数学物理方法PPT课件

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数学物理方法

x l
2、第二类边界条件 A）、如细杆的纵振动，
x=a 处受力 0
f(t)
如杆端自由 f(t)=0
x a
B）、热传导如细杆热传导端
点有热量流出 0
如细杆热传导端点有热量流入
x a
3、第三类边界条件
如细杆热传导，
一端自由冷却
0
x a
则热流强度与杆端 u|x=a 和周围介质温度差有关系
H k/h
考虑弦的振动方程表示为：
或：
令：
令：
再积分
对积分
表示以速度a沿x正负方向的行波
函数 f1 和 f2 的确定
考虑定解问题
求导有
积分有
（二）、端点反射
例：求一端固定弦的振动情况（反射波定解问题）
O
x
代入初始条件
代入边界条件令
（1）、x at, 即 x - at 0
（2）、x at, 即 x -at 0
例：求解半无限长问题
杆端点自由，相对伸长量为0 提示无限长杆u(x,t)是偶函数
提示无限长杆初始位移 (x)和初始 (x)是偶函数
修改为
代入边界条件
令：
例：求定解问题
（ห้องสมุดไป่ตู้）
解：方程（1）对t求导后减去（1）对x求导变化为
解为代入（1）式有
即
物理意义：
解与达朗贝尔解一致，说明端点的影响未传到。
为讨论方便计设初速为0
O
x
为入射波。
为反射波。
x =0处为波节。
x =0处入射波与反射波位相相反，有半波损失。
（三）、延拓半无限长问题
求解中有提示无限长杆u(x,t)是奇函数

理学数学物理方法PPT课件

z0 | z |
第26页/共30页
复变函数的连续性
称函数w=f(z)在z=z0点连续，如果
1.
f(z0)存在；2.
lim
zz0
f
(z)存在;
3. lim理
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x0+iy0，那么f(z)在 z=z0点连续的充分必要条件是函数u(x,y)和 v(x,y)皆在(x0,y0)点连续。
举例
0， z 0
讨论函数
f
(z)
Re | z
z |
,
的连续性 z0
作业：P14 1，2，4
第29页/共30页
感谢观看！
第30页/共30页
无穷远点
第11页/共30页
复数的代数运算
运算
加减法
(x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2) 由几何图形可知 | z1 | | z2 || z1 z2 |
乘除法
|| z1 | | z2 ||| z1 z2 |
r1eiφ1× r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1+φ2) r1eiφ1/ [r2eiφ2] =( r1/r2 )ei(φ1 -φ2)
有| f(z)-A |< ，则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限，
记为
lim f (z) A
zz0
注意与实函数的差别?
第25页/共30页
例
证明极限
z lim z0 | z |
不存在.
【证明】令 z x iy ，则沿正实轴趋于零时， lim z lim x 1 ；而沿负实轴趋于零时， z0 | z | x x0 lim z lim x 1 ；不同的趋向得到不同的极限值，故原极 z0 | z | x0 (x) 限 lim z 不存在.

符号法《数学物理方法》课件-完整清晰

故 L[est ] 1 ps
数学物理方法
例 6.1.4 计算 L[test ] ， s 为常数
解：在 Re p Re s 的半平面上
teste pt dt te( ps)t dt
0
0
1 ps
[te( ps)t ]0
e( ps)t dt
dp
dp 0
0 dp
此可见 f ( p) 在上处处可导，因而是解析的。
数学物理方法
（2）当 p ，而 Argp ( 0) 时， f ( p) 存
2 在且满足 lim f ( p) 0 。
p
证明：
f ( p) f (t)e ptdt f (t)e pt dt
Me 0 tdt M
0

, 0
数学物理方法
6.2.4 拉氏变换基本性质
由 f ( p) f (t)e ptdt 定义的拉氏变换存在如下性质： 0
（1） f ( p) 是在 Re p 0 的半平面上的解析函数。
证明：考察积分 d [ f (t)e pt ]dt ，利用
傅里叶变换，它是一种单边广义傅里叶变换。单边指积
分区间为 (0, ) ，广义指它要乘上 et H (t)( 0) 再做
傅里叶变换。
例 6.1.1 计算 L[1] 。
解：在 Re p 0（即 0 ）的半平面上
L[1] 1 e ptdt 1 (Re p 0)
或者
f ( p) f (t) （6.2.7） f (t)≒ f ( p) (6.2.8) （注：有的书上为 f (t) f ( p) ）注意：原函数 f (t) 应该理解为 f (t)H (t) ，通常 H (t) 省

数学物理方法概论课件

(1) ()x (x) (x) (2) (x y) xy (3) ( )x xx
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
四、线性子空间
设V是F上的线性空间，如果 V V
（即 V 是V中的某些向量的集合），且满足：
（1）对任意的 x,y V ,(xy) V
（2）对任意的 F ,x V ,则 x V
定V中的一个元素y, 记为 y x ,数乘满足：
1x x ( ) x ( x ) ( ) x x x (x y) x y
数1的数乘结合律左分配律右分配律
则称V是数域F上的线性空间（向量空间），记为V(F)。（以上8个公式为线性空间的8个公理）
§ 2.1 线性空间
数学物理方法概论课件
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
一、群
设G是一元素集，“.”是某种定义在G上的运算，对任意
aG,bG有 abG 这种运算称为封闭运算。
定义：群为由集合G和封闭运算“.”所组成的系统，记为 G ,
它满足以下三个公理：
（1）运算满足结合律： (ab)ca(bc)
（2）存在单位元素e，有 e a a e a
§ 2 线性空间
例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel群。以n=3 为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为
1 1
2 2
33=I
1 3
2 1
23=F
1 2
2 3
13=D
1 2
2 1
33=A
1 1
2 3
23=C
1 3
2 2
13=B
定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换，运算由右至左连续施行两次。

《数学物理方法》课件

弹性力学方程的求解
总结词
弹性力学方程是描述弹性物体变形和应力分布的偏微分方程，通过求解该方程可以了解物体的弹性和稳定性。
详细描述
弹性力学方程的一般形式为 $nabla cdot sigma = f$，其中 $sigma$ 是应力张量，$f$ 是体力密度，$nabla cdot$ 是散度算子。求解该方程可以得到应力分布、应变能和弹性常数等。
在工程学中的应用
机械工程
数学物理方法在机械工程中广泛应用于分析力学、热传导、流体力学等问题。
电子工程
在电子工程中，数学物理方法用于描述电磁波的传播、散射和吸收等。
土木工程
在土木工程中，数学物理方法用于分析结构力学、地震工程等问题。
在经济学中的应用
金融建模
数学物理方法在金融领域中用于建立复杂的金融模型，如期权定
在此添加您的文本16字
数学物理方法将进一步发展，以适应未来科技发展的需求，特别是在能源、环境、生物医学等领域。
在此添加您的文本16字
随着人工智能和机器学习的发展，数学物理方法将与这些技术相结合，以实现更高效、精确的问题解决方案。
06 数学物理方法的实际案例分析
一维波动方程的求解
总结词
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过求解该方程可以了解波的传播规律。
这些概念在描述物理现象的变化规律和求解物理问题中发挥着关键作用，例如在描述速度、加速度、功和能量等物理量时。
微积分中的基本概念包括极限、连续性、导数和积分等。
微分方程
微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具，它表示一个或多个未知函数的导数之间的关系。
微分方程的基本类型包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程等。

数学物理方法第三版.ppt

在极坐标下，先令z沿径向逼近零，
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则该点为境界点，境界点的全体称为境界线。
境界线内点境界点外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点（2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2

《数学物理方法》第一章.ppt

一元三次方程 x3 px q 0 (其中 p,q 为实数)的求根公
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节复数第二节复变函数的基本概念第三节复球面与无穷远点
第一节复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示）虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin

2
n

wn ?
注意根式函数是多值函数
例如记
z
r

cos

2k
2
i sin

2k

数学物理方法-绪论PPT课件

-
2
1.数学物理方程（50学时）
Chap.7 数学物理定解问题 (10) Chap.8 分离变数法(12) Chap.9 二阶常微分方程级数解法(10) Chap.10 球函数(10) Chap.11 柱函数(8)
-
3
2.矢量分析与场论(14学时）
Chap.1矢量分析(6) Chap.2场论(8)
2.熟练掌握不同定解条件(初始和边界) 下三类典型偏微分方程的解法 (分离变数法) 3.掌握基本特殊函数的主要性质和应用
4.掌握矢性函数的计算和场的描述方法
-
6
教材
1.《数学物理方法》梁昆淼编 2. 矢量分析与场论谢树艺编参考书 1.《数学物理方法》吴崇试编著北大 2.《数学物理方程》谷超豪等编著复旦 3.《数学物理方法》邵惠民编著南大 3.《数学物理方程》季-孝达等编中科大 7
数学物理方法(Ⅱ)
——是物理和数学相结合的一门边缘科学,任务是研究物理对象在数学中的描述
-
1
绪论
一、内容简介
1.数学物理方程（50学时）
——常微分方程、微分积分方程、偏微分方程（反映物理量在空间中的分布和随时间的变化规律）
2.矢量分析与场论(14学时）
——矢性函数的运算、标量场和矢
量场的描述方法
-
4
二、课程特点
1.涉及到的数学知识广泛（高等数学、常微分方程、复变函数、线性代数）
2.涉及到的物理概念多（力学、热学、电磁学…）
3.应用广泛(电动力学、量子力学、电磁场理论）
4.计算较繁、计算量较大（掌握常规的分析步骤）
-
Байду номын сангаас
5
三、学习目标

《数学物理方法》第10讲.ppt

4. xJm'(x) mJm(x) xJm1(x);
5.
mJm ( x)
x 2
[J
m
1
(
x)
Jm1( x)];
6.
J
m
'(
x
)
1 2
[J
m
1
(
x)
J
m
1(
x)]
.
证明
d dx
J
m
x
(x
m
)
J
m1( xm
x)
.
Jm(x) xm
k0
k
(1)k (1)2k m !(m k)! 2
x2k
.
d dx
由定解条件及温度有限知
R(b) R( 0)
0
因此
.
Qm
0,
且
R( )
Pm Jm (
)
(0 b)
()
R(b) 0.
此为第一类边界条件下Bessel函数的本征值问题，
进一步的讨论涉及 Bessel 函数的零点等问题。
若 0, (**)式化为 2R '' R m2R 0 .其通解为
方程。它须满足条件 v |x2 y2 b2 0 . 为求其解，将方程和条件写成极坐标形式。
v
1
v
1
2
v
v
0
,
( b)
v
|
b
Hale Waihona Puke 0.再令 v R( ) ( ) , 代入上式得 '' 0 ()
2R '' R '( 2 ) R 0 . ()
由(*)式及周期条件 ( 2 ) 得特征值 m2 ,

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16.04.2021
徐州工程学院数理方法教案滕绍勇
7
复变函数
更多的例子
w = az2 w = az2 + bz +c w = 1/(az + b) w = √(az + b) w = Ln(az + b) w = sin z w = Arccos z w = ∑ an zn w = ∑ an sin(nωz) w = ∏(1-z2/n2 2) w = ∫exp(-z2)dz
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11
复变函数
结构
相同点：
复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。
不同点：
基本实变函数 ▪ xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)
基本复变函数 ▪ zn, z1/n,exp(z),ln(z)
原因 ▪ cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i
乘除法 r1exp(iφ1)× r2exp(iφ2) = r1r2 exp[i(φ1+φ2)]
幂和开方 [r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n)
复共轭 z = x + iy → z* = x – iy z = r exp(iφ) → z* = r exp(-iφ)
10 -10
u + iv = (x+iy)3 = x3 +3ix2y3xy2 -iy3
u = x3 – 3xy2 ,
v = 3x2y - y3
性质
对称性无周期性
2000 1000
0 -1000 -2000
-10
10 5 0
无界性
-5
0
-5
单值性
5 10 -10
16.04.2021
徐州工程学院数理方法教案滕绍勇
16.04.2021
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4
复数
几何表示
关系
x = r cosφ y = r sinφ r = √(x2+y2) φ= Arctan(y/x)
特点
无序性
复数无大小
矢量性
复数有方向
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5
复数
运算
加减法 (x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2)
16.04.2021
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12
复变函数
100
基本函数
二次函数
定义
w = z2
分析
50 0
-50 -100
-10 -5 0
10 5 0 -5
5 -10
10
u + iv = (x+iy)2 = x2 +2ixy -y2
u = x2 -y2 ,
16.04.2021
周期性
4
▪ exp(z+2 i)= exp(z) 无界性单值性
2 0 -2 -4
-2
5 2.5 0
-1 0
-2.5
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1
-5 2
15
复变= Ln(z)
分析
u + iv = Ln [ r × exp(iφ)] = ln r + iφ
14
复变函数
5
指数函数
定义
w = exp(z)
分析
2.5 0
-2.5 -5
-2 -1 0
5 2.5 0 -2.5
u + iv = exp(x+iy) = exp(x)[cosy +i siny]
1
-5
2
u = exp(x) cos y ,
v = exp(x) sin y
性质
不对称性
映射
相同点
在形式上：y = f(x), w = f(z)
不同点
在变量上：z = x+iy, w = u+iv 在描述上：
▪ 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示； ▪ 复变函数不能用一个图形完全表示。
联系
u = u(x,y), v = v(x,y) 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。
数学物理方法
复变函数论
16.04.2021
徐州工程学院数理方法教案滕绍勇
1
复变函数论
复数复变函数导数解析函数本章小结
16.04.2021
徐州工程学院数理方法教案滕绍勇
2
复数
数的扩张（完善化）
自然数减法不封闭→整数除法不封闭→有理数不完备 2 →实数方程可解性→复数
v = 2xy
性质
对称性无周期性无界性单值性
200 100
0 -100 -200
-10 -5 0
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10
5
0
-5 5
-10 10
13
复变函数
三次函数
定义
w = z3
分析
2000 1000
0 -1000 -2000
-10 -5 0
10 5 0
-5 5
定义域和值域
相同点：
都是数集
不同点：
实数集是一维的，可以在(直)线上表示；复数集是二维的，必须在(平)面上表示。
典型例子：
|x|<2 是连通的， 1<|x|是不连通的； |z|<2是单连通的， 1<|z|是复连通的。
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10
复变函数
16.04.2021
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3
复数
复数的表示
代数表示
z = x + iy
x = Real(z), y = Imagine(z)
三角表示
z = r (cosφ + i sinφ)
r = |z|, φ= Arg(z)
指数表示
z = r exp(iφ)
exp(iφ) = cosφ + i sinφ
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6
复变函数
概念
定义
函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射
实变函数：f:x→y 复变函数：f:z→w
举例
f(n) = fn = (1+i)n, n∈N f(z) = zn f(z) = exp(z) f(z) = ln(z)
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8
复变函数
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复变函数的分类
复变函数（广义）
复数数列
复变函数（狭义）
初等函数
非初等函数
代数函数
超越函数
无限次运算
无限次复合
有理函数
无理函数
级数
无穷乘积
整式
分式
幂级数
傅立叶级数
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9
复变函数
分析与比较

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