点，CD是过点P的直径，・・・AB丄CD,兄沪云方，ZiAOB是等腰三角形，・•・ ZAoB二 2 ZAOP,Y ZAOP二 2 ZACD,・•・ ZAoB二 2 ZAOP二2 × 2 ZACD二4 ZACD.故选D.【分析】根据垂径定理及圆周角定理可直接解答.9、【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：y- ■ x'+2x - 3= - (X-I) ^ - 2,a二・1,抛物线开口向下，对称轴为直线X二1,顶点坐标为(1, -2) , △二4・12二・8<0,抛物线与X轴没有交点，当x<l时，y随X的增大而增大. 故选：D. 【分析】根据二次函数解析式化为顶点式，判断抛物线的开口方向，计算出对称轴顶点坐标以及增减性判断得出答案即可.10、【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】解：①圆的对称轴是圆的直径所在的直线，故本选项错误；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故本选项错误；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；④半径相等的两个半圆是等弧，故本选项正确；其中正确的有1个；故选D.【分析】根据轴对称图形的概念和弧、弦和圆心角之间的关系，分别对每一项进行分析即可得出答案.11、【答案】A【考点】二次函数图象与儿何变换【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y二3x'向上平移3 个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3:IJI “左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3 (x+2) 2+3.故选A.【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.12、【答案】D【考点】垂径定理【解析】【解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，选项错误；B、平分弦的直径垂直弦，被平分的弦不是直径，故选项错误；C、能重合的两个弧是等弧，选项错误；D、圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个，正确.故选D.【分析】根据弦的定义以及垂径定理、等弧的定义即可作出判断.13、【答案】B【考点】二次函数的最值【解析】【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2,・3）,所以该抛物线有最大值・3.故选B.【分析】根据抛物线开口向下和其顶点坐标为（2,・3）,可直接做出判断.二、＜b ＞填空题＜∕b＞14、【答案】60【考点】生活中的旋转现象【解析】【解答】解：Y钟表上的时针匀速旋转一周的度数为360。

2024年最新人教版九年级数学(上册)期中考卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 若一个数的立方根是±2，则这个数是（）A. 4B. 8C. 16D. 322. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 2B. 0.5C. 3/4D. √23. 下列等式中，正确的是（）A. 3x + 4y = 7B. 2x 3y = 5C. 4x + 5y = 9D. 5x 6y = 84. 下列各式中，正确的是（）A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 b^2 = c^2C. a^2 + b^2 = c^2D. a^2 b^2 = c^25. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a b)^2 = a^2 2ab +b^2 C. (a + b)^2 = a^2 2ab + b^2 D. (a b)^2 = a^2 + 2ab +b^26. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bdB. (a b)(c d) =ac ad bc + bd C. (a + b)(c d) = ac + ad bc bd D. (ab)(c + d) = ac ad + bc bd7. 下列各式中，正确的是（）A. a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 ab + b^2)B. a^3 b^3 = (a b)(a^2 + ab + b^2)C. a^3 + b^3 = (a b)(a^2 ab + b^2)D.a^3 b^3 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)8. 下列各式中，正确的是（）A. a^4 b^4 = (a + b)(a^2 ab + b^2)B. a^4 b^4 = (a b)(a^2 + ab + b^2)C. a^4 b^4 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)D. a^4 b^4 = (a b)(a^2 ab + b^2)9. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3B. (a b)^3 =a^3 3a^2b + 3ab^2 b^3 C. (a + b)^3 = a^3 3a^2b + 3ab^2 + b^3 D. (a b)^3 = a^3 + 3a^2b 3ab^2 b^310. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4B. (a b)^4 = a^4 4a^3b + 6a^2b^2 4ab^3 + b^4C. (a + b)^4 = a^4 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4D. (a b)^4 = a^4 + 4a^3b6a^2b^2 4ab^3 + b^4二、填空题（每题4分，共40分）11. 若一个数的平方根是±3，则这个数是_________。

2023学年第一学期浙江省初中名校发展共同体九年级期中考试数学考生须知：1．本卷满分120分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析．一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.若43a b =，则a b b -的值等于（）A.13B.13-C.73D.73-【答案】A 【解析】【分析】此题考查了比例，直接利用比例设参数，然后代入求值即可，解题的关键是熟练掌握比例的性质．【详解】由43a b =，设4a k =，3b k =（0k ≠），∴431333a b k k k b k k --===，故选：A ．2.已知在Rt ABC △中，90,5,12C AC BC ∠=︒==，则ABC V 的外接圆直径为（）A.5B.12C.13D.6.5【答案】C 【解析】【分析】本题考查了直角三角形的外接圆直径，勾股定理求得斜边的长即可求解．【详解】解：∵在Rt ABC △中，90,5,12C AC BC ∠=︒==，∴13AB ==，∴ABC V 的外接圆直径为13，故选：C ．3.若将函数23y x =的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线表达式为（）A.23(2)4y x =+- B.23(2)4y x =++ C.23(2)4y x =-- D.23(2)4y x =-+【答案】D 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据函数图象平移规律：左加右减，上加下减进行变换．【详解】解：将函数23y x =的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，可得()2324y x =-+，故选D ．4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点M 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（）A.1米B.2米C.3米D.4米【答案】B 【解析】【分析】过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，由垂径定理得到4AE BE ==，再利用勾股定理计算出OE ，然后即可计算出DE 的长．【详解】解：过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，∴11===8=422AE BE AB ⨯，在Rt AEO △中，3OE ===，∴532(m)ED OD OE =-=-=，∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m ．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键．5.关于二次函数()224y x =+-，下列说法正确的是（）A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是()24-，C.该函数的最大值是4-D.当2x ≥-时，y 随x 的增大而增大【答案】D 【解析】【分析】本题考查了()2y a x h k =-+的图象性质，根据顶点坐标为()h k ，，对称轴x h =，开口方向，进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A 、因为()224y x =+-中的10a =>，函数图象的开口向上，故该选项是错误的；B 、因为()224y x =+-，所以函数图象的顶点坐标是()24--，，故该选项是错误的；C 、因为10a =>，函数图象的开口向上，该函数的最小值是4-，故该选项是错误的；D 、因为对称轴2x =-，10a =>，函数图象的开口向上，当2x ≥-时，y 随x 的增大而增大，故该选项是正确的；故选：D6.如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，10BC =，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，与BC 的垂线CE 相交于点E ，则:BD DE 为（）A.3:2B.5:3C.4:3D.2:1【答案】A 【解析】【分析】过点D 作DF BC ⊥于点F ，由勾股定理得8AC =，再由角平分线的性质得DA DF =，进而由面积法求出3DF =，则5CD AC DA =-=，然后由勾股定理得4CF =，则6BF =，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：过点D 作DF BC ⊥于点F ，∵90A ∠=︒，6AB =，10BC =，∴DA BA ⊥，8AC ===，∵BD 平分ABC ∠，DF BC ⊥，∴DA DF =，∵ABC ABD BCD S S S =+△△△，∴111222AB AC AB DA BC DF ⋅=⋅+⋅，∴68610DF DF ⨯=+，解得：3DF =，∴3DA =，∴835CD AC DA =-=-=，∴4CF =，∴1046BF BC CF =-=-=，∵DF BC ⊥，CE BC ⊥，∴DF CE ∥，∴6342BD BF DE CF ===，即:3:2BD DE =．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键．7.小舟给出如下题目：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，点A 坐标为()1,0-，给出下列结论：①20b a +<﹔②240b ac -<；③3x =是方程20(a 0)++=≠ax bx c 的其中一个解；④30a b +>；其中正确的是()A.①B.②C.③D.④【答案】C 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0<a 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于()0,c ．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：24>0bac ∆=-时，抛物线与x 轴有2个交点；240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有1个交点；240b ac ∆=-<时，抛物线与x 轴没有交点．利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，则利用对称轴即可对①进行判断；根据判别式的意义可对②进行判断；根据抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0可对③进行判断；由20a b +=，0<a ，即可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线1x =，即12ba-=，∴20b a +=，故①错误；∵抛物线对称轴是直线1x =，抛物线与x 轴的一个交点坐标为()1,0A -，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，即抛物线抛物线与x 轴有2个交点，∴24>0b ac =- ，故②错误；∵抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，∴3x =是方程20(a 0)++=≠ax bx c 的其中一个解，故③正确；∵a<0，20a b +=，∴30a b +<，故④错误；故选：B ．8.如图，点A ，B ，C ，D 为O 上的四个点，AC 平分BAD ∠，AC 交BD 于点E ，2,3CE CD ==，则AC 的长为（）A.4B.4.5C.5D.5.5【答案】B 【解析】【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的性质与判定，方程思想，能够掌握相似三角形的性质是解决本题的关键．【详解】解：设AC x =2AC x =+，∵AC 平分BAD ∠，∴BAC CAD ∠∠=，∵CDB BAC ∠∠=（圆周角定理），∴CAD DB ∠∠=，∴ACD DCE ∽，∴CD ACCE DC =，即323x =，解得： 4.5x =，故选：B ．9.如图，已知△ABC ，O 为AC 上一点，以OB 为半径的圆经过点A ，且与BC ，OC 交于点D ，E ．设∠A =α，∠C =β（）A.若α+β=70°，则 DE 的度数为20°B.若α+β=70°，则 DE的度数为40°C.若α﹣β=70°，则 DE的度数为20° D.若α﹣β=70°，则 DE的度数为40°【答案】B 【解析】【分析】连接BE ，根据圆周角定理求出∠ABE =90°，∠AEB =90﹣α，再根据三角形外角性质得出90°﹣α=β+12θ，得到 DE 的度数为180°﹣2（α+β），再逐个判断即可．【详解】解：连接BE ，设 DE的度数为θ，则∠EBD =12θ，∵AE 为直径，∴∠ABE =90°，∵∠A =α，∴∠AEB =90﹣α，∵∠C =β，∠AEB =∠C +∠EBC =β+12θ，∴90°﹣α=β+12θ，解得：θ=180°﹣2（α+β），即 DE 的度数为180°﹣2（α+β），A 、当α+β=70°时， DE的度数是180°-140°=40°，故本选项错误；B 、当α+β=70°时， DE的度数是180°-140°=40°，故本选项正确；C 、当α-β=70°时，即α=70°+β， DE的度数是180°-2（70°+β+β）=40°-4β，故本选项错误；D 、当α-β=70°时，即α=70°+β， DE的度数是40°-4β，故本选项错误；故选：B ．．【点睛】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．10.定义平面内任意两点()()1122,,,P x y Q x y 之间的距离2121PQ d x x y y =-+-，称为这两点间的曼哈顿距离（简称为曼距）．例如，在平面直角坐标系中，点()3,2P --与点()2,2Q 之间的曼距3222549PQ d =--+--=+=，若点A 在直线122y x =-上，点B 为抛物线22y x x =+上一点，则曼距AB d 的最小值（） A.23540B.6940C.2316D.32【答案】C 【解析】【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值，根据定义表示出曼距AB d ，当A 、B 两点横坐标相等时，AB d 取得最小值，求解即可．【详解】解：由题意得：设1,22A a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2(,2)B b b b +，∴()21222AB a b b d a b =---++，当A 、B 两点横坐标相等时，AB d 取得最小值，∴()2223323224161222ABd b b b b b b ⎛⎫==---=++ ⎪⎝⎭--+，∴曼距AB d 的最小值为2316；故选：C ．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11.请写出一个开口向下并且顶点在y 轴上的二次函数表达式________．【答案】24y x =-+（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先设出二次函数解析式方程，()()20y a x h k a =++≠，再根据图像开口向下可知0a <，再根据顶点在y 轴上，有0h =，即可求解．【详解】设该二次函数的解析式为()()20y a x h k a =++≠，∵抛物线的开口向下，∴0a <，又∵顶点在y 轴上，∴0h =，∴4k =时，有：24y x =-+，故答案为：24y x =-+（答案不唯一，满足上述条件即可）12.生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b 为4米，则a 约为________米．（结果精确到一位小数）【答案】2.5【解析】【分析】本题考查了黄金分割，根据0.618ab≈，4m b =，即可求出a 的值．【详解】解： 雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，4m b =，∴0.618ab≈，2.472 2.5m a ∴≈≈，a ∴的值为2.5米；故答案为2.5．13.二次函数()()53y a x x =+-的图象如图所示，当0y >时，x 的取值范围是________．【答案】53x -<<##35x >>-【解析】【分析】本题主要考查抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与性质．先求出抛物线与x 轴的交点坐标，进而根据函数图象即可解答．【详解】解：当0y =时，()()530x x +-=，解得：1253x x =-=，∴二次函数()()53y a x x =+-的图象与x 轴的交点为(50)-，，()30，，由函数图象可得0y >的x 的取值范围为：53x -<<．故答案为：53x -<<．14.如图，在扇形EOF 中放置有三个全等的矩形方格，点O 为扇形的圆心，格点A 、B 、C 分别在扇形的1，则阴影部分的面积为________．【答案】73π【解析】【分析】连接OC ，先求出OC 长，再利用三角函数求出AOB ∠的度数，再根据阴影面积等于扇形的面积减去梯形面积即可得解．熟练掌握扇形面积公式和利用三角函数求出30AOB ∠=︒是解题的关键．【详解】解：连接OC ，1，∴OC ==，ant AOB Ð=，∴30AOB ∠=︒，∴(230π73603EOF Sπ⨯==扇形，()1232ACBO S =⨯+=梯形，∴阴影部分的面积为：73A O EOF CB S S S π=-=梯阴影扇形形故答案为：73π15.如图，矩形纸片ABCD ，点E 在边A 上，连接BE ，点F 在线段BE 上，且13EF BF =，折叠矩形纸片使点C 恰好落在点F 处，折痕为DG ，若4AB =，则折痕DG 的长为________．【答案】【解析】【分析】此题考查了矩形的折叠问题，勾股定理．正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．过点F 作MN AD ⊥于点M ，MN 交BC 于点N ，通过证明四边形ABNM 为矩形，四边形CDMN 为矩形，得出4AB MN CD ===，根据13EF BF =，推出13EF MF BF NF ==，则1,3MF NF ==，由折叠的性质得出4DF DC ==，CG FG =，即可根据勾股定理求出CN DM ===CG FG x ==，则GN x =-，根据勾股定理可得222GN NF FG +=，列出方程，求出4155x =，最后根据勾股定理可得：2DG =，即可求解．【详解】解：过点F 作MNAD ⊥于点M ，MN 交BC 于点N ，∵四边形ABCD 为矩形，∴90A ABN ∠=∠=︒，AD BC ∥，∵MN AD ⊥，∴四边形ABNM 为矩形，同理可得：四边形CDMN 为矩形，∴4AB MN CD ===，∵13EF BF =，∴13=EF BF ，∵AD BC ∥，∴13EF MF BF NF ==，∴1,3MF NF ==，∵CDG 由FDG △沿DG 折叠得到，∴4DF DC ==，CG FG =，根据勾股定理可得：CN DM ====设CG FG x ==，则GN x =，根据勾股定理可得：222GN NF FG +=，即)2223x x -+=，解得：5x =，根据勾股定理可得：2DG ===16.量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着两块工具拼成了如图1的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图（如图2）．已知点C 是量角器半圆弧的中点，点P 为三角板的直角顶点，两直角边PE 、PF 分别过点A 、B ．连结CP ，过点O 作OM CP ⊥交CP 于点M ，交AP 于点N ．若8AB =，则NB 的最小值为________；若点Q 为 BC的中点，则点P 从点Q 运动到点B 时，N 点的运动路径长为________．【答案】①.-②.22π【解析】【分析】如图，连接AC OC ，．证明点N T 在 上，且运动轨迹是 OC，过点T 作TH AB ⊥于H ．求出BT TN ，，可得结论；连接PO ，TO ，结合图形可得，点P 从点Q 运动到点B ，点Q 为 BC的中点，运动的终点时，1452POB COB ∠=∠=︒，即有9045CTN POB ∠=︒-∠=︒，则有9045OTN CTN ∠=︒-∠=︒，根据弧公式即可作答．【详解】解：当点P 在 BC上时，点N 在线段OC 的右侧，如图，连接AC OC ，．∵C 是半圆的二等分点，∴=90AOC ∠︒，即1452APC AOC ∠=∠=︒，∵OA OC =，∴AOC △是等腰直角三角形，作AOC △的外接圆T e ，连接TN ，TB ．则有圆心T 为AC 中点，∵OM PC ⊥，∴CM PM =，∴NC NP =，∴45NPC NCP ∠=∠=︒，∴18090CNP PCN CPN ∠=︒-∠-∠=︒，∴90ANC PNC ∠=∠=︒，∴点N 在T e 上，运动轨迹是 OC，过点T 作TH AB ⊥于H ．∵8AB =，∴142AO AB ==，∵AO OC =，=90AOC ∠︒，∴45OAC OCA ∠=∠=︒，AC ==，∴12TA TN TC AC ====，在Rt ATH 中，122AH OH AO ===，45TAH ∠=︒，∴45ATH TAH ∠=∠=︒，∴2AH TH ==，即6BH AB AH =-=，在Rt BHT 中，BT ===，∵BN BT TN ≥-，∴BN ≥-∴BN 的最小值为-当点P 在 AC 上时，如图，可知点N 在线段OC 的左侧，此时的BN 显然大于综上：BN 的最小值为-如图，连接PO ，TO ，∵2CTN CAN ∠=∠，2POB PAB ∠=∠，45CAN PAB CAO ∠+∠=∠=︒，∴()24590CTN PAB POB ∠=︒-∠=︒-∠，∵点P 从点Q 运动到点B ，点Q 为 BC的中点，∴终点时，1452POB COB ∠=∠=︒，∴9045CTN POB ∠=︒-∠=︒，∴9045OTN CTN ∠=︒-∠=︒，∵TA TN TC ===∴点N 在T e 上，运动轨迹长为：4522ππ3602︒⨯=︒，故答案为：-，2π2．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，弧长公式，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点N 的运动轨迹．三、解答题（本题有8小题，第17~19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共66分）17.已知线段a 、b 、c 满足::3:2:4a b c =，且211++=a b c ．（1）求a 、b 、c 的值；（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．【答案】（1）3,2,4a b c ===（2）x 【解析】【分析】本题考查了比例和比例中项，（1）设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入等式进行计算即可得；（2）根据比例中项的定义列式求解即可得掌握比例和比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即a b b c=，那么线段b 是a 和c 的比例中项”是解题的关键．【小问1详解】解：∵::3:2:4a b c =，则设3,2,4a k b k c k ===，∵211++=a b c ，∴322411k k k +⨯+=，1111k =，1k =，∴3,2,4a b c ===；【小问2详解】解：∵线段x 是线段a 、b 的比例中项，∴a x x b=，2x ab =，232x =⨯，26x =，x =或x =（舍），即x 的值．18.如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且∥OD BC ，OD 与AC 交于点E ．（1）若70B ∠=︒，求CAD ∠的度数；（2）若13,12AB AC ==，求DE 的长．【答案】（1）35︒（2）4【解析】【分析】（1）圆周角定理，得到90C ∠=︒， AC 的度数为140︒，平行得到90OEA ∠=︒，进而得到OE AC ⊥，垂径定理，得到 AD CD=，进而得到 CD 的度数为70︒，即可求出CAD ∠的度数；（2）勾股定理，求出OE 的长，OD OE -即可求出DE 的长．本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆周角定理和垂径定理，是解题的关键．【小问1详解】解：∵AB 是半圆O 的直径，70B ∠=︒，∴90C ∠=︒， AC 的度数为140︒，∵∥OD BC ，∴90OEA C ∠=∠=︒，∴OE AC ⊥，∴ AD CD=，∴ CD的度数为70︒，∴170352CAD ∠=⨯︒=︒；【小问2详解】∵13,12AB AC ==，OE AC ⊥，∴131,622OA OD AE AC ====，∴52OE ==，∴135422DE =-=．19.已知二次函数223y x x =-+，当22x -≤≤时，求函数y 的取值范围．小胡同学的解答如下：解：当2x =-时，则()()2222311y =--⨯-+=；当2x =时，则222233y =-⨯+=：所以函数y 的取值范围为311y ≤≤．小胡的解答正确吗？如果正确，请在方框内打“√”：如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程．【答案】见解析【解析】【分析】此题考查了二次函数的性质，先将该二次函数解析式化为顶点式，根据开口方向向上，求出最小值为2，再求出当2x =-时和当2x =时的函数值，即可解答．【详解】解：小胡的解答不正确，正确的解答过程如下：∵()222312y x x x =-+=-+，10a =>，∴当1x =时，该二次函数有最小值2，∵当2x =-时，则()()2222311y =--⨯-+=；当2x =时，则222233y =-⨯+=：∴当22x -≤≤时，函数y 的取值范围为211y ≤≤．20.请用无刻度的直尺在以下两个图中画出线段BC 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图①，等腰ABC V 内接于O 中，AB AC =；（2）如图②，已知四边形ABCD 为矩形，点A 、D 在圆上，AB CD 、与O 分别交于点E 、F ．【答案】（1）见详解（2）见详解【解析】【分析】本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、垂径定理、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题．（1）如图，作直线OA 即可，OA 即为所求；（2）连接AF DE 、交于点O ，连接EC BH 、交于点H ，连接OH 即可．【小问1详解】如图①，作直线OA 即可，OA 即为所求；【小问2详解】如图②，连接AF DE 、交于点O ，连接EC BH 、交于点H ，连接OH 即可，直线OH 即为所求．21.杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y （件）与销售单价x 32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件．（1）请求出y 与x 的函数关系式；（2）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w 元，①写出w 与x 的函数关系式；②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）2100y x =-+（2）①221603000w x x =-+-；②该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元．【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用、待定系数法等知识点，灵活应用这些知识解决问题并构建二次函数解决问题成为解题的关键．（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）①根据“总利润=每件产品利润×数量”即可列出函数关系式；②利用二次函数的性质求最值即可．【小问1详解】解：设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，把3236x y ==，和3432x y ==，分别代入得，36323234k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：2100k b =-⎧⎨=⎩．∴y 与x 的函数关系式为2100y x =-+．【小问2详解】解：①由题意可得()()230210021603000w x x x x =--+=-+-：，∴w 与x 的函数关系式为221603000w x x =-+-．②()2221603000240200w x x x =-+-=--+，∵20-<且对称轴为直线40x =∴抛物线开口向下，∵3038x ≤≤在对称轴左侧，即40x <时，w 随x 的增大而增大，∴当38x =时，()223840200196w =--+=最大（元）．答：该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元．22.如图1，在正方形ABCD 中，12CE DE =，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，作MN CM ⊥交边AD 于点N ．（1）当F 为BE 中点时，求证：2AM CE =﹔（2）如图2，若23EF BF =，求AN ND 的值．【答案】（1）见解析（2）13【解析】【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；（1）先证明MBC ECB ≌得出BM EC =，根据12CE DE =，以及正方形的性质即可得证；（2）根据正方形的性质可得，AB CD ∥得出FBM FEC ∽，根据已知条件设3BM a =，则2EC a =，求得4DE a =，进而求得AM ，证明AMN BCM ∽，取得AN ，进而即可求解．【小问1详解】证明：F 为BE 的中点，BF EF ∴=，四边形ABCD 为正方形，90BCE ABC ∴∠=∠=︒，CF BF EF ∴==，FBC FCB ∴∠=∠，BC CB = ，MBC ECB ∴ ≌（AAS ），BM EC ∴=，AB CD = ，12CE DE =，12BM AM ∴=，2AM CE ∴=．【小问2详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ∥，∴FBM FEC ∽，∵23EF BF =，∴23EF EC BF BM ==设3BM a =，则2EC a =，∵12CE DE =，∴4DE a =，∴246CD DE EC a a a =+=+=，∴633AM AB MB CD MB a a a =-=-=-=，∵MN CM ⊥，∴90NMC ∠=︒，又∵90A MBC ∠=∠=︒，∴90AMN BMC MCB ∠=︒-∠=∠，∴AMN BCM ∽，∴AM AN BC BM =，即363a AN a a =，∴32AN a =，∴39622ND AD ND a a a =-=-=，∴AN ND 312932a a ==．23.根据以下素材，探索完成任务．绿化带灌溉车的操作方案灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗，请说理由灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针简容易造成针筒脱落．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围．【答案】任务一：()213 2.510y x =-++；任务二：灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析；任务三：在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，建议针一般打在离地面大于1.6米且小于或等于2米的高度．【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数值，二次函数的性质；任务一：待定系数法求解析式，即可求解；任务二：根据题意，求得下边缘的抛物线解析式为：21 1.610y x =-+，分别令0y =，得出抛物线与坐标轴的交点，两交点的距离，即为所求；任务三：依题意，绿化带正中间种植了行道树，即8462x --==-处种植了行道树，令6x =-，求得y 的值，与题意比较，进而得出结论．【详解】解：任务一：依题意，设上边缘水流的抛物线的函数表达式为()23 1.60.9y a x =+++，将()0,1.6代入得，1.69 2.5a =+解得：110a =-∴抛物线的表达式为：()213 2.510y x =-++任务二：∵上边缘水流的抛物线解析式为：()213 2.510y x =-++当0y =时，()213 2.5010x -++=解得：8x =-或=2（舍去），则抛物线与x 负半轴的交点坐标为()8,0-；∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．∴下边缘的抛物线解析式为：21 1.610y x =-+当0y =时，21 1.6010x -+=，解得：4x =-或4x =（舍去），则抛物线与x 负半轴的交点坐标为()4,0-；∵()484---=而路边的绿化带宽4米，∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带；任务三：上边缘水流的抛物线解析式为：()213 2.510y x =-++，∵绿化带正中间种植了行道树，即8462x --==-处种植了行道树当6x =-时，()2163 2.5 1.610y =--++=米而园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面1.5米到2米的高度（包含端点）．则在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，建议针一般打在离地面大于1.6米且小于或等于2米的高度．24.如图1，ABC V 是O 内接三角形，将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AED △，其中点D 在圆上，点E 在线段AC 上．（1）求证：DE DC =﹔（2）如图2，过点B 作BF CD ∥分别交AC 、AD 于点M 、N ，交O 于点F ，连接AF ，求证：AN DE AF BM ⋅=⋅；（3）在（2）的条件下，若13AB AC =时，求BF BC 的值；【答案】（1）见解析（2）见解析（3）79【解析】【分析】（1）旋转的性质，得到,BC DE BAC EAD =∠=，根据弧，弦，角的关系，得到BC CD =，即可得证；（2）证明BCM AFM ∽，进而得到BC BM AF AM=，旋转得到,BC DE AC AD ==，根据BF CD ∥，推出AM AN =，等量代换，得到DE BM AF AN=，即可得证；（3）等量代换，得到13AB AD =，过点E 作,EP AB EQ AD ⊥⊥，角平分线的性质得到EP EQ =，等积法得到13AB E DE AD B ==，连接DF ，推出BC DF =，AB AF =，将ABD △绕点A 旋转至AB 与AF 重合得到AFD ' ，证明,,D F D '三点共线，设BE x =，则3DE x =，进而得到3BC DE DF x ===，推出7DD DF FD DF BD x ''=+=+=，证明BAF DAD ' ∽，得到13AB BF AD DD =='，得到1733BF DD x '==，再进行计算即可．【小问1详解】证明：∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AED △，∴,BC DE BAC EAD =∠=，∴ BC CD =，∴BC CD =，∴DE DC =；【小问2详解】证明：∵ AB AB =，∴BCM AFM ∠=∠，∵BMC AMF ∠=∠，∴BCM AFM ∽，∴BC BM AF AM =，∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AED △，∴,BC DE AC AD ==，∵BF CD ∥，∴AMN ACD ∽，∴AM AN AC AD =，∴AM AN =，∴DE BM AF AN =，∴AN DE AF BM ⋅=⋅；【小问3详解】∵13AB AC =，AC AD =，∴13AB AD =，ACD ADC ∠=∠，∴ AC AD =，∵ACB ADE∠=∠∴延长DE 必经过点B ，过点E 作,EP AB EQ AD ⊥⊥，∵BAC DAE ∠=∠，∴EP EQ =，∴1212ABE ADE AB EP S BE S DE AD EQ ⋅==⋅ （同高三角形）∴13AB E DE AD B ==，连接DF ，∵BF CD ∥，∴BDC DBF ∠=∠，∴ BCDF =，∴ ,BC DF AC BC AD DF=-=-，∴ AB AF =，∴AB AF =，将ABD △绕点A 旋转至AB 与AF 重合得到AFD ' ，则：ABD AFD '∠=∠，D F BD '=，DAD BAF '∠=∠，∵180ABD AFD ∠+∠=︒，∴180AFD AFD '∠+∠=︒，∴,,D F D '三点共线，∵13BE DE =，∴设BE x =，则3DE x =，∴3BC DE DF x ===，4BD BE DE x =+=，∴7DD DF FD DF BD x ''=+=+=，∵DAD BAF '∠=∠，ABF ADF ∠=∠，∴BAF DAD ' ∽，∴13AB BF AD DD =='，∴1733BF DD x '==，∴77339x BF BC x ==．【点睛】本题考查旋转的性质，圆周角定理，弧，弦，角的关系，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，进行线段和角的转化．。

河北省石家庄市2024-2025学年上学期九年级数学A 期中测试题一、单选题1．关于x 的方程2320ax x -+=是一元二次方程，则（）A ．0a >B ．0a ≠C ．1a =D ．0a ≥2．若23ab =，则下列比例式正确的是（）A ．23a b =B ．23a b=C ．23b a =D ．23a b=3．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若将三边长度都扩大5倍，则锐角A 的三角函数值（）A ．不变B ．扩大5倍C ．扩大25倍D ．缩小为原来的154．2024年河北某地9月2日至9月8日的最高气温（C ︒）如下表：日期2日3日4日5日6日7日8日最高气温/C︒27322728292929则这7天最高气温的中位数是（）A ．27C︒B ．28C︒C ．29C︒D ．32C︒5．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（）A ．①组和②组的两个三角形都相似B ．①组和②组的两个三角形都不相似C ．只有①组的两个三角形相似D ．只有②组的两个三角形相似6．某同学用计算器计算30个数据的平均数时，错将其中一个数据108错输成18，则由此求出的平均数与实际平均数的差是（）A ．3.6B ．3C ．0.6D ．3-7．在平面直角坐标系中，若一次函数2y x m =-+的图象如图所示，则关于x 的方程220mx x ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根8．如图，在67⨯的网格中，每个小正方形的边长为1，若点A ，B ，C 都在格点上，则tan ABC ∠的值为（）A ．23B ．13C ．13D ．29．有一个正数a ，a 与1的和乘以a 与1的差仍得a ，则a =（）A ．12B ．152C ．12D ．152或1210．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时AB CD ∥），相关数据如图（单位：cm ）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B ，D 之间的距离减少了（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm11．某同学进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m ），此时这组成绩的平均数是20m ，方差是21s 若第10次投掷标枪的落点恰好在20m 线上，且投掷结束后这组成绩的方差是22s ，则正确的是（）A ．2212s s =B ．2212s s <C ．2212s s >D ．无法比较21s 与22s 的大小12．题目：“在平面直角坐标系中，Rt OAB 的顶点A ，B 的坐标分别为(0,4)，点A 绕着点O 顺时针旋转α︒（其中0180α≤≤）到点P ，连接PO 、PB ．当POB V 为直角三角形时，求点P 到x 轴的距离d 的值．”对于其答案，甲答：4d =，乙答：2=d ，丙答：d =，则正确的是（）A ．只有甲答的对B ．甲、丙答案合在一起才完整C ．甲、乙答案合在一起才完整D ．三人答案合在一起才完整二、填空题13．一元二次方程()23x x +=的解是．14．嘉淇本学期的数学测试成绩如表，如果规定平时成绩、期中成绩、期末成绩按照1:2:2计算得出总成绩，则本学期嘉淇的数学总成绩为分．测试类别平时期中期末得分/分80859015．如图是一把圆规的平面示意图、OA 是支撑臂，OB 是旋转臂，已知OA OB m ==．若支撑臂与旋转臂的夹角2AOB ∠θ=，则A ，B 之间的距离为．（用含m ，θ的式子表示）16．某单位现有一块形状为三角形的建筑用地，其中90,3,5BAC AC BC ∠=︒==．现该单位要求施工方将ABC V 扩建成一个正方形用地（周围有足够的用地）、要求原来位于A 、B ，C 三个顶点的三棵树在正方形的边上，如图是施工方设计的一种方案，则扩建后的正方形用地的边长为．三、解答题17．解决下面问题．(1)解方程：2235x x =+；(2)计算：2cos 45tan30sin 60︒-︒+︒．18．已知0234a b c==≠．(1)求ca b+的值；(2)若9a b c -+=，求32a b c -+的值．19．如图，在正方形网格中，111A B C △与ABC V 的顶点都在格点上，并且这两个三角形是以点O 为位似中心的位似图形．(1)在正方形网格中画出点O ；（不写作法，保留作图痕迹）(2)以点A 为位似中心，在点A 的左侧直接画出与ABC V 位似的22AB C ，使ABC V 与22AB C 的位似比为1:2．20．嘉嘉、淇淇参加了跳远项目的选拔测试（满分10分），其中成绩是8分（包括8分）以上为优秀，两人试跳10次的成绩情况如下（共中统计表的部分数据缺失）：平均数/分中位数/分方差嘉嘉75.4淇淇7(1)通过计算．．求出表中缺失的数据，写出计算过程；(2)若按优秀率高的人被选拔，直接判断嘉嘉、淇淇谁会被选拔？___________；(3)若被选拔者为淇淇，请你设置一个选拔的规则（写出一种即可），并说明理由．【注意：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 】21．如图，在ABC V 中，CD AB ⊥于点D ，1226,tan 13AD BC A ===．(1)求CD 的长；(2)求ABC V 的面积．22．玩具店销售一款单个成本价为40元的小汽车玩具，每天的销售单价与销售数量之间的关系如下表：售价/元58606264销量/个24201612设这款小汽车玩具的售价为x 元/个(4070)x <<．(1)请直接．．用含x 的代数式表示每日的销售量y (单位：个)，并求当60x =时的日销售利润；(2)若设定日销售利润为（1）中所得的日销售利润，玩具店想尽快销售完该款商品，求每个小汽车的售价．23．如图，甲在楼房上的点N 处测得斜坡l 的坡底点A 的俯角为60︒，乙在楼房顶端点M 处测得斜坡l 上的点B 处的俯角为45,10m,8m AP AB ︒==，点B 到地面m 的距离为4m ．(1)求斜坡l 的坡度；(2)求点M 与点N 的高度差．24．如图，在矩形ABCD 中，AB =10AD =，直角三角板的直角顶点P 在AD 上滑动，(点P 与A ，D 不重合)，一直角边经过点C ，另一直角边与射线AB 交于点E ．(1)求证：AEP △∽DPC △；(2)当30CPD ∠=︒时，求PE 的长；(3)是否存在这样的点P ，使DPC △的周长等于AEP △周长的2倍？若存在，求出BE 的长；若不存在，请说明理由．。

省锡中实验学校2023—2024学年度第一学期初三数学期中测试一、选择题（每题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A.12B.1C.32D.32.已知O 的半径为4，3OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A.点P 在O 内B.点P 在O 上C.点P 在O 外D.不能确定3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos A 的值是（）A.12B.5C.55D.2554.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果35ACD ∠=︒，那么BAD ∠为（）A .35°B.55°C.65°D.75°5.在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（）A.40B.160oC.80 或160oD.40 或1406.在下列命题中，正确的是（）A.任何三角形有且只有一个内切圆B.三点确定一个圆C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等D.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线7.已知A ∠是锐角，且cosA =34，那么锐角A 的取值范围是（）A.030A ︒<∠<︒B.3045A ︒<∠<︒C.4560A ︒<∠<︒D.6090A ︒<∠<︒8.如图，AB 是半O 的直径，点C 是 AB 的中点，点D 为 BC 的中点，连接AD ，CE AD ⊥于点E ．若1DE =，则AE 的长为（）A.3B.22C.21+ D.322+9.如图，ABC 中660BC A =∠=︒，，点O 为ABC 的重心，连接AO BO CO 、、，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持BAC ∠的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（）A.232OA <≤B.332OA ≤≤C.323OA ≤≤ D.223OA <≤10.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，CE 平分ACB ∠，BD CE ⊥，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若30ABC ∠=︒，则BD AD >；②若=45ABC ∠︒，则4ACE BDE S S = ；③若1sin 3ABC ∠=，则ABC ABD S S =△△；④若tan ABC m ∠=，则2CE m BD =⋅．正确的有（）A.①③B.②③C.②④D.③④二、填空题（每空3分，共24分）11.已知α是锐角，4tan 5α=，则cos α=____°12.一个人从山下沿30︒角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是_____m ．13.圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝_____°．14.已知圆锥的母线长为8cm ，底面圆的半径为3cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是_____cm 2．15.如图，点O I 、分别是锐角ABC 的外心、内心，若648CAB OAC ∠=∠=︒，则BCI ∠=______°16.如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的O 的圆心重合，E 、F 分别是AD BA 、的延长线与O 的交点，则图中阴影部分的面积是_____．17.将点()3,3A -绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点'A ，当点'A 恰好落在以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆上时，点G 的坐标为________．18.如图，在四边形ABCD 中，9086BAD BCD BC CD ∠+∠=︒==，，，1sin 4BCD ∠=，连接AC BD ，，当ABD △是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为____．三、解答题（10小题，共96分）19.计算：（1）2033cos 30π-+（2）21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭20.在Rt ABC △中，90ACB A B C ∠=︒∠∠∠，、、的对边分别是a b c 、、，已知32b c =，斜边上的高3CD =（1）求tan A 的值；（2）求BD 的长．21.如图，在O 中，弦BC 垂直于半径OA ，垂足为E ，D 是优弧 BC上一点，连接BD ，AD ，OC ，30ADB ∠=︒．（1）求AOC ∠的度数；（2）若弦18cm BC =，求图中劣弧 BC 的长．（结果保留π）22.如图，在矩形ABCD 中，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，将CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ．（1）求AP 的长；（2）求tan DCP ∠的值．23.如图，在等边ABC 中，点M N 、分别在AB AC 、边上．（1）在BC 边上求作点P ，使60MPN ∠=︒；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若95AB BM ==，，设CN a =，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则=a ．24.如图，点C 在O 的直径AB 的延长线上，点D 是O 上一点，过C 作CE AC ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接,CD DB ，且CD CE =．（1）求证：直线DC 与O 相切；（2）若15AB =，1tan 2BDC ∠=，求CE 的长．25.如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知 2.5BC =米，37MBC ∠=︒．从水平地面点D 处看点C ，仰角=45ADC ∠︒，从点E 处看点B ，仰角53AEB ∠=︒．且 4.5DE =米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）26.如图，在矩形ABCD 中，6cm 12cm AB BC ==，，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当2t =时，PQ =；（2）在运动过程中，当45DPQ ∠=︒时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．27.已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（90308B ACB AB ∠=︒∠=︒=，，）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x 轴上，边AB 恰好与O 相切于点D ，则切线长AD =；（2）如图2，将三角板的顶点A 在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在x 轴的正半轴上，若BC 边与O 相切于点M ，求点B 的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A 继续在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在O 上且在y 轴右侧，BC 边与y 轴的正半轴交于点G ，与O 的另一交点为H ，若1PG =，求GH 的长．28.在平面直角坐标系xOy 中，对已知的点A ，B ，给出如下定义：若点A 恰好在以BP 为直径的圆上，则称点P 为点A 关于点B 的“联络点”．（1）点A 的坐标为()2,1-，则在点()11,2P ，21,12P ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，()32,1P -中，O 关于点A 的“联络点”是______（填字母）；（2）直线112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，若点C 关于点D 的“联络点”P 满足1tan 2CPD ∠=，求点P 的坐标；（3）T e 的圆心在y ，点M 为y 轴上的动点，点N 的坐标为()4,0，在T e 上存在点M 关于点N 的“联络点”P ，且PMN 为等腰三角形，直接写出点T 的纵坐标t 的取值范围．省锡中实验学校2023—2024学年度第一学期初三数学期中测试一、选择题（每题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A.12B.1C.2D.【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【详解】根据特殊角的三角函数值可知：sin60°=32故选：C ．【点睛】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．2.已知O 的半径为4，3OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A.点P 在O 内B.点P 在O 上C.点P 在O 外D.不能确定【答案】A 【解析】【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（r 为圆半径，d 为点到圆心距离），当r d >，点在圆内；当r d <，点在圆内；当r d =，点在圆上；据此作答即可．【详解】解：∵O 的半径为4，3OP =，∴43>∴点P 在O 内故选：A3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos A 的值是（）A.12B.C.55D.255【答案】C 【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边AB 的值，在利用余弦的定义直接计算即可．【详解】解：在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，∴222125AB AC BC =+=+=,∴15cos 55AC A AB ===，故选：C ．【点睛】本题主要考查直角三角形中余弦值的计算，准确应用余弦定义是解题的关键．4.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果35ACD ∠=︒，那么BAD ∠为（）A.35°B.55°C.65°D.75°【答案】B 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，连接BD ，先利用直径所对的圆周角是直角可得90ADB ∠=︒，再利用同弧所对的圆周角相等可得35ABD ∠=︒，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．【详解】解：连接BD AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，35ACD ∠=︒ ，35ACD ABD ∴∠=∠=︒，9055BAD ABD ∴∠=︒-∠=︒，故选：B ．5.在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（）A .40B.160oC.80 或160oD.40 或140【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，分类讨论,根据圆周角定理计算即可．【详解】解：当点C在优弧AB上时，由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB=40°，当点C在劣弧AB上时，∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形，∴∠AC′B=180°-∠ACB=140°，∴弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°，故选D．【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．6.在下列命题中，正确的是（）A.任何三角形有且只有一个内切圆B.三点确定一个圆C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等D.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线【答案】A【解析】【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心，圆与切线的判定，熟练运用确定圆的条件的性质是本题的关键．【详解】A、任何三角形有且只有一个内切圆，则A正确；B、不共线的三点确定一个圆，则B错误；C、三角形内心到三边的距离相等，则C错误；D、过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线，则D错误．故选A7.已知A ∠是锐角，且cosA =34，那么锐角A 的取值范围是（）A.030A ︒<∠<︒B.3045A ︒<∠<︒C.4560A ︒<∠<︒D.6090A ︒<∠<︒【答案】B 【解析】【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出cos30︒，cos 45︒及cos60︒的近似值，然后得出结论即可．【详解】解：3cos300.92︒=≈ ，2cos 450.72︒=≈，1cos 600.52︒==，又∵解：3cos300.92︒=≈ ，2cos 450.72︒=≈，1cos 600.52︒==，又∵53c 4os 0.7A ∠==，余弦函数随角增大而减小，∴133242<<3045A ∴︒<∠<︒．故选：B ．8.如图，AB 是半O 的直径，点C 是 AB 的中点，点D 为 BC 的中点，连接AD ，CE AD ⊥于点E ．若1DE =，则AE 的长为（）A.3B.22C.21+ D.322+【答案】C 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得ET EC =，连接CT ，证明DCE △和ETC △是等腰直角三角形，求出2TA TC ==，可得结论．【详解】解：如图，连接AC ，BC 、CD ．∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵ AC BC=，∴AC CB =．∴45CAB ABC ∠=∠=︒．∵ CDDB =，∴122.52CAD DAB BAC ∠=∠==︒∠．∵ AC AC =，∴45∠=∠=︒ADC ABC ．∵CE DE ⊥，∴90CED ∠=︒．∴45ECD EDC ∠=∠=︒．∴1EC DE ==，在EA 上取一点T ，使得1ET EC ==，连接CT ，∴2CT =．∵45ETC TAC ACT ∠=︒=∠+∠，∴22.5TAC TCA ∠=∠=︒．∴2AT TC ==，∴21AE AT TE =+=+．故选：C ．9.如图，ABC 中660BC A =∠=︒，，点O 为ABC 的重心，连接AO BO CO 、、，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持BAC ∠的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（）A.232OA <≤B.32OA ≤≤C.323OA ≤≤D.223OA <≤【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形的重心，等边三角形的判定与性质，作ABC 的外接圆O '，延长AO 交BC 于D ，因此点A 在 BAC上运动，由三角形重心的性质得到D 是BC 的中点，当AD BC ⊥时，AD 长最大，求出3363322AD BC ==⨯=，推出333AD <≤，得到2233333AO ⨯<≤⨯，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，作ABC 的外接圆O '，延长AO 交BC 于D ，，BAC ∠ 的大小不变，∴点A 在 BAC 上运动（不与B C 、重合），O 是ABC 的重心，D ∴是BC 的中点，当AD BC ⊥时，AD 长最大，AD ∴垂直平分BC ，AB AC ∴=，60BAC ∠=︒ ，ABC ∴ 是等边三角形，3363322AD BC ∴===，A 不与BC 、重合，12BC AD ∴<，333AD ∴<≤O 是ABC 的重心，23AO AD ∴=，2233333AO ∴⨯<≤⨯，223AO ∴<≤，故选：D ．10.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，CE 平分ACB ∠，BD CE ⊥，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若30ABC ∠=︒，则BD AD >；②若=45ABC ∠︒，则4ACE BDE S S = ；③若1sin 3ABC ∠=，则ABC ABD S S =△△；④若tan ABC m ∠=，则2CE m BD =⋅．正确的有（）A.①③B.②③C.②④D.③④【答案】D【解析】【分析】①延长BD ，CA 交于点G ，证明BD DG =，根据直角三角形斜边中线的性质得AD BD =，可作判断；②如图2，过点E 作EF BC ⊥于F ，设AE x =，则,2BF EF x BE ===，2AB AC x x ==，证明△BDE ∽△CAE ，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可作判断；③根据1sin 3EF AC ABC BE BC ∠===，设,3,EF a BE a ==，则AE EF a ==，证明Rt Rt ACE FCE ≌，得2AC CF a ==，根据三角形面积公式进行计算可作判断；④延长,BD CA 交于点G ，证明AEC AGB ∽，列比例式，并结合三角函数可作判断．【详解】①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，∵30,90ABC BAC ∠=︒∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∵CE 平分ACB ∠，∴30ACD BCD ∠=∠=︒，在Rt BDC 中，90,30BDC BCD ︒︒∠=∠=，∴60DBC ∠=︒，∴ GBC 是等边三角形，∵CD BG ⊥，∴BD DG =，Rt BAG 中，12AD BG BD ==，故①错误；②如图2，过点E 作EF BC ⊥于F ，∵CE 平分ACB ∠，90BAC ∠=︒，∴AE EF =，∵90,45BAC ABC ∠=︒∠=︒，∴AB AC =，同理得BEF △是等腰直角三角形，∴BF EF =，设AE x =，则,2BF EF x BE x ===，2AB AC x ==，∴()22222422CE AE AC x x x x =+=+++，∵DEB AEC ∠=∠，90BDE EAC ∠=∠=︒，∴BDE CAE ∽△△，∴222(422)()222ACE BDES CE x S BE x ∆∆+⋅===+，∴(22)ACE BDE S S =+ ，故②错误；③如图3，过点E 作EF BC ⊥于F ，∵1sin 3EF AC ABC BE BC ∠===，设,3,EF a BE a ==，则AE EF a ==，∴.22BF a =，∵90,EAC CFE CE CE ∠=∠=︒=，AE EF =，∴Rt Rt (HL)ACE FCE ≌，∴AC CF =，∵222AB AC BC +=，∴()()22232a a AC a AC++=+∴2AC CF a ==．延长,BD CA 交于点G ，∵,GCD BCD CD BG ∠=∠⊥，∴CBD G ∠=∠，∴32,CG CB a BD DG ===，∴22AG a =，∴21112422222ABD ABG S S a a a =⋅=⨯⨯⨯= ，2124222ABC S a a a =⋅⋅= ，∴ABC ABD S S =△△．故③正确；④如图4，延长,BD CA 交于点G ，∵90,BDE CAE DEB AEC ∠=∠=︒∠=∠，∴ACE DBE ∠=∠，∵90EAC BAG ︒∠=∠=，∴AEC AGB ∽，∴CE AC BG AB=，由③知：2BG BD =，∵tan AC ABC m AB ∠==，∴2CE m BD=，∴2CE m BD =⋅．故④正确；本题正确的结论有：③④．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角函数，三角形相似的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确作辅助线．二、填空题（每空3分，共24分）11.已知α是锐角，4tan 5α=，则cos α=____°【答案】54141【解析】【分析】此题考查了求锐角的三角函数值．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．【详解】如图：由a 4tan 5b α==，设45a x x ==，b ，则c ==，故5b cos c x α===12.一个人从山下沿30︒角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是_____m ．【答案】25【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，根据含30︒角所对的直角边等于斜边的一半计算即可求解，掌握含30︒角的直角三角形的性质是解题的关键.【详解】解：根据题意可得，山的高度15025m 2=⨯=，故答案为：25．13.圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝_____°．【答案】120【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补，求出∠A 与∠B ，∠C 的度数即可得出答案．【详解】解：设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，根据圆内接四边形对角互补有2x+7x ＝180°，解得，x ＝20°，∴∠B ＝3x ＝60°，∴∠D ＝180°﹣∠B ＝120°，故答案为：120．【点睛】此题主要考查了圆内接四边形对角互补的性质，根据已知得出，∠A+∠C=3x+7x=180°是解题关键．14.已知圆锥的母线长为8cm ，底面圆的半径为3cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是_____cm 2．【答案】24π【解析】【分析】先求出底面周长，再根据公式求解即可．【详解】解：底面半径为3cm ，则底面周长=6πcm ，∴侧面面积=12×6π×8=24πcm 2．故答案为：24π．【点睛】此题考查了扇形面积计算公式，圆的周长计算公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．15.如图，点O I 、分别是锐角ABC 的外心、内心，若648CAB OAC ∠=∠=︒，则BCI ∠=______°【答案】25【解析】【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角，也考查了三角形外心的性质和圆周角定理，连接OC ，先计算出8OAC ∠=︒，再根据三角形外心的性质得到OA OC =，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出164AOC ∠=︒，接着根据圆周角定理得到82ABC ∠=︒，则利用三角形内角和可计算出50∠=°ACB ，然后根据三角形内心的性质得到BCI ∠的度数．【详解】解：如图，连接OC ，，648CAB OAC ∠=∠=︒ ，8OAC ∴∠=︒，点O 是锐角ABC 的外心，OA OC ∴=，8OCA OAC ∴∠=∠=︒，180164AOC OCA OAC ∴∠=︒-∠-∠=︒，1822ABC AOC ∴∠=∠=︒，18050ACB CAB ABC ∴∠=︒-∠-∠=︒，点I 是锐角ABC 的内心，1252BCI ACB ∴∠=∠=︒，故答案为：25．16.如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的O 的圆心重合，E 、F 分别是AD BA 、的延长线与O 的交点，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】3π-【解析】【分析】本题主要考查了圆面积的计算、正方形的性质、全等形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等图形成为解题的关键．如图：延长DC CB ，交⊙O 于M ，N ，连接OF ，过点O 作OH AB ⊥于H ，再根据垂径定理、勾股定理、三角形的面积公式可得31DAF S =- ，然后再根据阴影部分的面积()14O ADF ABCD S S S -- 正方形即可解答．【详解】解：如图：延长DC CB ，交⊙O 于M ，N ，连接OF ，过点O 作OH AB ⊥于H ．在Rt OFH △中，2222213F O O H F H =--,∵112AH BH AB ===，∴31AF FH AH =-=-∴()112313122DAF S AD AF =⋅=⨯⨯-=- ，∴图中阴影部分的面积()()()21122231344O ADF ABCD S S S ππ=--=⋅-⨯--=- 正方形．故答案为3π-．17.将点()3,3A -绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点'A ，当点'A 恰好落在以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆上时，点G 的坐标为________．【答案】()32,0-+或()32,0--##()32,0--或()32,0-+【解析】【分析】设点G 的坐标为(,0)a ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，过点A '作A N x '⊥轴交于点N ，由全等三角形求出点A '坐标，由点A '在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G 的坐标．【详解】设点G 的坐标为(,0)a ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，过点A '作A N x '⊥轴交于点N ，如图所示：∵()3,3A -，∴3AM =，3GM a =+，∵点A 绕点G 顺时针旋转90°后得到点A '，∴AG A G '=，90AGA '∠=︒，∴90AGM NGA '∠+∠=︒，∵AM x ⊥轴，A N x '⊥轴，∴90AMG GNA '∠=∠=︒，∴90AGM MAG ∠+∠=︒，∴MAG NGA '∠=∠，在AMG 与GNA ' 中，AMG GNA MAG NGA AG GA ∠=∠⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩，∴()AMG GNA AAS '≅ ，∴3GN AM ==，3A M GM a '==+，∴3ON a =+，∴(3,3)A a a '++，在Rt ONA ' 中，由勾股定理得：222(3)(3)2a a +++=，解得：32a =-+或32a =--，∴()32,0M -+或()32,0M --．故答案为：()32,0-+，()32,0--．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．18.如图，在四边形ABCD 中，9086BAD BCD BC CD ∠+∠=︒==，，，1sin 4BCD ∠=，连接AC BD ，，当ABD △是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为____．【答案】213或7373213【解析】【分析】分BD BA =和BD AD =两种情况进行解答；①当BD BA =时，如图1：过点B 作BH AD ⊥于H ，过点C 作CE CD ⊥，在CE 上截取142CE BC ==，连接BE ，先证BAD BCE ∽ 可得ABD CBE BDA BEC ∠=∠∠=∠，，进而证ABC 和DBE 全等，即AC DE =，然后在Rt DCE V 中，利用勾股定理求出DE 即可；②当BD AD =时，如图2：过点D 作DN AB ⊥于N ，过点C 作CM CD ⊥，在CM 上截取216CM BC ==，连接BM ，先证ABD CBM ∽ 可得ABD CBM ∠=∠，进而证ABC DBM ∽ 可得12BC DM AB BD ==：：：，则12BC DM =，然后在Rt DCM 中利用勾股定理求出DM 即可．【详解】解：∵ABD △是以BD 为腰的等腰三角形，∴有以下两种情况：①当BD BA =时，如图1：过点B 作BH AD ⊥于H ，过点C 作CE CD ⊥，在CE 上截取142CE BC ==，连接BE ，∵BD BA BH AD =⊥，，∴290BAD BDA AD AH BAD ABH ∠=∠=∠+∠=︒，，，∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴ABH BCD ∠=∠，∵1sin 4BCD ∠=，∴1sin 4AH ABH AB ∠==,∴42AB AH AD ==，∴12AD AB =：：，∵142CE BC ==，∴12BC CE =：：，∴AD AB BC CE =：：，∵CE CD ⊥，∴90BCE BCD ∠+∠=︒．∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴BAD BCE ∠=∠，又∵AD AB BC CE =：：，∴BAD BCE ∽ ，∴ABD CBE BDA BEC ∠=∠∠=∠，，∴BDA BEC BDA BCE ∠=∠=∠=∠，∴8BC BE ==，∵ABD CBE ∠=∠，∴ABD DBC CBE DBC ∠+∠=∠+∠，即ABC DBE ∠=∠，在ABC 和DBE 中，,,BD BA ABC DBE BC BE =∠=∠=,∴()SAS ABC DBE ≌，∴AC DE =，在Rt DCE V 中，64CD CE ==，，由勾股定理得：22213DE CD CE =+=；即213AC =②当BD AD =时，如图2：过点D 作DN AB ⊥于N ，过点C 作CM CD ⊥，在CM 上截取216CM BC ==，连接BM ，∵BD AD DN AB =⊥，，∴290DAB DBA AB AN ADN BAD ∠=∠=∠+∠=︒，，，又∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴ADN BCD ∠=∠，∵1sin 4BCD ∠=，∴1sin 4AN ADN AD ∠==,∴42AD AN AB ==，∴12AB AD =：：，∵216CM BC ==，∴12BC CM =：：，∴AB AD BC CM =：：，∵CM CD ⊥，∴90BCM BCD ∠+∠=︒，又∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴BAD BCM ∠=∠，又∵AB AD BC CM =：：，∴ABD CBM ∽ ，∴ABD CBM ∠=∠，∴ABD CBM DAB BCM ∠=∠=∠=∠，∴216BM CM BC ===，∵ABD CBM ∠=∠，∴ABD DBC CBM DBC ∠+∠=∠+∠，即ABC DBM ∠=∠，∵1212AB BD BC BM ==：：，：：，∴AB BD BC BM =：：，∴ABC DBM ∽ ，∴12BC DM AB BD ==：：：，∴12BC DM =在Rt DCM 中，616CD CM ==，，由勾股定理得：DM ==，∴12BC DM ==综上所述：AC 的长为故答案为或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形和相似三角形以及分类讨论思想的应用是解题的关键和难点．三、解答题（10小题，共96分）19.计算：（1）20cos 30π-+（2）21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】（1）72（2）8【解析】【分析】本题考查实数的运算，掌握负整数指数幂、零指数幂的性质并牢记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．（1）将01π=，cos302= 代入原式，运算结果即可．（2）将tan 451︒=代入原式，运算结果即可．【小问1详解】解：20cos 30π-+312=-+72=【小问2详解】解：21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭415=-+8=20.在Rt ABC △中，90ACB A B C ∠=︒∠∠∠，、、的对边分别是a b c 、、，已知32b c =，斜边上的高CD =（1）求tan A 的值；（2）求BD 的长．【答案】（1）2（2）152【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知解直角三角形的方法是解题的关键．（1）先求出23b c =，进而利用勾股定理求出53BC c =，再根据正切的定义可得答案；（2）先解Rt ADC 得到2155AD =，再解Rt ABC △，得到2cos 3A =，则可解Rt ADC ，得到3155AC =，进而求出91510AB =，则152BD AB AD =-==．【小问1详解】解：在Rt ABC △中，9032ACB b c =︒=∠，，∴23b c =，∴2253BC AB AC c =-=，∴5tan 2BC A AC ==；【小问2详解】解：在Rt ADC 中，5tan 2CD A AD ==，∴2155AD =，在Rt ABC △中，2cos 3AC A AB ==，∴在Rt ADC 中，315cos 5AD AC A ==，∴3915210AB AC ==，∴915215151052BD AB AD =-=-=．21.如图，在O 中，弦BC 垂直于半径OA ，垂足为E ，D 是优弧 BC上一点，连接BD ，AD ，OC ，30ADB ∠=︒．（1）求AOC ∠的度数；（2）若弦18cm BC =，求图中劣弧 BC 的长．（结果保留π）【答案】（1）60︒（2）43πcm【解析】【分析】（1）连接OB ，结合垂径定理得到»»AB AC =，根据“同圆或等圆中，等弧所对的圆心角为圆周角的两倍”得到AOB ∠和AOC ∠之间的关系，进而求出AOC ∠的度数；（2）要求劣弧 BC的长，需要知道圆的半径以及弧所对圆心角的度数，由垂径定理得到BE 的长，进而在Rt BOE 中利用勾股定理求出OE 的长，利用弧长公式进行计算即可解决问题．【小问1详解】解：连接OB ，∵OA BC ⊥，∴»»AB AC =，∴AOC AOB ∠=∠，由圆周角定理得，260AOB ADB ∠=∠=︒，∴60AOC AOB ∠=∠=︒．【小问2详解】解：∵OA BC ⊥，∴192BE BC ==，在Rt BOE 中，60AOB ∠=︒，∴2OB OE =，∴2239BE OB OE OE =-==，∴33cm OE =，63cm OB =．∴劣弧 BC 的长()120π6343πcm 180⨯==．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，能熟记垂径定理是解此题的关键．22.如图，在矩形ABCD 中，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，将CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ．（1）求AP 的长；（2）求tan DCP ∠的值．【答案】（1）95（2）724【解析】【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．（1）连接PB ，由四边形ABCD 是矩形，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，得出52CH =，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH BH AH ==，CH 垂直平分PB ，HPB HBP ∠=∠，证明90APB ∠=︒得出AP CH ∥，PAB BHC ∠=∠，得出3cos cos 5AP PAB BHC AB=∠=∠=，即可得出答案；（2）作PE CD ⊥于点E ，交AB 于点F ，则2EF BC ==，90BFE ∠=︒，90AFP ∠=︒，求出3cos 5AF PAB AP =∠=，4sin sin 5PF PAB BHC AP =∠=∠=，得到2725AF =，3625PF =，从而得到1425PE =，即可得出答案．【小问1详解】解：如图，连接PB ，，四边形ABCD 是矩形，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，90ABC ∴∠=︒，1322AH BH AB ===，222235222CH BH BC ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH BH AH ==，CH ∴垂直平分PB ，HPB HBP ∠=∠，1180902APB HPB HPA HBP HAP ∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，AP BP ⊥ ，CH BP ⊥，C AP H ∴∥，PAB BHC ∠=∠∴，332cos cos 552AP BH PAB BHC AB CH ∴=∠=∠===，3393555AP AB ∴==⨯=，AP ∴的长是95；【小问2详解】解：如图，作PE CD ⊥于点E ，交AB 于点F ，，90FEC ECB FBC ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形BCEF 是矩形，2EF BC ∴==，90BFE ∠=︒，90AFP ∴∠=︒，324cos sin sin 5552AF PF BC PAB PAB BHC AP AP CH ∴=∠==∠=∠===，，3392755525AF AP ∴==⨯=，4493655525PF AP ==⨯=，274832525CE BF AB AF ∴==-=-=，361422525PE EF PF =-=-=，14725tan 482425PE DCP CE ∴∠===，tan DCP ∴∠的值为724．23.如图，在等边ABC 中，点M N 、分别在AB AC 、边上．（1）在BC 边上求作点P ，使60MPN ∠=︒；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若95AB BM ==，，设CN a =，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则=a ．【答案】（1）见解析（2）8120【解析】【分析】本题考查了作图—复杂作图，等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确的作出图形．（1）以A 为圆心，AN 为半径画弧，交AB 于点D ，作DMN 的外接圆，交BC 于1P 、2P ，即可完成作图；（2）证明11BMP CP N ∽，可得11CP MB BP CN =，设1BP x =，则19CP x =-，可得59x x a -=，从而得到2950x x a +=-，由只能作出唯一的点P ，得到该方程有两个相等的实数根，由此进行计算即可得出答案．【小问1详解】解：以A 为圆心，AN 为半径画弧，交AB 于点D ，作DMN 的外接圆，交BC 于1P 、2P ，如图，1P 、2P 即为所求，，如图，连接DN ，1MP ，1NP ，2NP ，2MP ，，由作图可得：AD AN =，ABC 是等边三角形，=60B ∠︒，AB AC ∴=，AB AD AC AN ∴-=-，即BD CN =，B DNC ∴∥，60MDN B ∴∠=∠=︒，由圆周角定理可得：1260MP N MP N MDN ∠=∠=∠=︒；【小问2详解】解：如图，，160MP N ∠=︒ ，11120MPB CP N ∴∠+∠=︒，ABC 是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=︒，9BC AB ==，11120BMP MPB ∴∠+∠=︒，11BMP CP N ∴∠=∠，11BMP CP N ∴ ∽，11CPMB BP CN ∴=，设1BP x =，则19CP x =-，59xx a -∴=，259a x x ∴=-，2950x x a ∴-+=，只能作出唯一的点P ，∴该方程有两个相等的实数根，()2Δ94150a ∴=--⨯⨯=，8120a ∴=，故答案为：8120．24.如图，点C 在O 的直径AB 的延长线上，点D 是O 上一点，过C 作CE AC ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接,CD DB ，且CD CE =．（1）求证：直线DC 与O 相切；（2）若15AB =，1tan 2BDC ∠=，求CE 的长．【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）连接OD ，先根据等腰三角形的性质可得ODA A ∠=∠，CDE E ∠=∠，再根据直角三角形的性质可得90A E ∠+∠=︒，从而可得OD DC ⊥，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）连接OD ，设()0CD CE x x ==>，先求出A BDC ∠=∠，根据正切的定义可得22AC CE x ==，再在Rt COD 中，利用勾股定理求解即可得．【小问1详解】证明：如图，连接OD ，OA OD = ，ODA A ∴∠=∠，CD CE = ，CDE E ∴∠=∠，⊥ CE AC ，90A E ∴∠+∠=︒，90ODA CDE ∴∠+∠=︒，()18090ODC ODA CDE ∴∠=︒-∠+∠=︒，即OD DC ⊥，又OD 是O 的半径，∴直线DC 与O 相切．【小问2详解】解：如图，连接OD ，设()0CD CE x x ==>，15AB = ，11522OA OD AB ∴===，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90CDE BDC BDE ∴∠+∠=∠=︒，又90A E ∠+∠=︒ ，CDE E ∠=∠，A BDC ∴∠=∠，1tan 2BDC ∠= ，1tan 2CE A AC∴==，22AC CE x ∴==，1522OC AC OA x ∴=-=-，由（1）已证：OD DC ⊥，∴在Rt COD 中，222OD CD OC +=，即2221515222x x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得10x =或0x =（不符合题意，舍去），所以CE 的长为10．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、正切、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．25.如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知 2.5BC =米，37MBC ∠=︒．从水平地面点D 处看点C ，仰角=45ADC ∠︒，从点E 处看点B ，仰角53AEB ∠=︒．且 4.5DE =米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）【答案】4米【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt △BCN 中，求出CN 、BN ，在Rt △ABE 中用AB 的代数式表示AE ，再根据∠ADC =45°得出CF =DF ，列方程求解即可．【详解】解：过点C 作CN ⊥AB ，CF ⊥AD ，垂足为N 、F ，如图所示：在Rt △BCN 中，CN =BC •sin ∠MBC =2.5×35=1.5（米），BN =BC ×cos 37°=2.5×45=2（米），∵CN ⊥AB ，CF ⊥AD ，MA ⊥AD ，∴四边形AFCN 为矩形，∴CN =AF =1.5，BN +AB =CF ，在Rt △ABE 中，∵∠AEB =53°，∴∠ABE =90°-53°=37°，AE =AB •tan ∠ABE =AB ×tan 37°=34AB ，∵∠ADC =45°，∴CF =DF ，∴BN +AB =AD -AF =AE +ED -AF ，即：2+AB =34AB +4.5-1.5，解得，AB =4（米）答：匾额悬挂的高度AB 的长约为4米．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系，通过作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边，再利用各条边之间的关系，列方程求解是解决问题的常用方法．26.如图，在矩形ABCD 中，6cm 12cm AB BC ==，，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当2t =时，PQ =；（2）在运动过程中，当45DPQ ∠=︒时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．【答案】（1）42cm（2）1517-（3）12613185t <<【解析】【分析】（1）当2t =时，()2cm AP =，()4cm BQ =，()4cm BP =，再由勾股定理进行计算即可；（2）连接DP ，过Q 作QM DP ⊥于M ，过M 作MN AB ⊥于N ，过Q 作QK MN ⊥于K ，根据题意可得：cm AP t =，2cm BQ t =，()6cm BP t =-，由45DPQ ∠=︒，得出PQM 是等腰直角三角形，证明()AAS PMN MQK ≌得出PN MK =，MN QK =，设cm PN MK x ==，则()62t x t x -+=-，得出362t x -=，证明MPN DPA ∽得到1623622tt t =-+，求解即可；（3）当Q 与AD 相切于T 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，可得()()22626t t -+=，解得125t =，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足125t >；当Q 经过点D 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，可得()()()2222621226t t t -+=-+，解得61318t =-，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足61318t <-，即可得出答案．【小问1详解】解：当2t =时，()212cm AP =⨯=，()224cm BQ =⨯=，()624cm BP AB AP ∴=-=-=，()22224442cm PQ BP BQ ∴=+=+=，故答案为：42cm ；【小问2详解】解：如图，连接DP ，过Q 作QM DP ⊥于M ，过M 作MN AB ⊥于N ，过Q 作QK MN ⊥于K ，，根据题意可得：cm AP t =，2cm BQ t =，()6cm BP t ∴=-，由作图可知四边形BQKN 是矩形，BN QK ∴=，2cm BQ NK t ==，45DPQ ∠=︒ ，PQM ∴ 是等腰直角三角形，90PMQ ∴∠=︒，PM QM =，90PMN QMK KQM ∴∠=︒-∠=∠，90MNP QKM ∠=︒=∠ ，()AAS PMN MQK ∴ ≌，PN MK ∴=，MN QK =，设cm PN MK x ==，则()2cm MN NK MK t x QK =-=-=，BN QK = ，()62t x t x ∴-+=-，362t x -∴=，()36cm 2t PN -∴=，()3662cm 22t t MN t -+=-=，MPN DPA ∠=∠ ，90MNP A ∠=︒=∠，MPN DPA ∴ ∽，PN MN AP AD ∴=，即1623622t t t =-+，解得：15317t =+（舍去）或15317t =-，t ∴的值为15317-；【小问3详解】解：如图，当Q 与AD 相切于T 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，，90A B ATQ ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形ABQT 是矩形，6cm QT AB PQ ∴===，()()22626t t ∴-+=，解得：0=t （舍去）或125t =，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足125t >；如图，当Q 经过点D 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，，此时PQ DQ =，()()()2222621226t t t ∴-+=-+，解得：61318t =-或61318t =--（舍去），由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足61318t <-，综上所述，当12613185t <<-时，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点．【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及勾股定理及应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．27.已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（90308B ACB AB ∠=︒∠=︒=，，）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x 轴上，边AB 恰好与O 相切于点D ，则切线长AD =；（2）如图2，将三角板的顶点A 在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在x 轴的正半轴上，若BC 边与O 相切于点M ，求点B 的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A 继续在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在O 上且在y 轴右侧，BC 边与y 轴的正半轴交于点G ，与O 的另一交点为H ，若1PG =，求GH 的长．【答案】（1）533（2）()41,0B （3）253-或3【解析】【分析】（1）连接OD ，得出30DOA ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得AD 的长；（2）连接OM ，设线段AB 交O 于点E ，过点O 作ON AB ⊥于N ，得出四边形ONBM 是矩形，根据垂径定理以及矩形的性质得出5,3OE NE ==，在Rt NEO 中，勾股定理求得ON ，Rt OMB 中，勾股定理求得OB ，即可求得点B 的坐标；（3）分类讨论，①当G 在P 点上方时，过点O 作OF BC ⊥于点F ，连接AH ，根据90度角所对的弦是直径，得出AH 是O 的直径，进而勾股定理求得HB ，垂径定理求得HF ，在Rt HOF 中，得出OF ，在Rt GFO 中求得FG ，继而根据GH FG HF =-即可求解；②当G 点在P 点下方时，过点O 作OX HB ⊥，同一法证明点,G X 重合，进而垂径定理即可求解．【小问1详解】如图，连接OD ，∵边AB 恰好与O 相切于点D ，∴OD AB ⊥，∵9030B ACB ∠=︒∠=︒，，∴∥OD BC ，∴30DOA ∠=︒，。

首都师大附中2024—2025学年第一学期期中练习初三数学命题人：张彩萍刘宇航审核人：周素裹第Ⅰ卷（共16分）一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，OA 交于点B ，AD 切于点D ，点C 在上．若，则为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°4．平移抛物线使其顶点在原点，可以平移的方法是（）A ．向左1个单位B ．向右1个单位C ．向上1个单位D ．向下1个单位5．如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BE ，于F ，若，，则线段BE 的长为（ ）A ．4B ．C ．6D ．6．如图，AB 是的直径，弦AC ，AD 分别是的内接正六边形和内接正方形的一边．若，下2230x x +-=()212x +=-()214x +=()214x +=-()212x +=O O O 40A ∠=︒C ∠()21y x =-BF CE ⊥90CED ∠=︒2DE=O O 1AC =列结论中错误的是（）A ．的直径为2B ．连接OD ，则C ．D ．连接CD ，则7．二次函数自变量和函数值的部分对应值如下表所示．当时，y 的取值范围是，则m 的取值范围是（ ）x...-3-11...y (8)n 8…A ．B ．C ．D ．8．已知内接于，．点A 从圆周上某一点开始沿圆周运动，设点A 运动的路线长为l ，的面积为S ，S 随l 变化的图象如图所示，其中．①点A 在运动的过程中，始终有;②点M；③存在4个点A 的位置，使得．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③第Ⅱ卷（共84分）二、填空题（共16分，每题2分）9．点关于原点的对称点的坐标是______．10．若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为______．11．如图，将绕点A 逆时针旋转30°得到，点B 的对应点D 落在边BC 上，的度数为______．O OD AB⊥ 3BD CD =2AC CD=2y ax bx c =++3x m -≤≤8n y ≤≤3m ≥-31m -≤≤1m ≥-11m -≤≤ABC △O 2BC =ABC △21l l -=45BAC ∠=︒1+12S =()6,5-2x k =ABC △ADE △ADE ∠第11题图12．抛物线的顶点为，其部分图象如图所示，若，则x 的取值范围是______．第12题图13．如图，PA ，PB 分别切于点A ，B ．若的半径为1．，则的长度为______．第13题图14．小华利用网络平台帮助家乡小红销售农产品．8月份销售额为1000元，10月份销售额为1210元，求销售额平均每月的增长率．设销售额平均每月的增长率为x ，根据题意，可列方程为______．15．已知的半径为3，线段，若与线段AB 有两个交点，则点O 到直线AB 的距离d 的取值范围是______．16．对于函数（其中h 为常数，）和其图象上的一点．（1）若时，，则的取值范围是______;（2）若时，，则的取值范围是______．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：．18．已知m 是方程的根，求代数式的值．23y ax bx =++()2,A m 3y <O O 60P ∠=︒AB O 2AB =O 22y x hx =+0h <()00,x y 0x x >0y y >0x 02x x >0y y >0x 210x x +-=2310x x -+=()2143m m m --+19．如图，和都是等边三角形，B ，C ，D 共线．求证：．20．已知：如图1，P 为上一点．求作：直线PQ ，使得PQ 与相切．作法：如图2，①连接OP ;②以点P 为圆心，OP 长为半径作弧，与的一个交点为A ，作射线OA ;③以点A 为圆心，OP 长为半径作圆，交射线OA 于点Q （不与点O 重合）；④作直线PQ ．直线PQ 就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：（2）完成下面的证明．证明：连接PA ．由作法可知，∴点P 在以OQ 为直径的上．∴______①______（______②______）（填推理的依据）．∴．又∵OP 是的半径，∴PQ 是的切线（______③______）（填推理的依据）．21．关于x 的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根：（2）若方程有一根为负数，求m 的取值范围．22．如图，已知AB 为半圆O 的直径．弦BC ，AD 相交于点E ．连接AC ，点C 是的中点．若，．ABC △ADE △60ECD ∠=︒O O O AP AO AQ ==A OPQ ∠=OP PQ ⊥O O ()2210x m x m -+++=AD 6OA =30CBA ∠=︒（1）求CE 的长：（2）M 为的中点，点P 在直径AB 上，直接写出的最小值为______．23．已知二次函数的图象经过（0，3），（3，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）一次函数，当时，总有，直接写出k 的取值范围．24．如图，在中，，AB 为的直径．AC 与相交于点D ．过点D 作于点E ，CB 延长线交于点F ．（1）求证：DE 为的切线；（2）若，，求AD 的长．25．为了探究某飞机某次着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的关系，测得几组数据如下表：滑行时间x /s024681012滑行距离y /m 0112208288352400432（1）根据上述数据，在平面直角坐标系xOy 中描出表格中对应的点，并判断此次滑行的距离y 与滑行时间x 满足的是______函数关系（填“一次”或“二次”）；（2）求y 与x 的函数关系式；BDDP MP +212y ax x c =++21y kx =+2x >12y y <ABC △AB BC =O O DE BC ⊥O O 3BE =4BF =（3）飞机着陆后滑行______s 能停下来，此时滑行的距离是______m ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线，点，，是抛物线上不同的三点．（1）若，直接写出a 的值：（2）若对于任意的，都有，求a 的取值范围．27．已知在中，，CD ，BE 分别为AB ，AC 边上的高．（1）如图1，CD ，BE 交于点P ，若，求证：；（2）在线段CD 上取一点P ，使得，连接BP ，EP ．①在图2中补全图形；②用等式表示PB 与PE 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，的半径为1，MN 为的弦．对于平面内的一点P ，若点P 关于MN 的中点对称的点恰好在内，则称点P 为弦MN 的“内称点”．已知点，，．（1）以下各点中，是弦AB 的“内称点”的是______；①②③④（2）已知点D ，E 在上运动，且，若内的每一个点都能成为某一时刻弦DE 的“内称点”，求a 的取值范围；（3）点P 在上运动，若直线与x ，y 轴的交点所连线段上的每一个点都可以成为某一时刻弦CF 的“内称点”，则b 的取值范围为______．()()20y a x a c a =-+≠()12,A y ()23,B a y ()3,C t y 12y y =21t -<<-321y y y >>ABC △45ACB ∠=︒2CP DB =AD BD =2CP DB =O O O ()0,1A ()1,0B ()1,0C -130,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭211,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭()31,1P 41P ⎛++ ⎝O DE a =O O y x b =+。

2024-2025 学年第一学期期中考试九年级数学试卷说明：命题人、审题人：九年级备课组答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上。

选择题用 2B 铅笔作答，填涂答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上。

选择题用 2B 铅笔作答，填涂时要将选中项框内涂黑、涂满。

修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答。

主观题用黑色字迹的签字笔作答; 答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外。

考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中。

1、考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效。

2、全卷共 4 页，考试时间 90 分钟，满分 100 分。

一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1、如图所示的几何体，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．1 题2、在传统游戏“石头、剪子、布”中，随机出一个手势，出“石头”的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 3、不解方程，判断方程 x 2﹣4x ﹣1＝0 的根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．有两个相等实数根C ．有两个不相等实数根D ．无法确定4、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ， ，DE ＝4，则 BC 的长是（）3 题A ．8B ．10C ．11D ．125、如图，张老汉想用长为 70 米的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为 640 平方米的矩形羊圈AB 并在边 BC 上留一个 2 米宽的门（建在 EF 处，门用其他材料），设 AB 的长为 x 米，则下面所列方程正确的是（）A ．x （70﹣x ）＝640B ．x （70﹣2x ）＝640 5 题C ．x （72﹣x ）＝640D ．x （72﹣2x ）＝6406、如图，△ABC 和△A 1B 1C 1 是以点 P 为位似中心的位似图形，若 ，△ABC 的周长为 6，则△A 1B 1C 1 的周长是（ ）A ．12B ．8C ．6D ．36 题7、如图，在▱ABCD 中，点E，F 分别在边AD 和CD 上，EF∥AC，连接BE 交对角线AC 于点G，若点G 是AC 的四等分点（AG＜CG），AC＝4，则EF 的长为（）A．B．2 C．D．38、在正方形ABCD 中，AB＝4，点E 是边AD 的中点，连接BE，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在点F 处，BF 与AC交于点H，点O 是AC 的中点，则OH 的长度是（）A．B．C．4﹣27 题8 题二、填空题（本题共5 小题，每小题 3 分，共15 分）9、已知，则＝10、在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为m．11、一个不透明的箱子里有3 个球，其中2 个白球，1 个红球，它们除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同的概率为．12、如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE 平分∠BAC，分别交BD，BC 于点F，E．若AB：BC＝3：4，则13、在菱形ABCD 中，E，F 分别是AB，BC 边上的中点，G 为DE 上一点，若AB=6，∠B =∠EGF = 60 ，则DG的长为10 题12 题13 题三、解答题（本题共7 小题，其中第14 题6分，第15 题 6 分，第16 题9 分，第17 题8 分，第18 题8 分，第19 题12 分，第20 题12 分，共61 分）14、（6 分）解一元二次方程：（x+2）2 =3（x+2）；（2）x2﹣3x﹣1＝0．D．15、（6 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．（1）画出将△ABC 向左平移5 个单位，再向上平移3 个单位后的△A1B1C1；（2）以原点O 为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1 的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1 的相似比为2：1；（3）若△A1B1C1 内部任意一点P1 的坐标为（a，b），直接写出经过（2）的变化后点P1 的对应点P2 的坐标（用含a、b 的代数式表示）16、（9 分）本期开学以来，初三2015 级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解体育科目训练的效果，九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A 等：优秀；B 等：良好；C 等：及格；D 等：不及格），并将结果汇成了如图1、2 所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是；（2）图1 扇形图中D 等所在的扇形的圆心角的度数是，并把图2 条形统计图补充完整；（3）我校九年级有1800 名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为；（4）已知得A 等的同学中有一位男生，体育老师想从4 位A 等的同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．17、（8 分）济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375 个，六月份售出540 个，且从四月份到六月份月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10 元，月销售量为500 个，若在此基础上每个涨价1 元，则月销售量将减少20 个，现在既要使月销售利润达到6000 元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？18、（8 分）如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD 交于点O，AC 平分∠BAD，过点C 作CE⊥AB 交AB 的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若，BD＝2，求BE 的长（直接写出答案）3 19、（12 分）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图 1 的形状，连接 AG 、AC ，则∠ACG ＝°；【解决问题】：（2）将矩形 AQGF 绕点 A 顺时针转动，边 AF 与边 CD 交于点 M ，连接 BM ，AB ＝10，AD ＝6．①如图 2，当 BM ＝AB 时，求证：AM 平分∠DMB ；写出证明过程 ②如图 3，当点 F 落在 DC 上时，连接 BQ 交 AF 于点 O ，则 AO ＝；【迁移应用】：（3）如图4，正方形 ABCD 的边长为5 2 ，E 是 BC 边上一点（不与点 B 、C 重合），连接 AE ，将线段 AE 绕点 E 顺时针旋转 90°至 FE ，作射线 FC 交 AB 的延长线于点 G ，则 BG ＝；（4） 如图 5，在菱形 ABCD 中，∠A ＝120°，E 是 CD 边上一点（不与点 C 、D 重合），连接 BE ，将线段 BE 绕点 E顺时针旋转 120°至 FE ，作射线 FD 交 BC 的延长线于点 G ，若 BG= 6 ,则 CG=；20、（12 分）在正方形 ABCD 中，AB ＝10，AC 是对角线，点 O 是 AC 的中点，点 E 在 AC 上，连接 DE ，点 C 关于DE 的对称点是 C ′，连接 DC ′，EC ′．（1） 如图 1，若 DC ′经过点 O ，求证：；（2） 如图 2，连接 CC ′，BC ′，若∠ADC ′＝2∠CBC ′，则 CC ′的长为；并说明理由？（3） 当点 B ，C ′，E 三点共线时，直接写出 CE 的长．备用图。

2024北京北师大附中初三（上）期中数 学考生须知1．本试卷有三道大题，共10页．考试时长120分钟，满分100分． 2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，考生应将答题纸交回． 一、选择题（共8小题，共16分）1. 2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务．下列有关航天的4个图标图案中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D .2. 把抛物线2y x =−向上平移3个单位长度，则乎移后抛物线的解析式为（ ） A. ()23y x =−+ B. ()23y x =−− C. 23y x =−+D. 23=−−y x3. 将一元二次方程2810x x −+=通过配方转化为()2x a b +=的形式，下列结果中正确的是（ ） A. ()2826x −= B. ()286x −= C. ()246x −=− D. ()246x −=4. 如图，在ABC 中，80B ∠=︒，65C =︒∠，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△．当AB '落在AC 上时，BAC '∠的度数为（ ）A. 65︒B. 70︒C. 80︒D. 85︒5. 如图，已知正六边形ABCDEF 的外接圆半径为2cm ，则该正六边形的边心距是（ ）A. 1cmB. 2cm6. 如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），如果设平行于围墙的一边为x 米，那么可列方程（ ）A. ()1015xx −=B.()10152xx −= C. 110152x x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭D.()102152xx −= 7. 下面是“作ABC 的外接圆”的尺规作图方法．ABC 的外接圆O ．上述方法由，得到OA OB OC ==，从而知O 经过A ，，三点．其中获得OA OB =的依据是（ ）A. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等B. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上C. 角平分线上的点到角的两边的距离相等D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上8. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的对称轴是2x =−，该抛物线与x 轴的一个交点在点(4,0)−和点(3,0)−之间，其部分图象如图所示，下列结论：①40a b −=，②0a b c ++<，③2324b b ac +>，④若点()5,n −在二次函数的图像上，则关于x 的不等式20ax bx c n ++−>的解集是51x −<<，其中正确的是（ ）A. ①③B. ③④C. ①③④D. ①②③④二、填空题（共8小题，共16分）9. 若关于x 的一元二次方程220x x m +−=有一个根为1，则m 的值为_______． 10. 如图，点A ，B ，C 在O 上，55BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为_______︒．11. 若点()2,a ，()3,b 都在二次函数y =(x −1)2−1的图象上，则a _______b ．（填<，=或>）． 12. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下，②顶点在y 轴上．此二次函数的解析式可以是_______．13. 如图，PA PB ，是O 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA AB ，，若35OAB ∠=︒，则P ∠=________︒．14. 如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A −−，(1,2)B −，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________ .15. 无论非零实数m 取何值，抛物线()2211y mx m x =++−一定经过的定点的坐标是________．16. 如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，AB OC ⊥，P 为圆上一动点，M 为AP 的中点，连接CM ，若O 的半径为4，则CM 长的最大值是________．三、解答题（共12小题，共68分．其中第17题8分，第18题4分，第19，21，22，23，25题每小题5分，第20，24，26，27题每小题6分，第28题7分）17. 解方程：（1）210x x +−=． （2）()()3121x x x +=+18. 如图，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ，AB =（1）BD =________． （2）若D 为OC 中点，求O 的半径．19. 已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m −+++=． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）当该方程的两个实数根的和为0时，求m 的值． 20. 已知二次函数 2=23y x x −−．（1）求该二次函数的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出二次函数 2=23y x x −−的图象； （3）结合函数图象：直接写出当12x −<<时，y 的取值范围．21. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点0A ，B ，C 均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．（1）作点()01,1A −−关于原点O 的对称点A ； （2）连接AC ，AB 得ABC ，将ABC 绕点A 逆时针旋转90°得11AB C △．画出旋转后的11AB C △；（3）在（2）的条件下，点1B 的坐标是________，边AC 扫过区域的面积为________． 22. 下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明，并在括号中填推理的依据： 证明：连接DP ， ∵CP DQ = ∴________DQ = ∴PDC________．∴PQ l ∥（________）．23. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到O 点的水平距离为x （单位：m ）时，它距地面的竖直高度为y （单位：m ）．（1）经过对拱门进行测量，发现x 与y 的几组数据如下：离），并求y 与x 满足的函数关系式．（2）在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度y （单位：m ）与它到O 点的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.187.30y x h =−−+，若记原拱门的跨度为1d ，新拱门的跨度为2d ，则1d ______2d （填“>”，“=”或“<”）． 24. 如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，ACB ∠的平分线CD 交O 于点D ，过点D 作DE AB ∥，交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若60ADC ∠=︒，4BC =，求CD 的长． 25. 【项目式学习】 项目主题：车轮的形状项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】（1）探究A 组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为4cm ，其车轮最高点到地面的距离始终为______cm ；（2）探究B 组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为O ，若正方形的边长为6cm ，车轮轴心O 距离地面的最高点与最低点的高度差为______cm ；（3）探究C 组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm ，车轮轴心为O （三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O 经过的路径长．探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点A ，B ，C 为圆心，以正三角形的边长为半径作60︒圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心O 并不稳定．（4）探究D 组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心O ”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心O ”所形成的图形按上、下放置，应大致为______．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m −，()3n ,在抛物线()2<0y ax bx c a =++上，设抛物线的对称轴为x t =．（1）当5c =，m n =时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；（2）点()()00,3x n x ≠在抛物线上，若m n c <<，求t 的取值范围及0x 的取值范围．27. 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，()030BAC a α∠=︒<<︒．将射线AC 绕点A 逆时针旋转2α得到射线l ，射线l 与射线BC 的交点为M ．在射线BC 上截取MD AC =（点D 在点M 左侧），（1）如图1，当点D 与点C 重合时，此时α=_________°，ACB ∠的度数为_________°．（2）当点D 与点C 不重合时，在线段MA 上截取2ME BC =，连接DE ．依题意补全图2，用等式表示EDM ∠与BAC ∠的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，给定图形W 和点P ，若图形W 上存在两个不同的点S ，T 满足2ST PM =．其中点M 为线段ST 的中点，则称点P 是图形W 的相关点．（1）已知点(2A ，0)①在点1234113(,),(,(2,1)2222P P P P −−中，线段OA 的相关点是_______； ②若直线y x b =+上存在线段OA 的相关点，求b 的取值范围．（2）已知点(3Q −，0)，线段的长度为d ，当线段CD 在直线2x =−上运动时，如果总能在线段CD 上找到一点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的相关点，直接写出d 的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题，共16分）1. 【答案】C【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：选项A 、B 、D 不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C 能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C ． 2. 【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：把抛物线2y x =−向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为23y x =−+ 故选：C ． 3. 【答案】D【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16 【详解】解：移项得2810x x −=−，配方得22284104x x −+=−+，即2(4)6x −=． 故选：D ． 4. 【答案】B【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得B AC BAC ''∠=∠， 由三角形内角和定理可得出35B AC BAC ∠=∠=''︒，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出B AC BAC ''∠=∠， ∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒， ∴180806535BAC ∠=︒−︒−︒=︒， ∴35B AC BAC ∠=∠=''︒，∴70BAC BAC B AC ∠=∠+''∠='︒， 故选：B ． 5. 【答案】D【分析】该题主要考查了正多边形与圆，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解是解题的关键．连接OA ，作OM AB ⊥，构造出直角OAM △，且根据正六边形的性质可知30AOM ∠=︒，即可解答； 【详解】解：连接,OA OB ，作OM AB ⊥于点M ， ∵正六边形ABCDEF 的外接圆半径为2cm ， ∴正六边形的半径为2cm ， 即2cm OA =，在正六边形ABCDEF 中，360660AOB ∠=︒÷=︒， ∴30AOM ∠=︒，∴正六边形的边心距是)cos302cm 2OM OA =︒⨯=⨯=， 故选：D ．6. 【答案】B【分析】平行于围墙的一边为x 米，则垂直于围墙的一边为()1102x −米，再根据矩形的面积公式列方程即可．()10152xx −=． 故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 7. 【答案】A【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【详解】解：由作图可知直线1l 是线段AB 的垂直平分线，则OA OB =的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等， 故选：A ． 8. 【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握对称轴，最值，相应方程的根是解题关键．根据抛物线的对称轴可判断①对错；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到2434ac b a−=，即可判断③对错；抛物线的对称性可知，当0x =时，0y <，得到0c <，即可判断②对错；根据二次函数2(0)y ax bx c a =++≠和直线y n =的交点，即可判断④对错．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线22b x a=−=−， 4b a ∴=，∴40a b −=，①正确；∵抛物线的顶线坐标为(2,3)−，2434ac b a−∴=， 2124b a ac ∴+=，4b a =，234b b ac ∴+=，0a <，40b a ∴=<，∴2b 2>b ，∴2b 2+b 2+2b >b +b 2+2b ，∴3b 2+2b >b 2+3b ，∴3b 2+2b >b 2+3b =4ac ，成立，故③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在点(4,0)−和点(3,0)−之间，∴由抛物线的对称性可知，另一个交点在(1,0)−和(0,0)之间，0x ∴=时，0y <，0c ∴<，0a <，40b a ∴=<，∴0a b c ++<，②正确；∵抛物线的顶线坐标为(2,3)−，点()5,n −在二次函数的图像，∴抛物线与直线y n =有两个交点，∴交点的横坐标即为方程2ax bx c n ++=的两个实数根，∵点()5,n −在二次函数的图像，∴5−为其中一个实数根，根据函数图像对称性，对称轴2x =−，∴另一个实数根是1，∴关于x 的不等式20ax bx c n ++−>的解集是51x −<<，∴④正确，故选：D ．二、填空题（共8小题，共16分）9. 【答案】3【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 把1x =代入220x x m +−=，转化为m 的方程求解即可．【详解】解：把1x =代入220x x m +−=，得210m +−=，解得：3m =，故答案为：3．10. 【答案】110【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键．根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可．【详解】解：∵点A 、B 、C 在O 上，55BAC ∠=︒，2110BOC A ∴∠=∠=︒，故答案为：110．11. 【答案】<【分析】本题考查了二次函数2()y a x h k =−+图象的性质，掌握二次函数2()y a x h k =−+图象的性质是解题的关键．根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断,a b 的大小关系．【详解】解：∵二次函数2(,1011)y x a =−=>−，开口向上，对称轴为1x =，当x >1时，y 随x 增大而增大，又点()2,a ，()3,b 都在二次函数y =(x −1)2−1的图象上，211,312−=−=，a b ∴<，故答案为：<．12. 【答案】23y x =−+（答案不唯一）【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出0a <，0b =是解题的关键．根据二次函数的性质可得出0a <，利用二次函数图象顶点在y 轴上的特征可得出0b =，取取1a =−，0b =，c 为任何数即可得出结论．【详解】解：设二次函数的解析式为2y ax bx c =++．∵抛物线开口向下，∴0a <．∵抛物线顶点在y 轴上，∴0b =，c 为任何数，则取1a =−，0b =，3c =时，二次函数的解析式为23y x =−+．故答案为：23y x =−+（答案不唯一）．13. 【答案】70【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出110AOB ∠=︒，再根据切线的性质得到90OAP OBP ∠=∠=︒，再根据四边形内角和定理求出P ∠的度数即可．【详解】解：∵OA OB =，∴35OAB OBA ∠=∠=︒，∴180110AOB OAB OBA ∠=︒−∠−∠=︒，∵PA PB ，是O 的两条切线，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴36070P AOB OAP OBP =︒−−−=︒∠∠∠∠，故答案为：70．【点睛】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知切线的性质是解题的关键．14. 【答案】x 1＝﹣3，x 2＝1【分析】关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 交点的横坐标，由此即可得到答案．【详解】∵抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 相交于点A （﹣3，﹣6），B （1，﹣2），∴关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为x 1=﹣3，x 2=1．故答案为x 1=﹣3，x 2=1．【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 15. 【答案】(2,3)−−，()01−，【分析】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．把含m 的项合并，只有当m 的系数为0时，不管m 取何值抛物线都通过定点，可求x 、y 的对应值，确定定点坐标．【详解】解：∵()2211y mx m x =++−， ()222121y mx mx x m x x x ∴=++−=++−，∴当220x x +=时，与m 的取值无关，即0x =或2x =−时，不管m 取何值时都通过定点，当2x =−时，()422113y m m =−+−=−，当x =0时，1y =−，故不管m 取何值时都通过定点(2,3)−−或()01−，． 故答案为：(2,3)−−，()01−，．16. 【答案】2+【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，由90OMA ∠=︒得出点M 的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．【详解】解：如图，取OA 中点O '，连接O C '，O M '，OM ，∵M 为AP 的中点，∴90OMA ∠=︒， ∴122O M O A O O OA '''====， ∴当点P 在O 上移动时，AP 的中点M 的轨迹是以OA 为直径的O '，∴'CO 交O '于点M ，此时CM 的值最大，由题意得，4OA OB OC ===，122OO OA O M ''===， 在Rt O OC '中，4OC =，2OO '=，∴O C '==，∴2CM CO O M ''=+=，故答案为：2+．三、解答题（共12小题，共68分．其中第17题8分，第18题4分，第19，21，22，23，25题每小题5分，第20，24，26，27题每小题6分，第28题7分）17. 【答案】（1）112x −=，212x −−= （2）11x =−，223x = 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．（1）利用公式法求解即可；（2）移项，利用因式分解法求解即可．【小问1详解】解：∵1,1,1a b c ===−，∴122b x a −−===，则112x −+=，212x −=； 【小问2详解】解：()()3121x x x +=+()()31210x x x +−+=()()1320x x +−=∴10x +=或320x −= 则11x =−，223x =． 18. 【答案】（1）√3 （2）2【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．（1）根据垂径定理即可得到12AD BD AB ==即可得出结果； （2）连接OA ，设O 的半径为r ，在Rt AOD 中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】解：∵AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ，AB =∴12AD BD AB === 【小问2详解】 解：连接OA ，如图所示：设O 的半径为r ，即OA OC r ==， 若D 为OC 中点，1122OD OC r ∴==，由（1）知12AD BD AB ===在Rt AOD 中，由勾股定理可知222AD OA OD =−，即22212r r ⎛⎫=− ⎪⎝⎭， 解得2r =（负值舍去）， ∴O 的半径为2．19. 【答案】（1）见详解 （2）12m =− 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式．（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出10∆=>，进而即可证出：方程总有两个不相等的实数根； （2）用根与系数的关系列式求得m 的值即可．【小问1详解】证明：∵[]22(21)41()10m m m ∆=−+−⨯⨯+=>．即0∆>，∴方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：设方程的两根为a 、b ，利用根与系数的关系得：210a b m +=+=， 解得：12m =−． 20. 【答案】（1）()1,4−（2）见解析 （3）40y −≤＜【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，做题的关键是通过数形结合去解题．（1）将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答；（2）由五点作图法即可画出二次函数图象；（3）根据图象即可求得y 的范围；【小问1详解】()222314y x x x =−−=−−， ∴该二次函数的顶点坐标为()1,4−；【小问2详解】列表如下，=23y x x 的图象如图，【小问3详解】由图象可知，当1x =−时，y 取得最大值，y 的最大值为0，当1x =时，y 取得最小值，y 的最小值为-4，∴当12x −<<时，y 的范围为40y −≤＜．21. 【答案】（1）()1,1A（2）见详解 （3）()12,3B −，94π 【分析】本题主要考查对称性和旋转的性质．（1）根据一点关于原点对称点的性质即可求解；（2）结合旋转的性质即可得到旋转后的图形；（3）结合点A 的坐标和旋转的性质即可求得点1B ，利用旋转的性质和面积公式即可．【小问1详解】解：∵()01,1A −−，∴()1,1A ；【小问2详解】解：如图，【小问3详解】解：根据旋转得，13AC AC ==，12BC B C ==，∵点()1,1A ，∴点()12,3B −，∵将ABC 绕点A 逆时针旋转90°得11AB C △．∴边AC 扫过区域的面积为229019·336044AC πππ⨯=⨯=． 22. 【答案】（1）作图见解析（2）CP ，DPQ ∠，内错角相等，两直线平行【分析】本题考查的作已知直线的平行线，圆周角定理的应用，平行线的判定；（1）根据题干的作图语言逐步作图即可；（2）证明CP DQ =，可得PDC DPQ ∠=∠，结合平行线的判定可得结论．【小问1详解】解：如图，作图如下：．【小问2详解】证明：连接DP ，∵CP DQ =，∴CP DQ =，∴PDC DPQ ∠=∠．∴PQ l ∥（内错角相等，两直线平行）．23. 【答案】（1）该拱门的高度为7.2m ，跨度为12m ，()20.267.2y x =−−+（2）<【分析】本题考查了二次函数的实际应用，（1）由表格得当0x =时，0y =，当12x =时，0y =，从而可求对称轴和顶点坐标，进而可求出拱门的高度和跨度，再把解析式设为顶点式利用待定系数法即可求解；（2）先把()0,0代入()20.187.30y x h =−−+中，求出h 的值，则可求出2d ，进行比较即可． 【小问1详解】解：由表格可知抛物线经过()0,0和()12,0，∴抛物线的对称轴为直线6x =，∵当6x =，7.2y =，∴该拱门的高度为7.2m ，∵12012−=，∴跨度为12m ；设抛物线解析式为()267.2y a x =−+，把()2,4代入()267.2y a x =−+中得：()2267.24a −+=， 解得：0.2a =−，∴()20.267.2y x =−−+；【小问2详解】解：把()0,0代入()20.187.30y x h =−−+中得()200.1807.30h =−−+，解得3h =或3h =−（舍去），∴抛物线()20.187.30y x h =−−+与x 轴的另一个交点坐标为,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2m 3d =， 由（1）可得110m d =， ∵222114601009d d =>=， ∴21d d >，故答案为：<．24. 【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OD ．根据直径所对的圆周角是直角得90ACB ∠=︒，再根据角平分线得45ACD BCD ∠=∠=︒，进而得45ABD ACD ∠=∠=︒，又由45ODB OBD ∠=∠=︒，从而根据平行线的性质得45BDE OBD ︒∠=∠=，于是90ODE ODB BDE ∠=∠+∠=︒，得OD DE ⊥，根据切线的判定即可证明结论成立；（2）如图2，过点B 作BF CD ⊥于点F ，先证明BF CF =．再根据勾股定理得BF CF ==，根据直角三角形的性质得2BD BF ==【小问1详解】证明，如图1，连接OD ．AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒， CD 平分ACB ∠，45ACD BCD ∴∠=∠=︒45ABD ACD ∴∠=∠=︒OD OB =，45ODB OBD ∴∠=∠=︒， DE AB ∥，45BDE OBD ︒∴∠=∠=，90ODE ODB BDE ︒∴∠=∠+∠=， OD DE ∴⊥ OD 为O 的半径，∴直线DE 是O 的切线．【小问2详解】解：如图2，过点B 作BF CD ⊥于点F ，90BFC BFD ︒∴∠=∠=， ∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵ACB ∠的平分线CD 交O 于点D ， ∴45ACD BCD ∠=∠=︒， 45CBF ∴∠=︒，BF CF ∴=．在Rt BFC △中，4BC =，根据勾股定理，得42BF CF ==⨯= ∵60ABC ADC ∠=∠=︒，∴906030BAC ∠=︒−︒=︒， BC BC =，30CDB BAC ︒∴∠=∠=，2BD BF ∴==在Rt BFD 中，根据勾股定理，得DF ==CD CF DF ∴=+=．【点睛】本题主要考查了勾股定理、圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角、切线的判定以及平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角以及切线的判定是解题的关键．25. 【答案】8；3−；；A【分析】本题主要考查圆的综合应用，主要考查了弧长公式，正方形的性质，等边三角形的性质，理解题意并画出图形是解题的关键．（1）利用正方形的性质解答即可；（2）画出图形，找到最高点和最低点即可得到答案； （3）分别求出三部分一定的距离，然后相加即可；（4）由题意知：最高点与水平面距离不变，即可得到结论． 【详解】解：（1）圆形车轮与地面始终相切，∴车轮轴心O 到地面的距离始终等于圆的直径，圆形车轮半径为4cm ，故车轮最高点到地面的距离始终为8cm ，故答案为：8；（2）如图所示，OC 为正方形车轮的轴心O 移动的部分轨迹，点D 为车轮轴心O 的最高点，点C 为车轮轴心O 的最低点，由题意得车轮轴心O 距离地面的最低高度为AD OA ==∴车轮轴心O 距离地面的最高点与最低点的高度差为3)cm ，故答案为：3)；（3）点O 的运动轨迹为圆，以点C 为圆心，23=运动距离为2π⨯=故答案为：； （4）由题意知，当“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，故“最高点”和“最低点所形成的图案大致是”A ，故答案为：A ．26. 【答案】（1）抛物线与y 轴交点的坐标为()0,5，1t =（2）010x −<<【分析】本题考查了二次函数图像的性质；运用二次函数的增减性按要求列出相应的不等式是解题的关键．（1）将5c =代入()20y ax bx c a =++<中，可得抛物线与y 轴交点的坐标，再根据m n =可得点()1,m −与()3,n 关于抛物线的对称轴对称，即132t −+=计算即可； （2）根据m n c <<，可确定出2a >−b >3a ， 结合20a <，可得对称轴的取值范围，再利用对称轴可表示为直线032x x +=，进而可确定0x 的取值范围． 【小问1详解】解：当5c =时，抛物线：25y ax bx =++当0x = 时，5y =；∴ 抛物线与y 轴交点的坐标为：()0,5；∵m n =，∴点()1,m −与()3,n 关于抛物线的对称轴对称， ∴1312x t −+===； 【小问2详解】解：∵m n c <<，∴93a b c a b c c −+<++<，解得23a b a −<<−，∴2a >−b >3a ， 而20a <， ∴3122b a <−<，即312t <<， ∵点()3,n ，()()00,3x n x ≠在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线032x x +=， ∴033122x +<<， 解得：010x −<<，∴0x 的取值范围010x −<<．27. 【答案】（1）18︒，72°（2）补全图形见解析，2EDM BAC ∠=∠，证明见解析【分析】（1）当点D 与点C 重合时，由等腰三角形等边对等角，得到 2AMC CAM α∠=∠=，再根据直角三角形的性质可得590AMC CAM BAC α∠+∠+∠==︒，进而求出18α=︒，可求ACB ∠的度数； （2）根据题意补全图形，在CB 的延长线上截取BF BC =，连接AF ，在AF 上取点N ，使得CF CN =， 连接CN ， 证明DME ACN ≌可得EDM CAN ∠=∠，即可得到EDM ∠与BAC ∠的等量关系．【小问1详解】解：∵点D 与点C 重合，,2MD AC CAM α=∠=，∴2AMC CAM α∠=∠=，在Rt ABC △中,90ABC ∠=︒，∴90AMC MAB ∠+∠=︒，∵BAC α∠=，∴590AMC CAM BAC α∠+∠+∠==︒，∴18α=︒，∴236MAC AMC α∠=∠==︒，∴22472ACB MAC MAC a αα∠=∠+∠=+==︒；【小问2详解】解：补全图形如图；2EDM BAC ∠=∠，理由如下：如图， 在CB 的延长线上截取BF BC =，连接AF ，在AF 上取点N ，使得CF CN =， 连接CN ，∵,90BF BC ABC =∠=︒，∴AC AF =，∴22CAN BAC α∠=∠=， ∴()1180902AFC ACF CAN α∠=∠=︒−∠=︒−， ∵CF CN =，∴90CNF AFC α∠=∠=︒−，∴1802FCN AFC CNF α∠=︒−∠−∠=，∴903ACN ACF FCN α∠=∠−∠=︒−，∵22MAC BAC α∠=∠=，∴90903AMD MAC BAC α∠=︒−∠−∠=︒−，∴ACN AMD ∠=∠，∵2ME BC =，2CF CN BC ==，∴ME CN =，∵MD AC =，∴()SAS DME ACN ≌，∴22EDM CAN BAC α∠=∠==∠．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质．关键是添加辅助线构造全等三角形，找到线段的等量关系．28. 【答案】（1）①1P ，3P ；②1−b ≤≤1（2）d ≥【分析】（1）①根据新定义得出P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，以OA 为直径，()1,0为圆心作圆，在圆上或圆内的点即为所求；②根据①可得P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，作出图形，进而根据直线y x b =+上存在线段OA 的相关点，求得相切时的临界值，即可求解；（2）设点K 是直线2x =−上一点，且点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点，设()2,K k −，则以QK 为直径的圆上两点ST 为直径的圆与y 轴相切于点P ，且ST y ∥轴，当ST CP ⊥且ST PC =时，y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点P ，勾股定理求得KB 的值，进而根据对称性可得当K 点在x 轴的下方时，符合题意，即可求解．【小问1详解】解：①∵(2A ，0)，∴2OA =，∵P 是线段OA 的相关点，∵2ST PM =，若点,S T 分别与点()()0,0,2,0A 重合，则中点为()1,0，∴P 在以OA 为直径的圆上，∵,S T 是线段OA 上的点，∴P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，故答案为： 1P ，3P． ②由题意可得线段OA 的所有相关点都在以OA 为直径的圆上及其内部，如图．设这个圆的圆心是H ．(2A ，0)，∴ (1H ，0)．当直线y x b =+与H 相切，且0b >时，将直线y x b =+与x 轴的交点分别记为B ，则点B 的坐标是(b −，0)．∴ 1BH b =+．BH =，∴1b +=1b =．当直线y x b =+与H 相切，且0b <时，同理可求得1b =−．所以b 的取值范围是1−b ≤≤1．【小问2详解】解：设点K 是直线2x =−上一点，且点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点， 设()2,K k −，则以QK 为直径的圆上两点ST 为直径的圆与y 轴相切于点P ，且ST y ∥轴，如图所示，设以QK 为直径的圆，圆心是C ．则5,22k C ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴52CP = M 是ST 的中点，2ST PM =，∴SP =当ST CP ⊥且ST PC =时，y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点P ，在Rt CSM 中，52224CS CP ===，∴22QK CS ==，∴2KB ===， 根据对称性可得当K 点在x 轴的下方时，也符合题意，∴d ≥．【点睛】本题考查了几何新定义，切线的性质，垂径定理，勾股定理，理解新定义是解题的关键．。

山西省大同市平城区2023－2024（1）初三阶段性测试（数学）试题一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1.如图图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2.将方程x 2－8x ＝10化为一元次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（）A .－8、－10B .－8、10C .8、－10D .8、103.等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形和圆这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形种数是（）A .2B .3C .4D .54.已知关于x 的一元二次方程（a －5）x 2－4x －1＝0有实数根，则a 的取值范围是（）A .a ≥1B .a ＞1且a ≠5C .a ≥1且a ≠5D .a ≠55.将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（）A .y ＝－2（x ＋1）2－1B .y ＝－2（x ＋1）2＋3C .y ＝－2（x －1）2＋1D .y ＝－2（x －1）2＋36、4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（）图（1）图（2）A .第一张、第二张B .第二张、第三张C .第三张、第四张D .第四张、第一张7、如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，∠A ＝22.5°，OC ＝4，CD 的长为（）A.B.4C.D.88.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧 BC的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE 的度数为（）A.22°B.32°C.34°D.44°9、如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2，若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A.（32－2x）（20－x）＝570B.32x＋2×20x＝32×20－570C.（32－x）（20－x）＝32×20－570D.32x＋2×20x－2x2＝57010.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①ac＜0；②b2－4ac＞0；③2a－b＝0；④a－b＋c＝0，其中，正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11、若x＝2是方程x2－mx＋2＝0的根，则m＝．12、某村种的水稻前年平均每公顷产7200kg，今年平均每公顷产8450kg．设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为．'''的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若13、如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB C D∠1＝110°，则α＝．14、如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2＋bx＋c＞x ＋m解集为．15、如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA6，PB2，PC＝2，则这个等边三角形ABC 的边长为．三、解答题（本题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（每小题4分，共8分）解下列方程：（1）x2－2x－1＝0（2）（x－2）2＝2x－417、（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（－1，0），B（－4，1），C（－2，2）．（1）直接写出点B关于点C对称的点B'的坐标：；A B C；（2）请画出△ABC关于点O成中心对称的△111A B C．（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△22218、（6分）如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y＝－0.5x2＋3x＋1的一部分．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝5米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．=，∠OPB＝45°．19、（8分）如图，已知⊙O中，弦AB＝8，点P是弦AB上一点，OP32（1）求OB的长；（2）过点P作弦CD与弦AB垂直，求证：AB＝CD．20、（10分）如图，AB 为⊙O 的切线，B 为切点，过点B 作BC ⊥OA ，垂足为点E ．交于点C ，延长CO 与AB 的延长线交于点D ．（1）求证：AC 为⊙O 的切线；（2）若OC ＝2，OD ＝5，求线段AD 和AC 的长．21、（10）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？22.（12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，如图①所示，已知直角三角形ABC 中，BC ＝AC ，点E ，D 为AC 、BC 边的中点．操作探究将△ECD 以点C 为旋转中心逆时针旋转，得到△E CD ''，连接,AE BD ''．图①图②图③图④（1）如图②，判断线段AE '与BD '的数量关系与位置关系，并说明理由；（2）如图③，当B ，D '，E '三点在同一直线上时，∠E 'AC ＝20°，求旋转角的度数；（3）如图④，当旋转到某一时刻，CD BD ''⊥，延长BD '与AE '交于点F ，请判断四边形D CE F ''的形状，并说明理由；23、（13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于原点O 和点B （4，0），点A （3，m ）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）若点P为线段OA上方抛物线上的点，过点P作x轴的垂线，交OA于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△BAN为以AB为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点N的坐标．2023－2024学年第一学期九年级数学期中考试答案一、选择题12345678910D A B C D AC C A C 二、填空题11.312.7200（1＋x ）2＝845013.20°14.x ＜11或x ＞3三、解答题16.（8分）（1）x 2－2x －1＝0x 2－2x －1＋2＝2x 2－2x ＋1＝2（x －1）2＝2x －1∴x －1或x －11211x x ==+（2）（x －2）2＝2x －4（x －2）2－2x ＋4＝0X 2－4x ＋4－2x ＋4＝0X 2－6x ＋8＝0（x －2）（x －4）＝01224x x ==17.（8分）（1）（4，－1）（2）如图所示，△111A B C 为所求作的图形；（3）如图所示，△222A B C 为所求作的图形．18.（6分）（1）y ＝－0.5x 2＋3x ＋1a ＝－12b ＝3c ＝1h ＝331222b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭221413429112 5.5142242ac b k a ⎛⎫⨯-⨯- ⎪----⎝⎭=====--⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴顶点（3，5.5）答：演员弹跳离地面的最大高度为5.5米．（2）当x ＝4，代入21312y x x =-++2143412y =-⨯+⨯+1161212=-⨯++＝－8＋12＋1＝5∵5＝5∴这次表演成功了．19.（8分）（1）过O 作OH ⊥AB 90OHB OHA ∠∠∴==142AH BH AB ===45OPB ∠=∴△OHP 为等腰直角三角形设OH ＝PH ＝x在Rt △PHO 中OH 2＋PH 2＝OP 2222x x +=2x 2＝18x 2＝93x =±1233x x ==-（舍）∴OH ＝PH ＝3在Rt △DHB 中OB =5∴OB ＝5（2）过O 作OE ⊥CD ∴90OEP ∠= 190,2OEP BPC OHP CE DE CD ∠∠∠===== ∴四边形OEPH 为矩形又∵OH ＝PH∴四边形OEPH 为正方形∴OE ＝OH ＝3连接OC∴OC ＝OB ＝５在Rt △CEO 中CE =＝4∴CD ＝2CE ＝8∴AB ＝CD ＝820.（10分）（1）连接OB∵OB ，OC 为⊙O 半径∴OB ＝OC∵CB ⊥OA∴∠OED ＝∠BEO ＝90°在Rt △CED 和Rt △BED 中CO BOOE OE=⎧⎨=⎩∴Rt △CED ≌Rt △BED （HL ）COE BOE ∠∠∴=在△AOC 和△AOB 中OC OBCOE BOE AO AO∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△AOB （SAS ）90ACO ABO ∠∠∴== AC OC∴⊥∵OC 为⊙O 半径∴AC 为⊙O 的切线．（2）∵△AOC ≌△AOB∴AB ＝AC OB ＝OC ＝2∵AB 为⊙O 的切线90OBD ∠∴=在Rt △BOD 中BD ===设AB ＝AC ＝x ，则AD x+∵AC 为⊙O 的切线90ACD ∠∴=CD ＝OC ＋OD ＝2＋5＝7在Rt △ACD 中AC 2＋CD 2＝AD 22227)x x +=+224921x x +=++28=14=x =142121=2213=∴AC ＝AB 2213=∴AD ＝AB ＋BD 22152133==21.（10分）（1）解：设水果涨价了x 元，则少售出10x 千克（500－10x ）（50＋x －40）＝8750（500－10x ）（10＋x ）＝87505000＋500x －100x －10x 2＝8750－10x 2＋400x ＝3750－x 2＋40x －375＝0x 2－40x ＋275＝0（x －25）（x －15）＝0122515x x ==当x ＝25时，50＋x ＝75当x ＝15时，50＋x ＝65答：当月利润为8750元时，水果售价为75元或65元．（2）设月利润为WW ＝（500－10x ）（50＋x －40）＝（500－10x ）（10＋x ）＝5000＋500x －100x －10x 2＝－10x 2＋400x ＋5000a ＝－10b ＝400c ＝50004002022(10)b h a =-=-=⨯-∵a ＝－10开口向下∴当x ＝20时，月利润最大售价＝50＋20＝70（元）答：当售价为70元时，获得的月利润最大．22.（12分）（1）AE BD AE BD ''=⊥''∵AB ＝AC ，E 、D 为AC 、BC 中点E C CD '∴='又∵△ABC 为Rt △∠C ＝90°90E CD ACB ∠∠'∴=='即1290ACD ACD ∠∠∠∠''+=+=12∠∠∴=在△ACE '与△BCD '中12AC BC E C D C ∠∠⎪'=⎧⎪=⎨'=⎩∴△ACE '≌△BCD '（SAS ）AE BD EAC DBC∠∠'∴''∴==∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°反向延长BD '，交AE '于F45CBD ABF ∠∠'+= 45EAC ABF ∠∴∠+= ∴180()AFB EAC ABF CAB ∠∠∠∠'=-+- =180455049=--∴BF ⊥AF（2）由（1）知BD AE '⊥'，设BD '交AC 于F 90AE B ∠∴='20E AC ∠'=180902070AFE ∠'∴=--=70CFD ACE ∠∠∴'=='CD CE ''= 90E CD ∠=''45CD E ∠'∴'=180704655ACD ∠'∴=--=90=906525D CB ACD ∠∠''∴=--= ∴旋转角为25°．（3）BD CD ''⊥ 90BD C ∠'∴'= 又90D CE ∠'='90BD C D CE ∠∠∴''=='' //CE BD ''∴由（1）知BD AE '⊥'90BFE ∠'∴=∵//CE BD ''180AE C BFE ∠∠''∴+= 90AE C BFE ∠∠'∴=='又90D CE ∠''=90AE C BFE D CE ∠∠∠''''∴=== 即四边形D CE F ''为矩形又CE CD ''= ∴四边形D CE F ''为正方形．23.（13分）（1）y ＝－x 2＋bx ＋ca ＝－1设()()12y a x x x x =--设120,4x x ==代入y ＝－x （x －4）＝－x 2＋4x4222(1)24b h a =-=-=-=⨯--∴抛物线表达式：y ＝－x 2＋4x 抛物线对称轴为直线x ＝2（2）将x ＝3代入y ＝－x 2＋4x 2343y =-+⨯＝－9＋12＝3∴A 的坐标为（3，3）设OA 的解析式为y ＝kx将点A （3，3）代入3＝3kk ＝1∴OA 的解析式为y ＝x设P 的坐标为（x ，－x 2＋4x ）则Q 的坐标（x ，x ）p y QP> P PQ y QP ∴=-＝－x 2＋4x －x 23PQ y x x=-+a ＝－1b ＝33322(1)2h b a =-=-=⨯-2243944(1)4ac b k a --===⨯-∴PQ 长度的最大值为94．（3）存在，N 的坐标为(2,，（2，0），．。

数学试卷班级__________ 姓名__________学号__________ 成绩__________一、选择题 (共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．下面四个标志中是中心对称图形的是（ ）.A ．B ．C ．D ．2．方程220x x -=的根是（ ）. A ．0x =B ．2x =C ．0x =或2x =D ．0x =或2x =-3．若1(3,)A y -，2(2,)B y -，3(3,)C y 为二次函数21y x =+（）图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）. A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<4．二次函数(5)(7)y x x =-+的图象的对称轴是（）. A ．直线1x =- B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线6x =5．如图，AB 为O 直径，点C 、D 在O 上，如果70ABC ∠=︒，那么D ∠的度数为（ ）.A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．70︒6．2024年北京第一季度GDP 约为1.058万亿元，第三季度GDP 约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP 增长率为x ，则可列关于x 的方程为（ ）. A ．21.058(1) 1.167x -= B ．1.058(12) 1.167x +=C ．21.058(1) 1.167x +=D ．21.167(1)1.058x -=7．如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时 的B 、D 两点并延长，交过整点8时的切线于点P ，若切线长2PC =，则表盘的半径长为（ ）.A ．3B． C ． D．A8．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12m ，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（ ）. A 方案为一个封闭的矩形B 方案为一个等边三角形，并留一处1m 宽的门C 方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门D 方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m 宽的门A. B.C. D.二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ．10．如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为BC 延长线上一点，50A ∠=︒，则DCE ∠的度数为 ．11．抛物线256y x x =-+与y 轴的交点的坐标是 ．12．如图，PA 、PB 分别切O 于A 、B 两点，点C 为AB 上一点，过点C 作O 的切线分别交PA 、PB 于M 、N 两点，若△PMN 的周长为10，则切线长PA 等于 ．第10题图 第12题图13．已知22310a a -+=，则代数式2(3)(3)a a a -++的值为 ．14．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度．．．．是 cm ．图1 图2 第15题图15．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)-， 对称轴为直线2x =，抛物线与y 轴交点在(0,1)A 和(0,2)B 之间（不与A 、B 重合）．下列结论：①0abc >； ②93a c b +>； ③40a b +=； ④当0y >时，15x -<<； ⑤a 的取值范围为2155a -<<-． 其中正确结论有 ．（填序号）16．如图，在直角三角形ABC 中，∠A =90°，D 是AC 上一点，BD =10， AB =CD ，则BC 的最大值为 ．三、解答题（共68分，第17题8分，第18、21、25题每题4分，第19、23、24题每题5分，第20、26题6分，第22、27、28题每题7分）17．解下列方程：（1）23610x x -+=； （2）2(3)3x x x -=-．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(3,1)B -，(1,4)C -．将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90︒后得到△11A BC ， （1）请在图中画出△11A BC ； （2）线段BC 旋转过程中所扫过的面积是 （结果保留π）．19．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE ． （1）求证：△AEB ≌△ADC ； （2）连接DE ，若96ADC ∠=︒，求BED ∠的度数． 20．已知关于x 的一元二次方程22(8)40x k x k +--=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于3，求k 的取值范围． 21．已知：如图O 及O 外一点P ．求作：直线PB ，使PB 与O 相切于点B ．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B 是直线OP 上方一点）：A ，A 交O 于点B ，则直线PB 是O 的切O 于点M ；②以点的长为半径作弧，交直线，交O 于点B PB 是O 的切线． 证明：如图1，连接OB ， A 直径，90PBO =︒．（ OB ． OB 是O 的半径，∴直线PB 是O 的切线．请仔细阅读，并完成相应的任务．（1）“作法一”中的“依据”是指 ； （2）请写出“作法二”的证明过程．NQ M P22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过(0,2)A -，(2,0)B 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；（3）若一次函数y mx n =+的图象也 经过A ，B 两点，结合图象，直接写出 不等式2x bx c mx n ++<+的解集．23．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥． （1）求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；（2）若2AD =，AE =，求EC 的长．24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O 处，以点O 为原点，水平方向为x 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线2(20)y a x k =-+的一部分，山坡OA 上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD ，墙宽2BC =米，BC 与x 轴平行，点B 与点O 的水平距离为28米，竖直距离为6米．若发射石块在空中飞行的最大高度为10米． （1）求抛物线的解析式；（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙．25．如图1，线段AB 及一定点C ，P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ⊥于点Q ，已知7AB =cm ，设A 、P 两点间的距离为x cm ，A 、Q 两点间的距离为1y cm ，P 、Q 两点间的距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y 、2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：第一步：按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y 、2y 与x 的几组对应值．1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y 、2y 的图象． 解决问题：（1）在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数2y 的图象；（2）结合函数图象，解决问题：当△APQ 中有一个角为30︒时，AP 的长度约为 cm ．图1图226．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224(0)y ax a x a =-≠． （1）当1a =时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知1(M x ，1)y 和2(N x ，2)y 是抛物线上的两点．若对于15x a =，256x ，都有12y y <，求a 的取值范围．27．已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =45°，点D 在BC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，DC =BE ，连接AE ，过C 作CF ⊥AE 于F ，CF 交AB 于G ，连接DG ． （1）求证：∠AEB =∠ACF ；（2）用等式表示CG ，DG 和AE 的数量关系，并证明．28. 对于平面直角坐标系xOy 内的直线l 和点P ，若点A 关于l 作轴对称变换得到点1A ，点1A 关于点P 作中心对称变换得到点2A ，我们则称点2A 为点A 关于直线l 和点P 的“正对称点”． 已知B （-1,0），C （2,0），（1）写出B 关于y 轴和点C 的“正对称点”的坐标________；（2）已知点1C （2,m ）（102m ），存在过原点O 的直线1l ，使得点B 关于直线1l 和点1C 的“正对称点”在直线2l ：y =x+b 上，求b 的取值范围；（3）已知点H 是直线x =1上的一点，且点H 的纵坐标小于0，C （3,0），E 点在以C 为圆心1为半径的圆上，对于直线x =6上的点F （6,h ），以F 为圆心，1为直径作圆F ，若圆F 上存在点B 关于直线OH 和点E 的“正对称点”，直接写出h 的取值范围．备用图数学参考答案一、选择题1．D 2．C 3．B 4．A 5．A 6．C 7．B 8．C二、填空题9． 231y x =+ 10. 50° 11．(0,6) 12．5 13．8 14．18 15．③④⑤16. 5+ 补充说明：T15只有一个正确答案得1分，有错误答案不得分。