平面解析几何的产生与数形结合的思想

以形助数，以数解形—-浅谈数形结合思想在初中数学中的应用摘要:在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度。

笔者结合教学实际,对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.关键词：数形结合初中数学数学应用数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。

因此,笔者结合数学教学实际，探讨数形结合思想在初中数学中的应用.在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等。

”［1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。

利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。

数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时,我们要把它们有机的结合起来,并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论，或者把数量关系问题转化为图形问题，借助几何知识加以解决，使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”,最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体，永远联系莫分离" [2].初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系。

正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的。

第八章 平面解析几何（单元总结与测试）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.直线xsin α-y+1=0的倾斜角的变化范围是( )(A)(0,2π) (B)(0,π)(C)［4π-,4π］ (D)［0,4π］∪［34π,π)2.已知b>0，直线(b 2+1)x+ay+2=0与直线x-b 2y-1=0互相垂直，则ab 的最小值等于( ) （A ）1 （B ）2 （C）（D）3.已知直线l 1与圆x 2+y 2+2y=0相切，且与直线l 2：3x+4y-6=0平行，则直线l 1的方程是( ) (A)3x+4y-1=0 (B)3x+4y+1=0或3x+4y-9=0 (C)3x+4y+9=0 (D)3x+4y-1=0或3x+4y+9=04．(2013·厦门模拟)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直.l 与C 交于A,B 两点，|AB|＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )(A)18 (B)24 (C)36 (D)485．(2013·福州模拟)若双曲线2222x y a b -=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成7∶5的两段，则此双曲线的离心率为( )(A)986.已知双曲线216y -m 2x 2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m=( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)47．若PQ 是圆x 2+y 2=16的弦，PQ 的中点是M （1，3），则直线PQ 的方程是( ) （A ）x+3y-4=0 （B ）x+3y-10=0 （C ）3x-y+4=0 （D ）3x-y=08.已知圆C 与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C 的方程为( ) （A ）(x+1)2+(y-1)2=2 （B ）(x-1)2+(y+1)2=2（C）(x-1)2+(y-1)2=2 （D）(x+1)2+(y+1)2=29.已知抛物线y2=2px(p>1)的焦点F恰为双曲线22xa-22yb =1(a>0,b>0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为( )（A（B1+（C）2 （D）2+10.（易错题）设F1,F2分别是椭圆22xa+22yb=1(a＞b＞0)的左、右焦点,若直线x=2ac上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是( )（A）］（B）,1) （C）,1) （D）］二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11．（2012·广州模拟）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于_____.12．若k∈R，直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是______．13．已知直线l1：(a-2)x+3y+a=0与l2：ax+(a-2)y-1=0互相垂直，则a=____.14．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值等于______.15.(2012·南平模拟)若点P在直线l1:x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：(x-5)2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为_________.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（13分）设直线l的方程为（a+1）x+y-2-a=0（a∈R）.(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若a>-1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l对应的方程.17．（13分）已知动点C到点A（-1，0）的距离是它到点B（1，0倍.（1）试求点C的轨迹方程；（2）已知直线l经过点P（0，1）且与点C的轨迹相切，试求直线l的方程.18．(13分)(探究题)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0),过点A（a,0）,B(0,b)的直线倾斜角为56π,原点到该（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k ，使直线y=kx+2交椭圆于P 、Q 两点，以PQ 为直径的圆过点D （1，0）？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.19．(13分)(2012·三明模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1),点B 在直线y=-3上，M 点满足MB OA ∥,MB BA MA AB = ,M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)若P 为C 上的动点，l 为C 在P 处的切线，求O 到l 距离的最小值.20.（14分）（预测题）已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x 2=-y 的焦点是它的一个焦点，又点）在该椭圆上. （1）求椭圆E 的方程;（2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B 、C ，当△ABC 的面积最大时，求直线l 的方程. 21.（14分）（2012·南平模拟）已知直线l 1:y=2x+m(m<0)与抛物线C 1:y=ax 2(a>0)和圆C 2:x 2+(y+1)2=5都相切，F 是C 1的焦点. （1）求m 与a 的值；（2）设A 是C 1上的一动点，以A 为切点作抛物线C 1的切线l ，直线l 交y 轴于点B ，以FA 、FB 为邻边作平行四边形FAMB ，证明：点M 在一条定直线上；（3）在（2）的条件下，记点M 所在定直线为l 2，直线l 2与y 轴交点为N ，连接MF 交抛物线C 1于P 、Q 两点，求△NPQ 的面积S 的取值范围.答案解析1.【解析】选D.直线xsin α-y+1=0的斜率是k=sin α. 又∵-1≤sin α≤1,∴-1≤k ≤1.∴当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是［0，4π］; 当-1≤k<0时，倾斜角的范围是［34π,π).2.【解析】选B.由题意知2b 1a +-·21b =-1,解得a=22b 1b +.所以ab=22b 1b +·b=2b 1b + =1b b +;又因为b>0,故1bb+≥2,当且仅当b=1b,即b=1时取等号.3.【解析】选D.因为l1与l2平行，所以可设直线l1的方程为：3x+4y+c=0,又因为l1与圆x2+y2+2y=0相切，且圆心坐标为（0，-1），半径为1,=1,解得c=9或c=-1，因此l1的方程为3x+4y+9=0或3x+4y-1=0.4．【解析】选C.设抛物线方程为y2=2px(p>0),则|AB|=12=2p,∴p=6. 点P到直线l的距离d=p,∴S△ABP=12•2p•p=p2=36.5．【解析】选C.设双曲线焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0),y2=2bx的焦点F(b2,0),则222bc72b5c2c a b⎧+⎪=⎪⎨-⎪⎪=+⎩,解得c3ba=⎧⎪⎨=⎪⎩,∴e=ca==6．【解析】选C.双曲线的方程可化为2y116-22x1m=1，所以a=14,b=1m,取顶点（0，14），一条渐近线为mx-4y=0.∵15,即m2+16=25,∴m=3.7．【解析】选B.圆心为O（0，0），故直线OM斜率k=3010--=3，因为弦PQ所在直线与直线OM垂直，所以k PQ=13-,其方程为y-3=13-(x-1),整理，得x+3y-10=0.8．【解题指南】由于圆与两平行线都相切,故两平行线间距离即为直径,只要再求得圆心坐标即可得解.【解析】选B.因为两条直线x-y=0与x-y-4=0平行,故它们之间的距离即为圆的直径,所以,所以设圆心坐标为P(a,-a),则点P 到两条切线的距离都等于半径,,解得a=1,故圆心为(1,-1),所以圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.9．【解析】选B.由题意知，p2=c,即p=2c由22222y 2px x y 1a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得b 2x 2-4ca 2x-a 2b 2=0 *由题意知x=c 是方程*的一个根，则有 b 2c 2-4a 2c 2-a 2b 2=0 即c 4-6a 2c 2+a 4=0 ∴e 4-6e 2+1=0 又e>1∴e 2=3++1. 10.【解题指南】根据|F 1F 2|=|PF 2|转化为点F 2到直线x=2a c 的距离小于或等于|F 1F 2|来寻找a,b,c 之间的关系,从而求解.【解析】选B.根据题目条件可知:若直线x=2a c 上存在点P 使线段PF 1的中垂线过点F 2,则|F 1F 2|=|PF 2|,可转化为点F 2到直线x=2a c 的距离小于或等于|F 1F 2|，亦即2a c -c ≤2c ，解得22c a ≥13，所以e，1）.11．【解析】设2a 、2b 分别为椭圆的长轴长、短轴长，依题设有4b=2a,即a=2b,所以b,所以离心率为e=ca =.12．【解析】因为直线y=kx+1恒过定点（0，1），题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，则02+12-2a ·0+a 2-2a-4≤0且2a+4>0,解得-1≤a ≤3. 答案：-1≤a ≤313．【解析】因为l 1：(a-2)x+3y+a=0与l 2:ax+(a-2)y-1=0互相垂直 所以，a(a-2)+3(a-2)=0,解得a=2或a=-3. 答案：2或-314．【解析】由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为(x,-x 2)，根据点到直线的距离公式，得224)33-+,所以当x=23时，d 取得最小值43. 答案：4315.【解析】设曲线C 表示的圆心为C(5，0),由题意可知△PMC 是直角三角形，|CM|=4,当且仅当斜边|CP|最短时，|PM|最小.当CP ⊥l1时,|CP|min,此时|PM|最小且|PM|=4.答案：416．【解析】（1）当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a+2=0，解得a=-2，此时直线l 的方程为-x+y=0，即x-y=0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠-2且a ≠-1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2aa 1++=2+a ，解得a=0，此时直线l 的方程为x+y-2=0. 所以直线l 的方程为x-y=0或x+y-2=0.（2）由直线方程可得M(2aa 1++,0),N(0,2+a),又因为a>-1.故S △OMN =()12a2a 2a 1+⨯⨯++=21a 112a 1++⨯+［()］=()11a 122a 1⨯++++［］≥122⨯［］=2,当且仅当a+1=1a1+,即a=0时等号成立.此时直线l的方程为x+y-2=0.17．【解题指南】（1）利用直接法列出方程，化简即可.（2）对斜率是否存在分类讨论，根据切线的性质求斜率，进而求出方程.【解析】（1）设点C（x,y），则.两边平方，得(x+1)2+y2=2×［(x-1)2+y2］.整理，得（x-3）2+y2=8.故点C的轨迹是一个圆，其方程为（x-3）2+y2=8.（2）由（1），得圆心为M（3，0），半径r=.①若直线l的斜率不存在，则方程为x=0，圆心到直线的距离d=3≠故该直线与圆不相切；②若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx+1.由直线和圆相切，得,整理，得k2+6k-7=0,解得k=1,或k=-7.故所求直线的方程为y=x+1,或y=-7x+1,即x-y+1=0或7x+y-1=0.18．【解析】（1）由ba,12a·b=12,得,b=1,所以椭圆方程是2x3+y2=1. （2）将y=kx+2代入2x3+y2=1,得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*)记P(x1,y1),Q(x2,y2),以PQ为直径的圆过D（1，0），则PD⊥QD，即(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,又y1=kx1+2,y2=kx2+2,得（k2+1）x1x2+(2k-1)(x1+x2)+5=0 ……①又x1x2=293k1+,x1+x2=212k3k1-+,代入①解得k=76-，此时（*）方程Δ>0，∴存在k=76-,满足题设条件. 19．【解析】(1)设M(x,y),B(x,-3),MB=(0,-3-y),BA =(-x,2),MA=(-x,-1-y),AB=(x,-2),∵MB BA MA AB =,∴x 2-4y-8=0,∴曲线C 的方程为：y=14x 2-2. (2)设P(x 0,y 0),∵y ′=12x,∴k=12x 0. 又∵P(x 0,y 0)在曲线C 上，∴y 0=14x 02-2, ∴l 切：y-y 0=12x 0(x-x 0),即:x 0x-2y+2y 0-x 02=0,∴212=+≥12×2=2,当且仅当：=,即x 0=0时等号成立，此时O 到l 距离的最小值为2.20.【解析】（1）由已知抛物线的焦点为（0,)，故设椭圆方程为22y a +22x a 2- =1（a>2）.将点)代入方程得22a +21a 2-=1，整理得a 4-5a 2+4=0，得a 2=4或a 2=1（舍）,故所求椭圆方程为2y 4+2x 2=1.（2）设直线BC 的方程为x+m ， 设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),代入椭圆方程并化简得4x2+mx+m2-4=0, 由Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,可得0≤m2<8. (*)由x1+x2=,x1x2=2m44-,故|x1-x2.又点A到BC的距离为d=m 3,故S△ABC=12|BC|··22 2m(162m)2+-当且仅当2m2=16-2m2,即m=±2时取等号（满足*式），此时直线l的方程为2±.【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用求法解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法:(1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质,数形结合求解.(2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最值,但要注意待求量的取值范围.【变式备选】已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B，（1）求椭圆的方程，（2）若坐标原点O到直线l，求△AOB面积的最大值.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意caa⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得.由a 2=b 2+c 2,得b=1.∴所求椭圆方程为2x 3+y 2=1.(2)可得m 2=34(k 2+1).将y=kx+m 代入椭圆方程， 整理得(1+3k 2)x 2+6kmx+3m 2-3=0. Δ=(6km)2-4(1+3k 2)(3m 2-3)>0 (*)∴x 1+x 2=26km13k -+,x 1·x 2=223m 313k -+.∴|AB|2=（1+k 2）(x 2-x 1)2=(1+k 2)22222236k m 12(m 1)(3k 1)3k 1--++［］ =2222212(k 1)(3k 1m )(3k 1)++-+=22223(k 1)(9k 1)(3k 1)+++ =3+24212k 9k 6k 1++=2212123312369k 6k +≤+⨯+++=4(k ≠0)当且仅当9k 2=21k ,即k=.经检验，k=*）式.当k=0时，. 综上可知|AB|max =2.∴当|AB|最大时，△AOB 的面积取最大值S max=122⨯21.【解析】（1）由已知，圆C 2:x 2+(y+1)2=5的圆心为C 2(0,-1)，半径.由题设圆心到直线l 1:y=2x+m的距离,解得m=-6(m=4舍去).设l 1与抛物线的切点为A 0(x 0,y 0),又y ′=2ax,得2ax 0=2⇒x 0=1a ,y 0=1a .代入直线方程得：1a=2a-6,∴a=16，所以m=-6,a=1 6.（2）由（1）知抛物线C1方程为y=16x2,焦点F（0，32）.设A（x1,211x6）,由（1）知以A为切点的切线l的方程为y=()211111x x x x36-+.令x=0,得切线l交y轴的B点坐标为（0，211x 6）所以FA=（x1,211x6-32）,FB=(0,211x6-32-),∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边的平行四边形，∴FM=FA+FB =（x1，-3）,因为F是定点，所以点M在定直线y=32-上.（3）设直线MF：y=kx+32,代入y=21x6得21x6-kx-32=0,设P、Q两点横坐标分别为x′1,x′2,得x′1+x′2=6k,x′1·x′2=-9，S△NPQ=12|NF||x′1-x′2|=12×3=,∵k≠0,∴S△PQN>9，即△NPQ的面积S范围是（9，+∞）.。

数学文化北京市第五中学分校任诚、张姿2015年12月3日数学文化讲座学生接触数学文化的意义在回答这个问题之前，我们先看看高中课标关于数学文化的说明：数学是人类文化的重要组成部分。

数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。

通过在高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。

高中对数学文化的要求：1．数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程的内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用，同时也反映社会发展对数学发展的促进作用。

2．学生通过数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；发展求知、求实、勇于探索的情感和态度；体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性；提高学习数学的兴趣。

3．以下选题供参考。

（1）数的产生与发展；（2）欧几里得《几何原本》与公理化思想；（3）平面解析几何的产生与数形结合的思想；（4）微积分与极限思想；（5）非欧几何与相对论问题；（6）拓扑学的产生；（7）二进制与计算机；（8）计算的复杂性；（9）广告中的数据与可靠性；（10）商标设计与几何图形；（11）黄金分割引出的数学问题；（12）艺术中的数学；（13）无限与悖论；（14）电视与图象压缩；（15）CT扫描中的数学──拉东变换；（16）军事与数学；（17）金融中的数学；（18）海岸线与分形；（19）系统的可靠性；说明与建议1．应当采取多样化的教学方式。

例如，教师可以在教授数学知识时介绍有关的背景文化；可以作专题演讲；也可以鼓励和指导学生就某个专题查找、阅读、收集资料文献，在此基础上，编写一些形式丰富的数学小作文、科普报告，并组织学生进行交流。

《高中数学新课程标准解读》第三部分内容标准（选修课程）二、选修课程系列1，系列2说明在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生，可以根据自己的兴趣和需求，选择学习系列1，系列2。

系列1是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，包括2个模块，共4学分。

系列2则是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的，包括3个模块，共6学分。

系列1的内容分别为：选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1-2：统计案例、推理与证明、数系扩充与复数的引入、框图。

系列2的内容分别为：选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何。

选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。

选修2-3：计数原理、统计案例、概率。

在系列1、系列2的课程中，有一些内容及要求是相同的，例如，常用逻辑用语、统计案例、数系扩充与复数等；有一些内容基本相同，但要求不同，如导数及其应用、圆锥曲线与方程、推理与证明；还有一些内容是不同的，如系列1中安排了框图等内容，系列2安排了空间中的向量与立体几何、计数原理、离散型随机变量及其分布等内容。

系列1选修1-1本模块中，学生将学习常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。

无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想。

在本模块中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。

在必修课程学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想。

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。

教材分析：平面解析几何初步解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究几何图形的性质，即建立直角坐标系，通过点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，充分体现了数形结合的数学思想。

1．本章教学目标通过本章的学习，学生初步学会在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，体会与感悟运用代数方法研究直线和圆几何性质的思想，了解空间直角坐标系。

体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。

1.理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式以及直线方程的几种形式转化(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系；3.掌握利用斜率判定两条直线平行或垂直的方法；能用解方程的方法求两直线的交点坐标；4.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；6.通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；理解空间两点间的距离公式；7.通过平面解析几何初步的学习，使学生体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”和“数”的对立和统一，渗透数学中普遍存在的动静变化、相互联系、相互转化的辩证观点，提高学生的数学素养，培养学生良好的思维品质。

2．本章设计意图本章包含了直线与方程、圆与方程、空间直角坐标系三部分内容。

本章的编写强化了解析几何研究问题的思维和方法：本章在直线和圆的方程处理上，以学生熟悉的问题(生活实例、数学问题等)为背景，按照“问题情境—数学活动—意义建构—数学理论—数学应用—反思”的顺序结构，引导学生主动参与探索，通过师生共同对问题的分析，使学生感受用坐标、方程刻画点、直线、圆等图形的一般方法，逐步体会解析几何的基本思想。

数形结合思想在解析几何中的一些应用曾婷 在高中数学的解析几何中，方程中总是存在多元二次方，如果用纯代数的方法进行解题的话，数据的复杂程度往往会让学生不能继续完成解答，如果是在解答填空选择题的情况下，花大量时间去求解且不一定能把答案解出来，是非常吃亏的。

因此，在解答解析几何题型时，培养数形结合思想尤为重要。

下面分析几类数形结合思想在实践中的一些应用。

一、动与定的分析。

在一些解析几何题型中，一般会出现一些类似求离心率的取值范围，像这些要求的答案是一个范围的话，那么此时数形结合时分析的“形”中一定要出现变化的量，即要得出一个不等式，比如线段在一定范围内变化；如果要求的是一个确定值，那么此时就找等量关系，列出一个等式，比如线段之间相等，在解析几何中，一些线段的长度可以用c b a ,,的式子表示，这样就会出现只有c b a ,,的一个等式，这个等式也是常用来求解析几何中的离心率e 的。

例1：已知椭圆()012222>>=+b a by a x 中，F 为右焦点，C 为准线与x 轴的交点，A 为椭圆上的点，AC 的中垂线过点F ，求椭圆离心率的取值范围。

分析：像这种题型，条件中没有具体的数据，且关键条件就只有AC 的中垂线过点F 这一个，考生一般会难以下手，或者就漫无目的地求中垂线方程，设点A 坐标，列方程组等，这样不仅是个大工程的运算，而且还是难以求出最终答案的。

往往越是复杂的题目，解答过程一般都是比较简单的，此时用数形结合去分析的话，解答过程就显得简单多了。

现在主要对中垂线进行分析，可以发现FC AF =，而FC 为一个定值，AF 是一个变化值，通过这个等式可以列出关于c b a ,,的不等式。

解：∵AC 的中垂线过点F ，∴FC AF =c ca FC -=2，∵A 在椭圆上运动且要使AC 的中垂线过点F ∴c a AF c a +≤<-，∴c a c ca c a +≤-<-2解不等式c a c ca c c a c a +≤--<-22和， c ca c a -<-2解得1<e c a c ca +≤-2得222c ac c a +≤-左右同除2a 得到0122≥-+e e ∴21≥e ，综上⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,21e 点评：数形结合思想主要培养学生对图像的分析处理能力，去寻找图像中的几何等量关系，比如角平分线上的点到两边的距离相等或者中垂线下的线段等量关系等等，然后根据几何等量关系转化为代数等式，这样就比传统代数解题快捷很多。

思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。

四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。