符号法《数学物理方法》课件,完整清晰

it

1 由于 p i ，有 d dp i 1 i f (t ) f ( p)e pt dp 所以 2 i i
数学物理方法
f (t ) 称为原函数， f ( p) 称为像函数。它们之间可用简
单符号写为
f ( p) L[ f (t )] （6.2.5） f (t ) L1[ f ( p)] （6.2.6）
f ( p) f (t )e pt dt
0

两边分别对 p 求导有
df ( p) f (t )(t )e pt dt 0 dp 从而有 df ( p) f (t )te pt dt L[tf (t )] 0 dp n n n d 推广： L[t f (t )] (1) f ( p) n dp

数学物理方法
U U 1 I 1 1 Lp R Lp 1 R 1 L p
R 1 R 2 1 R3 1 U 2 2 3 3 1 R L p L p L p 2 2 3 3 R U R t R t t 2 3 R L L 2! L 3! U {1 e ( R / L )t } R
数学物理方法
6.2.2 拉普拉斯逆变换 从前面拉普拉斯变换的引入， 可知 G ( ) 的傅里叶逆 变换是
1 g (t ) G ( )e d f ( i )eit d 2 1 ( i ) t 即： f (t ) f ( i )e d 2
拉普拉斯变换常用于初始值问题，即知道某个物理量在 初始时刻 t 0 的值 f (0) ，而求解其后任意时刻的变化 情况 f (t ) ，至于初始时刻之前的值，并不感兴趣，不妨 设 f (t ) 0.(t 0) （6.2.1）
数学物理方法
为了获得宽松的变换条件，把 f (t ) 加工为 g (t ) ，
6.2 拉普拉斯变换
数学物理方法
6.2.1 拉普拉斯变换的定义 上一章指出，傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件 是原函数在任意有限区间都满足狄里希利条件，并是绝 对可积的。这是相当强的一个条件，以致于许多常见的 函数（例如多项式、三角函数等）都不满足这条件。 这章介绍另一种常见变换－拉普拉斯变换，其变换 存在的条件要宽松。
0t
则 f ( p ) 在 Re p 0 上存在并解析。
0 称为收敛横标。
证明：


0
f (t )e
pt
dt Me
0

0 t
M dt , 0
数学物理方法
6.2.4 拉氏变换基本性质 由 f ( p)


0
f (t )e pt dt 定义的拉氏变换存在如下性质：
0

pt
dt
c1 f1 (t )e
0

pt
dt c2 f 2 (t )e pt dt
0

c1 f1 ( p ) c 2 f 2 ( p )
pt

数学物理方法
例 6.1.3
计算 L[est ] ， s 为常数
解：在 Re p Re s 的半平面上


0
e e dt e
st pt 0

( p s )t
dt
1 ( p s )t [e ]0 ps 1 ps
故
1 L[e ] ps
st
g (t ) e
t
t
f (t )
（6.2.2）
这 里 的 e 是 收 敛 因 子 ， 是 为 了 保 证 g (t ) 在 区 间 (, )上绝对可积。于是，对 g (t ) 施展傅里叶变换
1 G ( ) 2



g (t )e
it
1 dt 2


0
f (t )e
序不可交换，
t 1 pf (t ) f '( )d f (t ) f (0) 0 p 1 d t p f (t ) f ( )d f (t ) p dt 0
后来，人们发现符号法和拉普拉斯变换的联系，符号法 才脱离了粗糙的形式而建立在拉普拉斯变换的基础上， 通常称之为运算微积。在运算微积中，字母 p 不再解释 为算符，而代表一个复变数。
R 1 R 2 1 R3 1 U 2 2 3 3 1 1 Lp L p L p L p
1 tn 1 n p n! zk ez k 0 k !

数学物理方法
亥维赛取的的成绩使当时的数学家大为吃惊！但亥维赛
1 也作出了一系列计算错误，乃是没有注意到 p 和 的次 p
f ( p) f (t )e pt dt （ p 为复参量）对复平面上某区
0

域 p 收敛，则积分确定的函数
f ( p) f (t )e dt
pt 0

称 为 f (t ) 的 拉 普 拉 斯 变 换 函 数 。 上 式 中 积 分


0
f (t )e dt 称为拉普拉斯积分， e pt 称为拉氏变换的
（1） f ( p ) 是在 Re p 0 的半平面上的解析函数。
证明：考察积分


0
d [ f (t )e pt ]dt ，利用 dp
f (t ) Me
0t



0
d M pt t [ f (t )e ]dt f (t ) te dt M te ( 0 )t dt 0 0 dp ( 0 )2

0
dt

1 故 L[te ] ( p s)2
st
n! 推广： L[t e ] ( p s ) n 1
n st
数学物理方法
例 6.1.5

分别求 sin t 和 cost 的拉氏变换
解：在 Re p 0 的半平面上

0
sin te
pt
1 it it pt dt (e e )e dt 2i 0 1 ( p i )t 1 ( p i )t e dt e dt 2i 0 2i 0
pt
核。 常用简单符号表示拉氏变换：
f ( p) L[ f (t )]
（6.2.4）
数学物理方法
综合傅里叶变换和拉氏变换，傅氏变换的像函数是 一个实自变量 的复值函数，拉氏变换的像函数则是一 个复自变量 p( i ) 的复值函数。 由前推导可见，拉氏变换实际上是 f (t )e t H (t ) 的 傅里叶变换，它是一种单边广义傅里叶变换。单边指积 t 分区间为 (0, ) ， 广义指它要乘上 e H (t )( 0) 再做 傅里叶变换。 例 6.1.1 计算 L[1] 。
领域中有着广泛的应用。
6.1 符号法
数学物理方法
6.1.1 符号法 运算微积的原始形式是符号法。函数 (t ) 的 n 阶导数可
d 以看成求导算符 p 在函数 (t ) 上作用 n 次的结果， dt n d 1 n p (t ) n (t ) 。算符 p 的“倒数” 则解释为积分 dt p t t 1 1 算符， (t ) ( )d ，例如 1 1d t 。依次 0 0 p p
解：在 Re p 0 （即 0 ）的半平面上
L[1] 1 e
0

pt
1 dt (Re p 0) p
数学物理方法
例 6.1.2 计算 L[t ] 。 解：在 Re p 0 （即 0 ）的半平面上
1 te dt td(e pt ) 0 p 0 1 pt 1 pt = [te ]0 e dt p p 0 1 pt 1 = e dt 2 , p 0 p 1 L[t ]= 2 (Re p 0) p n! n 推广： L[t ] n 1 p
数学物理方法
（1）线性定理 若 f1 ( p) L[ f1 (t )] ， f 2 ( p) L[ f 2 (t )] ，则
L[c1 f1 (t ) c2 f2 (t )] c1 f1 ( p) c2 f 2 ( p)
证明：
L[c1 f1 (t ) c2 f 2 (t )] [c1 f1 (t ) c2 f 2 (t )]e
类推
1 t 1 n p n!
n
(6.1.1)
数学物理方法
亥维赛把符号法应用于求解线性微分方程，大大的推广 了符号法的应用。例如，电阻 R 和自感串联 L 电路的微 分方程为：
d ( L R) I U dt
亥维赛把上式改写为
（6.1.2）
U I 1. Lp R
（6.1.3）
上式中算符出现在分母中本没有意义，但亥维赛把上式 展开，并逐项应用(6.1.1)，得到
p

2
( 0) 时， f ( p ) 存
证明：
f ( p)


0
f (t )e

pt
dt


0
f (t )e pt dt
M M e dt 0 0 M 0 ，得证。 因而积分收敛，且 lim p 0
( 0 ) t
6.2 拉普拉斯变换的性质
数学物理方法
例 6.1.4
解：在 Re p Re s 的半平面上
计算 L[test ] ， s 为常数
( p s )t


0
te e dt te
st pt
1 1 ( p s )t ( p s )t [te ]0 e dt 2 0 ps ( p s)