解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略

新课改中“数形结合”应用的一点思考摘要：数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题，或将图形信息全部转成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论.就高中数学中常见的几种类型题的解题方法做了一些对比，突出数形结合思想的特征.关键词：数形结合；函数图象；应用数形结合是通过“以形助数”或“以数助形”，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，解决问题的一种数学思想方法.它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用.具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论.数形结合应用广泛，不仅在解决选择题、填空题时显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，这种发展趋势在我几年来的新课改教学中也深有体会.下面就以下几种常见题型结合自己的教学感受做一点初步探讨。

一、解决集合、函数问题利用韦恩图、数轴及常见函数图象例1 设a=x|-2≤x≤a，b=y|y=2x+3且x∈a，c={z|z=x2且x∈a}，若c？哿b，求实数a的取值范围.点拨解决集合问题首先应看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.【解析】∵y=2x+3在[-2，a]上是增函数，∴-1≤y≤2a+3，即b=y|-1≤y≤2a+3，作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：（1）当-2≤a≤0时，a2≤z≤4，即c=z|a2≤z≤4，要使c？哿b，必须且只需2a+3≥4，得a≥■，与-2≤a必须且只需2a+3≥40≤a≤2，解得■≤a≤2.（3）当a>2时，0≤z≤a2，即c=z|0≤z≤a2，要使c？哿b，必须且只需a2≤2a+3a>2，解得2（4）当a0即x2+12x+3=-6a（x>0或x0或x（2）在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数（量）与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来.例4 在直角坐标系xoy中，■，■分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形abc中，■=2■+■，■=3■+k■，则k的可能值有（）a.1个b.2个c.3个d.4个所以k的可能值个数是2.解法二：（数形结合）如图，将a放在坐标原点，则b点坐标为（2，1），c点坐标为（3，k），所以c点在直线x=3上，由图知，只可能a、b为直角，c不可能为直角.所以k的可能值个数是2.图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的思维策略.【规律小结】几何图形向量化，向量问题坐标化，运用向量坐标运算解决几何中的共线、垂直、夹角、距离等问题。

提高解析几何数学运算能力的策略——以2023年高考全国乙卷理数第20题为例ʏ河南省郑州市第一〇一中学 冯连福解析几何数学运算能力是指在明晰运算对象(直线㊁圆㊁圆锥曲线等)的基础上,依据运算法则解决数学问题的能力㊂同学们在解析几何数学运算中存在的诸多问题,要通过数学运算专项训练,培养良好的数学运算习惯,增强数学运算的信心,提高数学运算的正确率,达到 敢计算 愿计算 会计算 的效果㊂下面以2023年高考全国乙卷理数第20题为例,说明提高解析几何数学运算能力的策略㊂题目:已知椭圆C :y2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率为53,点A (-2,0)在椭圆C 上㊂(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点(-2,3)的直线交椭圆C 于P ,Q 两点,直线A P ,A Q 与y 轴的交点分别为M ,N ,证明:线段MN 的中点为定点㊂解析:(1)由题意得b =2,c a =53㊂又a 2=b 2+c 2,解得a =3,b =2㊂椭圆C 的标准方程为y 29+x 24=1㊂(2)求解定点问题的常用方法是先猜后证㊂若直线P Q 的斜率趋于零,则点M ㊁N 趋于点(0,3),故MN 中点过定点(0,3),下面证明这个结论㊂策略一 点斜式正设㊂先用点斜式设出直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立㊂设直线P Q 的方程为y =k (x +2)+3,即y =k x +2k +3,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (0,y M ),N (0,y N )㊂联立y =k x +2k +3,9x 2+4y 2-36=0,得(9+4k 2)x 2+(16k 2+24k )x +(16k 2+48k )=0㊂因此,x 1+x 2=-16k 2+24k4k 2+9,x 1x 2=16k 2+48k9+4k2㊂易知直线A P 的方程为y =y 1x 1+2(x +2),令x =0,则M 0,2y 1x 1+2㊂同理可得,N 0,2y2x 2+2 ㊂设MN 的中点为0,y M+yN2 ㊂所以y M +y N 2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=(k x 1+2k +3)(x 2+2)+(k x 2+2k +3)(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2)=2k x 1x 2+(4k +3)(x 1+x 2)+8k +12x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=3㊂MN 的中点是定点(0,3)㊂策略二 点斜式反设㊂先用点斜式反设直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立,此策略计算量较策略一少一些㊂设直线P Q 的方程为x +2=k (y -3),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (0,y M ),N (0,y N )㊂联立x +2=k (y -3),y 29+x 24=1,得(9k 2+4)y 2-18(3k +2)k y +81k 2+108k =0㊂因此,y 1+y 2=18k (3k +2)9k 2+4,y 1㊃y 2=81k 2+108k9k 2+4㊂因为直线A P 的方程为y =y 1x 1+2(x +2),所以y M =2y 1x 1+2㊂同理,y N =2y 2x 2+2㊂故y M +y N2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=y 1k (y 1-3)+y 2k (y 2-3)=1k ㊃y 1y 1-3+y 2y 2-3=1k ㊃2y 1y 2-3(y 1+y 2)y 1y 2-3(y 1+y 2)+9=1k ㊃54㊃(3k 2+4k )-3㊃18k ㊃(3k +2)27(3k 2+4k )-3㊃18k ㊃(3k +2)+9(9k 2+4)=1k ㊃108k36=3㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略三 斜截式正设㊂先用斜截式设出直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理写出表达式,最后代入m =2k +3化简㊂此策略数学运算量较前两种少㊂设直线P Q 的方程为y =k x +m ,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (0,y M ),N (0,y N )㊂因为P Q 过(-2,3),所以m =2k +3㊂联立y =k x +m ,4y 2+9x 2-36=0,得(4k 2+9)x 2+8k m x +4m 2-36=0㊂故x 1+x 2=-8k m 4k 2+9,x 1x 2=4m 2-364k 2+9㊂则y M +y N2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=2k x 1x 2+(2k +m )(x 1+x 2)+4mx 1x 2+2(x 1+x 2)+4㊂(思路一)直接代入韦达定理因此,y M +y N2=2k x 1x 2+(2k +m )(x 1+x 2)+8k +12x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=2k (4m 2-36)+(2k +m )(-8k m )+4m (4k 2+9)4m 2-36+2(-8k m )+4(4k 2+9)=8k m 2-72k -16k 2m -8k m 2+16m k 2+36m4m 2-16k m +16k2=36(m -2k )4(m -2k )2=9m -2k =3㊂所以MN 的中点是定点(0,3)㊂(思路二)先分离常数再代入韦达定理,计算量会少一些㊂因此,y M +y N2=2k x 1x 2+(2k +m )(x 1+x 2)+4mx 1x 2+2(x 1+x 2)+4=2k +3(x 1+x 2)+12x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=3㊂所以MN 的中点是定点(0,3)㊂策略四 斜截式反设㊂先用斜截式仅设出直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立㊂设P Q :x =m y +n ,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂因P Q 过(-2,3),故3m +n =-2,即b +2=-3m ㊂联立x =m y +n ,4y 2+9x 2-36=0,得4y 2+9(m y +n )2-36=0㊂则(4+9m 2)y 2+18m n y +9(n 2-4)=0㊂因此,y 1+y 2=-18m n 9m 2+4,y 1y 2=9(n 2-4)9m 2+4㊂其中Δ=(18m n )2-4(4+9m 2)㊃9(n 2-4)>0,则9m 2-n 2+4>0㊂由于A P :y =y 1x 1+2(x +2),故可得点M 0,2y 1x 1+2㊂同理可得,点N 0,2y 2x 2+2㊂故MN 中点的纵坐标为:y 1x 1+2+y 2x 2+2=y 1m y 1+n +2+y 2m y 2+n +2=y 1m (y 1-3)+y 2m (y 2-3)=2y 1y 2-3(y 1+y 2)m [y 1+y 2-3(y 1+y 2)+9]=1m ㊃2㊃9(n 2-4)+3㊃18m n9(n 2-4)+3㊃18m n +9(9m 2+4)=1m ㊃2(n 2-4)+6m n(3m +n )2=n 2-4+3m n2m=n (n +3m )-42m =3㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略五 点斜式正设+斜率同构㊂先对直线A P ㊁A Q 方程的点斜式正设,再与椭圆方程联立,求点P ,Q 坐标,最后斜率同构㊂设A P :y =k 1(x +2),A Q :y =k 2(x +2),设P (x P ,y P ),Q (x Q ,y Q )㊂设P Q :y -3=k (x +2)㊂联立y =k 1(x +2),y 29+x 24=1,得4k 21(x +2)2+9x 2=36㊂即(4k 21+9)x 2+16k 21x +16k 21-36=0㊂所以x A x P =16k 21-364k 21+9㊂由于x A =-2,故x P =18-8k 214k 21+9,y P =k 1(x P +2)=36k 14k 21+9㊂因为点P 在直线y -3=k (x +2)上,所以36k 14k 21+9-3=k ㊃364k 21+9㊂整理得12k 21-36k 1+36k +27=0㊂同理,12k 22-36k 2+36k +27=0㊂故k 1㊁k 2是12x 2-36x +36k +27=0的解,则k 1+k 2=3㊂因为M (0,2k 1),N (0,2k 2),所以MN 的中点是(0,k 1+k 2)㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略六 斜截式反设+斜率同构㊂先对直线A P ㊁A Q 方程的斜截式反设,再求点P ,Q 坐标㊂设B (-2,3),由B ,P ,Q 三点共线,得到1m 1+1m 2=3㊂设A P :x =m 1y -2,A Q :x =m 2y -2,P (x P ,y P ),Q (x Q ,y Q )㊂联立x =m 1y -2,y 29+x 24=1,得(4+9m 21)y 2-36m 1y =0㊂所以y A +y P =36m 14+9m21,解得y P =36m 14+9m 21,x P =m 1y P -2=18m 21-84+9m 21㊂P 点坐标为18m 21-84+9m 21,36m 14+9m 21㊂同理,Q 点坐标为18m 22-84+9m 22,36m 24+9m 22㊂因为B ,P ,Q 三点共线,所以y P -3x P +2=y Q -3x Q +2,代入化简得1m 1+1m 2=3㊂因为M 0,2m 1 ,N 0,2m 2,所以MN 的中点为定点(0,3)㊂策略七 点斜式正设+齐次化法㊂先用点斜式正设直线A P ㊁A Q 的方程,求出MN 中点坐标,联想齐次化㊂齐次化解题的要点是消常数项㊂设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂则直线A P 的方程为y =y 1x 1+2(x +2),故M 0,2y 1x 1+2㊂同理可得,N 0,2y 2x 2+2㊂则MN 的中点为0,y 1x 1+2+y 2x 2+2㊂下面求y 1x 1+2+y 2x 2+2,联想齐次化㊂设直线P Q 的方程为m (x +2)+n y =1㊂因P Q 过(-2,3),故3n =1㊂联立m (x +2)+n y =1,9x 2+4y 2=36,得:9[(x +2)-2]2+4y 2=36㊂即(9-36m )(x +2)2-36n (x +2)y +4y 2=0,4y x +22-36n yx +2+9-36m =0㊂所以y 1x 1+2+y 2x 2+2=9n =3㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略八 坐标轴平移+齐次化法+一般式㊂由于MN 中点的纵坐标与斜率有关,为简化计算,自然联想到以点A 为坐标系原点建立坐标系㊂将椭圆向右平移2个单位,即以A 为原点建立平面直角坐标系,则平移后椭圆C 方程为y 29+(x -2)24=1,即9x 2+4y 2-36x =0㊂设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂则直线A P 的方程为y =y 1x 1㊃x ,可得M 2,2y 1x 1㊂同理可得,N 2,2y 2x 2㊂故y M +y N 2=y 1x 1+y 2x 2㊂所以MN 的中点是2,y 1x 1+y 2x 2㊂下面求y 1x 1+y 2x 2㊂设P Q :m x +n y =1㊂因为直线P Q 过点(0,3),所以3n =1㊂联立m x +n y =1,9x 2-36x +4y 2=0,得9x 2-36x (m x +n y )+4y 2=0㊂整理得(9-36m )x 2-36n x y +4y 2=0㊂则4yx2-36n y x+(9-36m )=0㊂故y 1x 1+y 2x 2=9n =3,即平移后MN 的中点为(2,3)㊂故平移前MN 的中点为定点(0,3)㊂策略九 二次曲线系㊂此题是定点定值问题,背景是极点极线问题,故可用二次曲线系㊂设直线A P 的方程为x =m y -2,即x -m y +2=0㊂直线A Q 的方程为x =n y -2,即x -n y +2=0㊂直线P Q 的方程为y -3=k (x +2),即k x -y +2k +3=0㊂点A 处切线方程为x =-2,即x +2=0㊂设M (0,y M ),N (0,y N )㊂令x =0,则y M =2m ,y N =2n㊂M N 的中点为0,1m +1n ,即0,m +n m n㊂下面求m +nm n㊂过A ,B ,C 三点的二次曲线系方程为:(x -m y +2)(x -n y +2)+λ(x +2)㊃(k x -y +3+2k )=μy 29+x 24-1㊂对比两边展开式系数得:x 2项系数,1+λk =14μ;①y 2项系数,m n =19μ;②x y 项系数,-m -n -λ=0;③常数项,4+2λ(3+2k )=-μ㊂④由④得1+λk =-32λ-14μ㊂代入①式得μ=-3λ㊂由③得m +n =-λ㊂则m +n m n =-λ19μ=-λ19(-3λ)=3㊂故MN 的中点为定点(0,3)㊂策略十 斜率同构㊂先由点斜式正设A P ㊁A Q ㊁P Q 的方程,再联立求点P ㊁Q 坐标,最后将两点坐标代入椭圆方程,利用同构求出k 1+k 2值,即求出中点坐标㊂设直线A P 的方程为y =k 1(x +2),则点M 的坐标为(0,2k 1)㊂设直线A Q 的方程为y =k 2(x +2),则点N 的坐标为(0,2k 2)㊂则MN 的中点为(0,k 1+k 2)㊂下面求k 1+k 2的值㊂设直线P Q 的方程为y =k (x +2)+3㊂将直线A P 与直线P Q 联立,求点P 坐标㊂由y =k (x +2)+3,y =k 1(x +2),得:P3k 1-k -2,3k 1k 1-k㊂同理可得,点Q的坐标为3k 2-k -2,3k 2k 2-k㊂因为点P 在椭圆9x 2+4y 2=36上,所以93k 1-k -22+43k 1k 1-k2=36㊂即99(k 1-k )2-12k 1-k +4+36k 21(k 1-k )2=36,也即4k 21-12k 1+12k +9=0㊂同理,点Q 在椭圆9x 2+4y 2=36上,可得4k 22-12k 2+12k +9=0㊂所以k 1㊁k 2是方程4x 2-12x +12k +9=0的解㊂故k 1+k 2=124=3㊂所以MN 的中点为定点(0,3)㊂以上为常用解题策略,请同学们仔细领会㊁认真钻研,对于不同的情景选择合适的策略,提高自己的解析几何数学运算能力㊂注:本文系2023年度河南省基础教育教学研究项目 基于核心素养的高中生解析几何数学运算能力测评与对策研究 (立项编号J C J Y C 2303010018)研究成果㊂(责任编辑 徐利杰)。

“解析几何”中常用的数学思想方法数学思想是数学的灵魂，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略．《解析几何》内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下：1.数形结合的思想数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.例1．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =,试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝PN 2,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为：)1(212221-=-PO PO ,设P(x ,y ),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x ,y ）则（x +2）2+y 2-1=2[(x -2)2+y 2-1]，即33)6(22=+-y x综上所述，所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）． 2.分类讨论的思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

例2．在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值。

281教法研究2020年第11期高中数学解析几何知识有较强的综合性，涉及向量、不等式、函数等方面的知识内容。

想要有效解决解析几何问题，学生必须全面掌握相关的知识内容。

因此，数学教师应采取有效方法培养学生的综合素质，发展学生的数学建模能力、数学运算能力和逻辑推理能力。

本文探讨高中数学解析几何的常见问题，同时也对高中数学解析几何问题的教学起到抛砖引玉的作用。

1 高中数学解析几何的问题1.1 解析几何知识难度大解决解析几何问题时，需要使用代数转换方法，要处理较多的公式和字母代号。

一些学生在学习中可能不适应这种计算方式，不懂得如何进行化简。

此外，解析几何综合了代数公式和几何知识，学生在解题中要发散思维和数形结合思考。

总的来说，解析几何题目有题型灵活、计算量大、综合能力要求高、难度大的特点，对学生的要求较高。

1.2 学生的计算习惯不好解析几何解题中，计算量比较大。

一些题目看起来可能并不难，但是如果没有熟练掌握解析几何解题思路和化简的技巧，解题难度是比较大的。

一些计算能力和数学基础较弱的学生可能会直接放弃这种题目，由于他们的计算习惯不好，解题步骤不灵活，所以不仅计算量大、最终往往难以获得正确结果。

还有一部分学生在解题中相对焦躁，缺乏耐心和细心，更是难以解决问题。

1.3 基础知识掌握不扎实解析几何知识的综合性较强，在数学课堂教学中，数学教师会首先设计一些相对简单的题目，这是为了学生快速进入学习状态。

一些学生错误认为这方面题目难度普遍偏低，在基础知识学习中没有重视，所以在后续解决难题的时候，常常因为基础不扎实碰到困难，导致平时练习和考试中出现粗心做错题目或者不会做的情况。

2 高中数学解析几何的教学策略2.1 多角度解决问题高中数学解析几何的解题方法并不是唯一的，许多题目可以从不同的切入点来解决。

并且解析几何中蕴含着非常丰富的数学思想方法，这些思想方法贯穿着整个知识结构，也就是说：挖掘解析几何知识中数学思想方法的运用不仅具有着重要的实际意义，并且对于学生数学能力与素养的培养起着不可估量的作用。

论高中数学“数形结合”在解题中的应用【摘要】高中数学中的“数形结合”概念是指通过数学知识和图形形式相结合，解决数学问题的方法。

本文从数形结合在解题中的重要性入手，探讨了数形结合在几何、代数、概率、数列以及解析几何题中的应用。

通过具体的例题分析，展示了数形结合在解题过程中的实际运用和优势，强调数形结合是解题的有效策略。

文章指出数形结合不仅可以帮助解题，还可以深化对数学概念的理解，从而提高学生的数学素养。

数形结合在高中数学学习中具有重要意义，是一种促进数学思维发展的有效方法。

通过本文的阐述，读者可以更好地理解数形结合的概念及其在解题中的应用，从而提升自己的数学学习能力。

【关键词】高中数学、数形结合、解题、几何题、代数题、概率题、数列题、解析几何题、有效策略、数学概念、重要意义1. 引言1.1 高中数学中的数形结合概念高中数学中的数形结合概念是指将数学中的代数和几何相结合，通过图形的形状和数学符号的运算相互联系，从而更好地理解和解决数学问题。

数形结合是一种将抽象的数学概念与具体的几何形状相结合的方法，通过这种方式可以更直观地理解和应用数学知识。

在数学学习中，数形结合的概念可以帮助学生更深入地理解数学概念，提高解题的效率和准确性。

通过将代数和几何相结合，学生可以更好地理解抽象概念，并将其应用到具体问题中。

数形结合的概念不仅可以帮助解决数学题目，还可以帮助学生培养逻辑思维和数学建模的能力。

高中数学中的数形结合概念对于学生的数学学习和能力提升具有重要意义。

通过深入理解数形结合的概念，学生可以更好地掌握数学知识，提高解题的能力，为将来的学习和工作打下良好的数学基础。

1.2 数形结合在解题中的重要性数形结合在解题中的重要性体现在数学问题解决过程中起着至关重要的作用。

通过将数学中的抽象概念与形象直观的图形结合起来，能够帮助学生更好地理解和应用所学知识。

数形结合可以让抽象的数学公式和定理变得更加具体和生动，使问题更容易被理解和解决。

解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的. 一方面是回顾已学过的数学知识. 进一步巩固基础知识. 另一方面. 随着学生学习能力的不断提高. 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复. 而是有对所学知识进一步理解的需求. 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等. 所以高三数学复习既要“温故” . 更要“知新” . 既能引起学生的兴趣. 启发学生的思维. 又能促使学生不断提出问题. 有新的发现和创造. 进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容. 也是高考考查的重点．每年的高考卷中.一般有两道选择或填空题以及一道解答题. 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用. 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查.重视对圆锥曲线定义的应用. 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位.是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体.与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合.结合数学思想方法.并与高等数学基础知识融为一体.考查学生的数学思维能力及创新能力.其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位.这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” ．所以研究解析几何的解题思路.方法与策略.重视一题多解.一题多变.多题一解这样三位一体的拓展型变式教学.是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中.在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - .若直线l 交x 轴负半轴于A.交y 轴正半轴于B.O 为坐标原点.（1）设AOB ∆的面积为S .求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）求OA OB +最小值； （3）求M MA B ⋅最小值．解：方法一：∵直线l 交x 轴负半轴.y 轴正半轴.设直线l 的方程为(2)1(0)y k x k =++>.∴）（0,12kk A -- )12,0(+k B . （1）∴422122)12(2≥++=+=kk k k S , ∴当1)22=k （时.即412=k .即 21=k 时取等号.∴此时直线l 的方程为221+=x y .（2）3223211221+≥++=+++=+k k k k OB OA .当且仅当22k =时取等号； （3）4212)1)(11(24411222222≥++=++=+⋅+=⋅k k k k k k MB MA . 当且仅当1k =时取等号；方法二：设直线截距式为)0,0(1><=+b a b y a x .∵过点(2,1)M -.∴112=+-ba （1）∵abb a -≥+-=22121. ∴822≥-⇒≥-ab ab .∴42121≥-==∆ab b a S AOB ； （2）322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+ba ab b a b a b a b a OB OA ； （3）5)12)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅ba b a b a b a MB MA MB MA 422≥-+-=ab b a ． （3）方法三： θsin 1=MA .θcos 2=MB . ∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θθθMB MA .当且仅当12sin =θ时最小.∴4πθ=．变式1：原题条件不变.（1）求△AOB 的重心轨迹；（2）求△AOB 的周长l 最小值．解：（1）设重心坐标为(,)x y .且(,0)A a .(0,)B b .则3a x =.3b y =.又∵112=+-ba .∴13132=+-y x . ∴2332312332)23(3123+-=+-+=+=x x x x x y .该重心的轨迹为双曲线一部分； （2）令直线AB 倾斜角为θ.则20πθ<<.又(2,1)M -.过M 分别作x 轴和y 轴的垂线.垂足为,E F , 则θsin 1=MA . θcos 2=MB .θtan 1=AE .θtan 2=BF ∴)20(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++=l 2sin 2cos )2cos 2(sin22cos 2sin 22cos 23cos )sin 1(2sin cos 132222θθθθθθθθθθθ-+++=++++=)420(12cot )2cot 1(22cot 3πθθθθ<<-+++=. 令12cot-=θt . 则t>0. ∴周长10)2(213≥++++=t t t l ∴32cot 212cot =⇒=-θθ。

解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。

要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。

确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。

选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。

笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。

建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。

这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。

求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。

这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。

验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。

几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。

这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。

技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。

利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。

利用这些对称性可以简化问题。

使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。

保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。

复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。

特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。

圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。

双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。

抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。

椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。

通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。

记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。