符号法《数学物理方法》课件完整清晰

(x)
若不求积分，而先求极限，则有：
( x ) lim l ( x ) lim
l 0 l 0
rect (
)
{
0
由此可以看出质点线密度分布函数的直观图像 它在 x 0 处为

，在 x 0 处为 0 .它的积分为m
可以让
( x) ( x)
于是：
o
x
------数学物理方法十二讲------
现在以从 t a 持续作用到 t b 的作用力 f ( t ) 为例加以说明。将时间区间 [ a , b ] f f 分为许多小段， 在某一个从 到 d 的短时间段上，力 ( t ) 的冲量是 ( ) d ， 既然 d 很短，可以将这段短时间上的作用力看做瞬时作用力，记作 f ( ) ( t ) d 这许多前后相继的瞬时力的总和就是持续力 f ( t )
于是在严密的基础上证明了 函数的一些重要性质 按照广义函数理论， 函数的确切意义应是在积分 运算下来理解。 将自变量 x 平移 x 0 右图是 ( x x 0 ) 的函数图象， 曲线的峰无限高，但宽度无限窄；曲线下的面积 是有限值 1。
------数学物理方法十二讲------
(x)


f ( ) ( t 0 ) d f ( t 0 )


f ( ) ( t 0 ) d

t0 t0 t0
f ( ) ( t 0 )d f ( ) ( t 0 ) d

t0 t0
l ( x ) {m /l
0
( x l / 2) ( x l / 2)
即 l (x)

解： 令
a c c o 2 o c s 3 o s c s n o
b s i s 2 n i s 3 n i n s n i
W a i b co c2 s o c s 3 o s cn o i (s s i2 n i n s3 i n sn i)
z1z2 z1z2
ar z 1g z2 ) (az r1 g az r2g
3、复数的除法
z1 x1 y1i (x1y1i)(x2y2i) z2 x2 y2i (x2y2i)(x2y2i)
x1xx2 2 2 yy12 2y2ix2xy2 2 1 xy12 2y2
或指数式： z1 x1 y1i z2 x2 y2i
有三角
关系： z1z2 z1z2
z1z2 z1z2
2、复数的乘法
z 1 z 2 (x 1 y 1 i)x 2 ( y 2 i)
( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i( x 1 y 2 x 2 y 1 )
z1z21 e i1 2 e i2
ei(12) 12
12 [c 1 o 2 ) s is( i 1 n 2 )
使用教材：数学物理方法，梁昆淼编
数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的 基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通 往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样 将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现 了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中 的地位尤为突出．
( k 0 ,1 ,2 ,3 )
故k取不同值，n z 取不同值
nz e 1/n i(2k)/n
k0 nz1/nei/n
k 1 nz1 /n e i( 2 )/n
k 2 nz1 /n e i( 4 )/n

故 L[est ] 1 ps
数学物理方法
例 6.1.4 计算 L[test ] ， s 为常数
解：在 Re p Re s 的半平面上
teste pt dt te( ps)t dt
0
0
1 ps
[te( ps)t ]0
e( ps)t dt
dp
dp 0
0 dp
此可见 f ( p) 在上处处可导，因而是解析的。
数学物理方法
（2）当 p ，而 Argp ( 0) 时， f ( p) 存
2 在且满足 lim f ( p) 0 。
p
证明：
f ( p) f (t)e ptdt f (t)e pt dt
Me 0 tdt M
0

, 0
数学物理方法
6.2.4 拉氏变换基本性质
由 f ( p) f (t)e ptdt 定义的拉氏变换存在如下性质： 0
（1） f ( p) 是在 Re p 0 的半平面上的解析函数。
证明：考察积分 d [ f (t)e pt ]dt ，利用
傅里叶变换，它是一种单 边广义傅里叶变换 。单边指积
分区间为 (0, ) ，广义指它要乘上 et H (t)( 0) 再做
傅里叶变换。
例 6.1.1 计算 L[1] 。
解：在 Re p 0（即 0 ）的半平面上
L[1] 1 e ptdt 1 (Re p 0)
或者
f ( p) f (t) （6.2.7） f (t)≒ f ( p) (6.2.8) （注：有的书上为 f (t) f ( p) ） 注意：原函数 f (t) 应该理解为 f (t)H (t) ，通常 H (t) 省

弹性力学方程的求解
总结词
弹性力学方程是描述弹性物体变形和应力分布的偏微分方程 ，通过求解该方程可以了解物体的弹性和稳定性。
详细描述
弹性力学方程的一般形式为 $nabla cdot sigma = f$，其中 $sigma$ 是应力张量，$f$ 是体力密度，$nabla cdot$ 是散 度算子。求解该方程可以得到应力分布、应变能和弹性常数 等。
在工程学中的应用
机械工程
数学物理方法在机械工程 中广泛应用于分析力学、 热传导、流体力学等问题 。
电子工程
在电子工程中，数学物理 方法用于描述电磁波的传 播、散射和吸收等。
土木工程
在土木工程中，数学物理 方法用于分析结构力学、 地震工程等问题。
在经济学中的应用
金融建模
数学物理方法在金融领域中用于 建立复杂的金融模型，如期权定
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数学物理方法将进一步发展，以适应未来科技发展的需求 ，特别是在能源、环境、生物医学等领域。
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随着人工智能和机器学习的发展，数学物理方法将与这些 技术相结合，以实现更高效、精确的问题解决方案。
06 数学物理方法的实际案例分析
一维波动方程的求解
总结词
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过求解该方程可以了解波的传播规律 。
这些概念在描述物理现象的变化规律 和求解物理问题中发挥着关键作用， 例如在描述速度、加速度、功和能量 等物理量时。
微积分中的基本概念包括极限、连续 性、导数和积分等。
微分方程
微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具，它表示一个或多个未知函数的导数 之间的关系。
微分方程的基本类型包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程等。

n (cos n i sin n ) 故： (cos i sin )n cos n i sin n
方根 n z n e i e 1/ n i / n
e 1/ n i ( 2 k ) / n
( k 0,1,2,3 ) 故k取不同值，n z 取不同值
k 0 k 1 k2
kn
x Re( z) y Im( z)
几何表示：
y
复平面
z x yi
A(x, y)
r
x
z r x 2 y 2 为复数的模
arctg ( y / x) 为复数的辐角 x cos y sin
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y Argz
r
x
复数的三角表示： z cos i sin
复数的指数表示： z (cos i sin ) ei
e 应用： 2 k i 1 1 e i
i e (2k / 2) i (k 0,1,) i e(2k 3 / 2) i
例：求 z 1 3i 的Argz与argz
arg z arctg[( y1 y2 ) /( x1 x2 )]
有三角
关系： z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
2、复数的乘法
z1 z2 ( x1 y1i)( x2 y2i) ( x1x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1)
z1 z2 1e i1 2e i 2 e i (1 2 )
zE
w称为的z复变函数
z称为w的宗量

在极坐标下，先令z沿径向逼近零，
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2

一元三次方程 x3 px q 0 (其中 p,q 为实数)的求根公
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin


2
n

wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r

cos

2k
2
i sin

2k

的解。
第九章的习题解答
习题1
求解无限长杆在垂直磁场中的扭转问题。利用分离变量法将偏微分 方程化为常微分方程，得出杆的扭转角与磁场强度的关系。
习题2
求解三维空间中的电场问题。利用分离变量法将偏微分方程化为三 个常微分方程，进而得出电势的解。
习题3
求解波动方程在非周期边界条件下的解。通过分离变量法将波动方程 化为常微分方程，得到波函数的解。
本章内容的总结
偏微分方程
偏微分方程是描述物理现象的重要工具，例如波动、热传导、弹性力学等问题都可以用偏微 分方程来描述。
本章介绍了偏微分方程的基本概念和分类，以及如何求解偏微分方程，包括分离变量法、有 限差分法等。
后续学习的展望
更深层次的数学物理方法
这些方法在解决物理问题时具有更广泛的应用，例如在 量子力学、相对论等领域。
在掌握基本的数学物理方法后，可以进一步学习这些方 法在各个领域的应用，例如在材料科学、生物医学、环 境科学等领域的应用。
在后续的学习中，可以进一步学习更深入的数学物理方 法，例如广义函数与分布、积分方程、微分几何等。
应用领域的拓展
通过深入了解这些应用，可以更好地理解数学物理方法 在解决实际问题中的作用和价值。
在工程学中的应用
结构分析
数学物理方法能够用于分 析工程结构中的力学问题， 如弹性力学、断裂力学等。
控制系统设计
数学物理方法能够用于设 计各种控制系统，如航空 航天、机器人等领域。
信号处理
数学物理方法能够用于信 号处理和图像处理，如图 像压缩、图像增强等。
在其他领域的应用
经济学
数学物理方法能够用于分析经济现象和预测经济 趋势，如金融市场分析、风险评估等。
数学物理方法定义

括有非零自由项的方程称为非齐次方程。 自由项恒等于零的方程称为齐次方程。方 程（1.1.3）为一维齐次波动方程，方程 （1.1.4）为一维非齐次波动方程。
17
三、传输线方程
对于直流电或低频的交流电，基尔霍夫 （Kirchhoff）定律指出同一支路中电流 相等。但对于较高频率的（指频率还没有 高到能显著地辐射电磁波的情况），电路 中的导线的自感和电容的效应不可忽略， 因而同一支路中电流未必相等。
的倾角都很小，即 0,' 0 ，从而由
cos12
4
2! 4!
可知，当我们略去 和 ' 的所有高于
一次方的各项时，就有
10
cos1, cos' 1
代入到式（1.1.1），便可近似得到
T T'
在u方向弧段 M M ' 的受力总和为
T s in T 's in'g d s ,其 中 g d s
6
A.弦的横振动 B.无穷小的一段弦 B C.受力分析和运动方程
弦的原长 sx 现长 s' (x)2(u)2x
弦长的变化产生回到原位置的张力
u(x) uu
u(x)
B
1
T1
A
T2 2 C
0
x
xx
x
7
设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置
为M，位移NM记为u，显然，在振动过程中
位移u是变量x和t的函数，即u=u（x，t）。
5
一、均匀弦的微小横振动 设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿
直线拉紧，而且除了受不随时间变化的张 力及弦本身的重力外，不受其它外力的作 用。下面研究弦作微小横振动的规律。所 谓“横向”是指全部运动出现在一个平面 内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运 动（如图1.1.1）。所谓“微小”是指运 动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都 很小，以致它们的高于一次方的项可以忽 略不计。

2
应用于实际问题，帮助学生理解方法 的实际应用。
通过习题解析，培养学生分析和解决
问题的能力，加深对方法的理解。
3
实际应用案例
介绍数学物理方法在实际工程和科学 研究中的应用案例，激发学生对学习 的兴趣。
课程成果
掌握数学物理方法
提升问题解决能力
学生将掌握数学物理方法的基本原理和应用能力， 为未来的学习和研究打下良好基础。
《数学物理方法》PPT课 件
这是《数学物理方法》的PPT课件，旨在与大家分享数学物理方法的知识。 通过引人入胜的内容和精美的图片，让学习过程变得轻松有趣。
ห้องสมุดไป่ตู้
课程介绍
课程背景
探索数学与物理的结合，拓宽科学研究的范围。
课程目标
培养学生分析和解决问题的能力，提升数学物理应用水平。
授课内容概述
涵盖微积分、线性代数、微分方程和矩阵论等数学方法，以及统计力学、量子力学和电磁场 理论等物理方法。
通过课程的实践和习题解析，学生将提升问题解 决和数学建模的能力。
结论和要点
综合数学和物理
《数学物理方法》课程将 数学与物理相结合，帮助 学生更好地理解物理现象 和问题。
培养实践能力
通过课程实践和案例分析， 培养学生分析和解决实际 问题的能力。
激发学习兴趣
优秀的示例分析和实际应 用案例将激发学生对数学 物理方法的学习兴趣。
数学方法
微积分
研究连续变化的量 和其导数，为数学 建模和物理问题分 析提供基础。
线性代数
研究向量、矩阵和 线性变换，为数学 和物理领域的数据 处理与分析提供工 具。
微分方程
研究函数及其导数 的关系方程，为实 际问题的建模和求 解提供数学方法。