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数学物理方法课件：第6章 拉普拉氏变换

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《拉氏变换详解》课件

《拉氏变换详解》课件

积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用

数学物理方法1课件——第六章 拉普拉斯变换

数学物理方法1课件——第六章 拉普拉斯变换

解：按照拉普拉斯变换的定义，有
∫ ∫ ∞ sin ωt e− ptdt = 1
0
2i
∞ 0
⎡⎣e−(
p −iω
)t
− e−( p+iω)t ⎤⎦ dt =
1⎡ 1
2i ⎢⎣ p − iω
−
p
1
+ iω
⎤ ⎥⎦
=
ω p2 +ω2
sin ωt
U
ω p2 +ω2
类似地，有
∫ ∫ ∞ cosωt e− ptdt = 1
f (n) (t) U pn F ( p) − pn−1 f (0) − pn−2 f (1) (0) − ... − f (n−1) (0)
通过拉普拉斯变换，把原函数的微商运算转化为像函数的乘法 运算，而且还自动包括了原函数的初值。
例2 已知函数f(t)满足如下二阶常微分方程
d 2 f (t) + ω2 f (t) = 0
∞
∑ f (x) = cneiknx n=−∞
∫ 其中kn=nπ/l 为波数
cn
=
1 2l
l f (x)e−iknxdx
−l
¾ 实数形式的傅里叶积分变换
∞
∞
f (x) = ∫0 A(k) cos(kx)dk +∫0 B(k) sin(kx)dk
其中
∫ A(k) = 1
∞
f (x) cos(kx)dx
=
−
1
0
p
∞ tde− pt
0
=
−
1 p
⎡⎢⎣te− pt
∞ 0
−
∞ 0
e−
pt
dt
⎤ ⎥⎦

拉普拉斯变换法ppt课件

拉普拉斯变换法ppt课件

.
一些常用函数的Laplace变换表
函数，F（t） A t
Ae-at
A (eatebt) ba
Ate-at
L氏变换，f（s） A/s 1/s2
A/(s+a) A/s(s+a)
A/(s+a)(s+b)
A/(s+a)2
四、L氏变换解线性微分方程
1. 零级静脉输注 速度表达式： dX k0 kX
dt
L氏变换
s[L X(t) ]X(0)k0k[L X(t)] s
sXX(0)k0kX S
X k0 s(s k)
方程终解 Xk0(1ekt) K.
2. 静脉注射 dX kX dt
( t=0, X=X0)
s[X L (t) ]X (0 ) k[X L (t)]
sXX(0)kX
X X0 sk
XX0ekt.
sLf(t) f (0)
三、L氏变换的重要性质 ❖ L氏变换是线性变换
设 F (t) n A iF i(t) i 1
则 L F ( t) nA iL F i( t) i 1
即 代数多项式的L氏变换等于各项 变换的代数和。
❖ 微分性质
若 L F (t)f(S )
则 L F ' ( t ) s ( S ) F f ( 0 ) s F ( t ) L F ( 0 )
L(A)0estAdtSA
2. 指数函数 f（t）= e-at
L (e a)t0 e s(te a)tdt0 e (s a)tds t 1a
L(Aeat) A sa
f) t0 estdd (tf)td t0 esd t (tf)
Lddf(tt)f (0)s0est f (t)dt

《拉普拉斯变换 》课件

《拉普拉斯变换 》课件
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
REPORT
《拉普拉斯变换》 PPT课件
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
目录
CONTENTS
• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。

拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表.ppt

拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表.ppt

2.2.2 拉普拉斯变换的定义
拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变 换存在的条件： ① 当t≥0时，f(t) 分段连续，只有有限个间断点； ② 当t →∞时，f(t) 的增长速度不超过某一指数函数，即
f (t ) Meat
式中：M、a为实常数。
在复平面上，对于Res >a的所有复数s (Res表示s的实部)都 使积分式绝对收敛，故Res >a是拉普拉斯变换的定义域， a称 为收敛坐标。


1 jt -jt st Lsin t sin t e dt e e e dt 0 2j 0 1 - ( s-j ) t -( s j ) t 1 1 1 e e dt 2 2j 0 2 j s-j s j s 2
st
0
1 2 s
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(4) 指数函数
指数函数表达式：
f (t ) e at
式中：a是常数。 其拉普拉斯变换为：
Le

at

0
e e dt e
at st 0

( s a ) t
1 dt sa
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换

若：函数 f(t) 各重积分的初始值均为零，则有

(n)
1 f (t )dt n F ( s) s

注：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利 用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。
2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (5) 终值定理 若： L f (t ) F (s)
df (t ) L sF ( s) f (0) dt df (t ) 证明： df (t ) st st L e d t e df (t ) 0 dt 0 dt

拉普拉斯变换 PPT

拉普拉斯变换 PPT

F(s ) = ∫ f (t )e −st dt
0
∞
变量s叫做拉普拉斯算子。它为一复变数， 变量 叫做拉普拉斯算子。它为一复变数，即s=σ+jω。 叫做拉普拉斯算子 。
是一单位阶跃函数 时为1； 例：设f(t)是一单位阶跃函数，其定义为：t>0时为 ； t<0时为 是一单位阶跃函数，其定义为： 时为 时为 0。求此函数的拉普拉斯变换值。 。求此函数的拉普拉斯变换值。
∞
∫ f (t ) e
0
− st
dt = ∫ e
0
∞
− at
⋅e
− st
1 −( s + a )t ∞ dt = − e = 0 s+a
1 s +a
2、拉氏反变换 、
它是拉氏变换的F(s)求取 的运算。 F(s)的拉氏反变 求取f(t)的运算 它是拉氏变换的 求取 的运算。 的拉氏反变 换记为： 换记为：f(t)=L -1[F(s)]。并且由拉氏反变换积分求出， 。并且由拉氏反变换积分求出，
A1 A2 Ar + + ⋯+ , 2 r (s + si ) (s + si ) (s + si )
r −1
r−2
1 d2 ( s + si ) r X ( s ) = s = −s 2! ds2 i
1 d r −1 ( s + si ) r X ( s ) = s = −s ( r − 1) ! d s r − 1 i
= s n F ( s ) − s n −1 f (0 + ) − s n − 2 f (1) (0 + ) − ⋯ − f ( n −1) (0 + )

数学物理方法课件：6-拉普拉斯变换

数学物理方法课件：6-拉普拉斯变换
t
[ e p f2 ( )d ]e p f1( )d f1( p) f2 ( p)
00 15
例 在LR串联电路中加上一方形脉
冲电压E
E(t)
0E,0 ,
t
0
T
t
T
E (t )
求电路中的电流 i (t)，设 i (0)=0。
解
L di Ri E (t) dt
(1)
由(2)得 I ( p) 1 E( p)
f(t) f(t-t0)H(t-t0)
o
t0
t
14
(7)卷积定理 L [ f1(t) f2 (t)] f1( p) f2 ( p).
其中 L [ f1(t)] f1( p), L [ f2 (t)] f2 ( p),
t
τ
f1(t) * f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
2. Laplace 变换即(6.1.3)式存在的条件
（1）在 0 t < 的任一有限区间上，除了有限个第一类间 断点外，函数 f(t) 及其导数是处处连续的，
（2） 存在常数 M>0 和 0，使对于任何t (0 t < ), 有
| f (t) | Me t
的下界称为收敛横标，以0 表示。大多数函数都满足这 个充分条件
L
L0
E0
R E0
R
Rt
(1 e L ),
RT
Rt
(e L 1)e L ,
0t T t T
16
本节作业： 第95页 （1，2，4）
17
§6.2 Laplace 变换的反演
反演：由像函数求原函数
（一）有理分式反演法
若像函数
f ( p) G( p) H ( p)

拉普拉斯变换 课件

拉普拉斯变换 课件

Example
f(t) = t 0<= t <=1 1 t >= 1
(法一) L(f(t)) = ∫e-st f(t)dt = ∫te-st dt + ∫e-st dt = (1 – e-s) / s2 (法二) f(t) = tu(t) + [u(t-1) – tu(t-1)] = tu(t) + (1-t)u(t-1) = tu(t) – (t-1)u(t-1) L(f(t)) = (1/s2) - (e-s / s2) = (1-e-s) / s2
sY + s2z = -(s3 / s2 + 1) s2Y – sY(0) - y(0) – z = 1 / s2 + 1 求解得 Y = s / s2 +1 , z = -(s+1) / (s2 + 1) = -(s / s2+1) – (1 / s2+1) ∴y(t) = L-1(Y) = cosx , z(t) = cosx – sinx
(CASE3)不重覆複數因子 (s-a)(s-a＊) = (s - α)2 + β2 Y(s) 有 As + B / (s-a)(s-a＊) 或 As + B / (s - α)2 + β2 型態之部份分式 L(eatcosβt) = s-α / (s-α)2 + β2 及 L(eatsinβt) = β / (s-a)2 + β2
部份分式法 (微分方程式) 如果解之拉式變換式Y = F(S) / G(S) 可以部份分式分解 之，則可各則由逆拉式變換還原微分式之解y(t)。 (CASE1)不重覆因子 (s-a) Example1 G(s) = (s-a1)(s-a2)(s-a3)…(s-an) Y(s) =( A1 / s – a1) + ( A2 / s – a2) +…+ ( An / s – an) y(t) = A1ea1t + A2ea2t +…+ Aneant

SnS-第6章拉普拉斯变换与连续时间系统(1)

SnS-第6章拉普拉斯变换与连续时间系统(1)

➢单边与双边拉普拉斯变换
❖前面定义的拉普拉斯变换能够处理从-∞至 +∞整个时间区间内存在的信号，将这一定 义式称为双边拉普拉斯变换
X (s) x(t)estdt
❖对于因果信号x(t)= x(t)u(t)，双边拉普拉斯 变换退化为单边拉普拉斯变换
X (s)
0
x(t
)e
st
dt
2021年1月21日星期四
信号与系统
多媒体教学课件 第六章 Part 1
内容要点
➢ 双边拉普拉斯变换的定义和收敛域 ➢ 单边拉普拉斯变换及其性质 ➢ 拉普拉斯逆变换 ➢ 微分方程和电路的s域求解 ➢ LTI系统的系统函数及其性质 ➢ LTI系统的框图表示
2021年1月21日星期四
信号与系统 第6章第1次课
2
第6章 拉普拉斯变换与连续时间系统
2021年1月21日星期四
信号与系统 第6章第1次课
Back 8
§6.1 拉普拉斯变换的定义
➢主要内容
❖拉普拉斯正变换 ❖拉普拉斯逆变换 ❖拉普拉斯变换的收敛域 ❖拉普拉斯变换的零极点图
2021年1月21日星期四
信号与系统 第6章第1次课
9
§6.1 拉普拉斯变换的定义
➢定义一：从傅里叶变换引出
❖傅里叶变换
叶变换
x(t)et IFTX ( j)
1
X
(
j)e
jt d
2π
❖经整理，得到拉普拉斯逆变换
x(t) 1 jX (s)estds
2πj j
2021年1月21日星期四
信号与系统 第6章第1次课
17
§6.1 拉普拉斯变换的定义
➢拉普拉斯变换与傅里叶变换
❖拉普拉斯变换将信号x(t) 表示为复指数 est的加权组合，其权值正比于X(s)

第6章拉普拉氏变换

第6章拉普拉氏变换

0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例：求 L[sint] , L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)
j
E0 Lp R
p2 2
E0 L
1 pR/L
p2 2
j
E0
Rt
eL
*sin t
L
j
E0
Rt
eL
*sin t
L
j E0
t R (t )
e L sin d
L0
R2
E0
L2 2
(R sin
t
L cos
t)
E0L R2 L2 2
e(R/ L)t
例：求常微分方 程初值问题
y'''2 y" y' 4
p R 2L
(
R )2 2L
1 LC
I (t)
2L
1
[ R ( R )2 2L 2L LC e 2L 2L LC }
( R )2 1
2L LC
例：积分
I
0
sin 2 x2
txdx
解： I ( p)
1(1
p ) 1 dx
0 2 p p2 4x2 x2
2
1 f (t)e( i) tdt
2 0
令
p i
记
G( ) f ( p) 2
G() 1 f (t)e( i) tdt f ( p)

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例1：求 L[sint] ， L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)
有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数是连续的，(2)
存在常数M>0和σ≥0,使对任何t，有
f (t) Met
σ的下界称为收敛横标，用σ0表示， 则：f (t) Me0t
f (t)e t dt Me0 te t dt M e( 0 ) tdt
0
0
0
M
0
(
0)
即要求： Re p 0
L[cos t]
11
1
p
[
2 p i
]
p i
p2 2
(Re p 0)
例2：求函数f(t)=tsint、 f(t)=tn的拉氏变换
解：
L[sin t]
p2
2
(Re p 0)
由像函数的导数定理
L[t
sin
t
]
d dp
[
p
2
2
]
2p ( p2 2)2
同理可得
L[t cos t]
p2 2 ( p2 2)2
0
fd
(
)ep d
L[ fd (t)]
所以:
L[
fb
(t)]
1
1 e
pT
T 0
fb( )ep d

拉普拉斯变换-PPT

拉普拉斯变换-PPT

1
i
s2
2
(Re s 0)
ℒ
[cost] 1 ℒ [eit ] ℒ
2
[eit ]
s
s2 2
(Res 0)
二 原函数导数定理:
ℒ [ f '(t)] sF (s) f (0)
ℒ [ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f '(0)
sf (n2) (0) f (n1) (0)
t0
s
十二 终值定理
设L[ f (t)] F (s),且 lim f (t)存在，或 t0
sF (s)的奇点位于 Re s 0的平面上，则
F () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
例1（P205例10.3.4）
求积分正弦函数Si (t)
t sin d的拉氏变换。 0
例2（P206例10.3.5）
二 Laplace变换的存在条件 1 Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上， 除了有限个第一类间断点外，函数f(t)
及其导数是处处连续的。
（2） 存在常数 M > 0 和 0，使对 于任何t (0 t < ), 有
f (t) Met即 f (t)et M
绝对可积的条件
| f (x) | dx
3）在整个数轴上有定义
实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多 函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃， 线性函数等；另外，在无线电技术中，函数 往往以t作为自变量，t<0无意义。
2 拉普拉斯变换研究的对象函数
1）函数满足这样的条件:
a) t<0时，f(t)=0

数学基础-拉普拉斯变换PPT课件

数学基础-拉普拉斯变换PPT课件

es F (s)
f (t )
t
拉氏变换性质
(d)微分定理
L[df (t)] L[ f '(t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
L[
f
''(t )]
s2F(s)
sf
(0)
f
'(0)
f (0)
其中：
f (t)
t 0
f '(0) f '(t) t0
1
(t)dt 1(t 0)
f(t)
0 L[ (t)]
(t )estdt
lim 1estdt (t)0(t 0)
0
0 0
t
eL[e ] lim 1 (1 S) lijmt(1
0 S
0
(2)单位阶跃函数u(t)
e( S)'
S
)'
s
11 j
f(t)
L[u(t)]
0
10
21 [
e
0
[
( s j
e(s
)t dt
j )t dt
2 j 0
e ( s j )t dt ]
0
e( s j )t dt ]
21j[ 01
1
0
]
21 s j1 s j1
L[cost]
2 j [ss
s2 2
j
s
]
j
L[sint]
s2
2
拉普拉斯变换
（5）et sint，et sint，et cost，et cost
欧拉 e jt cost j sint
公式

数学物理方法 6 拉普拉斯变换

数学物理方法 6 拉普拉斯变换

拉普拉斯（Laplace）变换在光学等工程技术与科学领域 中有着广泛的应用．由于它的像原函数f(x)要求的条件比傅里
叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的
适用面要广．
本章首先从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换
的定义，并研究它的一些基本性质，然后给出其逆变换的积
分表达式――复反演积分公式，并得出像原函数的求法，最
dt

0
f ( t )e ( i ) t dt


0
f ( t )e pt dt ,
( p i )

上式即可简写为
f ( p)
0
f (t )e pt dt
这是由实函数 f (t ) 通过一种新的变换得到的复变函数，
e pt 为核. 这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换．
取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理的条件．
性质1 线性定理
若 则
,
为任意常数，且
f1 ( p) L [ f1 (t )], f 2 ( p) L [ f 2 (t )]
L [ f1 (t ) f 2 (t )] L [ f1( t )] L [ f 2 ( t )]
证明
L [ f1 (t ) f 2 (t )] [ f1 (t ) f 2 (t )]e pt dt
0



0
f1 (t )e dt
pt

0
f 2 (t )e pt dt
L [ f1 (t )] L [ f 2 (t )]
例6 求 L [shat ], L [chat ]


0

数学物理方法拉普拉斯变换法

数学物理方法拉普拉斯变换法

达朗贝尔公式 例3 求解无限长传输线上的电报方程 RGU ( LG RC)U t LCU tt U xx 0 U |t 0 ( x),U t |t 0 ( x) 解 作函数变换 U ( x, t ) e
(参§7.3)
LG RC 2 LC
u ( x, t ) 定解问题变为
对泛定方程进行拉普拉斯变换,初始条件由二阶导数定理,结果为
p2u p a2uxx b2u 0
非齐次常微分方程的通解为:
u ( x; p) Ae
x p 2 b 2 / a
Be
x p 2 b 2 / a x a p 2 b 2
1 ( x) e 1 ( x) e ( ) p ( )d ( ) p ( )d 2 2 2 2 2a 2a p b p b
x a p 2 b 2


x 2 2 p b a
10
第二个中括号与第一个比较, ( ) 代替
( ) 且多了个因子 P,先对第一个反演,得到原函数,把 改为 对t求导就得到
第二个的原函数. 由附录二公式30,可得 x p 2 b 2 e a ( x )2 1 J b t 2 0 p 2 b2 a2
1 p L f (at ) f ( ) a a
L f t t0 e pt0 f ( p)
L e t f t f ( p )
L f1 t f 2 t f 1 ( p) f 2 ( p)

（5）延迟性定理

（6）位移性定理
x 2 2 x p b p 2 b 2 e a x e a 1 1 ( )d ( )d 2a x 2a p 2 b 2 p 2 b2 x 2 2 x p b p 2 b 2 e a x e a 1 1 p ( )d p ( )d 2a x 2a p 2 b 2 p2 b2

拉普拉斯变换及反变换ppt课件

拉普拉斯变换及反变换ppt课件
补充 拉普拉斯变换及反变换 重点 知识
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)
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f (p )
（7）、卷积定理 若 L[ f1(t)] f1( p)
L[ f2 (t)] f2 ( p)
L[ f1(t)* f2 (t)] f1( p) f2 ( p)
t
其中
f1(t) * f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
称为 f1(t)与 f2(t) 的卷积
证明： L[ f1(t)* f2 (t)]
1
f ( p)
aa
证明：
L[ f (at)] f (at)e p tdt 0
1
p at
f (at)e a d (at)
a0
1
p
f ( )e a d ( )
a0
1 f ( p) aa
（5）、延迟定理
L[ f (t t0 )] e pt0 f ( p)
证明：
L[ f (t t0)]
2
1 f (t)e( i) tdt
2 0
令
p i
记
G( ) f ( p) 2
G() 1 f (t)e( i) tdt f ( p)
2 0
2
f ( p) f (t)e p tdt 0
称为 f(t) 的拉普 拉氏变换函数 （像函数）
G() 的逆变换
f (t)e t G()ei td f ( p) ei td
2
i p d dp / i
f (t) 1 i f ( p)e p tdp
2 i i
称 f(t) 为原函数
f (t) f ( p) 原函数f(t)
f ( p) L[ f (t)] f (t) L1[ f ( p)]
像函数 f ( p)Biblioteka 例：求 L[1]解：
L[1] 1 e p tdt 1
L[c1 f1(t) c2 f2 (t)]
0
[c1
f1(t)
c2
f2
(t)]e
p
t
dt
c1
0
f1(t)e p tdt
c2
0
f2 (t)e p tdt
c1 f1( p) c2 f2 ( p)
（2）、导数定理
L[ f '(t)] p f ( p) f (0)
证明：
L[ f '(t)] f '(t)e p tdt e p tdf (t)
0
n! p n1
L[t n ]
n! p n1
(Re p 0)
例：求 L[est] , s为常数
解： L[est ] est e p t dt 0
1 e( ps) t ps
0
1 ps
L[est ] 1 ps
(Re p Re s)
L[t nest ]
t nest e p t dt
0
f
(t
t0 )e ptdt
f ( )e p( t0 )d 0
e pt0 f ( )e p d 0
e pt0 f ( p)
（6）、位移定理
L[et f (t)] f ( p )
证明：
L[et f (t)] e t f (t)e ptdt 0 f (t)e( p)tdt 0
（3）、积分定理
L[
t
( )d ]
1 ( p)
0
p
证明： 令
t
f (t) 0 ( )d
f '(t) (t)
L[ f '(t)] p f ( p) f (0)
f (0) 0
f ( p) 1 L[ f '(t)]
p
L[
t
( )d ]
1 ( p)
0
p
（4）、相似定理
L[ f (at)]
第六章 拉普拉氏变换
§6.1 符号法 §6.2 拉普拉氏变换 §6.3 拉普拉氏变换反演
§6.2 拉普拉氏变换
（一）、拉普拉氏变换的定义
对于任意函数 f(t)，设 t<0, f(t)0, 只要 足够大，
g(t)=f(t)e - t 的付氏变换为
[ f (t)e t ] G() 1 f (t)e tei tdt
f
(t)]
(1)n
d
n f ( p) dp n
（二）、拉普拉斯变换的性质 f ( p) L[ f (t)]
（1）、线性定理
如： f1( p) L[ f1(t)]
f2 ( p) L[ f2 (t)]
则 L[c1 f1(t) c2 f2 (t)] c1 f1( p) c2 f2 ( p)
证明：
0
n! ( p s)n1
L[t nest ]
n! ( p s)n1
(Re p Re s)
例：求 L[tf(t)] , f(t)为任意函数
解：
f ( p) f (t)e p tdt 0
df ( p)
t
f
(t)e p tdt
dp
0
L[tf (t)] df ( p) dp
L[t n
t=
[
0
t 0
f1( ) f2 (t )d ]e ptdt
t
[
0
f2 (t )dt]f1( )e ptd
L[ f1(t)* f2 (t)]
[
0
f2 (t )dt]f1( )e ptd
令 t
0 f2 ( )[
0
f1( ) e p ( )d ]d
[
0
f2 ( )e p d ][
0
p
L[1] 1 p
(Re p 0)
例：求 L[t], L[tn]
解： L[t] t e p tdt 1 t d (e p t )
0
p0
1 t ept p
0
1 p
e p t dt
0
1 p2
L[t]
1 p2
(Re p 0)
L[t n ]
t n e p t dt
L[cos t]
11
1
p
[
2 p i
]
p i
p2 2
(Re p 0)
§6.3 拉普拉氏变换反演
例：求
f
( p)
p2
p 2p5
的 Laplace 逆变换
解：
f
( p)
p2
p 2p5
p 11 ( p 1)2 4
0
0
ep t
f
(t)
0
f (t)d (e p t )
0
f (0) p f (t)e p tdt 0
p f ( p) f (0)
L[ f '(t)] p f ( p) f (0)
L[ f (n) (t)] pn f ( p) pn1 f (0) pn2 f '(0) pf (n2) (0) f (n1) (0)
0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例：求 L[sint] , L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)